Dokumen tersebut membahas tentang ukuran dispersi dalam statistika deskriptif. Terdapat beberapa ukuran dispersi yang dijelaskan seperti range, deviasi standar, varians, dan koefisien-koefisien penyebaran seperti koefisien range, deviasi rata-rata, dan deviasi standar. Dokumen ini juga membedakan penggunaan ukuran dispersi untuk data yang belum dikelompokkan dan sudah dikelompokkan.

1. Probabilitas dan Statistika
Deskriptif
Ukuran Dispersi
Range, Standar Deviasi
Oleh: Chaerul Anwar, MTI

3. Objective
• Mahasiswa mampu menjelaskan ukuran dispersi,
penggunaaan ukuran dispersi dalam statistika
• Mampu menggunakan bagian dari ukuran dispersi
seperti :
▫ Range
▫ Deviasi
▫ Rata – rata
▫ Varian
▫ Deviasi standar
▫ Range inter-kuartil
▫ Deviasi kuartil

4. Pendahuluan
• Ukuran penyebaran
▫ Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk
mengetahui seberapa besar penyimpangan data
dengan nilai rata – rata hitungnya
• Ukuran penyebaran mencakup data
▫ Ungrouped data
 Data yang belum dikelompokan
▫ Grouped data
 Data yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi frekuensi

5. Ukuran Dispersi
• Ukuran dispersi adalah ukuran variasi atau
seberapa jauh nilai tersebar satu dengan lainnya
dari gugus data.
• Aplikasi ukuran dispersi yang sering digunakan
adalah standar deviasi.
• Ukuran dispersi biasanya digunakan bersamaan
dengan tendensi sentral untuk mempelajari
distribusi data.

6. Ukuran Dispersi
• Range (Jangkauan Data) – interval terkecil yang
memuat semua data. Didapat dengan mencari
selisih nilai maksimum dengan nilai minimum.
• Standar deviasi – menunjukkan seberapa jauh
deviasi data pada suatu gugus dari nilai tengahnya.
• Varians – menunjukkan seberapa jauh
penyebaran satu nilai dengan nilai yang lain pada
gugus data.
• Kuartil & Jangkauan antar kuartil –
memecahkan data menjadi empat bagian yang rata.

7. Ukuran Dispersi
• Rentang
• Kuartil
• Jangkauan Antar Kuartil
• Persentil
• Jumlah & Interval Kelompok
• Standar Deviasi

8. Ukuran Penyebaran Untuk Data Tidak
Dikelompokan
• Range – Jarak
▫ Merupakan perbedaan antara nilai terbesar
dan terkecil dalam suatu kelompok data baik
data populasi atau sampel
• Rumusan Range
Range = Nilai terbesar – nilai terkecil
Perusahaan Harga Saham
Sentul City 530
Tunas Baru 580
proteinprima 650
total 750
Mandiri 840
Range
= 840 – 530
= 310

9. Rentang
• Merupakan ukuran dispersi yg merupakan
selisih nilai maksimum dan minimum.
Rentang = data terbesar – data terkecil
69
26
-
95
R 


10. Deviasi Rata – rata Populasi
• Rata – rata hitung dari nilai mutlak deviasi
antara nilai data pengamatan dengan rata-rata
hitungnya
• Rumusan Deviasi rata –rata ( MD)
∑|x - x|
MD =
N
X = Nilai data pengamatan
X = Rata – rata hitung
N = Jumlah data

11. Contoh Deviasi Rata - Rata
Perusahaan Indek x - X Nilai Mutlak
Sentul City 7.5 1.14 1.14
Tunas Baru 8.2 1.84 1.84
proteinprima 7.8 1.44 1.44
total 4.8 -1.56 1.56
Mandiri 3.5 -2.86 2.86
Total 31.8 8.84
Rata -rata (X) 6.36 MD 1.768
MD =
= ∑|x - x| / n
= 8.84 / 5
= 1.768

12. Varians dan Standar Deviasi Populasi
• Varians
▫ Rata – rata hitung deviasi kuadrat setiap data
terhadap rata – rata hitungnya
• Rumus varians populasi
(X - µ )2
 2=
N X = Nilai data pengamatan
µ = Nilai rata – rata hitung
N = Jumlah total data

