Giá trị thời gian của tiền Dòng tiền đều, không đều Các bài tập về giá trị thời gian của tiền

1. Bài 5: Giá trị thời gian của tiền
1. Lãi suất và một số vấn đề liên quan đến lãi suất
2. Giá trị tương lai và hiện tại của một số tiền
3. Giá trị thời gian của dòng tiền đều
4. Giá trị thời gian của dòng tiền không đều
Nội dung

2. 1. Lãi suất và một số vấn đề liên quan đến lãi suất
Tiền có giá trị về mặt thời gian do ảnh hướng của các yếu tố sau:
Do ảnh hướng
của yếu tố lạm
phát
Do ảnh hưởng
của các yếu tố
ngẫu nhiên
Do thuộc tính
vận động và
khả năng sinh
lợi của tiền.
0 1
Đầu năm
PV=100 triệu
(giá trị hiện tại)
Cuối năm
FV = 110 triệu (giá trị tương lai)
Giá trị thời gian của tiền được biểu hiện là sự thay đổi số lượng tiền so
với khoản đầu tư ban đầu sau một thời gian nhất định – Gọi là Lãi suất.
𝐿ã𝑖 𝑠𝑢ấ𝑡 =
𝑆ố 𝑡𝑖ề𝑛 𝑙ã𝑖 𝑡ℎ𝑢 đượ𝑐
𝑉ố𝑛 đầ𝑢 𝑡ư 𝑏𝑎𝑛 đầ𝑢
𝑥 100%
Đơn vị thời gian dùng để tính lãi suất thường là một năm, có khi là 1 quý, 1 tháng.
1.1. Giá trị thời gian của tiền

3. 1. Lãi suất và một số vấn đề liên quan đến lãi suất
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền
lãi do số tiền gốc sinh ra.
SI = PV*i*n
Trong đó:
SI là lãi đơn,
PV là số tiền gốc,
i là lãi suất của kỳ hạn
n là số kỳ hạn tính lãi.
Lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số
tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Nó chính là lãi tính trên lãi, hay còn gọi là
ghép lãi (compounding) hay lãi mẹ đẻ lãi con.
Ví dụ: Bạn gửi vào ngân hàng 100 triệu, lãi suất định kỳ được trả là
13%/năm. Hỏi sau 5 năm số tiền bạn nhận được là bao nhiêu nếu:
(i) Ngân hàng trả lãi đơn, (ii) Ngân hàng trả lãi kép?
1.2. Lãi suất

4. 1. Lãi suất và một số vấn đề liên quan đến lãi suất
0 1 2 3 4 5
PV = 100 FV1 FV2 FV3 FV4 FV5
a) Ngân hàng trả lãi đơn;
Tiền lãi mà bạn nhân được sau 5 năm SI = PV.i.n = 100.13%.5 = 65
Tổng số tiền nhận được sau 5 năm = 100+SI = 165
a) Ngân hàng trả lãi kép?
Sau 5 năm bạn sẽ có số tiền là = 100*(1+13%)^5 =100*1,842 =184,2 triệu
n=1: Sau năm thứ nhất có số tiền là = FV1 = PV + i.PV = PV(1+i)
n=2: FV2 = FV1 + i.FV1 = FV1 (1+i) = PV(1+i).(1+i) = PV(1+i)2
n=3: FV3 = FV2 + i.FV2 = FV2 (1+i) = PV(1+i)2 (1+i) = PV (1+i)3
n=4: FV4 = FV3 + i.FV3 = FV3 (1+i) = PV(1+i)3 (1+i) = PV (1+i)4
n=5: FV5 = FV4 + i.FV4 = FV4 (1+i) = PV(1+i)4 (1+i) = PV (1+i)5
….
n= n: FVn = FVn-1 + i.FVn-1 = FVn-1(1+i) = PV(1+i)n-1(1+i) = PV(1+i)n
Ví dụ 1: Bạn gửi vào ngân hàng 100 triệu, lãi suất định kỳ được trả
là 13%/năm. Hỏi sau 5 năm số tiền bạn nhận được là bao nhiêu
nếu: (i) Ngân hàng trả lãi đơn, (ii) Ngân hàng trả lãi kép?

