Επαναληπτικό Διαγώνισμα στις Ταλαντώσεις και τις κρούσεις με κάποιες εισγωγικές έννοιες του κεφαλάιου της μηχανικής στερού σώματος (στροφική κίνηση) και των αρμονικών κυμάτων. Καλή επιτυχία!

1. Επαναληπτικό Διαγώνισμα
4 Δεκεμβρίου 2016
Θέμα 1
1. Να διατυπώσετε την Αρχή διατήρησης της ορμής
2. Να αποδείξετε πλήρως ότι σε μία κεντρική μετωπική και ελαστική κρούση
δύο σωμάτων με ίδιες μάζες τα σώματα ανταλάσσουν ταχύτητες μετά την
κρούση.
3. Σε μία εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση:
(αʹ) Η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής ΣF = −Dx.
(βʹ) Το σύστημα εκτελεί ταλάντωση με πλάτος σαν να μην ασκούνταν
πάνω του αποσβέσεις.
(γʹ) Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα.
(δʹ) Η συνολική ενέργεια διατηρείται σταθερή σε όλη τη διάρκεια της
ταλάντωσης,
ΠοιαΠοιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές·
4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμέ-
νες:
(αʹ) Αν σε ένα σώμα ασκείται μία δύναμη F = 0 τότε και η ροπή της
είναι μη μηδενική.
(βʹ) Τα διαμήκη κύματα διαδίδονται μόνο σε στερεά ελαστικά μέσα.
(γʹ) Κανένα κύμα δεν διαδίδεται στο κενό.
(δʹ) Ο ήχος είναι διαμήκες κύμα.
(εʹ) Η Αρχή Διατήρησης της Ορμής δεν ισχύει στις κρούσεις στον μι-
κρόκοσμο.
Θέμα 2
1. Δύο δίσκοι ακτίνων R1 = 3R2 και R2 εκτελούν επιταχυνόμενη κυκλική
κίνηση ξεκινώντας από την ηρεμία την ίδια χρονική στιγμή με επιταχύνσεις
αγ1 και αγ2 = 2αγ1 . Να βρείτε τον λόγο v1
v2
των επιτρόχιων ταχυτήτων
δύο σημείων της περιφέρειας των δύο δίσκων μετά από χρόνο t.
1

2. 2. Μία πηγή παραγωγής κυμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξί-
σωση y = Aηµ(ωt). Να δείξετε ότι ένα σημείο του (γραμμικού) ελαστι-
κού μέσου που απέχει απόσταση x από την πηγή εκτελεί ταλάντωση με
εξίσωση y = Aηµ2π t
T − x
λ , αν γνωρίζετε ότι το κύμα διαδίδεται προς
την θετική κατεύθυνση.
3. Τρία ίδια ελατήρια σταθεράς K δένονται σε ένα σώμα μάζας m όπως φαί-
νεται στο σχήμα. Τα ελατήρια έχουν το άλλο τους άκρο ακλόνητα στερε-
ωμένο και σχηματίζουν, ανά δύο διαδοχικά, μεταξύ τους γωνία φ = 120◦.
Αν εκτρέψουμε το σώμα προς μία τυχαία κατεύθυνση κατά d, τότε να δεί-
ξεται ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση της οποίας να
βρείτε την περίοδό της.
Θέμα 3
Μία πηγή παραγωγής αρμονικών κυμάτων τη χρονική στιγμή t0 = 0 ξεκινά
να ταλαντώνεται με εξίσωση ταλάντωσης y = 0, 3ηµ(10πt) S.I. δημιουργώντας
εγκάρσια κύματα που διαδίδονται πάνω σε μία μεταλλική χορδή με ταχύτητα
διάδοσης v = 10m
s προς τα θετικά.
1. Να βρείτε την εξίσωση του κύματος.
2. Να βρείτε σε πόση απόσταση από την πηγή θα έχει διαδοθεί το κύμα τις
χρονικές στιγμές t1 = 0, 5s, t2 = 0, 6s και t3 = 1s.
3. Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του κύματος για τις χρονικές στιγμές t1
και t2.
4. Αν τη χρονική στιγμή t2 η πηγή σταματήσει να ταλαντώνεται, να σχεδιά-
σετε το στιγμιότυπο του κύματος για τη χρονική στιγμή t3.
2

3. Θέμα 4
Δύο σημειακά σώματα με μάζες m1 = 1kg και m2 = 2kg είναι τοποθετημένα
στα ελεύθερα άκρα οριζόντιων ελατηρίων σταθερών K1 = 100N
m και K =
200N
m αντίστοιχα, των οποίων τα άλλα άκρα είναι ακλόνητα στερεωμένα, όπως
φαίνεται στο σχήμα, με το m1 να είναι δεμένο στο ελατήριόπ του και m2 απλά
να ακουμπά.
Τα δύο ελατήρια βρίσκονται αρχικά στις θέσεις φυσικού μήκους τους και
τα σώματα απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 0, 6m. Εκτρέπουμε το σώμα
m1 από την αρχική του θέση κατά d1 = 0, 4m προς τα θετικά και τη χρονική
στιγμή t0 = 0s το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Αν το δάπεδο είναι λείο:
1. Να δείξετε ότι το σώμα m1 θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και
να βρείτε την περίοδό της.
2. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία το σώμα m1 θα περάσει
από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά.
3. Τη χρονική στιγμή t1 εκτοξεύουμε από τη θέση ισορροπίας του προς τα
θετικά το σώμα m2 με ταχύτητα v2 = 24
π
m
s . Να βρείτε την εξίσωση της
ταλάντωσης του σώματος m2.
4. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t2 κατά την οποία το σώμα m2 θα χάσει επα-
φή με το ελατήριό του. Για εκείνη τη στιγμή, να βρείτε την απομάκρυνση
του σώματος m1.
5. Να δείξετε ότι τη χρονική στιγμή t3 κατά την οποία το σώμα m1 θα έχει
τριπλάσια κινητική ενέργεια από τη δυναμική του ενέργεια λόγω ταλάντω-
σης για τέταρτη φορά τα δύο σώματα θα συγκρουστούν.
6. Αν η κρούση είναι πλαστική, να βρείτε την εξίσωση ταλάντωσης του
συσσωματώματος που θα προκύψει.
Δίνονται: g = 10m
s2 , π2 = 10
3