13. Contoh Kasus Varians
Perusahaan Indek X - µ (X - µ)²
Sentul City 7.5 1.14 1.2996
Tunas Baru 8.2 1.84 3.3856
proteinprima 7.8 1.44 2.0736
total 4.8 -1.56 2.4336
Mandiri 3.5 -2.86 8.1796
Jumlah ( ∑X ) 31.8 ∑(X - µ)² 17.372
Rata - rata (µ) 6.36 ² 3.4744
(X - µ )2 17.372
 2 = = = 3.4744
N 5

14. • Standar deviasi
▫ Akar kuadrat dari varians dan menunjukan
standar penyimpangan data terhadap nilai
rata-ratanya
• Rumus standar deviasi
Standar Deviasi
(X - µ )2
 = 
N
atau  =  ²

15. Contoh Kasus Standar Deviasi
(X - µ )2 17.372
 2 = = = 3.4744
N 5
Nilai varians :
Nilai standar deviasi :
 =  3.4744 = 1.864
Nilai penyimpangan sebesar 1.864

16. Varians dan Standar Deviasi Sampel
• Varians
• Standar deviasi
(x - x )2
s 2=
n -1
S =  s²

17. Contoh Kasus Sampel
No Perusahaan
Harga
saham x - X (x - X)²
1 Jababeka 215 -358 128164
2 Indofarma 290 -283 80089
3 Budi Acid 310 -263 69169
4 Kimia farma 365 -208 43264
5 Sentul City 530 -43 1849
6 Tunas Baru 580 7 49
7 proteinprima 650 77 5929
8 total 750 177 31329
9 Mandiri 840 267 71289
10 Panin 1200 627 393129
Jumlah 5730 824260
Rata - Rata (X) 573 s² 91584.44
S 302.63
Varians :
∑(x – X)²
s² =
n – 1
s² = 824260 / 9
s² = 91584.44
Standar deviasi :
S =  s²
S =  91584.44
S = 302.63

18. Contoh Kasus Sampel
No Perusahaan
Harga
saham x - X (x - X)²
1 Jababeka 215
2 Indofarma 290
3 Budi Acid 310
4 Kimia farma 365
5 Sentul City 530
6 Tunas Baru 580
7 proteinprima 650
8 total 750
9 Mandiri 840
10 Panin 1200
Jumlah
Rata - Rata (X) s²
S
Varians :
∑(x – X)²
s² =
n – 1
s² =
s² =
Standar deviasi :
S =  s²
S = 
S =

19. Ukuran Penyebaran Untuk Data
dikelompokan
• Range – Jarak
▫ Merupakan selisih antara batas atas dari
kelas tertinggi dengan batas bawah dari
kelas terendah
• Rumusan Range
Range = Batas atas kelas tertinggi –
nilai terkecil

20. Kelas
1 215 2122
2 2123 4030
3 4031 5938
4 5939 7846
5 7847 9754
Interval
Contoh Range
Batas atas
Kelas terendah
Batas atas
Kelas tertinggi
Range :
= 9754 – 215
= 9539

21. Deviasi Rata - Rata
• Rumus deviasi rata - rata
 f. |x - x|
MD =
n
Rata – rata hitung data dikelompokan
x = ( f.x ) / n

22. Contoh Kasus
Kelas
Interval
Kelas f
Titik tengah
(x) f.x |x - X| f.|x - X|
1 16 24 10 20
2 25 33 18 29
3 34 42 14 38
4 43 51 4 47
5 52 60 2 56
6 61 69 2 65
Total 50
Rata - rata
(X)
MD = (∑f.|x - X|) / n = ..... /..... = .....