5. 2. Giá trị tương lai và hiện tại của một số tiền
Giá trị tương lai của một số tiền = giá trị của số
tiền đó ở thời điểm hiện tại + tiền lãi sinh ra từ
trong khoảng thời gian từ hiện tại tới 1 thời điểm
trong tương lai.
Giá trị tương lai của một số tiền là giá trị ở thời
điểm tương lai của số tiền đó.
Trong đó:
FV - giá trị tương lai
PV - Giá trị hiện tại
i: lãi suất
n: Số kỳ tính lãi
Ví dụ 2: Một người mua nhà trả góp, nếu trả ngay 1 lần là 800 triệu. Lãi suất trả
góp là 10%/năm. Nếu người đó muốn trả vào năm thứ tư 400 triệu đồng, số tiền
còn lại trả vào năm thứ 8 thì năm thứ 8 phải trả bao nhiêu tiền?
2.1. Giá trị tương lai của một số tiền

6. 2. Giá trị tương lai và hiện tại của một số tiền
1. Giá trị tương lai của một số tiền: FV = PV(1+i)n
FV (Future Value): giá trị tương lai
PV (Present Value): giá trị hiện tại
I (interest): Lãi suất
n (number of period): số kỳ tính lãi
Ví dụ 1: Bây giờ bạn gửi vào ngân hàng 100 triệu (PV), lãi suất mỗi năm là 10%/năm (i), sau 3 năm (n) bạn nhận được bao
nhiêu tiền?
- Sau 3 năm, bạn nhận được số tiền: FV3 = PV(1+i)n = 100(1+10%)3 = 100.1,331 = 133,1 triệu.
Ví dụ 2: Bạn có kế hoạch tiết kiệm tiền để xây nhà sau 5 năm nữa. Kế hoạch tiết kiệm của bạn như sau: đầu năm nhất gửi
ngân hàng 200 triệu, cuối năm thứ 3 gửi tiếp 300, đầu năm thứ 5 gửi 100 triệu. Lãi suất tiết kiệm 10%/năm. Hỏi cuối năm
thứ 5 bạn nhận được tất cả là bao nhiêu tiền?
Giải
Sau 5 năm, bạn sẽ có số tiền
= 200(1+10%)5 + 300(1+10%)2 + 100(1+10%) = 795,1 triệu
2. Giá trị hiện tại của một số tiền: PV = FV/(1+i)n
Ví dụ 3: Một người bán ngôi nhà trị giá 1,2 tỷ VNĐ.
Bạn muốn mua ngôi nhà đó, nhưng không đủ tiền để trả ngay.
Bạn đề nghị người bán cho trả góp, kế hoạch trả góp của bạn như sau:
Trả ngay 500 triệu, cuối năm thứ 3 trả tiếp 400 triệu, cuối năm thứ 5 trả 500 triệu. Lãi suất trả góp ổn định ở mức
10%/năm. Vậy người bán họ có chấp nhận hay không?
Giải
Khoản trả cuối năm thứ 3 tương đương trả ngay = 400/(1+10%)3 = 300,5 triệu
Khoản trả cuối năm thứ 5 tương đương trả ngay = 500/(1+10%)5 = 500.0,621 = 310,4 triệu
→ Bạn trả góp theo kế hoạch thì sẽ tương với trả ngay = 500 + 300,5 + 310,4 = 1110,9 triệu <1200 triệu. Do đó người bán
sẽ không chấp nhận.
Bạn muốn có 400 triệu (FV) vào cuối năm thứ 3 (n) thì bây giờ bạn phải gửi vào ngân hàng là bao nhiêu tiền (PV) nếu lãi
suất là 10%/năm (i)?
→ Số tiền phải gửi vào ngân hàng = 400/(1+10%)3 = 400. 0,751 = 300,5 triệu
1/(1+10%)3 = (1+10%)-3
0 3 4 5
200
300
100
1 2

