Ve Ho Chuan Tac Các Hàm Phân Hình.docx

Thái Nguyên - 2017
Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM
Dương Thị Vân Anh
VE HO CHUAN TAC CÁC HÀM PHÂN HÌNH
LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC

Thái Nguyên - 2017
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM
VE HO CHUAN TAC CÁC HÀM PHÂN HÌNH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã so: 62 46 01 02
LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC
Cán b hư ng dȁn khoa hoc
PGS.TSKH. TRAN VĂN TAN

i
L I CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cáu của tôi dưới sự hướng dan
t n tình của PGS. TSKH. Tran Văn Tan. Trong quá trình nghiên cáu, tôi
đã ke thàa thành quả khoa hoc của các nhà khoa hoc với sự trân trong, biet
ơn và đã được sự nhat trí của thay hướng dan khi đưa vào lu n văn. Các so
li u, ket quả nêu trong lu n văn là trung thực.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viet lu n văn
Xác nh n Xác nh n
của Trưởng (phó) khoa chuyên môn của người hướng dan khoa hoc
PGS. TSKH. Tran Văn Tan

ii
L I CẢM ƠN
Lu n văn được hoàn thành dưới sự hướng dan t n tình của PGS. TSKH.
Tran Văn Tan. Tác giả xin bày tỏ lòng biet ơn sâu sac đen Thay. Đong thời
tác giả xin được nói lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hi u trường Đại
hoc Sư phạm Thái Nguyên, cùng các thay cô giáo trong khoa Sau đại hoc
và khoa Toán đã quan tâm và tạo moi đieu ki n thu n lợi cho tác giả hoàn
thành tot lu n văn của mình.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thay cô phản bi n đã dành thời
gian đoc và đóng góp nhǎng ý kien quý báu cho bài lu n văn này.
Cuoi cùng tôi muon bày tỏ lòng biet ơn sâu sac tới nhǎng người thân
trong gia đình của mình, nhǎng người đã đ®ng viên chia sẻ moi khó khăn
cùng tôi trong thời gian qua đe tôi có the hoàn thành tot bài lu n văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả

iii
Mnc lnc
L i cam đoan i
L i cảm ơn ii
Mnc lnc iii
M đau iv
1 Khái ni m ho chuan tac các hàm phân hình 1
1.1 Khoảng cách cau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Dãy các hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Ho các hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Các hàm cơ bản của Lý thuyet Nevanlinna . . . . . . 20
2 M t so tiêu chuan cho ho chuan tac các hàm
phân hình 22
2.1 M®t so tiêu chuan cho ho chuan tac các hàm chỉnh hình 22
2.2 M®t so tiêu chuan cho ho chuan tac các hàm phân hình 37
2.3 Định lý Montel mỏ r®ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Ket lu n 54
TÀI LI U THAM KHẢO 55

iv
M đau
Lý thuyet ho chuȁn tac các hàm phân hình được đưa ra bởi Montel tà nhǎng
năm đau của the k hai mươi: m®t ho F các hàm phân hình trên m®t mien
D của m t phȁng phác được goi là chuȁn tac, neu moi dãy trong ho, đeu
trích được dãy con h®i tụ đeu trên các t p con compact tới m®t hàm phân
hình hay hàm đong nhat bang vô cùng. Trong suot hơn 100 năm qua nhieu
tiêu chuȁn cho ho chuȁn tac đã được thiet l p bởi đông đảo các nhà toán
hoc. Nham hieu sâu hơn ve n®i dung của Lý thuyet này, chúng tôi chon
nghiên cáu đe tài “Ve ho chuȁn tac các hàm phân hình”.
N®i dung của lu n văn gom hai chương:
Chương 1: Khái ni m ho chuȁn tac các hàm phân hình.
Trong chương này, chúng tôi tìm hieu khái ni m ho chuȁn tac, trình bày
m®t so kien thác cơ bản của khoảng cách cau, dãy các hàm phân hình và ho
các hàm phân hình. Đong thời nhac lại m®t so hàm cơ bản của Lý thuyet
Nevanlinna. Nhǎng kien thác này là nen tảng đe nghiên cáu chương sau.
Chương 2: M®t so tiêu chuȁn cho ho chuȁn tac các hàm phân hình.
N®i dung chương này là tìm hieu các ket quả cő đien của Montel, Miranda,
Bloch, Gu ve ho chuȁn tac. Trình bày chi tiet các tiêu chuȁn cho chuȁn tac
các hàm chỉnh hình và các hàm phân hình. Cuoi chương chúng tôi tìm hieu
ket quả của Tran Văn Tan, Nguyen Văn Thìn và Vũ Văn Trường ve sự mở
r®ng Định lý Montel tới trường hợp đạo hàm cau bị ch n và các điem được
thay bởi các hàm.

1
| |
2 4
Chương 1
Khái ni m ho chuan tac các hàm
phân hình
1.1 Khoảng cách cau
Trong hình sau, phương trình của m t cau
S là:
x2
+ y2
+ (u −
1
) =
1
. (1.1)
Xét 1 so phác z = x+iy. Cho p là m®t điem
của m t phȁng (Oxy) tương áng với z, có
toa đ® là (x, y). Đường thȁng noi hai điem
N và p giao với S tại m®t điem m khác N.
Ta goi m là điem của S tương áng với z. Khi đó toa đ® của m là (X, Y, u).
Ta có: X = hx, Y = hy, u − 1 = −h. Trong đó h là m®t so dương. Thay
vào (1.1) ta có:
1
x2 + y2 + 1
=
1
1 + |z|2
.
Và:
x
X =
1 + |z|2
, Y =
y
1 + |z|2
, Z =
z 2
1 + |z|2
. (1.2)
Điem của S tương áng với ∞ là điem N có toa đ® là (0, 0, 1).
Định nghĩa 1.1.1. Cho z1 , z2 là hai điem của m t phȁng phác mở
r®ng C
^ = C
S
∞ và m1 , m2 là hai điem của S tương áng lan lượt là z1, z2.

2
|
2 1
2 1
2 1
Chieu dài của đoạn thȁng m1m2 được định nghĩa lan lượt là khoảng cách
cau giǎa z1, z2 và được kí hi u bởi |z1, z2|.
Đe tìm ra bieu thác của |z1, z2|. Chia 3 trường hợp: 1) Cả z1, z2 đeu hǎu
hạn. Cho zj = xj + iyj(j = 1, 2) và t p kj = 1 + |zj|2
(j = 1, 2). Tà (1.2),
ta có:
(k1k2|z1, z2|)2
=(k2x1 − k1x2)2
+ (k2y1 − k1y2)2
+ (k1 − k2)2
=k2
k1 + k2
k2 − 2k1k2(x1x2 + y1y2 + 1),
và do đó
k1k2|z1, z2|2
= |z1|2
+ |z2|2
− 2(x1x2 + y1y2). (1.3)
Tiep theo sả dụng các moi quan h
2xj = zj + zj, 2iyj = zj − zj(j = 1, 2),
ta thay rang ve phải của (1.3) bang |z1 − z2|2
. V y ta có công thác:
|z1 − z2|
|z , z | = . (1.4)
1 2
(1 +
|z1
| )2 (1 + |z2 | )2
2) M®t trong z1 ho c z2 là hǎu hạn và so còn lại là vô hạn. Ví dụ
z1 = x1 + iy1 là hǎu hạn và z2 = ∞. Khi đó:
x2
y2
1
2 1 1
|z1, z2| =
(1 + z1
1
|2)2
+
(1 + |z |2)2
+
(1 + |z |2)2
=
1 + |z1|2
.
và do đó:
|z1, z2| =
(1 +
1
|z1
1 . (1.5)
|2)2
3) Cả z1, z2 đeu vô hạn. Hien nhiên |z1, z2| = 0.
Tà Định nghĩa 1.1.1, bat đȁng thác tam giác:
|z1, z3| ≤ |z1, z2| + |z2, z3|. (1.6)
1 1

3
Bo đe 1.1.2. Cho z1, z2 và a /= ∞ là ba điem của C
^. Khi đó:
1 2
1 1
Co định cho 3 điem bat kì zj(j = 1, 2, 3) của
công thác:
C
^. Ta có the xác định được
1
|z1, z2| = |
z
,
1
z
|. (1.7)
Co định cho 2 điem bat kì zj(j = 1, 2) của C
^.
|z1 − a, z2 − a| ≥
1 2
2
|a, ∞| |z1, z2|.
Chúng minh. Giả sả zj ∞(j = 1, 2). Tà Bő đe 1.1.2 ta có công thác:
|z − a, z — a| =
|z1 − z2|
,
1 2
và bat đȁng thác:
(1 + |z1 − a| )2 (1 + |z2 − a| )2
1 + |ζ1 − ζ2|2
=1 + |ζ1|2
+ |ζ2|2
− 2Re(ζ1ζ2)
<2(1 + |ζ1|2
+ |ζ2|2
+ |ζ1|2
|ζ2|2
)
=2(1 + |ζ1|2
)(1 + |ζ2|2
).
Neu m®t trong hai điem z1, z2 là hǎu hạn và còn lại là vô hạn, ví dụ z1
∞, z2 = ∞ ta áp dụng Bő đe 1.1.2 với z1 và z2
′
.
∞, và sau đó cho z2′ → ∞
Bo đe 1.1.3. Cho A, B(A < B) là hai so dương. Khi đó có m®t so dương
µ = µ(A, B) chí phự thu®c vào A và B sao cho |z1| ≤ A, |z2| ≥ B, ta có:
|z1, z2| ≥ µ.
Chúng minh. Neu |z1| ≤ A, |z2| ≥ B, z2 ∞, khi đó:
|z , z | =
|z1 − z2|
1 2
(1 +
|z1| )2 (1 + |z2 | )2
z
≥
− |
z2
|
1 1 1
(1 + |z |2) (1 + )
2 2
|z2|2
A
1 −
B
1 1 1
(1 + A2)2 (1 +
Đieu này cũng đúng khi z2 = ∞.
B2
)2
1
2 1
2 1
2 1
2 1
.
≥

4
1.2 Dãy các hàm phân hình
Định nghĩa 1.2.1. M®t dãy các điem zn(n = 1, 2, · · · ) của C
^ được goi
là h®i tự đoi với khoảng cách cau, neu moi so dương ε tương áng với m®t
so nguyên dương N sao cho, với n ≥ N, m ≥ N, ta có:
|zn, zm| < ε. (1.8)
Bo đe 1.2.2. Neu m®t dãy các điem zn(n = 1, 2, · · · ) của C
^ h®i tự đoi
với khoảng cách cau, khi đó ton tại m®t điem duy nhat Z trong C
^ sao cho:
lim
n→+∞
|zn, Z| = 0. (1.9)
Z được goi là giới hạn của dãy zn(n = 1, 2, · · · ) đoi với khoảng cách cau.
Chúng minh. Đau tiên ta thay rang ton tại điem Z. Neu
lim
n→∞
|zn, ∞| = 0,
khi đó Z = ∞ là m®t điem. Ngoài ra ta có the tìm được m®t so dương ε0
và m®t dãy tăng các so nguyên dương nk(k = 1, 2, · · · ) sao cho
|znk, ∞| ≥ ε0 (k = 1, 2, · · · ),
tác là znk là hǎu hạn và
|znk | < (1 + |znk |
1
)2 =
1
≤
1
.
|znk, ∞| ε0
Dãy znk (k = 1, 2, · · · ) là bị ch n. Cho Z ∞ là m®t điem giới hạn của dãy
znk (k = 1, 2, · · · ). Khi đó với so dương η bat kì và so nguyên dương K bat
kì, tương áng m®t so nguyên dương k sao cho
k ≥ K, |znk − Z| < η.
Mà:
Ta có:
nk ≥ k, |znk, Z| ≤ |znk − Z|,
n′ ≥ K, |zn′, Z | < η, (n′ = nk ).
2

5
Bây giờ cho m®t so dương ε, cho N là m®t so nguyên dương sao cho
ε
|zn, zm| <
2
,
với n ≥ N, m ≥ N, khi đó cho n0 là m®t so nguyên dương sao cho
ε
n0 ≥ N, |zn0 , Z| <
2
.
Do đó với n ≥ N, ta có:
ε ε
|zn, Z| ≤ |zn, zn0 | + |zn0 , Z| < + = ε.
2 2
Do đó điem Z thỏa mãn đieu ki n (1.9). Tà đó ta có bat đȁng thác sau:
|Z, Z′| ≤ |Z, zn| + |zn, Z′|.
Định nghĩa 1.2.3. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là m®t dãy các hàm
phân hình trong mien D. Cho E m®t t p con của D. Dãy S được goi là h®i
tự đeu trên E đoi với khoảng cách cau, neu moi so dương ε tương áng với
m®t so nguyên dương N sao cho, khi n ≥ N, m ≥ N, ta có:
|fn(z), fm(z)| < ε, (1.10)
trong E .
Giả sả rang đieu ki n trong Định nghĩa 1.2.3 được thỏa mãn. Khi đó với moi
điem z0 của E, dãy fn(z0)(n = 1, 2, · · · ) là h®i tụ đoi với khoảng cách cau,
do đó nó có m®t giới hạn F (z0) đoi với khoảng cách cau, do Bő đe 1.2.2.
F (z) là m®t hàm được xác định trong E. Chúng ta sě thay rang với moi so
dương ε tương áng m®t so nguyên dương N sao cho, khi n ≥ N, m ≥ N ta
có:
trong E.
|fn(z), F(z)| < ε, (1.11)
Cho so dương ε, tà giả thiet, có m®t so nguyên dương N sao cho, khi n ≥ N
, m ≥ N, ta có
ε
|fn(z), fm(z)| <
2
,

6
∞
| |
z→z0
trong E. Do đó khi n ≥ N, m ≥ N và z ∈ E, ta có:
|fn(z), F(z)| ≤ |fn(z), fm(z)| + |fm(z), F(z)|
ε
<
2
+ |fm(z), F(z)|.
Trong bat đȁng thác này co định n ≥ N , z ∈ E và cho m → +∞, ta nh n
được:
|fn(z), F(z)| ≤
ε
< ε,
2
như khȁng định.Ta nói rang khi n → +∞, fn(z) h®i tụ đeu đen F (z) trong
E đoi với khoảng cách cau.
Bo đe 1.2.4. Neu f(z) là m®t hàm phân hình trong m®t mien D, khi đó
f (z) liên tực trong D đoi với khoảng cách cau. Túc là, cho mői điem z0 của
D, ta có:
lim f(z), f(z0) = 0. (1.12)
z→z0
Chúng minh. Xét m®t điem z0 của D và chia hai trường hợp. Neu f(z0) /=
∞, khi đó có hình tròn c : |z − z0| < r thu®c D, sao cho f(z) là hàm chỉnh
hình trong c. Do đó tà (1.4) ta có:
|f(z), f(z0)| ≤ |f(z) − f(z0)|, (1.13)
trong c. Hien nhiên (1.13) suy ra (1.12). Neu f(z0) = , khi đó áp dụng
1
với hàm
f(z)
. Ta có:
1 1
lim |
f(z)
,
f(z
Khi đó ta có đȁng thác sau:
)
| = 0.
1 1
Ta lại có (1.12).
|f(z), f(z0)| = |
f(z)
,
f(z )
|.
Định lý 1.2.5. Cho S: fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là m®t dãy các hàm phân hình
trong hình tròn Γ : |z − z0| < r. Giả sủ dãy S là h®i tự đeu trong Γ đoi với
khoảng cách cau và cho F(z) là hàm giới hạn của S được xác đ nh trong Γ
đoi với khoảng cách cau. Khi đó khȁng đ nh sau là đúng:
0
0