23. Contoh Kasus
Kelas
Interval
Kelas f
Titik tengah
(x) f.x |x - X| f.|x - X|
1 16 24 10 20 200 13.68 136.8
2 25 33 18 29 522 4.68 84.24
3 34 42 14 38 532 4.32 60.48
4 43 51 4 47 188 13.32 53.28
5 52 60 2 56 112 22.32 44.64
6 61 69 2 65 130 31.32 62.64
Total 50 1684 89.64 442.08
Rata - rata
(X) 33.68
MD = (∑f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416

24. Varians dan Standar Deviasi data di
kelompokan
• Varians
• Standar deviasi
f. (x - x )2
s 2=
n -1
S =  s²

25. Contoh Kasus
Kelas Interval Kelas f
Titik tengah
(x) f.x |x - X| |x - X|² f.|x - X|²
1 16 24 10 20 200 13.68 187.1424 1871.424
2 25 33 18 29 522 4.68 21.9024 394.2432
3 34 42 14 38 532 4.32 18.6624 261.2736
4 43 51 4 47 188 13.32 177.4224 709.6896
5 52 60 2 56 112 22.32 498.1824 996.3648
6 61 69 2 65 130 31.32 980.9424 1961.885
Total 50 255 1684 89.64 1884.254 6194.88
Rata - rata (X) 33.68
Varians :
s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1
= 6194.88 / 49
= 126.4261
Standar deviasi :
S =  s²
=  126.4261
= 11.2439

26. Ukuran Penyebaran Relatif
• Mengubah ukuran penyebaran menjadi
persentase atau ukuran relatif
• Penggunaan ukuran relatif memberikan manfaat
:
▫ Data mempunyai satuan penguikuran yang
berbeda
▫ Data mempunyai satuan ukuran yang sama

27. Ukuran Penyebaran Relatif
• Koefisien range
• Koefisien deviasi rata-rata
• Koefisien deviasi standar

28. Koefisien Range
• Pengukuran penyebaran dengan
menggunakan range secara relatif
• Rumusan :
KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 %
La : Batas atas data atau kelas tertinggi
Lb : Batas bawah data atau kelas terendah

29. Contoh Koefisien Range
Kelas
Interval
Kelas f
1 16 24 10
2 25 33 18
3 34 42 14
4 43 51 4
5 52 60 2
6 61 69 2
La : Kelas tertinggi = 69
Lb : Kelas terendah = 16
KR :
= (La – Lb) / (La + Lb)
= (69 – 16 ) / (69 + 16)
= 53 / 85
= 0.6235 x 100 %
= 62.35 %

30. Koefisien Deviasi Rata - Rata
• Koefisien deviasi rata – rata
▫ Ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi
rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau
persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai
rata-ratanya
• Rumus :
KMD = [ MD / x ] x 100%
MD = Deviasi rata - rata
X = Nilai rata – rata data

31. Contoh Kasus
• Data dikelompokan :
▫ MD = 8.8416
▫ X = 33.68
Koefisien deviasi rata – rata :
KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 %
= 0.2625 x 100 %
= 26.25 %

32. Koefisien Standar Deviasi
• Koefisien standar deviasi
▫ Ukuran penyebaran yang menggunakan standar
deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang
dinyatakan sebagai persentase
• Rumus
KSD = [ s / x ] x 100 %
S = Standar deviasi
X = Nilai rata – rata data

33. Contoh Kasus
• Data dikelompokan
▫ Standar deviasi = 11.2439
▫ Rata – Rata hitung (x) = 33.68
▫ Nilai koefisien stnadar deviasi
KSD = [ s / x ] x 100 %
= [ 11.2439 / 33.68 ] x 100%
= 0.3338 x 100 %
= 33.38 %

34. Ukuran Kecondongan - Skewness
• Ukuran kecondongan – kemencengan
▫ Kurva tidak simetris
• Pada kurva distribusi frekuensi diketahui dari
posisi modus, rata-rata dan media
• Pendekatan : Jika
▫ Rata-rata = median = modus : Simetris
▫ Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri
▫ Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan

35. Koefisien Skewness
• Sk = [µ - Mo ] /  atau = 3.[µ - Md] / 
µ = Nilai rata – rata hitung
Mo = Nilai modus
Md = Nilai median
 = Standar deviasi
Contoh kasus data dikelompokan
µ = 33.68
Mo = 18
Md = 32
 = 11.2439
Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439
Sk = 15.68 / 11.2439
Sk = 1.394
Sk = {3. [ 33.68 – 32]}
11.2439
Sk = 5.04 / 11.2439
Sk = 0.4482

