I triangoli e i tre criteri di congruenza, se volete assistere alla mia video lezione sull'argomento cliccate al seguente link che vi indirizzerà al mio Canale Youtube: https://www.youtube.com/channel/UCcvAzaWEqlGvLpiAYya8f8g?view_as=subscriber

1. 2. I TRIANGOLI
A cura del prof. Marco Fumo
1

2. 2
IL TRIANGOLO
Il triangolo è l’insieme dei punti interni ad una
spezzata chiusa costituita da tre segmenti e dai
punti appartenenti ai tre segmenti.
A
B
C
Lato c
Latob
Lato a
Vertice
Vertice
Vertice
Angolo α
Angolo β
Angolo γ
Definizione
Prof. Marco Fumo

3. 3
CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI
Triangolo
Scaleno Triangolo
Isoscele
Triangolo
Equilatero
Lati diversi l’uno dall’altro Due lati congruenti Tre lati congruenti
Prof. Marco Fumo

4. 4
CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI ANGOLI
Triangolo
Acutangolo
Triangolo
Ottusangolo
Tre angoli acuti Un angolo ottuso Un angolo retto
Triangolo
Rettangolo
Cateto 1
Cateto2
ipotenusa
90
°
Prof. Marco Fumo

5. 5
RETTE PERPENDICOLARI
Due rette si dicono perpendicolari quando, intersecandosi, formano
quattro angoli congruenti, ciascuno dei quali è detto angolo retto.
Definizione
Prof. Marco Fumo

6. 6
RETTA PERPENDICOLARE
Per un qualunque punto P del piano è possibile tracciare una e una sola
retta perpendicolare ad una retta assegnata.
Teorema
r
P
H
Prof. Marco Fumo

7. 7
ASSE
A BM
Definizione
L’asse di un segmento AB è la retta perpendicolare al segmento AB
passante per il suo punto medio.
Prof. Marco Fumo

8. 8
CIRCOCENTRO
A
B
C
M
K
N
I
Definizione
Il circocentro di un triangolo è il punto di incontro dei tre assi.
Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
(circonferenza passante per i tre vertici).
Prof. Marco Fumo

9. 9
ALTEZZA
Definizione
L’altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento di
perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto.
A
B
C
H
Prof. Marco Fumo

10. 10
ALTEZZA
Definizione
L’ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre altezze.
A
B
C
H
K
N
O
Prof. Marco Fumo

11. 11
ALTEZZA
Definizione
La mediana relativa a un lato di un triangolo è il segmento che ha per
estremi un vertice e il punto medio del lato opposto.
A
B
C
M
Prof. Marco Fumo

12. 12
ALTEZZA
Definizione
Il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre mediane.
A
B
C
M
K
N I
Prof. Marco Fumo

13. 13
ALTEZZA
Definizione
L’incentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre bisettrici
L’incentro è il centro di una circonferenza inscritta al triangolo.
A
B
C
M
K
N I
Prof. Marco Fumo

14. 14
ISOMETRIA
Definizione
FI
Due figure F e FI si dicono congruenti o isometriche
se esiste un movimento rigido che porta la figura F a
coincidere punto per punto con la figura FI.
FF
In simboli si scrive: F ≅ FI.
Prof. Marco Fumo

15. 15
ISOMETRIA
Definizione
Due triangoli T e TI si dicono congruenti o isometrici se esiste
una isometria che associ ordinatamente ai vertici del primo
triangolo i vertici del secondo e di conseguenza, ai lati del
primo triangolo i lati del secondo e agli angoli del primo
triangolo gli angoli del secondo.
Pertanto due triangoli T e TI sono congruenti se hanno i tre
angoli e i tre lati corrispondenti congruenti.
B
A
C
A’
B’
C’
Prof. Marco Fumo
T
T1