7
→ ∞
1
→ ∞
n
(1) Neu F (z0) /= ∞, khi đó ta có the tìm được m®t hình tròn Γ0 : |z−z0| <
r0(0 < r0 ≤ r) và m®t so nguyên dương n0 sao cho hàm fn(z)(n ≥ n0) và
F(z) là chính hình trong Γ0, khi đó:
đeu trong Γ0.
lim
n +
n≥n0
|fn(z) − F(z)| = 0. (1.14)
(2) Neu F(z0) = ∞ , khi đó ta có the tìm m®t hình tròn Γ0 : |z − z0| <
r0(0 < r0 ≤ r) và m®t so nguyên dương n0 sao cho hàm
1
F (z)
chính hình trong Γ0 và:
f (z)
(n ≥ n0) và
1 1
đeu trong Γ0.
lim
n +
n≥n0
|
fn(z)
−
F (z)
|
= 0. (1.15)
Chúng minh. Xét trường hợp F(z0) ∞. Khi đó d = |f(z0), ∞| > 0. T p:
2 2
A = , B =
d
+ 1,
d
và cho µ(A, B) là m®t so dương được xác định trong bő đe 1.1.3. T p :
d
ε0 = min(
6
, µ(A, B)). (1.16)
Tà (1.11), ta có the tìm được so nguyên dương n0 sao cho, khi n ≥ n0, ta
có:
|fn(z), F(z)| < ε0. (1.17)
trong hình tròn Γ. Khi đó tà Bő đe 1.2.4, ta có the tìm m®t hình tròn
Γ0 : |z − z0| < r0(0 < r0 ≤ r) sao cho trong Γ0 ta có:
d
|fn0(z), fn0(z0)| <
6
.

8
2
2
n
n n
2
| 2
| n
≤(1 + B2
1
)2 (1 + A2
)
1
|fn(z), F (z)|.
Do đó với z ∈ Γ0, ta có:
|F(z0), ∞| ≤|F(z0), fn0(z0)| + |fn0(z0), fn0(z)|
+|fn0(z), F(z)| + |F(z), ∞|
d
<3
6
+ |F (z), ∞|,
d
Và do đó:
|F (z), ∞| >
2
1
|F(z), ∞| =
(1 + |F(z)|2)
1 , |F(z)| < A. (1.18)
Khi đó tà (1.16), (1.17) và (1.18), tà Bő đe 1.1.3, cho n ≥ n0 và z ∈ Γ0, ta
có:
|fn(z)| < B. (1.19)
Lại có tà (1.18) và (1.19), với n ≥ n0 và z ∈ Γ0, ta có:
|f (z) − F(z)| = 1 + |f (z)|2
}1
1 + |F(z) 2
}1
f (z), F(z)|
Bat đȁng thác này và ket quả (1.11) ta cháng minh được khȁng định 1)
trong Định lý 1.2.5 .
Xét trường hợp F(z0) = ∞. Khi đó l p lu n giong như trên cho hàm
1
f (z)
(n = 1, 2, · · · ) và
1
ta cháng minh được khȁng định 2) trong Định
F (z)
lý 1.2.5 là đúng.
Định nghĩa 1.2.6. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là m®t dãy các hàm phân
hình trong m®t mien D. M®t điem z0 của D được goi là C0- điem của dãy
S neu có m®t hình tròn Γ : |z − z0| < r thu®c D sao cho dãy S là h®i tụ
đeu trong Γ đoi với khoảng cách cau . Dãy S được goi là C0 - dãy trong D,
neu moi điem của D là m®t C0- điem của S.
Giả sả dãy S là m®t C0- dãy trong D. Cho z0 là m®t điem của D. Khi đó
tà giả thiet, dãy S là h®i tụ đeu trong hình tròn Γ : |z − z0| < r đoi với
khoảng cách cau. Do đó tà ket quả (1.11) dãy S có hàm giới hạn F (z) được
xác định trong Γ đoi với khoảng cách cau và khi n → +∞, fn(z) h®i tụ đeu
đen F(z) trong Γ đoi với khoảng cách cau.

9
1
Định lý 1.2.7. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là C0- dãy của hàm phân hình
trong m®t mien D. Khi đó S có m®t hàm giới hạn F (z) được xác đ nh trong
D đoi với khoảng cách cau, sao cho khi n → +∞, fn(z) h®i tự đeu đ a
phương đen F(z) trong D đoi với khoảng cách cau.
Định lý 1.2.8. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là m®t C0- dãy các hàm phân
hình trong mien D. Khi đó hàm giới hạn F (z) của S đoi với khoảng cách
cau là m®t hàm phân hình trong D ho¾c ∞.
Chúng minh. Kí hi u σ là t p của các điem z′ của D sao cho F (z′) = ∞.
Chia 2 trường hợp:
1) Giả sả σ có m®t điem tụ z0 trong D. Tà giả thiet ta có hình tròn
Γ : |z − z0| < r thu®c D sao cho dãy S h®i tụ đeu trong Γ đoi với khoảng
cách cau. Khi đó F(z0) ∞ là vô lý, bởi vì tà Định lý 1.2.5, F (z) là hǎu
hạn trong m®t hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0. Do đó F (z0) = ∞.
Tà Định lý 1.2.5, hàm là chỉnh hình trong hình tròn Γ0 : |z −z0| < r0.
F (z)
Khi đó các điem của tâp σ là các không điem của
1
F (z)
, vì v y hàm
1
F (z)
cũng bang 0 trong Γ0 và F(z) = ∞ trong Γ0. Xét điem z1(z1 z0) của D.
Noi z0 và z1 bởi m®t đường đa giác z = p(t) (0 ≤ t ≤ b) nam trong D sao
cho p(0) = z0 , p(b) = z1. Kí hi u T là t p các so t′(0 < t′ < b) sao cho:
F {p(t)} = ∞. (1.20)
Với 0 ≤ t ≤ t′. Hien nhiên t p T ∅. Cho β(0 < β ≤ b) là ràng bu®c
nhỏ nhat của T . Khi đó (1.20) co định với 0 ≤ t < β. Điem z∗ = p(β) là
m®t điem tụ của t p σ, do đó có m®t hình tròn Γ∗ : |z − z∗| < r∗ trong đó
F(z) = ∞. Ta có β = b và F(z1) = ∞. Vì v y F(z) là ∞.
2) Giả sả t p σ không có điem tụ trong D. Xét m®t điem z0 của D. Neu
F (z0) ∞, khi đó tà Định lý 1.2.5, hàm F(z) là hàm chỉnh hình trong
m®t hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0. Neu F (z0) = ∞ khi đó tà Định lý 1.2.5 ,
1
hàm
F (z)
là chỉnh hình trong hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 . Cho r0
′
là m®t so
sao cho 0 < r0
′
≤ r0 và F(z) /= ∞ với 0 < |z − z0| < r0
′
. Khi đó trong hình
tròn Γ′
0 : |z − z0 | < r0
′
1
ta có the viet F(z) = , trong đó hàm G(z) là
G(z)

10
chỉnh hình trong Γ0
′
, G(z0) = 0 và G(z) 0 với 0 < |z − z0| < r0
′
. Do đó z0
là m®t cực điem của F (z). V y F (z) là m®t hàm phân hình trong D.
1.3 Ho các hàm phân hình
Định nghĩa 1.3.1. Cho F là ho các hàm phân hình trong m®t mien D. Ta
nói ho F là chuȁn tac trong D, neu tà moi dãy hàm fn(z)(n = 1, 2, · · · )
của ho F, ta có the trích ra m®t dãy con fnk (z)(k = 1, 2, · · · , nk < nk+1) là
m®t C0 -dãy trong D.
Định nghĩa 1.3.2. Cho F là ho các hàm phân hình trong m®t mien D và
z0 là m®t điem của D. Ta nói rang ho F là chuȁn tac tại z0, neu ta có the
tìm thay m®t hình tròn Γ : |z − z0| < r thu®c D sao cho ho F là chuȁn tac
trong Γ. Neu F chuȁn tac trong D thì F chuȁn tac tại moi điem của D.
Định lj 1.3.3. Cho F là ho các hàm phân hình trong m®t mien D. Neu ho
F chuȁn tac tại mői điem của D, khi đó F chuȁn tac trong D.
Chúng minh. Đau tiên ta tìm được m®t dãy các điem zj(j = 1, 2, · · · ) của
D sao cho moi điem của D là m®t điem giới hạn của dãy zj(j = 1, 2, · · · ).
Cách đe có m®t chuoi các điem đó là có m®t t p các điem a + ib (a, b là các
so hǎu t ) của D. Đây là m®t t p đem được.
Xét m®t điem zj. Tà giả thiet có m®t hình tròn |z − zj| < r thu®c D, trong
đó ho F chuȁn tac. Cho Rj là ch n trên nhỏ nhat của t p các điem r có
tính chat này. Cho Γj là hình tròn |z − zj
Rj
| <
2
, neu Rj < +∞ và hình
tròn |z − zj| < 1 neu Rj = +∞. Γj thu®c D và ho F chuȁn tac trong Γj.
Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là m®t dãy các hàm của ho F. Tà S ta trích ra
được m®t dãy con S1 : fα1(z), fα2 (z), · · · đó là m®t C0- dãy trong Γ1.
Tà S1 ta có the trích ra m®t dãy con S2 : fβ1 (z), fβ2 (z), · · · đó là m®t C0-
dãy của Γ2. Tà S2 ta có the trích ra m®t dãy con S3 : fγ1 (z), fγ2 (z), · · ·
đó là m®t C0- dãy của Γ3. Theo cách này ta có m®t dãy liên tiep của dãy
Sp(p = 1, 2, · · · ) sao cho với moi p ≥ 1, Sp là m®t C0- dãy trong Γp và Sp+1
là m®t dãy con của Sp. Xét dãy đường chéo
S′ : fα1(z), fβ2(z), fγ3(z), · · · , fλk (z), · · ·

11
4
≤
j
S′ là m®t dãy con fnk (k = 1, 2, · · · ) của S. Khi đó với moi k, các so hạng
fnk (z), fnk+1 (z), · · · đeu thu®c dãy Sk. Vì the S′ là m®t C0- dãy trong moi
hình tròn Γj(j = 1, 2, · · · ).
Xét m®t điem z′ của D. Tà giả thiet, có m®t hình tròn Υ : |z − z′| <
ρ(0 < ρ < 1) thu®c D, sao cho ho F chuȁn tac trong Υ. Cho zj sao cho
ρ
|zj − z′| < ρ′ với ρ′ = . Khi đó hình tròn |z − z | < 2ρ′ thu®c Υ và do
đó F chuȁn tac trong hình tròn |z − zj| < 2ρ′. Tà định nghĩa của Rj, neu
Rj < +∞, ta có:
2ρ′ ≤ Rj
, ρ′
Rj
,
2
và hình tròn |z −zj| < ρ′ thu®c Γj. M t khác, neu Rj = +∞, khi đó ρ′ < 1,
hình tròn |z − zj| < ρ′ cũng thu®c Γj. Nhưng z′ là m®t điem của hình tròn
|z − zj| < ρ′. Do đó z′ là m®t C0- điem của dãy S′. Khi đó z′ ∈ D tùy ý.
V y S′ là m®t C0- dãy trong D.
Định nghĩa 1.3.4. Cho F là ho các hàm phân hình trong m®t mien D và
z0 là m®t điem của D. Ta nói rang ho F là liên tực đeu tại z0 đoi với khoảng
cách cau neu moi so dương ε tương áng m®t so dương δ, sao cho hình tròn
Υ : |z − z0| < δ thu®c D và với moi hàm f(z) của ho F, bat đȁng thác:
|f(z), f(z0)| < ε,
co định trong Υ. Neu F là liên tục đeu tại moi điem của D đoi với khoảng
cách cau, ta nói F là liên tục đeu trong D đoi với khoảng cách cau.
Bo đe 1.3.5. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là m®t dãy các hàm phân hình
trong m®t mien D và z0 là m®t điem của D. Neu z0 là C0- điem của S, khi
đó S là liên tực đeu tại z0 đoi với khoảng cách cau.
Chúng minh. Giả sả có m®t hình tròn Γ : |z − z0| < r thu®c D sao cho dãy
S h®i tụ đeu trong Γ đoi với khoảng cách cau. Cho m®t so dương ε, đe N
là so nguyên dương sao cho khi n ≥ N, m ≥ N, ta có :
ε
|fn(z), fm(z)| <
3
,

12
| |
trong Γ. Tiep theo cho Γ′ : |z − z0| < r′(0 < r′ < r) sao cho:
ε
|fN (z), fN (z0)| <
3
,
trong Γ′. Khi đó với n ≥ N, z ∈ Γ′, ta có:
|fn(z), fn(z0)| ≤|fn(z), fN (z)| + |fN (z), fN (z0)| + |fN (z0), fn(z0)|
ε ε ε
< + + .
3 3 3
Vì các hàm fn(z)(1 ≤ n < N) là hǎu hạn, ta có the tìm m®t so dương
δ < r′ sao cho với 1 ≤ n < N và |z − z0| < δ, ta có:
|fn(z), fn(z0)| < ε. (1.21)
Do đó với moi n ≥ 1, bat đȁng thác (1.21) co định trong hình tròn |z−z0| <
δ.
Định lj 1.3.6. Cho F là ho các hàm phân hình trong m®t mien D. Đe ho
F là chuȁn tac trong D, đieu ki n can và đủ là F liên tực đeu trong D đoi
với khoảng cách cau.
Chúng minh. +) Đieu ki n can: Cho z0 là m®t điem của D và giả sả F
không liên tục đeu tại z0 đoi với khoảng cách cau . Khi đó δn(n = 1, 2, · · · )
là m®t dãy các so dương sao cho:
lim
n→+∞
δn = 0, (1.22)
với moi n, có m®t hàm fn(z) của F sao cho:
sup fn(z), fn(z0) ≥ ε0, (1.23)
Υn
trong đó Υn bieu thị hình tròn |z − z0| < δn. Do F là chuȁn tac trong D, ta
có the trích ra tà dãy fn(z)(n = 1, 2, · · · ) m®t dãy con fnk (z)(k = 1, 2, · · · )
là C0- dãy trong D. Đ c bi t z0 là m®t C0- điem của dãy fnk (k = 1, 2, · · · ).
Tà Bő đe 1.3.5 dãy fnk (k = 1, 2, · · · ) là liên tục đeu tại z0 đoi với khoảng
cách cau. Đieu này trái với (1.22) và (1.23). V y ta có mâu thuan.
+) Đieu ki n đủ: Cho ζp(p = 1, 2, · · · ) là m®t dãy các điem của D
sao cho moi điem của D là m®t điem giới hạn của dãy ζp(p = 1, 2, · · · ).