36. Ukuran Keruncingan - Kurtosis
• Keruncingan disebut juga ketinggian kurva
• Pada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga
bagian :
▫ Leptokurtis = Sangat runcing
▫ Mesokurtis = Keruncingan sedang
▫ Platykurtis = Kurva datar

37. Koefisien Kurtosis
• Bentuk kurva keruncingan – kurtosis
▫ Mesokurtik 4 = 3
▫ Leptokurtik 4 > 3
▫ Platikurtik 4 < 3
• Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan)
4 =
1/n ∑(x - )4
4
Nilai data

38. Koefisien Kurtosis
• Koefisien kurtosis (data dikelompokan)
4 =
1/n ∑ f. (X - )4
4
Nilai rata – rata hitung
Standar deviasi
Nilai tengah kelas
Jumlah Frekuensi

39. Rata – Rata Geometrik
• Digunakan untuk menghitung rata-rata laju
pertumbuhan – Growth rate
• Rumus :
G = n (x1 . x2 . x3 . … xn )
G = [log x1 + log x2 +… log xn]
n
G = Antilog (log G)

40. Contoh
• Data pertumbuhan suku bunga selama 5 hari,
yaitu 1.5, 2.3, 3.4, 1.2, 2.5 %
• Tingkat pertumbuhan :
G = [log 1.5 + log 2.3 +log 3.4 +
log 1.2 + log 2.5 ] / 5
G = [ 0.176 + 0.361 + 0.531 + 0.079
+ 0.397] / 5
G = 1.5464 / 5 = 0.30928
G = antilog 0.30928 = 2.03

41. Ukuran Penyebaran Lain
• Range Inter-Kuartil
▫ Jarak inter-kuartil = K3 – K1
• Jika :
▫ Inter-kuartil : Nilainya lebih kecil ; Bahwa data
dalam sampel dan populasi lebih mengelompok ke
nilai rata-rata hitung (seragam)
▫ Inter-kuartil : lebih besar ; Kurang seragam

42. Ukuran Penyebaran Lain
• Deviasi Kuartil
▫ Setengah jarak antara kuartil ke 3 dan kuartil ke 1
• Rumusan Deviasi kuartil – DK
DK = [ K3 – K1 ] / 2
• Jika
▫ DK lebih kecil ; Rata – rata data lebih mewakili
keseluruhan data

43. Ukuran Penyebaran Lain
• Jarak persentil
▫ Selisih antara persentil ke 90 dengan persentil ke
10
• Rumusan jarak persentil - JP
JP = P90 – P10
• Jika JP lebih besar
▫ Bahwa nilai deviasi lebih besar

44. Kuartil

45. Jangkauan Antar Kuartil
• Jangkuan Quartil Merupakan selisih antara q1 dan q3 yang
merupakan jarak dari seluruh distribusi Quartil
Jangkuan Quartil
Qr= Q3 – Q1
Deviasi Quartil merupakan simpangan dari data dari antara Q3 dan
Q1
Deviasi Kuartil
• Qd = ½ (Q3 – Q1)

46. Latihan
• Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan
kuartil dari data berikut.
20 35 50 45 30 30 25 40 45
30 35
• Tentukan Q1,Q3, median (Q2), range kuartil
,dan simpangan kuartil dari data berikut.
57 49 30 46 59 43 42 47 40
45 44 56

47. Persentil

48. Jumlah & Interval Kelompok
• Menentukan banyaknya kelompok
• Menentukan Interval Kelompok
n
m log
3
,
3
1

5
4,8811
15
log
3
,
3
1 



m m
R
i /

14
8
,
13
5
/
69
69
26
-
95
R
Xmin
-
Xmax
R






i
Data diatas memiliki 5
kelompok dengan interval
14

49. Koefisien Variasi
• Untuk membandingkan 2 kelompok dengan
variabel yang sama tetapi nilai yang berbeda.
%
100
)
/
( x
X
SD
KV 

50. Resource
• Walpole, Ronald E., Myers, Raymond H. 2003.
Ilmu Peluang dan Statistik untuk Insinyur dan
Ilmuwan, Edisi 6. Bandung: Penerbit ITB.

51. Terima Kasih