16. 16
III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente
congruenti due lati e l’angolo compreso.
⇒
1. AB ≅ A’B’
2. AC ≅ A’C’
3. A ≅ A’
ABC ≅ A’B’C’
Dimostrazione
B
A
C
A’
B’
C’
Per l’ipotesi 3: A ≅ A’ , è possibile trasportare, con un movimento rigido, l’angolo A sull’angolo
A’, in modo che la semiretta AC si sovrapponga alla semiretta A’C’ e la semiretta AB si
sovrapponga alla semiretta A’B’.
Per l’ipotesi 1: AB ≅ A’B’ , B andrà a sovrapporsi a B’.
Per l’ipotesi 2: AC ≅ A’C’ , C andrà a sovrapporsi a C’.
I tre vertici dei due triangoli si sovrappongono, pertanto si può concludere che i triangoli sono
congruenti.
A≡
B≡
C≡
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T T1

17. 17
III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente
congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti.
⇒
1. AB ≅ A’B’
2. A ≅ A’
3. B ≅ B’
ABC ≅ A’B’C’
Dimostrazione per assurdo
B
A
C
A’
B’
C’
Supponiamo, per assurdo, che i due triangoli non siano congruenti: allora si avrà che:
AC > A’C’ o AC < A’C’.
Consideriamo, pertanto, il caso AC > A’C’ (si ragiona analogamente per l’altro caso).
Ciò vuol dire che esiste un punto P, interno al lato AC, tale che AP ≅ A’C’.
I due triangoli ABP e A’B’C’, per il 1° C.C.T., sono congruenti. Segue che gli angoli ABP ≅ B’.
P
Ma per ipotesi gli angoli B ≅ B’. Quindi per la p. transitiva si ha che gli angoli ABP ≅ B.
Si conclude pertanto che AC ≅ A’C’.
Pertanto, per il 1° C.C.T., i due
triangoli sono congruenti.
Ma ciò è un ASSURDO perché, essendo P interno ad AC, l’angolo ABP < B.
Prof. Marco Fumo
T
T1

18. 18
TRIANGOLO ISOSCELE
Per il I° criterio di congruenza, i due triangoli e
sono congruenti.
∧∧
≅ BCHACH
⇒
Δ
ACH
Se un triangolo ha
due lati congruenti
Il triangolo ha due
angoli congruenti
A B
C
H
Per ipotesi si ha AC ≅ BC
Tracciando la bisettrice dell’angolo C si ha:
Pertanto si ha la tesi, cioè: .
∧∧
≅ BA
Δ
BCH
Dimostrazione
Teorema
Prof. Marco Fumo
Ipotesi Tesi

19. 19
TRIANGOLO ISOSCELE
Teorema
Per il I° criterio di congruenza, i due triangoli e
sono congruenti.
∧∧
≅ BCHACH
⇒
Δ
ACH
Se un triangolo è
isoscele
La bisettrice dell’angolo compreso
fra i due lati congruenti passa per
il punto medio del lato opposto
A B
C
H
Per ipotesi si ha AC ≅ BC
Tracciando la bisettrice dell’angolo C si ha:
Pertanto si ha la tesi, cioè: AH ≅ BH .
Δ
BCH
Dimostrazione
Prof. Marco Fumo
T T1

20. 20
TRIANGOLO ISOSCELE
Teorema
Per il I° criterio di congruenza, i due triangoli e
sono congruenti.
∧∧
≅ BCHACH
⇒
Δ
ACH
Se un triangolo è
isoscele
La bisettrice dell’angolo compreso
fra i due lati congruenti cade
perpendicolarmente al lato opposto
A B
C
H
Per ipotesi si ha AC ≅ BC
Tracciando la bisettrice dell’angolo C si ha:
Pertanto si ha:
Δ
BCH
Dimostrazione
∧∧
≅ BHCAHC
Ma essendo: °=+
∧∧
180BHCAHC Si ha: .BHCAHC °=≅
∧∧
90
Prof. Marco Fumo

21. 21
III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente
congruenti i tre lati.
⇒
1. AB ≅ A’B’
2. BC ≅ B’C’
3. AC ≅ A’C’
ABC ≅ A’B’C’
Dimostrazione
A’ B’
C’
C’’
C
A
B
Trasportiamo il triangolo ABC nel semipiano limitato dalla retta A’B’ e non contenente C’,
facendo coincidere AB con A’B’.
A ≡ ≡ B
CC’’ interseca A’B’ nel punto D.
D
Prof. Marco Fumo
Congiungiamo il punto C con C’’.
T
T1