13
^
Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là m®t dãy của ho F. Xét dãy các điem
fn(ζ1)(n = 1, 2, · · · ) của C
^. Rõ ràng ta có the tìm được m®t dãy con
fαj (ζ1)(j = 1, 2, · · · ) của dãy fn(ζ1)(n = 1, 2, · · · ) và m®t điem w1 ∈ C
sao cho:
lim
j→+∞
|fαj (ζ1), w1| = 0.
Tiep theo ta có the tìm m®t dãy con fβl (ζ2)(l = 1, 2, · · · ) của dãy fαj (ζ2)(j =
1, 2, · · · ) và m®t điem w2 ∈ C
^ sao cho:
lim
l→+∞
|fβl(ζ2), w2| = 0,
và v.v.. Cuoi cùng trong dãy đường chéo, ta thu được m®t dãy con fnk (z)(k =
1, 2, · · · ) của dãy S, sao cho với moi p ≥ 1 ta có:
lim
k→+∞
|fnk (ζp), wp| = 0, (1.24)
trong đó wp ∈ C. Ta thay dãy Fk(z) = fnk (z)(k = 1, 2, · · · ) là m®t C0- dãy
trong D. Xét m®t hình tròn Γ : |z − z0| ≤ r thu®c D, cho m®t so dương ε
tùy ý, có m®t so nguyên dương K sao cho khi k ≥ K, k′ ≥ K và z ∈ Γ, ta
có:
|Fk(z), Fk′ (z)| < ε.
Xét m®t điem z∗ ∈ Γ. Vì ho F là liên tục đeu tại z∗ đoi với khoảng cách cau,
có m®t hình tròn Υz∗ : |z − z∗| < ρ thu®c D, sao cho moi hàm f(z) ∈ F,
bat đȁng thác:
ε
|f(z), f(z∗)| <
6
,
co định trong Υz∗. Khi đó xét m®t điem ζp ∈ Υz∗. Tà (1.24), có m®t so
dương Kz∗ sao cho k ≥ Kz∗, k′ ≥ Kz∗, ta có
ε
|Fk(ζp), Fk′ (ζp)| <
6
.
Khi đó với k ≥ Kz∗, k′ ≥ Kz∗ và z ∈ Υz∗, ta có:
|Fk(z), Fk′(z)| ≤|Fk(z), Fk(z∗)| + |Fk(z∗), Fk(ζp)| + |Fk(ζp), Fk′(ζp)|
5
+|Fk′(ζp), Fk′(z∗)| + |Fk′(z∗), Fk′(z)| < ε < ε.
6
^

14
[
∫
Do đó moi điem z∗ ∈ Γ tương áng m®t hình tròn Υz∗ và m®t so nguyên
dương Kz∗ . Tà định lý phủ hǎu hạn, ta có the tìm m®t so hǎu hạn các điem
zj(j = 1, 2, · · · , m) của Γ sao cho:
m
Γ ⊂ Υzj .
j=1
M t khác, cho
K = max
1≤j≤m
Kzj .
Khi đó so nguyên dương K có tính chat can tìm.
Định nghĩa 1.3.7. Cho F là ho các hàm chỉnh hình trong mien D. Ta nói
rang F là bị ch n đeu địa phương trong D, neu cho moi điem z0 của D, ta
có the tìm m®t hình tròn Γ : |z − z0| < r thu®c D và m®t so dương M sao
cho đoi với moi hàm f(z) ∈ F, bat đȁng thác:
|f(z)| ≤ M, (1.25)
co định trong Γ.
H quả 1.3.8. Cho F là ho các hàm chính hình trong m®t mien D. Neu F
b ch¾n đeu đ a phương trong D, khi đó F chuȁn tac trong D.
Chúng minh. Xét m®t điem z0 của D. Tà giả thiet, ta có the tìm m®t hình
tròn Γ : |z − z0| ≤ r thu®c D và m®t so dương M sao cho với moi hàm
f(z) ∈ F bat đȁng thác (1.25) co định trong Γ. Xét m®t hàm f(z) ∈ F, khi
đó trong hình tròn Γ : |z − z0| < r, ta có:
f(z) =
1
∫
f (ζ)
dζ,
2πi
c
trong đó c là hình tròn |z − z0| = r.
ζ − z
Tà công thác này ta suy ra với z ∈ Γ,
f(z) − f(z0
1
) =
2πi
(z − z0)
c
f (ζ)
dζ.
(ζ − z)(ζ − z0)

15
2
Đ c bi t , với |z − z0| < r
ta có:
2M
|f(z) − f(z0)| <
Suy ra ho F liên tục đeu tại z0. Khi đó:
r
|z − z0|.
|f(z), f(z0)| ≤ |f(z) − f(z0)|,
Khi đó F liên tục đeu tại z0 đoi với khoảng cách cau. V y F liên tục đeu
trong D đoi với khoảng cách cau, và tà Định lý 1.3.6 suy ra F chuȁn tac
trong D.
H quả 1.3.9. Cho F là m®t ho các hàm phân hình trong m®t mien D. Đe
F chuȁn tac trong D, đieu ki n can và đủ là với mői điem z0 của D, ta có
the tìm được m®t hình tròn Γ : |z − z0| < r thu®c D và m®t so dương M sao
cho mői hàm f(z) của F thóa mãn m®t trong hai bat đȁng thúc trong Γ:
1
|f(z)| < M, |
f(z)
| < M. (1.26)
Chúng minh. Giả sả ho F chuȁn tac trong D. Cho µ(1, 2) là so dương được
xác đinh trong Bő đe 1.1.3 tương áng cho A = 1, B = 2. Xét m®t điem z0
của D. Tà Định lý 1.3.6, F liên tục đeu tại z0 đoi với khoảng cách cau. Do
đó có hình tròn Γ : |z − z0| < r thu®c D sao cho với moi hàm f(z) của F,
bat đȁng thác:
|f(z), f(z0)| < µ(1, 2),
co định trong Γ. Do đó tà Bő đe 1.1.3, neu |f(z0)| ≤ 1, khi đó trong Γ ta
có:
|f(z)| < 2.
Neu |f(z)| > 1 tà bat đȁng thác:
1 1
|
f(z)
,
f(z
1
)
| < µ(1, 2),
cũng co định trong Γ, ta có: |
f(z)
| < 2 trong Γ.
Tiep theo giả sả đieu ki n trong H quả 1.3.9 được thỏa mãn. Cho z0 là
0

16
2
| 2
m®t điem của D. Khi đó tà giả thiet, ta có the tìm được m®t hình tròn
Γ : |z − z0| < r và m®t so dương M có tính chat được phát bieu trong h
quả. Tà Định lý 1.3.3 suy ra ho F chuȁn tac trong D. Đ t F1 và F2 tương
áng là các ho con của F của các hàm f(z) thỏa mãn trong bat đȁng thác
thá nhat và thá hai của (1.26). Khi đó F1 là ho các hàm chỉnh hình bị ch n
đeu trong Γ. Tà cháng minh của H quả 1.3.8, F liên tục đeu trong Γ đoi
với khoảng cách cau. Tương tự ta suy ra đieu này cũng đúng đoi với F2 .
V y ho F liên tục đeu trong Γ đoi với khoảng cách cau và do đó chuȁn tac
trong Γ do Định lý 1.3.6 .
Bo đe 1.3.10. Cho f(z) là m®t hàm phân hình trong m®t mien D và z0 là
m®t điem của D. Khi đó giới hạn:
∂(z0, f) = lim
z→z0
|f(z), f(z0)|
. (1.27)
|z − z0|
ton tại và là hũu hạn, ta có công thúc:
∂(z0, f) =
|f′(z0)|
1 + |f(z0)|2
, (1.28)
với đieu ki n, trong trường hợp f(z0) = ∞, ve phải của (1.28) được hieu là
giới hạn
lim |f′(z)|
,
z→z0 1 + |f(z)|2
∂(z0, f) được goi là đạo hàm cau của hàm f(z) tại z0.
Chúng minh. Chia hai trường hợp:
1) f(z0) /= ∞. Khi đó có m®t hình tròn |z − z0| < r thu®c D, trong đó
hàm f(z) là chỉnh hình và theo công thác :
|f(z), f(z0)|
=
|f(z) − f(z0)| 1
,
|z − z0|
với 0 < |z − z0| < r, ta có:
|z − z0| (1 + |f(z)|2)
1
(1 + |f(z ) 2)
1
lim
z→z0
|f(z), f(z0)|
|z − z0|
=
|f′(z0)|
.
1 + |f(z0)|2
0

17
2) f(z0) = ∞. Khi đó hàm g(z) =
g(z0) = 0. Do đó:
1
là phân hình trong D và
f(z)
Tiet theo, tà :
lim
z→z0
|g(z), g(z0)|
|z − z0|
=
|g′(z0)|
.
1 + |g(z0)|2
|g(z), g(z0)| = |f(z), f(z0)|,
và khi z /= z0 là lân c n của z0,
Ta có:
|g′(z)|
1 + |g(z)|2
=
|f′(z)|
.
1 + |f(z)|2
lim |f(z), f(z0)| =
|g′(z0)| = lim |f′(z)|
.
z→z0 |z − z0| 1 + |g(z0)|2 z→z0 1 + |f(z)|2
∂(z, f) là hàm liên tục trong D. Cho z0 là m®t điem của D. Khi đó trong
m®t hình tròn |z − z0| < r, f(z) là chỉnh hình và:
f′(z)
∂(z, f) =
1 + |f(z)|2
,
Do đó ∂(z, f) liên tục tại z0. Neu f(z0) = ∞ đieu này cũng đúng do đȁng
thác:
∂(z, f) = ∂(z,
1
). (1.29)
f
Bo đe 1.3.11. Cho f(z) là m®t hàm phân hình trong m®t mien D. Cho
z1, z2(z1 /= z2) là hai điem của D sao cho đoạn σ : z = z1 + t(z2 − z1)(0 ≤
t ≤ 1) thu®c D. T¾p m = max ∂(z, f). Khi đó ta có:
z∈σ
|f(z1), f(z2)| ≤ m|z1 − z2|. (1.30)
Chúng minh. Xét m®t so dương ε ta có:
|f(z1), f(z2)| < (m + ε)|z1 − z2|. (1.31)
Giả sả (1.31) không đúng. Cho ζ là trung điem của σ, chia σ thành hai
đoạn σ′ : z1ζ và σ′′ : ζz2. Ta không the có cùng m®t lúc
|f(z1), f(ζ)| < (m + ε)|z1 − ζ|, (1.32)

18
(n)
1 2 1 2
|f(ζ), f(z2)| < (m + ε)|ζ − z2|, (1.33)
vì neu không ta sě có:
|f(z1), f(z2)| ≤ |f(z1), f(ζ)| + |f(ζ), f(z2)|
< (m + ε)(|z1 − ζ| + |ζ − z2|) = (m + ε)|z1 − z2|.
Do đó ít nhat m®t trong hai bat đȁng thác (1.32) và (1.33) không đúng.
Kí hi u các đoạn tương áng bởi: σ1 : z(1)
z(1)
đó là m®t trong nhǎng đoạn
1 2
σ′ và σ′′. Lại chia σ1 thành hai đoạn bởi trung điem của nó và l p lại
đoi so tương tự, ta có đoạn σ2 : z(2)
z(2)
. Tiep tục theo cách này ta nh n
1 2
liên tiep m®t dãy các đoạn σn : z(n)
z(n)
(n = 1, 2, · · · ; σ0 = σ) sao cho
1 2
σn+1 ⊂ σn(n = 0, 1, 2, · · · ) và:
(n) (n) (n) (n)
|f(z1 ), f(z2 )| ≥ (m + ε)|z1 − z2 |(n = 0, 1, 2, · · · ). (1.34)
Cho z0 là m®t điem sao cho z0 ∈ σn(n = 1, 2, · · · ). Khi đó
lim
z→z0
|f(z), f(z0)|
z − z0
= ∂(z0, f),
có m®t hình tròn Υ : |z − z0| < δ thu®c D, sao cho trong Υ ta có:
|f(z), f(z0)| = ∂(z0, f)|z − z0| + η(z)|z − z0|. (1.35)
trong đó η(z) thỏa mãn bat đȁng thác:
|η(z)| < ε. (1.36)
trong Υ . Hien nhiên khi n đủ lớn, σn ⊂ Υ , do đó :
|η(zj )| < ε (j = 1, 2),
và
(n) (n) (n) (n)
|f(z1 ), f(z2 )| ≤ |f(z1 ), f(z0)| + |f(z0), f(z2 )|
< {∂(z0, f) + ε} (|z(n)
− z0| + |z(n)
− z0|) ≤ (m + ε)|z(n)
− z(n)
|.
bat đȁng thác này không tương thích với (1.34) vì v y ta có mâu thuan.
Cuoi cùng trong (1.31) cho ε → 0 ta nh n được (1.30).