7. 3. Thời giá tiền tệ của dòng tiền đều
Dòng tiền là một chuỗi các khoản thu nhập hoặc chi trả
xảy ra qua một số thời kỳ nhất định
0 1 2 3 4 n-1 n
CF1 CF2 CF3 CF4 CFn-1
CFn
…
…
Dòng tiền vào: là dòng tiền bao gồm các khoản thu nhập.
Dòng tiền ra: là dòng tiền bao gồm các khoản chi trả.
Cash Flow
Ví dụ về dòng tiền: Tiền thuê nhà trong 1 năm trả theo tháng, tiền học phí từng kỳ của cả
khóa học, tiền lương trong 1 năm, tiền điện, nước
- bạn mua bảo hiểm cho con: cứ đầu mỗi năm nộp 5 triệu đồng trong 18 năm.

8. 3. Thời giá tiền tệ của dòng tiền đều
Dòng
tiền
đều
cuối kỳ
Dòng
tiền
đều
đầu kỳ
Dòng
tiền
đều vô
hạn
Dòng tiền đều
Là dòng tiền bao gồm các khoản bằng
nhau xảy ra qua một số thời kỳ nhất
định.
Các loại dòng tiền
Dòng tiền không đều
Loại dòng tiền
Thời gian
0 1 2 3 … n-1 n …
Dòng tiền
đều cuối kỳ
100 100 100 … 100 100
Dòng tiền
đều vô hạn
100 100 100 … 100 100 100
Dòng tiền
đều đầu kỳ
100 100 100 100 … 100
Dòng tiền
không đều
-100 200 90 -300 … 450 800
Dòng tiền
tổng quát
CF0 CF1 CF2 CF3 … CFn-1 CFn …
Là dòng tiền bao gồm các khoản
không bằng nhau xảy ra qua một số
thời kỳ nhất định.

9. 3. Thời giá tiền tệ của dòng tiền đều
Ví dụ 4: Minh họa khái niệm dòng tiền đều thông thường, dòng tiền đều đầu kỳ và dòng tiền đều
vô hạn.
Bác Tư vừa nghỉ hưu và nhận được một khoản trợ cấp là 200 triệu đồng. Bác đang xem xét các
phương án đầu tư tiền để có thu nhập bổ sung cho chi tiêu hàng năm.
Phương án 1: Gửi 200 triệu đồng kỳ hạn 5 năm lãi suất 12%/năm lĩnh lãi theo định kỳ hàng
năm với kỳ lãi đầu tiên nhận ngay khi gửi tiền.
Phương án 2: Gửi 200 triệu đồng kỳ hạn 5 năm lãi suất 12,5%/năm lĩnh lãi theo định kỳ
hàng năm với kỳ lãi đầu tiên nhận một năm sau khi gửi tiền.
Phương án 3: Thay vì gửi tiền ngân hàng, bác Tư mua cổ phiếu ưu đãi của một công ty cổ
phần và hàng năm hưởng cổ tức cố định là 12%.
Lời giải:
Với phương án 1, thu nhập lãi của bác Tư là một dòng tiền đều đầu kỳ bao gồm 5 khoản
mỗi khoản có giá trị là 24 triệu đồng (200 x 12% = 24 triệu đồng).
Với phương án 2, thu nhập lãi của bác Tư là một dòng tiền đều cuối kỳ bao gồm 5 khoản
mỗi khoản có giá trị 25 triệu đồng (200 x 12,5% = 25 triệu đồng).
Với phương án 3, thu nhập lãi của bác Tư là một dòng tiền đều vô hạn bao gồm các khoản
tiền 24 triệu đồng (200 x 12% = 24 triệu đồng) nhận được hàng năm mãi mãi (Giả định rằng
hoạt động công ty tồn tại mãi mãi và hàng năm công ty đều có lợi nhuận để trả cổ tức ưu đãi cho
bác Tư).

