XIII Lezione - Arabo G.Rammo @ Libera Accademia Romana
Mc d
1. Cos’ è un numero primo?
• Un NUMERO PRIMO è un numero naturale
divisibile unicamente per se stesso e per uno, e
diverso da uno.
• Ad esempio: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...
• L'unico numero primo pari è 2.
2. Importanza dei numeri primi
TEOREMA FONDAMENTALE
DELL'ARITMETICA
Ogni numero naturale può essere
scomposto in fattori primi, e tale
scomposizione è unica.
3. Scomposizione in fattori primi
Scomponiamo il 12 e il 18 in fattori primi
12 2 18 2
6 2 9 3
3 3 3 3
1 1
Si ottiene:
12= 22x3 e 18= 2x32
4. Massimo comun divisore
Scomponiamo i numeri in fattori primi.
Scegliamo solo i fattori comuni con il più
piccolo esponente
8 2 6 2 Calcoliamo il M.C.D. (6;8)
4 2 3 3 6=2x3
8=23
2 2 1
1 M.C.D. (6;8)=2
5. Minimo comune multiplo
scomponiamo i numeri in fattori primi
si scelgono tutti i fattori comuni e non comuni.
tra quelli comuni si prendono quelli con
l’esponente maggiore.
12 2 18 2
Calcoliamo il m.c.m. (12;18)
6 2 9 3
12= 22x3
3 3 3 3 18= 2x32
m.c.m. (12;18)= 22x32 =36
1 1
6. Quesito
Un fioraio prepara dei mazzi di fiori uguali con
70 rose, 42 margherite e 84 tulipani.
Quanti mazzi ottiene?
7. Soluzione
Affinché i mazzi siano tutti uguali, il fioraio dovrà
farne in numero tale che sia divisibile per 70, 42 e
84.
Quindi tale numero è il MCD(70,42,84)
7 2 4 2 8 2
0 2 4
70=2x5x7
3 5 2 3 4 2 42=2x3x7
5 1 2 84=22x3x7
7 7 7 7 2 3
1
Si prendono tutti i fattori
1 1 1 7 7 comune presi una sola
volta col minimo esponente
1
M.C.D (70,42,84)=2x7=14
8. I TRE AEREI
Tre aerei partono contemporaneamente
dall’aeroporto di Verona e vi ritorneranno
dopo aver percorso le loro rotte: il primo
ogni 5 giorni, il secondo ogni 10 giorni e il
terzo ogni 6 giorni. Dopo quanti giorni i tre
aerei si troveranno di nuovo insieme a
Verona ?
9. Risposta
Il primo ogni 5 giorni, il secondo ogni 10 giorni e
il terzo ogni 6 giorni.
Problema di MINIMO COMUNE MULTIPLO:
5 5 10 2 6 2 5=5
10=2x5
1 5 5 3 3 6=2x3
1 1
mcm (5; 10; 6) = 5x2x3=30 giorni
10. Metodo di Euclide
• C’e’ un altro metodo per calcolare il
M.C.D. di due numeri, questo metodo è
stato scoperto da Euclide intorno al
400a.c.:
• Dati due numeri a,b il MCD di a e b si
calcola sostituendo ad a e b il minore di
a e b e la differenza di a e b fino ad
arrivare a 0, il MCD tra a e b è il
numero prima di 0
• ESEMPI
11. Divisibilità per 2
un numero è divisibile per 2 se termina con
zero o una cifra pari
12. divisibilità per 3
un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue
cifre è 3 o un multiplo di 3
13. divisibilità per 4
un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre
sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4
15. divisibilità per 6
un numero è divisibile per 6 se è
contemporaneamente divisibile per 2 e per 3
16. Divisibilità per 7
un numero con più di due cifre è divisibile per 7
se la differenza del numero ottenuto escludendo
la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità
è 0, 7 o un multiplo di 7.
» per es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il
numero 9567-2*6=9555; questo è divisibile per 7
se lo è il numero 955-2*5=945; questo è divisibile
per 7 se lo è 94-2*5=84 che è divisibile per 7
dunque lo è anche il numero 95676.
ESEMPIO
17. Divisibilità per 8
un numero è divisibile per 8 se termina con tre
zeri o se è divisibile per 8 il numero formato
dalle sue ultime 3 cifre
18. divisibilità per 9
un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue
cifre è 9 o un multiplo di 9
20. divisibilità per 11
un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa
in valore assoluto), fra la somma delle cifre di
posto pari e la somma delle cifre di posto dispari,
è 0, 11 o un multiplo di 11
» per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto
(2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0
21. divisibilità per 12
un numero è divisibile per 12 se è
contemporaneamente divisibile per 3 e per 4
22. Divisibilità per 13
un numero con più di due cifre è divisibile per
13 se la somma del quadruplo della cifra delle
unità con il numero formato dalle rimanenti
cifre è 0, 13 o un multiplo di 13
» per es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il
numero 730+4*6=754; questo è divisibile per
13 in quanto 75+4*4=91 è multiplo di 13
(13*7=91)
23. divisibilità per 17
un numero con più di due cifre è divisibile per
17 se la differenza (presa in valore
assoluto), fra il numero ottenuto eliminando
la cifra delle unità e il quintuplo della cifra
delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17
» per es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il
numero 258-5*4=238; questo è divisibile per
17 se lo è il numero 23-5*8=17
24. divisibilità per 19
un numero è divisibile per 19, dopo averlo
scomposto nella forma 100a + b, solo se è divisibile
a + 4b, oppure se in esso la differenza fra le sue
cifre prima dell'ultima moltiplicate per nove e l'ultima
è uguale a 0, 19, o un multiplo di 19 (ad esempio
817 è divisibile per 19 perché lo è 81 x 9 - 7)
25. divisibilità per 20
un numero è divisibile per 20, se l'ultima cifra è
0 e la penultima è 0,2,4,6 o 8.
26. divisibilità per 23
un numero è divisibile per 23 se è divisibile per 23 la
somma della cifra delle decine e del settuplo della
cifra delle unità, oppure se in questo la differenza
fra le cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata
per 16 è uguale a 0, 23 o un multiplo di 23 (ad
esempio 1633 è divisibile per 23 perché lo è 163 -
3 x 16)
27. divisibilità per 25
un numero è divisibile per 25 se il numero formato
dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25,
50, 75
28. divisibilità per 29
un numero è divisibile per 29 se (e solo se) lo è
anche la cifra delle decine sommato al triplo della
cifra delle sue unità (261 lo è in quanto 26 + 3*1 =
29), oppure se in questo la differenza fra le sue
cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per
26 è uguale a 0, 29 o un multiplo di 29 (ad
esempio, 957 è divisibile per 29 perché lo è 95 - 7
x 26)