19
nk
Định lj 1.3.12. Cho F là m®t ho các hàm phân hình trong m®t mien D.
Đe ho F chuȁn tac trong D đieu ki n can và đủ là ho:
F∗ = {∂(z, f)|f ∈ F} . (1.37)
b ch¾n đeu đ a phương trong D.
Chúng minh. Giả sả ho F∗ bị ch n đeu địa phương trong D. Cho z0 là m®t
điem của D, khi đó có m®t hình tròn Γ : |z − z0| < r thu®c D và m®t so
dương M sao cho moi hàm f(z) ∈ F, ta có:
∂(z, f) ≤ M, (1.38)
trong Γ. Tà Bő đe 1.3.11 với moi hàm f(z) ∈ F ta có:
|f(z), f(z0)| ≤ M|z − z0|,
trong Γ. Suy ra ho F liên tục đeu tại z0 đoi với khoảng cách cau và tà Định
lý 1.3.6 ho F chuȁn tac trong D.
Ngược lại, giả sả ho F chuȁn tac trong D. Cho z0 là m®t điem của D và giả
sả ta không the tìm được m®t hình tròn Γ : |z − z0| < r thu®c D và m®t
so dương M sao cho với moi hàm f (z) ∈ F ta có (1.38) trong Γ. Lay hai
dãy so dương rn và Mn(n = 1, 2, · · · ) h®i tụ tương áng tới 0 và +∞. Khi
đó moi n tương áng với m®t hàm fn(z) ∈ F sao cho:
sup ∂(z, fn) > Mn, (1.39)
z∈Γn
trong đó Γn kí hi u là hình tròn |z − z0| < rn. Tà dãy fn(z)(n = 1, 2, · · · )
ta có the trích ra m®t dãy con fnk (z)(k = 1, 2, · · · ) là m®t C0- dãy trong
D. Đ c bi t z0 là m®t C0- điem của dãy đó. Cho F (z) là hàm giới hạn của
dãy này đoi với khoảng cách cau. Tà Định lý 1.2.5 ton tại hai trường hợp:
1) F(z) /= ∞. Khi đó ta tìm được m®t hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0(Γ0 ⊂
D) và m®t so nguyên dương k0 sao cho hàm fnk (z)(k ≥ k0) và F (z) chỉnh
hình trong Γ0, khi k → +∞, fnk (z) h®i tụ đeu trong Γ0 đen F (z). Khi đó
với k ≥ k0, z ∈ Γ0 ta có:
∂(z, f ) =
|fn
′
k
(z)| ≤ |f′ (z)|,
2
1 + |fnk (z)|
nk

20
(
≥
z)
f
rõ ràng ta có the tìm m®t so dương A sao cho khi k ≥ k0 ta có:
∂(z, fnk ) ≤ A,
trong hình tròn |z −z0
r0
| <
2
. Nhưng đieu này không tương thích với (1.39),
và ta có sự mâu thuan.
2) F (z0) = ∞. Khi đó ta có the tìm m®t hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0
và m®t so nguyên dương k0 sao cho các hàm
1
1
(k k0) và
fnk
1
chỉnh
F (z)
1
hình trong Γ0 và khi k → +∞,
f (z)
h®i tụ đeu trong Γ0 đen . Giong
F (z)
như trong trường hợp đau tiên, ta có the tìm m®t so nguyên dương A sao
cho khi k ≥ k0 ta có:
1
∂(z,
fnk
) ≤ A,
trong hình tròn |z − z0
vì:
r0
| <
2
. Đieu này cũng không tương thích với (1.39)
1
∂(z, fnk ) = ∂(z, ).
nk
V y ho F∗ bị ch n đeu địa phương trong D.
1.4 Các hàm cơ bản của Lj thuyet Nevanlinna
Ta bat đau với hàm đem của m®t divisor.
Định nghĩa 1.4.1. Cho ν là m®t divisor trên m t phȁng phác C, có nghĩa
ν là m®t ánh xạ tà C vào Z sao cho {z : ν(z) =
/ 0} là rời rạc. Hàm đem của
ν được định nghĩa bởi
N(r, ν) =
∫ r
n(t, ν)
dt, (r > 1),
1 t
ở đó n(t, ν) :=
Σ
|z|<t ν(z).
Cho k là m®t so nguyên dương (ho c k = +∞). Khi đó, hàm đem của ν
với b®i được ngat bởi k, được định nghĩa bởi
N[k](r, ν) =
∫ r
n[k]
(t, ν) dt, (r > 1),
1 t
nk

21
Σ
f
∫
q
ở đó n[k]
(t, ν) := |z|<t min{ν(z), k}.
Như v y N(r, ν) = N[+∞]
(r, ν).
Cho f là m®t hàm phân hình trên m t phȁng phác. Goi (f )0 là divisor
không điem của u. Khi đó Nf (r) := N(r, (f)0), N[k]
(r) := N[k]
(r, (f)0) lan
lượt được goi là hàm đem các không điem của u với b®i được tính đay đủ
và với b®i được được ngat bởi k.
Định nghĩa 1.4.2. Cho f là m®t hàm phân hình trên C, f /≡ 0. Hàm xap
xỉ của f (áng với giá trị ∞) được định nghĩa bởi
m(r, f) =
1 2π
2π 0
log+
|f(re )|dθ, r > 1,
ở đây log+
x = max{0, log x} đoi với x ∈ R.
Định nghĩa 1.4.3. Hàm đ c trưng Nevanlinna được định nghĩa bởi
Tf (r) = N1 (r) + m(r, f), r > 1.
f
Định lj 1.4.4 (Định lý cơ bản thá hai cho các hàm phân hình). Cho f
là m®t hàm phân hình khác hang trên m¾t phȁng phúc và q điem a1, . . . , aq
phân bi t trong C
^. Khi đó
¨ (q − 2)Tf (r) ≤
Σ
j=1
N[1]
f−aj
(r) + o(Tf (r)).
iθ

22
2
| |
ρ
Chương 2
M t so tiêu chuan cho ho chuan tac
các hàm phân hình
2.1 M t so tiêu chuan cho ho chuan tac các hàm
chỉnh hình
2.1.1 Định lj Montel cho ho các hàm chỉnh hình
Định lj 2.1.1. Cho D là m®t mien và a, b (a =
/ b) là hai so phúc. Cho F
là ho các hàm f(z) chính hình trong D và sao cho mői phương trình:
f(z) = a, f(z) = b,
không có nghi m trong D. Khi đó ho F chuȁn tac trong D.
Chúng minh. Xét trường hợp: a = 0, b = 1. Cho z0 là m®t điem của D và
hình tròn Γ : |z − z0| < ρ thu®c D. Cho f(z) là m®t hàm của ho F và chia
hai trường hợp:
1) |f(z0)| ≤ 1. Đ t F(ζ) = f(z0 + ρζ)(|ζ| < 1) . Ta có:
logM(
1
, F) < h(1 + log+
|F(0)|),
trong đó h là hang so dương tuy t đoi. Do đó trong hình tròn Υ : |z−z0| ≤
2
,
ta có: |f(z)| < eh
.
2) |f(z0)| > 1, áp dụng ket quả của trường hợp 1) vào hàm
trong hình tròn Υ, ta có:
1
< eh
.
f(z)
1
, do đó
f(z)
Tà H quả 1.3.9, trong trường hợp đ c bi t a = 0, b = 1, ho F chuȁn tac

23
| |
| |
n
trong D. Xét trường hợp tőng quát, cho fn(z)(n = 1, 2, . . . ) là m®t dãy các
hàm của F. Đ t:
g (z) =
fn(z) − a
b − a
(n = 1, 2, . . . ).
Khi đó gn(z) không nh n giá trị 0 và 1, tà dãy gn(z)(n = 1, 2, . . . ) ta có
the trích ra m®t dãy con gnk (z)(k = 1, 2, . . . ) sao cho khi k → +∞ thì
gnk (z)(k = 1, 2, . . . ) h®i tụ đeu địa phương đen m®t hàm chỉnh hình ho c
đen ∞ trong D. Hien nhiên đieu này cũng đúng với dãy con:
fnk (z) = a + (b − a)gnk (z) (k = 1, 2, . . . ).
Bo đe 2.1.2. Cho F là m®t ho chuȁn tac các hàm chính hình trong m®t
mien D. Cho σ là m®t t¾p đóng b ch¾n của các điem thu®c D và M là m®t
so dương. Giả sủ với mői hàm f(z) ∈ F, ta có:
min f(z) ≤ M. (2.1)
z∈σ
Khi đó ho F b ch¾n đeu trong mői t¾p đóng b ch¾n E của các điem thu®c
D.
Chúng minh. Cho E là m®t t p đóng bị ch n của các điem thu®c D. Giả
sả F không bị ch n đeu trong E. Khi đó moi so nguyên dương n tương áng
với m®t hàm fn(z) ∈ F sao cho:
max fn(z) > n. (2.2)
z∈E
Xét m®t dãy con fnk (z)(k = 1, 2, . . . ) của dãy fn(z)(n = 1, 2, . . . ). Tà (2.1),
(2.2) khi k → +∞, fnk (z) không the h®i tụ đeu địa phương đen m®t hàm
chỉnh hình ho c đen ∞ trong D. Đieu này mâu thuan với giả thiet F là m®t
ho chuȁn tac.
Trong đó t p σ thường bao gom m®t điem duy nhat.
Định lj 2.1.3. Cho f (z) là m®t hàm nguyên khác hang. Khi đó ho của
hàm nguyên:
fn(z) = f(2n
z)(n = 1, 2, . . . ), (2.3)
không chuȁn tac trong hình tròn |z| < 2.

24
Chúng minh. Giả sả ho (2.3) là chuȁn tac trong hình tròn |z| < 2. Khi đó
fn(0) = f (0)(n = 1, 2, . . . ), tà Bő đe 2.1.2, ho (2.3) bị ch n đeu trong hình
tròn |z| ≤ 1. Có m®t so dương M sao cho với moi n ta có:
|fn(z)| ≤ M,
trong hình tròn |z| ≤ 1. Khi đó với moi n ta có:
|f(z)| ≤ M,
trong hình tròn |z| ≤ 2n
. Hàm nguyên f (z) bị ch n trong C và tà định lý
Liouville suy ra f(z) là m®t hang so , đieu này trái với giả thiet.
H quả 2.1.4. (Đ nh lý Picard trên hàm nguyên)
Neu f(z) là m®t hàm nguyên khác hang, khi đó f(z) lay moi giá tr hũu
hạn, nh¾n nhieu nhat m®t giá tr hũu hạn.
Neu f(z) không lay 2 giá tr hũu hạn a và b(a =
/ b), khi đó tù đ nh lý 2.1.1,
ho (2.3) chuȁn tac trong hình tròn |z| < 2, không tương thích với đ nh lý
2.1.3
Định lj 2.1.5. Cho f(z) là m®t hàm chính hình trong m®t mien D: 0 <
|z| < ρ sao cho điem z = 0 là m®t điem kì d cot yeu của f(z). Cho r là
m®t so sao cho 0 < 2r < ρ. Khi đó ho các hàm chính hình trong D:
z
fn(z) = f(
2n
) (n = 1, 2, . . . ), (2.4)
r
không chuȁn tac trong mien d: < |z| < 2r.
4
Chúng minh. Giả sả ho (2.4) chuȁn tac trong mien d. Tà định lý Weierstrass,
có m®t dãy các điem ζm(m = 1, 2, . . . ) của D sao cho:
lim
m→+∞
ζm = 0, |f(ζm)| < 1 (m = 1, 2, . . . ).
Chúng ta có the giả sả rang:
|ζm| <
r
(m = 1, 2, . . . ).
2

25
Với moi điem ζm tương áng m®t so nguyên dương nm sao cho:
Hien nhiên:
r
2nm+1 ≤ |ζm
r
| <
2nm
.
T p:
lim
m→+∞
nm = +∞. (2.5)
Khi đó:
zm = 2nm
ζm,
2
≤ |zm | < r. (2.6)
fnm (zm) = f(ζm), |fnm(zm)| < 1. (2.7)
Ho fnm (z)(m = 1, 2, . . . ) là m®t ho con của ho (2.4), cũng chuȁn tac trong
mien d. Khi đó tà (2.6), (2.7) và Bő đe 2.1.2 , ho fnm (z)(m = 1, 2, . . . ) bị
ch n đeu trên hình tròn |z| = r. Do đó tà (2.4) có m®t so dương K sao cho:
|f(z)| ≤ K, (2.8)
r
trong dãy các hình tròn |z| = nm
(m = 1, 2, . . . ). Cuoi cùng tà (2.5) và
r
nguyên lý modun cực đại, ta thay (2.8) co định với 0 < |z| ≤
2n1
. Đieu
này mâu thuan với giả thiet điem z = 0 là m®t điem kì dị cot yeu của hàm
f(z).
H quả 2.1.6. ( Đ nh lý Picard trên hàm chính hình trong lân c¾n
cia m t điem đ¾c bi t b cô l¾p)
Cho f(z) là m®t hàm chính hình trong m®t mien D: 0 < |z| < ρ sao cho
điem z = 0 là điem kì d cot yeu của f(z). Khi đó trong D hàm f(z) lay
moi giá tr hũu hạn m®t so vô hạn lan, nh¾n nhieu nhat m®t giá tr hũu
hạn.
Chúng minh. Giả sả có hai giá trị hǎu hạn a và b(a =
/ b) sao cho f(z)
lay a và b chỉ m®t so hǎu hạn lan trong mien D. Khi đó ta tìm được m®t
so ρ0(0 < ρ0 < ρ) sao cho f(z) không lay các giá trị a và b trong mien
r
D0 : 0 < |z| < ρ0. Cho n0 là so nguyên đủ lớn sao cho
2n−1
< ρ0 với n ≥ n0
, trong đó r là m®t so sao cho 0 < 2r < ρ. Khi đó với n ≥ n0, hàm fn(z) xác
2
r

26
| |
| |
định bởi (2.4) không nh n các giá trị a và b trong mien d :
r
4
< |z| < 2r. Do
Định lý 2.1.1, ho F0 : fn(z)(n ≥ n0) chuȁn tac trong d. Khi đó ho (2.4) khác
với F0 chỉ bởi m®t so hǎu hạn của các hàm bő sung fn(z)(1 ≤ n < n0), v y
ho (2.4) cũng chuȁn tac trong d, đieu này mâu thuan với Định lý 2.1.5.
Định lj 2.1.7. Cho m®t mien D, hai t¾p đóng b ch¾n σ, E của các điem
thu®c D và m®t so dương µ, ta có the tìm được m®t so dương A(D, σ, E, µ)
chí phự thu®c vào D, σ, E và µ có các tính chat sau: Neu f (z) là m®t hàm
chính hình trong D thóa mãn các đieu ki n :
1) f(z) không nh¾n giá tr 0 và 1 trong D;
2) min f(z) ≤ µ;
z∈σ
Khi đó ta có:
max f(z) ≤ A(D, σ, E, µ). (2.9)
z∈E
Chúng minh. Cho F là ho của các hàm f(z) chỉnh hình trong D và thỏa
mãn đieu ki n 1) và 2). Tà Định lý 2.1.1 , ho F chuȁn tac trong D và khi
đó tà Bő đe 2.1.2 ho F bị ch n đeu trên E. Do đó có m®t so dương A sao
cho (2.9) co định với moi hàm f(z) của F. So A này có các tính chat can
tìm.
H quả 2.1.8. (Đ nh lý Schottky)
Cho f(z) là m®t hàm chính hình trong m®t hình tròn ∆ : |z| < 1 thóa mãn
các đieu ki n sau:
1) f(z) không lay giá tr 0 và 1 trong ∆.
2) |f(0)| ≤ µ, µ là m®t so dương.
Khi đó với 0 < r < 1 ta có:
M(r, f) ≤ A(r, µ), (2.10)
trong đó A(r, µ) là m®t so dương chí phự thu®c vào r và µ. Đ¾c bi t, với
µ = |f(0)| ta có:
M(r, f) ≤ A(r, |f(0)|). (2.11)