10. 3. Thời giá tiền tệ của dòng tiền đều
3.1. Giá trị tương lai của dòng tiền đều
Giá trị tương lai của dòng tiền đều chính là tổng giá trị tương lai của từng khoản
tiền C xảy ra ở từng thời điểm khác nhau quy về cùng một mốc tương lai là
thời điểm n.
Số tiền Thời điểm T Giá trị tương lai ở thời điểm n
C T = 1 FVn = C(1+i)n-1
C T = 2 FVn = C(1+i)n-2
C T = 3 FVn = C(1+i)n-3
… … …
C T = n - 1 FVn = C(1+i)n-(n-1)
C T = n FVn = C(1+i)n-n = C(1+i)0
Dòng tiền có khoản tiền xảy ra ở cuối kỳ: 𝐹𝑉𝑛 = 𝐶.
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖
Dòng tiền có khoản tiền xảy ra ở đầu kỳ: 𝐹𝑉𝑛 = 𝐶.
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖
. 1 + 𝑖
0 1 2 3 4 n-1 n
C C C C C
…
… C

11. 3. Thời giá tiền tệ của dòng tiền đều
3.1. Giá trị tương lai của dòng tiền đều
Ví dụ 5: Ông A muốn để dành tiền cho con đi học đại học. Ngay từ lúc con mới
sinh, ông dự định mua bảo hiểm nhân thọ của công ty bảo hiểm PRUDENTIAL
với mức đóng phí đều đặn ở đầu mỗi năm là 7 triệu, lãi suất ổn định ở mức
8%/năm. Hỏi khi con ông tròn 18 tuổi, hợp đồng bảo hiểm kết thúc thì số tiền ông
A sẽ được thanh toán là bao nhiêu?
0 1 2 3 4 17 18
7 7 7 7 7 7
…
…
Số tiền ông A nhận được
= (1+8%).7.[(1+8%)18 -1]/8% = (1+8%)* 7*37,450 = 283 triệu
…..
Số tiền ông
A nhận được
Dòng tiền có khoản tiền xảy ra ở đầu kỳ: 𝐹𝑉𝑛 = 1 + 𝑖 . 𝐶.
(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏
𝒊

12. 3. Thời giá tiền tệ của dòng tiền đều
3.2. Giá trị hiện tại của dòng tiền đều
Hiện giá của dòng tiền đều bằng tổng hiện giá của từng khoản tiền ở
từng thời điểm khác nhau.
Số tiền Thời điểm T Giá trị hiện tại
C T = 1 PV0 = C/(1+i)1
C T = 2 PV0 = C/(1+i)2
C T = 3 PV0 = C/(1+i)3
… … …
C T = n - 1 PV0 = C/(1+i)n-1
C T = n PV0 = C/(1+i)n
𝐷ò𝑛𝑔 𝑡𝑖ề𝑛 𝑐ó 𝑐á𝑐 𝑘ℎ𝑜ả𝑛 𝑡𝑖ề𝑛 𝐶 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 ở 𝐶𝑈Ố𝐼 𝐾Ỳ: 𝑃𝑉
𝑛 = 𝐶.
𝟏 −
𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏
𝒊
𝐷ò𝑛𝑔 𝑡𝑖ề𝑛 𝑐ó 𝑐á𝑐 𝑘ℎ𝑜ả𝑛 𝑡𝑖ề𝑛 𝐶 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 ở ĐẦ𝑈 𝐾Ỳ: 𝑃𝑉
𝑛 = 𝐶. (1 + 𝑖)
1 −
1
(1 + 𝑖)𝑛
𝑖

