Il documento tratta delle disequazioni con il modulo, con focus sulle definizioni e tecniche per risolverle. Viene presentata una serie di esempi che illustrano come le disequazioni si possano trasformare e risolvere, enfatizzando le soluzioni complementari e l'evitamento dell'unione di sistemi. In conclusione, viene riassunta la condizione della disequazione |f(x)| k in diverse situazioni, indicando quando è soddisfatta, impossibile o equivalente ad altre forme.

1. Disequazioni con il modulo
Prima parte
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013

2. La funzione valore assoluto
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
Dominio: R
Codominio: R+
Il valore ad esso corrispondente è
numero non negativo (|x| 0)
L’argomento del modulo (x) è un
qualunque numero reale positivo ,
negativo o nullo

3. Generalizzando
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
Per risolvere le disequazioni è spesso necessario
ricorrere questa definizione

4. Esempio 1: |x2 -3|<1
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
•Usiamo la definizione
La disequazione è quindi equivalente a
N.B. le 2 disequazioni hanno soluzioni complementari,
basta risolverne una per trovare le soluzioni dell’altra

5. Evitiamo l’unione di sistemi
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
Indicando con z l’argomento del modulo la
disequazione diviene |z|<1
Dal grafico
-1<z<1

6. Evitiamo l’unione di sistemi
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
Sostituendo a z l’argomento del modulo
otteniamo
ovvero
Verificare che con entrambe le tecniche la soluzione è

7. Esempio 2: |x2 -3|>1
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
•Usiamo la definizione
La disequazione è quindi equivalente a
N.B. le 2 disequazioni hanno soluzioni complementari,
basta risolverne una per trovare le soluzioni dell’altra

8. Evitiamo l’unione di sistemi
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
Indicando con z l’argomento del modulo la
disequazione diviene |z|>1
Dal grafico
z<-1 z >1

9. Evitiamo l’unione di sistemi
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
Sostituendo a z l’argomento del modulo
otteniamo
Verificare che con entrambe le tecniche la soluzione è

10. Esempio 3: |x2 -3x+2|>-3
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
Il codominio della funzione valore assoluto è R+
pertanto la disequazione è sempre verificata
Graficamente

11. Esempio 3: |x2 -3x+2|<-3
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
Il codominio della funzione valore assoluto è R+
pertanto la disequazione non è mai verificata
Graficamente

12. Concludendo
(provate a completare)
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
La disequazione |f(x)| k risulta
•Soddisfatta per ogni x Dominio se…
•Equivalente all’unione f(x) -k f(x) k se …
La disequazione |f(x)| k risulta
•Impossibile se…
•Equivalente all’equazione f(x)=0 se …
•Equivalente al sistema –k f(x) k se …

13. Concludendo
ISIS E.Amaldi - recupero estivo 2013
La disequazione |f(x)| k risulta
•Soddisfatta per ogni x Dominio se k 0
•Equivalente all’unione f(x) -k f(x) k se k>0
La disequazione |f(x)| k risulta
•Impossibile se k<0
•Equivalente all’equazione f(x)=0 se k=0
•Equivalente al sistema –k f(x) k se k>0