27
| |
thu®c D, m®t so dương µ và m®t so nguyên dương p, ta có the tìm m®t so
dương B(D, σ, E, µ, p) chí phự thu®c vào D, σ, E, µ và p có tính chat sau:
Neu f (z) là m®t hàm chính hình trong D thóa mãn các đieu ki n 1) và 2)
trong đ nh lý 2.1.7, khi đó ta có:
max f(p)
(z) ≤ B(D, σ, E, µ, p). (2.12)
z∈E
Chúng minh. Cho F là ho các hàm f (z) chỉnh hình trong D và thỏa mãn
đieu ki n 1), 2) của định lý 2.1.7. Ta có F chuȁn tac trong D và bị ch n đeu
trong moi t p đóng bị ch n của các điem thu®c D. Xét ho:
Fp =
,
f(p)
(z)|f(z) ∈ F
,
.
Ta thay ho Fp cũng bị ch n đeu trong moi t p đóng bị ch n của các điem
thu®c D. Tà định lý phủ hǎu hạn suy ra Fp bị ch n đeu địa phương trong
D. Xét hình tròn Γ : |z − z0| ≤ 2r thu®c D. Khi đó có m®t so dương M sao
cho với moi hàm f(z) của F ta có:
|f(z)| ≤ M,
trong Γ. Tà bat đȁng thác Cauchy, trong hình tròn |z − z0| < r, ta có:
(p)
(z)| ≤ p! .
rp
Đieu này cháng tỏ rang có m®t so dương B sao cho (2.12) co định với moi
f(z) ∈ F. So B này có tính chat can tìm.
H quả 2.1.10. (Đ nh lý Landau)
Cho f(z) là m®t hàm chính hình trong m®t hình tròn |z| < R, thóa mãn các
đieu ki n sau:
1) f(z) không lay giá tr 0 và 1 trong hình tròn |z| < R.
2) f(0) ≤ µ, µ là so dương.
Khi đó ta có:
R|f′(0)| ≤ B(µ), (2.13)
M
|f

28
≤
[
trong đó B(µ) là m®t so dương chí phự thu®c vào µ. Đ¾c bi t, với µ = |f(0)|
ta có:
R|f′(0)| ≤ B(|f(0)|). (2.14)
Chúng minh. Đau tiên xét trường hợp R = 1. Trong trường hợp này áp dụng
Định lý 2.1.9 cho trường hợp đ c bi t khi D = (|z| < 1), σ = E = (0), µ và
p = 1. Với trường hợp tőng quát, ta áp dụng ket quả thu được trong trường
hợp R = 1 cho hàm f(Rζ)(|ζ| < 1).
Bây giờ xét m®t hàm nguyên siêu vi t f(z). Khi đó điem ∞ là m®t điem kì
dị cot yeu của f(z), ta có the cháng minh giong như trong cháng minh của
Định lý 2.1.5, ho các hàm nguyên:
fn(z) = f(2n
z)(n = 1, 2, . . . ), (2.15)
1
không chuȁn tac trong mien ω : < |z| < 4. Tà Định lý 1.3.3 suy ra có
2
m®t điem z0 ∈ ω sao cho ho (2.15) không chuȁn tac tại z0. Xét m®t hình
tròn Υ : |z − z0| < δ thu®c ω. Tà Định lý 2.1.1 với moi giá trị hǎu hạn a,
có m®t so vô hạn các so nguyên dương n sao cho fn(z) lay giá trị a trong
Υ, nh n nhieu nhat m®t giá trị hǎu hạn a. Hien nhiên trong hình tròn Υ,
hàm fn(z) lay nhǎng giá trị giong như đã lay bởi hàm f(z) trong hình tròn
cn : |z − zn| < rn, zn = 2n
z0, rn = 2n
δ. (2.16)
Xét hai hình tròn cn và cn+p(p ≥ 1). Đe cn và cn+p không có điem chung,
sao cho:
rn + rn+p ≤ |an+p − an|.
Khi đó ta thay rang neu δ
|z0|
, dãy các hình tròn c
3
∞
(n = 1, 2, . . . )
tách rời nhau, do đó trong t p mở Ω = cn, f(z) lay moi giá trị hǎu
n=1
hạn a m®t so vô hạn lan, nh n nhieu nhat m®t giá trị hǎu hạn a. Xét tia
L : z = z0t(0 ≤ t < +∞) . Tâm của các hình tròn cn(n = 1, 2, . . . ) đeu
nam trên L và Ω thu®c m®t góc A : |argz − θ0| < ε(z0 = |z0|eiθ0
) với L là
tia phân giác, trong đó ε nhỏ tùy ý với đieu ki n δ đủ nhỏ. Trong A, hàm
n

29
∗
n
≤
[
f(z) lay moi giá trị hǎu hạn a m®t so vô hạn lan, nh n nhieu nhat m®t giá
trị hǎu hạn a. L được goi là hướng Julia của hàm f(z).
Định lj 2.1.11. Neu f (z) là hàm nguyên siêu vi t, khi đó nó có ít nhat
m®t hướng Julia
Chúng minh. Xét m®t đường cong Γ : z = ϕ(t)(0 ≤ t < +∞) , trong đó
ϕ(t) là m®t hàm giá trị phác liên tục với 0 ≤ t < +∞, sao cho khi t tăng tà
0 đen +∞, |ϕ(t)| tăng tà 0 đen +∞. Ta nói rang đường cong Γ thỏa mãn
đieu ki n (C).
Cho z0(z0 /= 0) là m®t điem. Khi đó đường cong Γ∗ : z = z0ϕ(t)(0 ≤ t <
+∞) cũng thỏa mãn đieu ki n (C), và neu với m®t giá trị t0, ϕ(t0) = 1, khi
đó đường cong Γ đi qua điem z0. Trong bat kì trường hợp nào, đường cong
ϕ(t)
z = ϕ1(t), ϕ1(t) =
ϕ(t0
cũng có tính chat đó.
)
Cho tn(n = 1, 2, . . . ) được xác định bởi:
|ϕ(tn)| = 2 (n = 1, 2, . . . ), (2.17)
và cho f(z) là hàm nguyên siêu vi t. Khi đó ho các hàm nguyên :
gn(z) = f {ϕ(tn)z} (n = 1, 2, . . . ), (2.18)
1
không chuȁn tac trong mien ω : < |z| < 4. Cho z0 ∈ ω sao cho ho (2.18)
2
không chuȁn tac tại z0 và xét dãy các hình tròn:
Γn : |z − z0ϕ(tn)| < δ|ϕ(tn)|(n = 1, 2, . . . ). (2.19)
Giả sả δ
|z0|
, khi đó các hình tròn Γ
3
∞
(n = 1, 2, . . . ) không giao nhau. Ta
thay trong t p mở Γn, hàm f(z) lay moi giá trị hǎu hạn a m®t so vô
n=1
hạn lan, nh n nhieu nhat m®t giá trị hǎu hạn a. Trong mien:
0<t
[
<+∞
(|z − z0ϕ(t)| < δ|ϕ(t)|)
n

30
1
| |
ρν
2 F F(0)
đieu này cũng đúng. T p ψ(t) = z0ϕ(t), δ = |z0|η(0 < η ≤
mien:
1
). Khi đó trong
3
0<t
[
<+∞
(|z − ψ(t)| < η|ψ(t)|)
Hàm f(z) lay moi giá trị hǎu hạn a m®t so vô hạn lan, nh n nhieu nhat
m®t giá trị hǎu hạn a, không có van đe gì với so dương η. Ta nói rang đương
cong z = ψ(t) là m®t đường cong Julia của f(z).
Định lj 2.1.12. Cho f(z) là m®t hàm nguyên siêu vi t. Khi đó cho đường
cong bat kì z = ϕ(t) thóa mãn đieu ki n (C), ta có the tìm m®t điem z0 của
1
mien < |z| < 4 sao cho đường cong z = z0ϕ(t) là m®t đường cong Julia
2
của f(z).
2.1.2 Định lj Miranda
Định lj 2.1.13. Cho D là m®t mien, a và b 0 là hai so phúc, và so
nguyên ν ≥ 1. Cho F là m®t ho các hàm f(z) chính hình trong D sao cho
mői phương trình:
f(z) = a, f(ν)
(z) = b. (2.20)
Chúng minh. Đau tiên xét trường hợp a = 0, b = 1. Cho z0 là m®t điem
của D và Γ : |z − z0| < ρ là m®t hình tròn thu®c D. Cho f(z) là m®t hàm
của ho F, đ t: F(ζ) = f(z0 + ρζ)(|ζ| < 1). Ta có hai bat đȁng thác:
ρν
1
logM( , F) < hν
2
1 1
logM( , ) < h
(1 + log+
|F(0)|), (2.21)
(1 + log+
|
1
|), (2.22)
trong đó hν
là m®t so dương chỉ phụ thu®c vào ν. Neu F(0) =
|f(z0)|
ρν
ρ
≤ 1,
tà (2.21), trong hình tròn Υ : |z − z0| < ta có:
2
|f(z)| < ehν
ρν
≤ ehν
max(ρν
,
1
).
ν

31
| |
b
| |
n
1
M t khác, neu F(0) =
|f(z0)|
ρν > 1, tà (2.22), trong hình tròn Υ, ta có:
1
|
f(z)
| <
ehν
ρν ≤ eh
ν
max(ρν
,
1
).
ρν
Tà H quả 1.3.9, ho F chuȁn tac trong D trong trường hợp a = 0, b = 1.
Xét trường hợp tőng quát ta áp dụng ket quả vàa tìm được cho ho:
F =
f(z) − a
|f(z) ∈ F .
Định lj 2.1.14. Cho f(z) là m®t hàm nguyên mà không phải là m®t đa
thúc có b¾c toi đa là ν, trong đó ν ≥ 1 là so nguyên. Khi đó ho của các hàm
nguyên:
fn(z) =
f (2n
z)
2nν
(n = 1, 2, . . . ), (2.23)
Chúng minh. Giả sả ho (2.23) chuȁn tac trong hình tròn z < 2. Khi đó
f(0)
fn(0) =
2nν
(n = 1, 2, . . . ), tà Bő đe 2.1.2, ho (2.23) bị ch n đeu trong
hình tròn |z| = 1 Do đó có so dương K sao cho
M(rn, f) ≤ Krν
, rn = 2n
(n = 1, 2, . . . ).
Tà bat đȁng thác Cauchy, f(z) là đa thác có b c toi đa là ν, đieu này trái
với giả thiet.
H quả 2.1.15. Cho f (z) là m®t hàm nguyên mà không phải đa thúc có
b¾c toi đa là ν, trong đó ν ≥ 1 là m®t so nguyên. Khi đó với hai giá tr hũu
hạn bat kì a và b =
/ 0 ít nhat m®t trong hai phương trình :
f(z) = a, f(ν)
(z) = b, (2.24)
có nghi m trong C.
Chúng minh. Giả sả moi phương trình (2.24) không có nghi m. Khi đó tà
Định lý 2.1.13, ho:
f(2n
z) − a a
gn(z) =
2nν
= fn(z) −
2nν
(n = 1, 2, . . . ),

32
2
m
R
là chuȁn tac trong hình tròn |z| < 2, trong đó fn(z) được xác định bởi
(2.23). Khi đó ho (2.23) cũng chuȁn tac trong hình tròn |z| < 2, đieu này
trái với Định lý 2.1.14.
Định lj 2.1.16. Cho f(z) là m®t hàm nguyên siêu vi t và ν ≥ 1 là so
nguyên. Khi đó ho (2.23) không chuȁn tac trong mien ω : 1
< |z| < 4
Chúng minh. Khi điem ∞ là điem kì dị cot yeu của hàm f(z), có m®t dãy
các điem ζm(m = 1, 2, . . . ) sao cho:
Ta thay:
lim
m→+∞
ζm = ∞, |f(ζm)| < 1 (m = 1, 2, . . . ).
|ζm| > 2 (m = 1, 2, . . . ).
Đe moi m tương áng nm sao cho:
2nm
< |ζm| < 2nm+1
.
Ta có: lim nm
m→+∞
= +∞. T p zm =
ζm
2nm
. Khi đó:
1
1 < |zm| ≤ 2, |fnm(zm)| <
2ν
.
Tà Bő đe 2.1.2, neu ho (2.23) chuȁn tac trong mien ω thì dãy fnm (z)(m =
1, 2, . . . ) bị ch n đeu trong hình tròn |z| = 1. Do đó có m®t so dương K
sao cho:
M(rm, f) ≤ Krν
, rm = 2nm
(m = 2, 1, . . . ).
Tác là hàm f(z) là đa thác có b c toi đa bang ν, trái với giả thiet f(z) là
hàm nguyên siêu vi t.
Định lj 2.1.17. Cho f(z) là m®t hàm chính hình trong m®t mien
R0 < |z| < +∞, sao cho điem ∞ là điem kì d cot yeu của f(z). Khi đó ho
(2.23) không chuȁn tac trong mien Ω :
so sao cho R > 2R0.
2
< |z| < 4R , trong đó R là m®t

33
Chúng minh. Đ t: f (z) = F (z) + G(z), trong đó F (z) là hàm nguyên siêu
vi t, và G(z) là m®t hàm chỉnh hình trong mien R0 < |z| < +∞, sao cho:
lim
z→∞
G(z) = 0.
Cho fn(z) được xác định bởi (2.23). Khi đó:
F (2n
z) G(2n
z)
fn(z) = Fn(z) + Gn(z), Fn(z) =
2nν
, Gn(z) =
2nν
.
Giong như cháng minh của Định lý 2.1.16, ta thay rang ho Fn(z)(n =
1, 2, . . . ) không chuȁn tac trong mien Ω. Đieu này cũng đúng cho ho fn(z)(n =
1, 2, . . . ).
H quả 2.1.18. Cho f(z) là m®t hàm chính hình trên m®t mien D : R0 <
|z| < +∞, sao cho điem ∞ là điem kì d cot yeu của f (z). Cho ν ≥ 1 là so
nguyên. Khi đó với hai giá tr hũu hạn bat kì a và b /= 0, ít nhat m®t trong
hai phương trình:
f(z) = a, f(ν)
(z) = b. (2.25)
có vô so nghi m trong D.
Chúng minh. Giả sả moi phương trình (2.25) có duy nhat m®t nghi m hǎu
hạn trong D. Cho ρ > R0 là m®t so sao cho moi phương trình (2.25) không
có nghi m với ρ < |z| < +∞. Cho n0 là m®t so nguyên dương sao cho với
n ≥ n0, ta có 2n−1
R > ρ, trong đó R là so được xác định trong Định lý
2.1.17 . Tà Định lý 2.1.13, ho:
f(2n
z) − a a
gn(z) =
2nν
= fn(z) −
2nν
(n ≥ n0),
R
trong đó fn(z) được xác định bởi (2.23) chuȁn tac trong mien Ω :
2
<
|z| < 4R. Tác là, ho fn(z)(n ≥ n0) và do đó ho (2.23) chuȁn tac trong Ω,
trái với Định lý 2.1.17.
Định lj 2.1.19. (Đ nh lý Schottky má r ng)
Cho m®t mien D, hai t¾p đóng b ch¾n σ, E của các điem thu®c D, m®t so
dương m và so nguyên ν ≥ 1, ta có the tìm được m®t so dương P(D, σ, E, m, ν)