13. 3. Thời giá tiền tệ của dòng tiền đều
3.2. Giá trị hiện tại của dòng tiền đều
Ví dụ 6: Giả sử hàng cuối mỗi tháng bạn đều trích thu nhập của mình
gửi vào tài khoản định kỳ ở ngân hàng một số tiền là 2 triệu đồng. Bạn
bắt đầu gửi khoản đầu tiên vào thời điểm một tháng sau kể từ bây
giờ. Hỏi toàn bộ số tiền bạn gửi sau một năm đáng giá bao nhiêu ở
thời điểm hiện tại nếu lãi suất chiết khấu là 1%/tháng.
Lời giải:
Số tiền gửi 2 triệu đồng bạn góp đều đặn hàng cuối mỗi tháng hình
thành nên dòng tiền đều. Toàn bộ số tiền bạn góp sau một năm bao
gồm 12 khoản tiền gửi mỗi khoản 2 triệu đồng. Với suất chiết khấu là
1%, sử dụng công thức 𝑃𝑉
𝑛 = 𝐶.
1−
1
(1+𝑖)𝑛
𝑖
, bạn có giá trị hiện tại của
dòng tiền này xác định như sau: PV = C[1 – 1/(1+i)n]/i = 2[1 –
1/(1+0,01)12]/0,01 = 22,51 triệu đồng.

14. 2. Giá trị tương lai và hiện tại của một số tiền
4. Một người định mua một căn nhà với giá nếu trả ngay một lần là 800 triệu đồng. Cho i =
10%/năm.
a) Nếu người đó muốn trả ngay 300 triệu đồng, số tiền còn lại sẽ trả đều trong tám năm thì mỗi
năm cần trả bao nhiêu tiền?
Người mua còn phải trả ngay
= 800 -300 = 500 triệu
PV = 500, dòng tiền đều 8 năm
mỗi năm là C, n =8 năm, i =10%/năm
Trả đều trong 8 năm, thì mỗi năm phải trả số tiền là:
C = PV/
1−
1
(1+𝑖)𝑛
𝑖
= 500/
1−
1
(1+10%)8
10%
= 500/5,335 = 93,7 triệu
b) Nếu người đó muốn trả ngay 300 triệu đồng và trả vào năm thứ tám 500 triệu
đồng, số tiền còn lại sẽ trả đều trong bảy năm thì mỗi năm phải trả bao nhiêu tiền?
Khoản trả 500 triệu vào năm thứ 8 tương đương trả ngay = 500/(1+10%)8 = 233,2
triệu
→ Người mua còn phải trả số tiền là = 800 - 300 - 233,2 =266,8 triệu
Số tiền 266,8 triệu được trả đều trong 7 năm thì mỗi năm phải trả = 266,8/
1−
1
(1+10%)7
10%
= 266,8/4,868 = 54,8 triệu
0 1 2 3 7
300 C C C
…
… C
𝑃𝑉
𝑛 = 𝐶.
1 −
1
(1 + 𝑖)𝑛
𝑖

15. 4. Thời giá tiền tệ của dòng tiền KHÔNG đều
4.1. Giá trị tương lai của dòng tiền không đều
Số tiền Thời điểm T Giá trị tương lai ở thời điểm n
C1 T = 1 FV1 = C1(1+i)n-1
C2 T = 2 FV2 = C2(1+i)n-2
C3 T = 3 FV3 = C3(1+i)n-3
… … …
Cn-1 T = n - 1 FVn-1 = Cn-1 (1+i)n-(n-1)
Cn T = n FVn = Cn(1+i)n-n = Cn(1+i)0
FVn = C1(1+i)n-1 + C2(1+i)n-2 + C3(1+i)n-3 +…+ Cn-1(1+i)1 + Cn

16. 4. Thời giá tiền tệ của dòng tiền KHÔNG đều
4.2. Giá trị hiện tại của dòng tiền không đều
Số tiền Thời điểm T Giá trị hiện tại
C1 T = 1 PV0 = C1/(1+i)1
C2 T = 2 PV0 = C2/(1+i)2
C3 T = 3 PV0 = C3/(1+i)3
… … …
Cn-1 T = n - 1 PV0 = Cn-1/(1+i)n-1
Cn T = n PV0 = Cn/(1+i)n
PV0 = C1/(1+i)1 + C2/(1+i)2 + C3/(1+i)3 +…+ Cn-1/(1+i)n-1 + Cn/(1+i)n