Per imparare la geometria: gli angoli!

1. Gli angoli

2. Definizione di angolo

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Consideriamo un
piano α e due
semirette a e b aventi
un’origine in comune
B
Si definisce angolo
ciascuna delle parti
in cui il piano
risulta suddiviso
dalle due semirette

3. Elementi di un angolo
Consideriamo
l’angolo mostrato in
figura
Definiamo vertice il
punto di origine delle
due semirette
a e b sono i lati
dell’angolo
α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica
dimensione che lo caratterizza

4. Angoli concavi e convessi
Dalla definizione di piano emerge chiaramente
che 2 semirette aventi un origine in comune
formano 2 angoli perché il piano viene diviso in
due parti
Definiamo
convesso
l’angolo che
non contiene il
prolungamento
dei sui lati cioè
l’angolo α
Definiamo concavo l’angolo che contiene il
prolungamento dei sui lati cioè l’angolo β

5. Angoli consecutivi
L’italiano ci dovrebbe
venire in soccorso quando
parliamo di angoli
consecutivi
Cosa significa consecutivo?
Una cosa è consecutiva ad
un’altra quando la segue,
quando viene dopo, quando
abbiamo elementi che si
susseguono l'un l'altro
Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono
susseguirsi; ma come può avvenire questo?
Due angoli sono consecutivi quando
hanno un vertice ed un lato in comune

6. Angoli adiacenti
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Si dicono adiacenti due angoli
consecutivi e i cui lati non comuni
giacciono sulla stessa retta

7. Angoli opposti al vertice
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Analizziamo le parole opposti al vertice
Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche cosa;
questo qualche cosa si comporta come uno specchio
Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un
angolo
Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il
vertice in comune …. Ma ciò non basta
Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono
opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si
comporta come uno specchio
Due angoli si dicono opposti al vertice
se hanno il vertice in comune e se i
suoi lati si trovano uno sul
prolungamento dell’altro
Due angoli opposti al vertice sono congruenti α = β

8. Bisettrice
A’1
Consideriamo l’angolo AOA’1
Tracciamo una semiretta che ha
origine nel suo vertice e che lo
divide a metà
Tale retta prende il nome di
bisettrice
A’
bisettrice
O
Definiamo bisettrice la semiretta che
partendo dal suo vertice O divide
l’angolo in due parti uguali
A

9. Confronto di angoli
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Per confrontare due angoli basta
far coincidere un vertice e il lato
omologo e vedere cosa succede
Vediamo cosa dice il vocabolario
alla parola omologo: che è simile,
che corrisponde a un altro, che
ha caratteristiche identiche
Quindi i lati omologhi sono lati
che hanno la stessa funzione
come si può vedere nelle due
immagini qui a fianco in cui i lati
omologhi hanno lo stesso colore
Se sposto il lato O’A’ e lo faccio
coincidere con OA posso
confrontare i due angoli
Col confronto vedo se uno è
maggiore, minore od uguale
all’altro

10. Angolo maggiore di un’altro
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Consideriamo le due figure
precedenti
Com’è l’angolo AOB rispetto
all’angolo A’O’B’
Quando li sovrappongo vedo
che il alto c cade all’interno
dell’angolo AOB
In questo caso avremmo che
l’angolo AOB > A’O’C
Un angolo è maggiore di
un altro quando
sovrapponendoli si ha
che l’altro lato del
secondo angolo cade
all’interno del primo

11. Angolo minore di un’altro
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Consideriamo i seguenti due
angoli AOB e A’O’C
Se li sovrapponiamo possiamo
facilmente costatare che il lato
c cade all’esterno del lato AOB
In questo caso avremmo che
AOB < A’O’C
Un angolo è minore di
un altro quando
sovrapponendoli si ha
che l’altro lato del
secondo angolo cade
all’esterno del primo

12. Angoli congruenti
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Consideriamo i seguenti due
angoli AOB e A’O’C
Se li sovrapponiamo possiamo
facilmente costatare che il lato c
coincide col lato b
Perciò si ha che AOB = A’O’C
Un angolo è
congruente ( cioè ha la
stessa ampiezza) di un
altro quando
sovrapponendoli si ha
che l’altro lato del
secondo angolo
coincide col suo
omologo del primo