34
| |
| |
| |
chí phự thu®c vào D, σ, E, m và ν có tính chat sau: Neu f(z) là m®t hàm
chính hình trong D thóa mãn các đieu ki n:
1) Mői phương trình f(z) = 0, f(ν)
(z) = 1 không có nghi m trong D;
2) min f(z) ≤ m ;
z∈σ
Khi đó ta có:
max f(z) ≤ P (D, σ, E, m, ν). (2.26)
z∈E
Đ nh lý này được chúng minh dựa vào Đ nh lý 2.1.13 và Bő đe 2.1.2
Định lj 2.1.20. (Đ nh lý Landau má r ng)
Cho m®t mien D, hai t¾p đóng b ch¾n σ, E của các điem thu®c D, m®t so
dương m và hai so nguyên dương ν và p, ta có the tìm được m®t so dương
Q(D, σ, E, m, ν, p) chí phự thu®c vào D, σ, E, m, ν và p có tính chat sau:
Neu f(z) là m®t hàm chính hình trong D thóa mãn đieu ki n 1) và 2) trong
đ nh lý 2.1.19 , khi đó ta có:
max f(p)
(z) ≤ Q(D, σ, E, m, ν, p). (2.27)
z∈E
Đ nh lý này được chúng minh dựa vào đ nh lý 2.1.13 và bő đe 2.1.2, bang
phương pháp tương tự trong chúng minh đ nh lý 2.1.9.
2.1.3 Định lj Bloch
Định nghĩa 2.1.21. Cho w = f (z) là hàm chỉnh hình trong m®t mien D,
và ∆ là m®t mien trong w - phȁng. Ta nói rang ∆ là m®t mien ảnh đơn
phủ của f(z) lên D, neu có m®t mien d ⊂ D sao cho f(z) là đơn di p trong
d và các ánh xạ d lên ∆. Đieu này tương tự với các hàm nghịch đảo của
w = f(z) có m®t nhánh ϕ(w) chỉnh hình trong ∆ sao cho ϕ(w) ∈ D và
f{ϕ(w)} = w với w ∈ ∆.
Định lj 2.1.22. Cho D là m®t mien và m®t so A > 0. Cho F là ho của
các hàm f(z) thóa mãn đieu ki n sau:
1) f(z) chính hình trong D.
2) Không ton tại hai so R1, R2 sao cho:
R1 ≥ A, R2 − R1 > A

35
ρ
1
3ρ
và với mői so 0 ≤ ω < 2π, mien:
R1 < |w| < R2, ω < argw < ω + 2π
là mien ảnh đơn phủ của f(z) trong D. Khi đó ho F chuȁn tac trong D.
Chúng minh. Cho z0 là m®t điem của D và Γ : |z − z0| < ρ là m®t hình
tròn thu®c D. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, . . . ) là m®t dãy các hàm của ho F.
Tà Định lý 1.3.3, ta cháng minh được tà dãy S ta có the trích ra m®t dãy
con fnk (z)(k = 1, 2, . . . ) sao cho khi k → +∞, fnk (z) h®i tụ đeu đen m®t
hàm chỉnh hình ho c đen ∞ trong hình tròn Γ′ : |z − z0
trường hợp:
ρ
| <
4
. Chia hai
1) Dãy fn(z0)(n = 1, 2, . . . ) bị ch n, tác là |fn(z0)| ≤ L(n = 1, 2, . . . ).
Tà hàm phụ trợ Fn(ζ) = fn(z0 + ρζ)(|ζ| < 1) trong hình tròn |z − z0| ≤
2
,
ta có:
trong đó:
|fn(z)| < 4e (A + |fn(z0)|)Φ(
2
) ≤ 4e
1
(A + L)Φ( ),
2
Φ(r) = exp
a
.
−logr
Do đó dãy S bị ch n đeu trong hình tròn |z − z0| ≤
ρ
, và tà H quả
2
1.3.8, ta có the trích tà S m®t dãy con fnk (z)(k = 1, 2, . . . ) sao cho khi
k → +∞, fnk (z) h®i tụ đeu đen m®t hàm chỉnh hình trong hình tròn Γ′.
2) Dãy fn(z0)(n = 1, 2, . . . ) không bị ch n. Khi đó m®t dãy con fnk (z0)(k =
1, 2, . . . ) sao cho khi k → +∞, fnk (z0) h®i tụ đen ∞. Xét m®t điem z1 ∈ Γ′.
Khi đó hình tròn |z − z1| < thu®c hình tròn Γ. Trong hình tròn
4
|z − z1| ≤ , ta có:
4
|fnk (z)| < 4e
1
(A + |fnk (z1)|)Φ(
3
),
và đ c bi t:
|fnk (z0)| < 4e
1
(A + |fnk (z1)|)Φ(
3
).
Bat đȁng thác này cho thay khi k → +∞, |fnk (z)| h®i tụ đeu đen +∞ trong
Γ′.
ρ
3 3
3
3

36
2
ρ
h(1+logK)
2 F F(0)
Định lj 2.1.23. Cho D là m®t mien và K > 1 là m®t so. Cho F là ho các
hàm f(z) thóa mãn đieu ki n:
1) f(z) chính hình và không lay giá tr 0 trong D.
2) Có m®t so ω = ω(f) sao cho 0 ≤ ω < 2π và các mien:
1
K
< |ω| < K, ω < argω < ω + 2π, (2.28)
không là mien ảnh đơn phủ của f(z) lên D. Khi đó hoc F chuȁn tac trong
D.
Chúng minh. Cho z0 là m®t điem của D và |z − z0| < ρ là m®t hình tròn
thu®c D. Cho f (z) là m®t hàm của ho F và đ t F (ζ) = f (z0 + ρζ)(|ζ| < 1).
Ta có 2 bat đȁng thác:
logM(
1
, F) < h(1 + logK + log+
|F(0)|), (2.29)
logM(
1
,
1
) < h(1 + logK + log+
|
1
|), (2.30)
trong đó h là hang so dương tuy t đoi. Neu |F(0)| = |f(z0)| ≤ 1, tà (2.29),
trong hình tròn Υ : |z − z0| ≤
, ta có:
2
|f(z)| < e .
M t khác, neu |F(0)| = |f(z0)| > 1, khi đó tà (2.30), trong Υ ta có:
1
|
f(z)
| < e
h(1+logK)
.
Do đó tà H quả 1.3.9, ho F chuȁn tac trong D.
Định lj 2.1.24. Cho D là m®t mien, so nguyên ν ≥ 1 và K > 1 . Cho F
là ho các hàm f(z) thóa mãn các đieu ki n:
1) f(z) chính hình và không lay giá tr 0 trong D.
2) Có m®t so ω = ω(f) sao cho 0 ≤ ω < 2π và các mien (2.28) không
là mien ảnh đơn phủ của f(ν)
(z) lên D. Khi đó ho F chuȁn tac trong D.

37
| |
^
|
∈
2 F F(0)
1
Chúng minh. Cho z0 là m®t điem của D và |z − z0| < ρ là hình tròn thu®c
D. Cho f(z) là m®t hàm của ho F và đ t: F(ζ) =
f(z0 + ρζ)
( ζ < 1). Ta
ρν
có hai bat đȁng thác:
1
logM( , F) < hν
2
1 1
logM( , ) < h
(1 + logK + log+
|F(0)|),
(1 + logK + log+
|
1
|),
trong đó hν là m®t so dương chỉ phụ thu®c vào ν. Khi đó cháng minh được
hoàn thành như trong cháng minh của Định lý 2.1.13.
2.2 M t so tiêu chuan cho ho chuan tac các hàm
phân hình
2.2.1 Định lj Montel cho ho các hàm phân hình
Định lj 2.2.1. Cho D là m®t mien và a, b, c là 3 giá tr phân bi t trong C.
Cho F là ho các hàm f(z) phân hình trong D, sao cho mői phương trình:
f(z) = a, f(z) = b, f(z) = c, (2.31)
Chúng minh. Neu m®t trong các giá trị a, b, c là vô hạn, giả sả c = ∞, khi
đó a, b(a =
/ b) hǎu hạn và hàm f(z) của ho F chỉnh hình trong D, sao cho
m®t trong hai phương trình trong (2.31) không có nghi m trong D, do đó
tà Định lý 2.1.1 ho F chuȁn tac trong D.
Giả sả các giá trị a, b, c hǎu hạn. Xét ho các hàm:
F =
1
f(z) F .
f(z) − a
1 1
Các hàm của F1 chỉnh hình và không lay giá trị và
b − a
trong D.
c − a
Tà Định lý 2.1.1, ho F1 chuȁn tac trong D, vì v y F liên tục đeu trong D
đoi với khoảng cách cau , do Định lý 1.3.6. Cho z0 là m®t điem của D và
ν

38
ε là m®t so dương. Khi đó có m®t hình tròn Υ : |z − z0| < δ thu®c D, sao
cho đoi với moi hàm f(z) ∈ F, bat đȁng thác:
1
|
f(z) − a
,
1
f(z0) − a
| < ε,
co định trong Υ. Đieu này cũng đúng với bat đȁng thác:
|f(z) − a, f(z0) − a| < ε.
Khi đó tà Bő đe 1.1.2 ta có:
|f(z), f(z0)| ≤
2
|a, ∞|2
|f(z) − a, f(z0) − a| <
2
|a, ∞|2
ε,
trong Υ. Do đó ho F liên tục đeu trong D đoi với khoảng cách cau và tà
Định lý 1.3.6 ho F chuȁn tac trong D.
Định lj 2.2.2. Cho f(z) là m®t hàm phân hình khác hang trong C. Khi đó
ho các hàm phân hình trong C:
fn(z) = f(2n
z)(n = 1, 2, . . . ), (2.32)
Chúng minh. Giả sả ho (2.32) chuȁn tac trong hình tròn |z| < 2. Khi đó tà
H quả 1.3.9 , ta có the tìm m®t hình tròn Γ : |z| < r(0 < r < 2) và m®t
so dương M sao cho moi hàm fn(z) của ho (2.32) trong Γ thỏa mãn m®t
trong các bat đȁng thác:
|fn(z)| < M, |
f
1
(z)
| < M. (2.33)
V y ít nhat m®t trong hai bat đȁng thác co định trong Γ với vô hạn các
so nguyên dương n. Giả sả đieu này đúng với bat đȁng thác đau tiên trong
(2.33). Khi đó bat đȁng thác: |f(z)| < M co định trong hình tròn |z| < 2n
r
với n đủ lớn. Khi đó hàm f(z) là hàm nguyên, do đó là m®t hang so, đieu
này trái với giả thiet. Ta sě dan đen m®t mâu thuan, neu ta giả sả rang bat
đȁng thác thá hai trong (2.33) co định trong Γ với m®t so vô hạn các so
nguyên dương n.
n

39
^
^ ^
^
H quả 2.2.3. (Đ nh lý Picard trên các hàm phân hình trong C)
Neu f(z) là hàm phân hình khác hang trong C, khi đó f(z) lay moi giá tr
a ∈ C, nh¾n nhieu nhat hai giá tr a ∈ C.
Chúng minh. Neu hàm f(z) không lay ba giá trị phân bi t a, b, c thu®c C,
khi đó tà Định lý 2.2.1, ho (2.32) chuȁn tac trong hình tròn |z| < 2, mâu
thuan với Định lý 2.2.2.
Giả sả hàm f(z) không lay ba giá trị a, b, c. Neu m®t trong các giá trị a, b, c
là vô hạn, khi đó f (z) sě là m®t hàm nguyên mà không lay hai giá trị hǎu
hạn. Tà H quả 2.1.4, f(z) là m®t hang so. Neu các giá trị a, b, c hǎu hạn
thì hàm
1
1
f(z) − a
là m®t hàm nguyên mà không lay các giá trị
1
và
b − a
c − a
. Tà H quả 2.1.4, f(z) là m®t hang so.
Định nghĩa 2.2.4. Cho f(z) là hàm phân hình trong m®t mien D : 0 <
|z| < ρ. Ta nói rang điem z = 0 là m®t điem kì dị cot yeu của f(z), neu
m®t trong các đieu ki n sau được thỏa mãn:
1) Có m®t so ρ1(0 < ρ1 < ρ) sao cho f(z) chỉnh hình trong m®t mien
D1 : 0 < |z| < ρ1 và điem z = 0 là m®t điem kì dị cot yeu của f(z).
2) Điem z = 0 là m®t điem tụ của t p các cực điem của f(z) trong mien
D.
H quả 2.2.5. Cho f(z) là m®t hàm phân hình trong m®t mien D : 0 <
|z| < ρ sao cho điem z = 0 là điem kì d cot yeu của f(z). Khi đó trong D,
f(z) lay moi giá tr a ∈ C
a ∈ C
^.
m®t so vô hạn lan, nh¾n nhieu nhat hai giá tr
Đây là đ nh lý Picard trên m®t hàm phân hình trong lân c¾n của điem kì d
cot yeu.
Chúng minh. Chia hai trường hợp. Neu đieu ki n 1) trong Định nghĩa 2.2.4
được thỏa mãn, khi đó tà H quả 2.1.6 , trong D, hàm f (z) lay moi giá trị
m®t so vô hạn lan, nh n nhieu nhat m®t giá trị hǎu hạn và ∞. Bây giờ giả
sả đieu ki n 2) trong Định nghĩa 2.2.4 được thỏa mãn và trong D, f(z) lay
ba giá trị a, b, c chỉ m®t so hǎu hạn lan. Tat nhiên các giá trị a, b, c đeu hǎu

40
1
^
∈ | |
| |
2
| |
| ∞|
| |
hạn. Cho D1 : 0 < |z| < ρ1(0 < ρ1 < ρ) là m®t mien, trong đó f(z) không
lay các giá trị a, b, c. Hàm g(z) =
f(z) − a
chỉnh hình trong D1 và không
lay các giá trị
1
b − a
1
và
c − a
. Tà H quả 2.1.6, điem z = 0 không là điem
kì dị cot yeu của g(z). Khi đó điem z = 0 là điem tụ của t p hợp các không
điem của g(z), điem z = 0 là m®t điem kì dị rời nhau của g(z) mà khi đó
đȁng thác bang 0 trong D1. Đieu này là vô lý.
Bo đe 2.2.6. Cho F là m®t ho chuȁn tac các hàm phân hình trong m®t
mien D. Cho σ là m®t t¾p đóng b ch¾n của các điem thu®c D, m®t giá tr
a(a ∈ C) và m®t so δ(0 < δ ≤ 1). Giả sủ các đieu ki n sau được thóa mãn:
1) Mői hàm f(z) ∈ F không lay giá tr a trong D.
2) Với mői hàm f(z) F, ta có : max f(z), a ≥ δ. Khi đó với mői t¾p
z∈σ
đóng b ch¾n E của các điem của D, có m®t so α > 0 sao cho với mői hàm
f(z) ∈ F, ta có:
min f(z), a ≥ α. (2.34)
z∈E
1) a = ∞. Khi đó các hàm của ho F chỉnh hình trong D và với moi hàm
f(z) ∈ F, ta có:
1
min |f(z)| < min(1 + |f(z)|2
)
1
≤ .
z∈σ z∈σ δ
Do đó tà Bő đe 2.1.2, với moi t p đóng bị ch n E của các điem của D, có
m®t so K > 0 sao cho với moi hàm f(z) ∈ F, ta có:
max f(z) ≤ K,
z∈E
suy ra
min f(z), ≥
z∈E
1
(1 + K
1 .
2)2
2) a =
/ ∞. Cho E là m®t t p đóng bị ch n của các điem của D, giả s
ả
không ton tại m®t so α > 0 có tính chat can thiet với E. Khi đó với moi so
nguyên dương n tương áng m®t hàm fn(z) ∈ F sao cho:
1
min fn(z), a <
z∈E
. (2.35)
n

41
| |
| |
| |
k
→ ∞
Tà dãy fn(z)(n = 1, 2, . . . ) ta có the trích ra m®t dãy con fnk (k = 1, 2, . . . )
là m®t C0- dãy trong D. Tà Định lý 1.2.7, khi k → +∞, fnk (z) h®i tụ đeu
địa phương đen m®t hàm giới hạn F (z) trong D đoi với khoảng cách cau.
Tà định lý phủ hǎu hạn, ta có:
lim
k→+∞
|fnk (z), F(z)| = 0
đeu trên E. M t khác tà Định lý 1.2.8, F(z) là m®t hàm phân hình trong
D ho c ∞. Trong cả hai trường hợp, tà bat đȁng thác tam giác (1.6) và Bő
đe 1.2.4 ta thay rang hàm |F(z), a| liên tục trong D. Cho m®t so ε > 0, đe
k0 là m®t so nguyên dương sao cho khi k ≥ k0, ta có:
|fnk (z), F(z)| < ε, (2.36)
trên E. Tà (2.35), (2.36) và bat đȁng thác:
|F(z), a| ≤ |F(z), fnk (z)| + |fnk (z), a|,
ta thay khi k ≥ k0, ta có:
do đó:
1
min F(z), a < ε + ,
z∈E nk
min F(z), a = 0,
z∈E
và có m®t điem z0 ∈ E sao cho F (z0) = a. F(z) là m®t hàm phân hình
trong D. M t khác, tà đieu ki n 2) của Bő đe 2.2.6 và bat đȁng thác:
|fnk (z), a| ≤ |fnk (z), F(z)| + |F(z), a|,
ta tìm :
δ
max F (z), a >
z∈σ 2
đieu này cho thay F(z) không bang a. Khi F(z0) = a =
/ ∞, tà Định l
ý
1.2.5, ta có the tìm m®t hình tròn Υ : |z − z0| < ρ thu®c D và m®t so
nguyên dương k∗ sao cho các hàm fnk (z)(k ≥ k∗) và F(z) chỉnh hình trong
Υ và
lim
k +
≥k0
|fnk (z) − F(z)| = 0.