22. 22
III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI: I CASO
I CASO - Il punto D è interno a A’B’
Il triangolo A’C’C’’ è isoscele perché A’C’ ≅ AC ≅ A’C’’ .
Pertanto gli angoli A’C’C’’ ≅ A’C’’C’ .
Il triangolo B’C’C’’ è isoscele
perché B’C’ ≅ BC ≅ B’C’’ .
Quindi gli angoli A’C’B’ ≅ A’C’’B’
perché somma di angoli congruenti.
Pertanto gli angoli B’C’C’’ ≅ B’C’’C’ .
Per la p. transitiva gli angoli A’C’B’ ≅ ACB.
Per il 1° C.C.T., i due triangoli ABC ≅ A’B’C’ .
A’ B’
C’
C’’
A
B
A ≡ ≡ B
Si possono presentare tre casi:
D
C

23. 23
III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI - II CASO
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente
congruenti i tre lati.
⇒
1. AB ≅ A’B’
2. BC ≅ B’C’
3. AC ≅ A’C’
ABC ≅ A’B’C’
Dimostrazione
A’
B’
C’
C’’
A
B
C
Trasportiamo il triangolo ABC nel semipiano limitato dalla retta A’B’ e non contenente C’,
facendo coincidere AB con A’B’.
A ≡
≡ B
Congiungiamo il punto C con C’’.
CC’’ interseca A’B’ nel punto
D.
D
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24. 24
III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI - II CASO
Pertanto gli angoli A’C’C’’ ≅ A’C’’C’ .
Quindi gli angoli A’C’B’ ≅ A’C’’B’
perché differenza di angoli
congruenti.
Per la p. transitiva gli angoli A’C’B’ ≅ ACB.
Per il 1° C.C.T., i due triangoli ABC ≅ A’B’C’ .
II CASO - Il punto D è esterno a A’B’
Il triangolo B’C’C’’ è isoscele perché B’C’ ≅ BC ≅ B’C’’ .
Pertanto gli angoli B’C’C’’ ≅ B’C’’C’.
Il triangolo A’C’C’’ è isoscele perché A’C’ ≅ AC ≅ A’C’’ .
A’
B’
C’
C’’
A
B
C
A ≡
≡ B
D

25. 25
III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI - III CASO
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente
congruenti i tre lati.
⇒
1. AB ≅ A’B’
2. BC ≅ B’C’
3. AC ≅ A’C’
ABC ≅ A’B’C’
Dimostrazione
A’
B’
C’
C’’
C
A
B
Trasportiamo il triangolo ABC nel semipiano limitato dalla retta A’B’ e non contenente C’,
facendo coincidere AB con A’B’.
A ≡
≡ B
CC’’ interseca A’B’ nel punto D.
D
Prof. Marco Fumo

26. 26
III CASO - Il punto D ≡ A’
Il triangolo B’C’C’’ è isoscele perché B’C’ ≅ BC ≅ B’C’’ .
Pertanto gli angoli A’C’B’ ≅ A’C’’B’ .
Per la p. transitiva gli angoli A’C’B’ ≅ ACB.
Per il 1° C.C.T., i due triangoli ABC ≅ A’B’C’ .
III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI - III CASO

27. 27
Se in un triangolo due lati non sono congruenti, anche gli angoli
opposti non sono congruenti, e l’angolo opposto al lato maggiore è
maggiore dell’angolo opposto al lato minore.
BA
C
DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE
Teorema
Prof. Marco Fumo

28. 28
BA
C
DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE
Teorema
Se in un triangolo due angoli non sono congruenti, anche i lati opposti
a essi non sono congruenti, e il lato opposto all’angolo maggiore è
maggiore del lato opposto all’angolo minore.
Prof. Marco Fumo

29. 29
In ogni triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.
A
B
C
AB < BC + AC
BC < AB + AC
AC < AB + BC
A B
C
4
cm
5 cm
DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE
Teorema
Prof. Marco Fumo

30. 30
A
B
C
AB > BC − AC
BC > AB − AC
AC > AB − BC
10 cmA B
C
4
cm
5 cm
DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE
Teorema
In ogni triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due.
Prof. Marco Fumo

31. 31
GRAZIE PER LL’ATTENZIONE
SEGUITEMI:
Marco Fumo