13. Tipi di angoli

Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3
notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa
di speciale o particolare)
Angolo
2. Angolo
3. Angolo
4. Angolo
5. Angolo
1.
giro
piatto
retto
acuto
ottuso

14. Angolo giro
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
Cosa succede se i due lati dell’angolo
coincidono?
L’angolo convesso sarà nullo e quello
concavo avrà ampiezza massima
Chiamiamo questo angolo angolo giro

15. Angolo piatto

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Definiamo Piatto l’angolo formato da
due semirette che sono una il
prolungamento dell’altra cioè che
giacciono sulla stessa retta
La sua ampiezza è la metà dell’angolo giro

16. Angolo Retto
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Prendiamo un angolo piatto e
tracciamo la sua bisettrice
Tale bisettrice divide l’angolo in due
parti uguali
Definiamo retto ciascuno di questi
angoli aventi ampiezza pari alla metà
dell’angolo piatto

17. Angoli acuti

Un angolo si
dice acuto se
la sua
ampiezza è
minore di
quella di un
angolo retto
Angolo acuto

18. Angolo ottuso

Un angolo si
dice ottuso se
la sua
ampiezza è
maggiore di un
angolo retto

19. Somma di angoli
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Sono dati due angoli AOB e
CKD
Per fare la somma di due
angoli faccio coincidere i
lati non omologhi e i due
vertici
Lati non omologhi: sono
lati che non occupano la
stessa posizione (colore
diverso)
AOD è la somma
fra l’angolo AOB
e l’angolo CKD
AOB + CKD = AOD
γ=α+β
B
A
O
D
C
K
D
O
K
B
C
A

20. Differenza di angoli
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Sono dati due angoli
AOB e CKD
Per fare la differenza di
due angoli faccio
coincidere i lati omologhi
e i due vertici
Lati omologhi: sono lati
che occupano la stessa
posizione (stesso colore
nella figura)
DOB è la differenza fra
l’angolo AOB e l’angolo
CKD
AOB – CKD = DOB
γ=α-β
B
A
O
D
C
K
B
D
KO
C
A

21. Sottomultipli di angoli
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Prendiamo l’angolo AOB e
dividiamolo in tre parti
uguali
Com’è l’angolo AOC
rispetto all’angolo AOB?
Sapendo che per
definizione l’angolo AOC è
contenuto 3 volte in AOB
come sarà questo angolo?
Se AOC è contenuto 3
volte in AOB sarà un suo
sottomultiplo
Quando un angolo è
sottomultiplo di un altro?
Un angolo è sottomultiplo di un altro
quando vi è contenuto un numero
intero di volte

22. Multipli di un angolo
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Quante volte AOB contiene
AOC?
Tre volte per definizione
(perché ho fatto l’operazione
di dividere l’angolo in tre parti
uguali e quindi l’ho definito in
partenza)
Come sarà AOB rispetto ad
AOC?
Sarà un suo multiplo
Quando un angolo è multiplo
di un altro?
Un angolo è multiplo di
un altro quando lo
contiene un numero
intero di volte
Α è multiplo di β perché lo
contiene n volte: β è sottomultiplo
di α perché è contenuto n volte in α
:n
β
α
xn

23. Angoli complementari
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Consideriamo due
angoli AOB e CKD e
proviamo a sommare
questi due angoli
Dalla somma è uscito
un angolo retto
Due angoli si dicono complementari
se la loro somma è un angolo retto

24. Angoli supplementari
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Consideriamo due
angoli AOB e CKD
e proviamo a
sommare questi
due angoli
Dalla somma è
uscito un angolo
piatto
Due angoli si dicono
supplementari se la loro somma
è un angolo piatto

25. Angoli esplementari
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Consideriamo due
angoli AOB e CKD e
proviamo a sommare
questi due angoli
Dalla somma è uscito un
angolo giro
Due Angoli si dicono esplementari
se la loro somma è un angolo giro