42
| |
| |
| |
đeu trong Υ. Khi đó tà định lý đã biet, fnk (z) − a có không điem trong Υ,
khi k đủ lớn, đieu này mâu thuan với đieu ki n 1) trong Bő đe 2.2.6.
thu®c D, có ba giá tr phân bi t aj(aj ∈ C
^)(j = 1, 2, 3) và m®t so δ(0 <
δ ≤ 1), ta có the tìm được m®t so α(D, σ, E, a1, a2, a3, δ) > 0 chí phự thu®c
vào D, σ, E, aj(j = 1, 2, 3) và δ có các tính chat sau: Neu f (z) là m®t hàm
phân hình trong D thóa mãn các đieu ki n:
1) f(z) không lay giá tr aj(j = 1, 2, 3) trong D;
2) max f(z), a1 ≥ δ;
z∈E
Khi đó ta có:
min f(z), a1 ≥ α(D, σ, E, a1, a2, a3, δ). (2.37)
z∈E
Đây là dạng tőng quát của đ nh lý Schottky trong trường hợp của hàm phân
hình.
Chúng minh. Cho F là ho các hàm phân hình trong D và thỏa mãn các đieu
ki n 1), 2) trong Định lý 2.2.7. Tà Định lý 2.2.1, ho F chuȁn tac trong D.
Tà Bő đe 2.2.6, có m®t so α > 0 sao cho với moi hàm f(z) ∈ F ta có:
min f(z), a ≥ α.
z∈E
So α có tính chat can thiet.
Định nghĩa 2.2.8. Cho f (z) là m®t hàm phân hình siêu vi t trong C. Cho
Γ : z = z(t)(0 ≤ t < +∞) là m®t đường cong, trong đó z(t) là hàm có giá
trị phác liên tục sao cho:
Cho a ∈ C
^
lim
t→+∞
là m®t giá trị . Neu:
z(t) = ∞. (2.38)
lim
t→+∞
f {z(t)} = a, (2.39)
khi đó a được goi là m®t giá tr ti m c¾n của f(z) và Γ là m®t đường tương
áng xác định.

43
Định lj 2.2.9. Cho f(z) là m®t hàm phân hình siêu vi t trong C. Neu f(z)
có giá tr ti m c¾n a, khi đó ho các hàm phân hình trong (C):
fn(z) = f(2n
z)(n = 1, 2, . . . ), (2.40)
1
không chuȁn tac trong mien ω : < |z| < 4.
2
Chúng minh. Không mat tính tőng quát, ta có the giả sả a /= ∞. Neu
a = ∞, xét hàm
1
và ho
f(z)
1
=
fn(z)
1
f(2nz)
(n = 1, 2, . . . ).
Chia hai trường hợp:
1) f(z) chỉ có m®t so hǎu hạn các cực điem. Trong trường hợp này ta có
the tìm được m®t so dương R sao cho f(z) chỉnh hình với R < |z| < +∞
và có m®t kì dị cot yeu tại điem z = ∞. Giong như cháng minh của Định
lý 2.1.5, ho (2.40) không chuȁn tac trong mien ω.
1) f (z) có vô hạn các cực điem. Trong trường hợp này ta có the tìm
được m®t dãy con fnk (z)(k=1,2,. . . ) của dãy (2.40), sao cho với moi k,
hàm fnk (z) có ít nhat m®t cực điem trong mien E : 1 ≤ |z| ≤ 2. Cho
Γ : z = z(t)(0 ≤ t < +∞) là đường cong được xác định trong Định nghĩa
2.2.8. Giả sả |z(0)| < 2n1 và ho (2.40) chuȁn tac trong mien ω. Khi đó tà
dãy fnk (z)(k = 1, 2, . . . ) ta có the trích ra m®t dãy con fmh (z)(h = 1, 2, . . . )
là m®t C0- dãy trong ω, hàm giới hạn F(z) là m®t hàm phân hình trong ω
ho c ∞ đoi với khoảng cách cau. Xét hình tròn |z| = r(1 ≤ r ≤ 2). Với moi
h ta tìm được th sao cho:
Hien nhiên th
|z(th)| = 2mh
r.
→ +∞, khi h → +∞. T p zh
=
z(th)
, khi đó:
2mh
Tà (2.39) ta có:
|zh| = r, fmh (zh) = f {z(th)} .
lim
h→+∞
fmh (zh) = a.
M t khác tà Định lý 1.2.7 và định lý phủ hǎu hạn, khi h → +∞, fmh (z)
h®i tụ đeu đen F (z) trong E đoi với khoảng cách cau. Khi đó tà bat đȁng
thác:
|F(zh), a| ≤ |F(zh), fmh (zh)| + |fmh(zh), a|,

44
| |
ta thay min F (z), a = 0 và do đó F (z) phải là m®t hàm phân hình trong
|z|=r
ω và lay giá trị a trong m®t hình tròn |z| = r. Khi đó r(1 ≤ r ≤ 2) tùy ý,
do đó F(z) đong nhat với hang so a. Nhưng đieu này mâu thuan với thực
te là với moi h, hàm fmh(z) có ít nhat m®t cực điem trong E.
Định lj 2.2.10. Cho f(z) là m®t hàm phân hình siêu vi t trong C. Đe ho
1
(2.40) không chuȁn tac trong mien ω : < |z| < 4 , đieu ki n can và đủ là
2
hàm |z|∂(z, f) không b ch¾n trong C, trong đó ∂(z, f) là đạo hàm cau của
f(z).
Chúng minh. Đau tiên, tà (2.40) ta có:
∂(z, fn) = 2n
∂(2n
z, f). (2.41)
Giả sả ho (2.40) chuȁn tac trong mien ω. Khi đó tà Định lý 1.3.12 và
định lý phủ hǎu hạn, dãy ∂(z, fn)(n = 1, 2, . . . ) bị ch n đeu trong mien
E : 1 ≤ |z| ≤ 2, tác là có m®t so dương M sao cho với moi n ≥ 1, ta có:
∂(z, fn) ≤ M,
trong E. Do đó tà (2.41)
2n
|z|∂(2n
z, f) ≤ |z|M ≤ 2M,
trong E. Đieu này tương đương với bat đȁng thác:
|z|∂(z, f) ≤ 2M,
với 2n
≤ |z| ≤ 2n+1
. Khi đó n ≥ 1 tùy ý, ta ket lu n là hàm |z|∂(z, f) bị
ch n trong C.
Ngược lại neu có m®t so dương M′ sao cho:
|z|∂(z, f) ≤ M′,
trong C, khi đó với z ∈ ω ta có:
∂(z, fn
) = 2n
∂(2n
z, f) ≤
M′
|z|
< 2M′.

45
≤
[
^
1
hai giá trị a ∈ C
^. Do đó giong như trường hợp của hàm nguyên siêu vi t,
n
^
so nguyên dương n sao cho fn(z) lay giá trị a trong Υ, nh n nhieu nhat
góc A : |argz − θ0| < ε(z = |z0|eiθ0) với tia L : z = z0t(0 ≤ t < +∞) là
Do đó dãy ∂(z, fn)(n = 1, 2, . . . ) bị ch n đeu trong ω và tà Định lý 1.3.12
ho (2.40) chuȁn tac trong ω
Xét m®t hàm phân hình siêu vi t f(z) trong C sao cho ho (2.40) không
1
chuȁn tac trong mien ω : < |z| < 4. Tà Định lý 1.3.6 có điem z0 ∈ ω
2
sao cho ho (2.40) không chuȁn tac tại z0. Cho Υ : |z − z0| < δ là hình
tròn thu®c ω. Tà Định lý 2.2.1, với moi giá trị a ∈ C
^ có m®t so vô hạn các
c (n = 1, 2, . . . ) là dãy các hình tròn (2.16) với δ
|z0|
, khi đó trong t p
3
∞
mở Ω = cn, f(z) lay moi giá trị a ∈ C
n=1
m®t so vô hạn lan, nh n nhieu
nhat hai giá trị a ∈ C
^. Ta thay không có van đe gì với so dương ε, trong
phân giác, f(z) lay moi giá trị a ∈ C
^ m®t so vô hạn lan, nh n nhieu nhat
hai giá trị a ∈ C. Tia L được goi là hướng Julia của f(z).
Định lj 2.2.11. Neu f(z) là hàm phân hình siêu vi t trong C sao cho hàm
|z|∂(z, f) không b ch¾n trong C, khi đó f(z) có ít nhat m®t hướng Julia.
Định lj 2.2.12. Cho f(z) là n®t hàm phân hình siêu vi t trong C sao cho
hàm |z|∂(z, f) không b ch¾n trong C. Khi đó cho đường cong bat kì z = ϕ(t)
thóa mãn đieu ki n (C), ta có the tìm m®t điem z0 của mien
2
< |z| < 4,
sao cho đường cong z = z0ϕ(t) là m®t đường cong Julia của f(z).
2.2.2 Định lj Gu
Định lj 2.2.13. Cho D là m®t mien, a và b /= 0 là hai so phúc và so nguyên
ν ≥ 1. cho F là ho các hàm f(z) phân hình trong D sao cho mői phương
trình:
f(z) = a, f(ν)
(z) = b,
Chúng minh. Đau tiên xét trường hợp a = 0, b = 1. Cho z0 là m®t điem
thu®c D và Γ : |z − z0| < ρ là hình tròn thu®c D. Cho f(z) là m®t hàm của

46
∈
| | ∞
ν
f(z) ν
ho F và đ t : F(ζ) =
1
ρν
f(z0 + ρζ)(|ζ| < 1). Ta có the tìm m®t so dương
1
Kν chỉ phụ thu®c vào ν sao cho trong hình tròn |ζ| <
đȁng thác:
m®t trong hai bat
32
co định. T p :
1
|F (ζ)| < Kν, |
F (ζ)
| < Kν,
Kν
′
= Kν
max(ρν
,
1
),
ρν
khi đó trong hình tròn |z − z0| <
1
ρ, m®t trong hai bat đȁng thác:
32
|f(z)| < K′ , |
1
| < K′ ,
co định. Do đó tà H quả 1.3.9, ho F chuȁn tac trong D.
Xét trường hợp tőng quát. Tà các trường hợp đ c bi t, ho F1 các hàm:
g(z) =
f(z) − a
, f(z) F,
b
chuȁn tac trong D. Tà H quả 1.3.9, ho F2 các hàm:
bg(z) = f(z) − a, f(z) ∈ F,
chuȁn tac trong D, tà Định lý 1.3.12 ho F2 liên tục đeu trong D đoi với
khoảng cách cau. Khi đó tà Bő đe 1.1.2 ta có:
|f(z) − a, f(z0) − a| ≥
1 2
2
|a, ∞| |f(z), f(z0)|,
ho F cũng liên tục đeu trong D đoi với khoảng cách cau, do đó F chuȁn tac
trong D.
Bây giờ xét m®t hàm phân hình siêu vi t f(z) trong C . Ta sě tìm đieu
ki n trong đó ho:
fn(z) =
f (2n
z)
2nν
(n = 1, 2, . . . ), (2.42)
1
của các hàm phân hình trong C không chuȁn tac trong mien ω :
Đ t:
2
< |z| < 4.
µ(r, f) = min f(z) (0 < r < + ). (2.43)
|z|=r

47
| |
Ta nói hàm f(z) thỏa mãn đieu ki n (C), neu có m®t t p s các điem của
1
khoảng
2
1
< t < 4, trong đó bao gom vô so điem và có m®t điem tụ
t0(
2
< t0 < 4) , sao cho với moi t ∈ s, ta có:
µ(2n
t, f)
Hien nhiên neu:
lim
n→+∞ (2n
t)ν
= 0. (2.44)
lim
r→+∞
µ(r, f)
rν
= 0, (2.45)
khi đó f(z) thỏa mãn đieu ki n (C). Đ c bi t neu có m®t đường cong liên
tục z = z(t)(0 ≤ t < +∞) với lim
t→+∞
z(t) = ∞, sao cho hàm f {z(t)} bị
ch n khi t đủ lớn, t ≥ t0, khi đó (2.45) co định. Hien nhiên neu f(z) có m®t
giá trị ti m c n hǎu hạn khi đó (2.45) co định.
Định lj 2.2.14. Cho f(z) là m®t hàm phân hình siêu vi t trong C. Neu
f(z) thóa mãn đieu ki n (C), khi đó ho (2.42) không chuȁn tac trong mien
1
ω :
2
< |z| < 4.
1) f (z) chỉ có m®t so hǎu hạn các cực. Trong trường hợp này ta can
tìm m®t so dương R sao cho f(z) là chỉnh hình với R < |z| < +∞ và có
m®t điem kì dị cot yeu tại điem z = ∞. Khi đó bang phương pháp đã sả
dụng trong cháng minh của Định lý 2.1.16 ta thay ho (2.42) không chuȁn
tac trong ω.
2) f(z) có vô hạn các cực. Trong trường hợp này chúng ta có the tìm
m®t dãy con fnk (z)(k = 1, 2, . . . ) của dãy (2.42), sao cho với moi k thì hàm
fnk (z) có ít nhat m®t cực trong mien E : 1 ≤ |z| ≤ 2. Bây giờ giả sả ho
(2.42) chuȁn tac trong ω. Khi đó tà dãy fnk (z)(k = 1, 2, . . . ) ta có the trích
ra m®t dãy con fmh (z)(h = 1, 2, . . . ) là m®t C0 - dãy trong ω. Cho F(z)
là hàm giới hạn đoi với khoảng cách cau. Xét t p s được xác định ở trên
và cho t ∈ s. Khi đó cho h → +∞, fmh (z) h®i tụ đeu đen F (z) trong hình
tròn |z| = t đoi với khoảng cách cau. M t khác, tà (2.42) ta có:
min fmh
|z|=t
(z) =
1
µ(2mh
t, f).
2mhν

48
| |
ν
2
≥ |
n
n
Khi đó tà (2.44) và bat đȁng thác :
|F(z), 0| ≤ |F(z), fmh(z)| + |fmh (z), 0|,
ta có:
min F(z), 0 = 0
|z|=t
và do đó trên hình tròn |z| = t, F (z) có m®t không điem. Khi đó F (z) ≡ 0,
nhưng đieu này không phù hợp với thực te là khi h → +∞, fmh (z) h®i tụ
đeu đen F (z) trong mien E đoi với khoảng cách cau và với moi h, hàm
fmh (z) có ít nhat m®t cực trong E.
Định lj 2.2.15. Cho f(z) là m®t hàm phân hình siêu vi t trong C. Neu
f(z) thóa mãn đieu ki n (C), khi đó ho
f (z) =
f {ϕ(tn)z}
{ϕ(tn)}
1
(n = 1, 2, . . . ),
không chuȁn tac trong mien ω :
2
< |z| < 4.
Định lj 2.2.16. Cho fn(z)(n = 1, 2, . . . ) là dãy các hàm phân hình trong
m®t mien D và an(n = 1, 2, . . . ) là m®t dãy b ch¾n của các so phúc. Neu
ho F : fn(z)(n = 1, 2, . . . ) chuȁn tac trong trong D, khi đó ho F1 : fn(z) +
an(n = 1, 2, . . . ) cũng chuȁn tac trong D.
Chúng minh. Khi F chuȁn tac trong D, tà Định lý 1.3.6, F liên tục đeu
trong D đoi với khoảng cách cau. Cho:
|an| ≤ M (n = 1, 2, . . . ).
Tà Bő đe 1.1.2,
|fn(z), fn(z0)| =|(fn(z) + an) − an, (fn(z0) + an) − an|
≥
1
|a , ∞|2
|f (z) + a , f (z ) + a |
n n n 0 n
1 1
f
2 1 + M2 n(z) + an , fn (z0) + an|,
do đó ho F1 cũng liên tục đeu trong D đoi với khoảng cách cau, vì v y F1
chuȁn tac trong D.

49
≤
^
α
1 (k)
!#
1
n
2.3 Định lj Montel m r ng
Trong phan này, chúng tôi tìm hieu ket quả của Tran Văn Tan, Nguyen Văn
Thìn và Vũ Văn Trường [8] ve sự mở r®ng Định lý Montel tới trường hợp
đạo hàm cau bị ch n và các điem được thay bởi các hàm.
Định lj 2.3.1. Cho F là m®t ho các hàm phân hình trên D ⊂ C. Giả sủ
với mői t¾p con compact K ⊂ D, ton tại
i) các so nguyên dương (có the bang +∞) l , . . . , l thóa mãn
Σq
<
q − 2,
1 q j=1
lj
ii) các hàm phân hình a1f , . . . , aqf (f ∈ F) trên D, và các so dương ε,
M sao cho σ(aif (z), ajf (z)) ≥ ε với moi z ∈ D, 1 ≤ i, j ≤ q, i =
/ j và
sup
z∈K:f(z)=ajf (z)/=∞
(f (k)
)#
(z) M, sup
z∈K:f(z)=ajf (z)=∞ f
(z) ≤ M,
với moi f ∈ F, j ∈ {1, . . . , q}, và k = 0, . . . , lj − 2. đây, ta ký hi u σ là
khoảng cách cau trên C.
Khi đó F là chuȁn tac.
Đe cháng minh định lý trên, ta can các bő đe sau:
Bo đe 2.3.2 (Bő đe Zalcman, [9]). Cho F là m®t ho các hàm phân hình
trên đĩa đơn v D. Khi đó F không chuȁn tac tại z0 ∈ D, khi và chí khi với
mői α, thóa mãn −1 < α < 1, ton tại
1) so thực r, 0 < r < 1,
2) các điem zn, |zn| < r, zn → z0,
3) dãy so thực dương ρn → 0+
,
4) các hàm fn ∈ F
sao cho
g (ξ) =
fn(zn + ρnξ)
n
→ g(ξ)
h®i tự đeu trên các t¾p con compact của C theo metric cau, ớ đó g(ξ) làm
m®t hàm phân hình khác hang thóa mãn g#
(ξ) ≤ g#
(0) = 1 và có b¾c không
lớn hơn 2.
ρ

50
v
2
1
Bo đe 2.3.3 (xem Grahl-Nevo, [5]). Cho {aα, bα}α∈I là m®t ho các c¾p hàm
phân hình trên m®t mien D ⊂ C . Giả sủ ton tại hang so dương ε sao cho
σ (aα(z), bα(z)) ≥ ε với moi α ∈ I và moi z ∈ D. Khi đó các ho {aα}α∈I
và {bα}α∈I là chuȁn tac.
Chúng minh Đ nh lý 2.3.1. Không mat tính tőng quát, giả sả D là đĩa đơn
vị D. Giả sả F không chuȁn tac tại z0 ∈ D. Khi đó, theo Bő đe 2.3.2, với
α = 0 ton tại
1) so thực r, 0 < r < 1,
2) các điem zv, |zv| < r, zv → z0,
3) các so thực dương ρv → 0+
,
4) các hàm fv ∈ F
sao cho
gv(ξ) = fv(zv + ρvξ) → g(ξ) (2.46)
h®i tụ đeu trên các t p con compact thu®c C, với g là m®t hàm phân hình
khác hang.
Khi đó với moi j ∈ N, ta có
g(j)
→ g(j)
trên các t p con compact của C P, (2.47)
1 (j)
và
gv
1 (j)
trên các t p con compact của C Z (2.48)
theo metric Euclid, với P, Z lan lượt là các t p con không điem, cực điem
của g.
Lay K := {z : |z| ≤
1 + |z0|
} ⊂ D, theo giả thiet, ton tại
i) các so nguyên dương (có the bang +∞), l , . . . , l thỏa mãn
Σq
<
q − 2,
1 q j=1
lj
ii) các hàm phân hình a1fv , . . . , aqfv (f ∈ F) trên D, và các so thực dương
ε và M sao cho σ(aifv (z), ajfv (z)) ≥ ε với moi z ∈ D, 1 ≤ i, j ≤ q, i j,
và:
sup (f(k)
)#
(z) ≤ M, sup 1 (k)
!#
(z) ≤ M,
z∈K:fv(z)=a jfv
v
(z)/=∞ z∈K:fv(z)=a jfv (z) =∞ fv
g
→

51
v
n
v
. .
v
với moi v ≥ 1, j ∈ {1, . . . , q}, và moi k = 0, . . . , lj − 2.
Bỏ qua bat kỳ lj = 1, không mat tính tőng quát, có the giả sả q ≥ 3 và
lj ≥ 2 với moi j = 1, . . . , q.
Tà Bő đe 2.3.3, ta có the giả sả {ajfv }v≥1 h®i tụ đeu trên các t p con
compact của C theo metric cau tới hàm phân hình aj (ho c ∞) với moi
j = 1, . . . , q. Khi đó Ajv(ξ) := ajfv (zv + ρvξ) h®i tụ đeu trên các t p con
compact của C tới hang so aj(z0). Tà giả thiet ve các khoảng cách cau giǎa
các c p điem thu®c {a1(z), . . . , aq(z)} ta có a1(z0), . . . , aq(z0) đôi m®t phân
bi t.
Bây giờ ta cháng minh khȁng định sau: Với moi j ∈ {1, . . . , q}, neu
aj(z0) /= ∞ thì moi không điem của g − aj(z0) có b®i ít nhat lj.
Co định m®t j. Với không điem ξ0 bat kỳ của g(ξ)−aj(z0), do aj(z0) =
/ ∞,
nên g chỉnh hình tại ξ0. Theo Định lý Hurwitz, ton tại các giá trị ξv (với
moi v đủ lớn) ξv → ξ0 sao cho Ajv(ξv) ∞ và
fv(zv + ρvξv) − ajfv (zv + ρξv) = gv(ξv) − Ajv(ξv) = 0.
Đe ý rang z0 ∈K
◦
, nên zv + ρvξv ∈ K với moi v đủ lớn. Tà ajf (zv + ρξv) →
aj(z0)
Ta có
∞, ta có the giả sả rang
|fv(zv + ρvξv)| = |ajfv (zv + ρξv)| ≤ 1 + |aj(z0)|. (2.49)
(k+1)
|fv (zv + ρvξv)| ≤ M, (2.50)
1 + |f(k)
(zv + ρvξv)|2
với moi k = 0, . . . , lj − 2 và với moi v đủ lớn.
Đ t M1 := M · (1 + (1 + |aj(z0)|)2
), và Mn+1 := M · (1 + M2
), với moi
so nguyên dương n.
Ta cháng minh bat đȁng thác sau bang quy nạp:
f(k)
(zv + ρvξv) ≤ Mk, for all k = 1, . . . lj − 1. (2.51)
Th t v y, với k = 1, do (2.50) ta có
|fv
′
(zv + ρvξv)|
1 + |fv(zv + ρvξv)|2 ≤ M.

52
v
k
v v
= ρk
·
v v v v
k
v
(k)
|f(k+1)
(zv + ρvξv)| ≤ M · 1 + |f(k)
(zv + ρvξv)|2
v v v
Ket hợp với (2.49), ta có
|f′ (zv+ρvξv)| ≤ M· 1 + |fv(zv + ρvξv)|2
≤ M· 1 + (1 + |aj(z0)|)2
= M1.
V y ta nh n được (2.51) đoi với k = 1.
Giả sả (2.51) đúng với k (k ≤ lj − 2). Khi đó, tà (2.50) và giả thiet quy
nạp, ta có
v v
≤ M · 1 + M2
= Mk+1.
V y, theo nguyên lý quy nạp, ta nh n được (2.51).
Do (2.51) ta có
|g(k)
(ξ )| |f(k)
(z + ρ ξ )|
1 + |g(k−1)
(ξ )|2
1 + ρ2(k−1)
|f(k−1)
(z + ρ ξ )|2
v v v
k (k)
v v v v
≤ ρv · |fv (zv + ρvξv)|
≤ ρv · Mk, với moi k = 1, . . . lj − 1. (2.52)
Do đó, tà g(k−1)
(ξv ) → g(k−1)(ξ0 ) /= ∞, ta có
0 ≤ |g(k)
(ξ0)| = lim |g (ξv)| ≤ lim ρk
· Mk · (1 + |g(k−1)
(ξv)|2
) = 0.
v→∞ v→∞
V y, g(k)
(ξ0) = 0 với moi k = 1, . . . , lj − 1. Do đó không điem ξ0 của
g − aj(z0) có b®i ít nhat lj. Ta nh n được khȁng định nêu trên.
Neu ton tại j ∈ {1, . . . , q}, sao cho aj(z0) = ∞, khi đó
1
1
(ξ) :=
Av
ajfv (zv + ρv ξ)
h®i tụ đeu trên các t p con compact của D {z : aj(z) = 0}
theo metric Euclid tới 0. Do đó, tà (2.47), với m®t l p lu n tương tự như
1
trên, ta cũng có moi không điem của
g
b®i ít nhat lj.
(nói cách khác cực điem của g) có
v

53
Σ
Σ
≤
Σ
¨(q − 2)T (r, g) ≤ N(r,
g − a
) + o(T(r, g))
)
≤
Σ 1
N(r,
1
) + o(T(r, g))
j=1
q
j(z0
Bây giờ áp dụng các định lý cơ bản thá nhat và thá hai ta có:
q
1
j=1
lj
q
g − aj(z0)
1
T(r, g) + o(T(r, g)).
j=1
lj
Đieu này trái với giả thiet
q
1
j=1
lj
< q − 2.
Do đó, F là m®t ho chuȁn tac.
¨

54
KET LU N
N®i dung của lu n văn là tìm hieu sâu hơn ve lý thuyet ho chuȁn tac các
hàm phân hình được đưa ra bởi Montel tà nhǎng năm đau của the k hai
mươi. Tà đó nghiên cáu các định lý Montel mở r®ng. Trong lu n văn này
chúng tôi đạt được nhǎng ket quả sau:
1. Trình bày các khái ni m và các tính chat ve ho chuȁn tac, khoảng cách
cau, dãy các hàm phân hình, ho các hàm phân hình và nhac lại các
hàm cơ bản của Lý thuyet Nevanlinna.
2. Phát bieu và cháng minh lại các tiêu chuȁn cho ho chuȁn tac các hàm
chỉnh hình. Tìm hieu các định lý Montel, Miranda và Bloch đoi với các
hàm chỉnh hình.
3. Trình bày các tiêu chuȁn cho ho chuȁn tac các hàm phân hình, định lý
Montel và định lý Gu.
4. Trình bày sự mở r®ng định lý Montel tới trường hợp đạo hàm cau bị
ch n và các điem được thay bởi các hàm.

55
Tài li u tham khảo
[1] Bloch A. (1925), Les theoremes de Valiron sur les fonctions entieres et
la theorie de I’ uniformisation, Annales Fac. sc. Toulouse, 17.
[2] Bloch A. (1925), Quelques theoremes sur les fonctions entieres et mero-
morphes d’ une variable , Comp tes rendus, 181.
[3] Chuang C. T. (1935), A generalization of a theorem of Montel, Science
Reports of the National Tstnghua Universtty 3, 215-220.
[4] Chuang C. T. (1993), Normal families of meromorphic functions, ISBN
981-02-1257-7.
[5] Grahl J. and Nevo S. (2014), Eceptional functions wandering on the
sphere and normal families, Israel J. Math, 202 , 21-34.
[6] Gu Y. X. (1979), A criterion of normlity of families of meromorphic
functions, Scientia Sinica Special Issue (1), 267-274.
[7] Miranda (1935), Sur un nouveau critere de normalite pour les families
de fonctions holomorphes, Bullehn Soc. Math, 63, 185-196.
[8] Tan T. V. and Thin N. V. and Truong V. V. (2017), On the normality
criteria of Montel and Bergweiler-Langley, J. Math. Anal. Appl, 448 ,
319-325.
[9] Zalcman L. (1998), Normal families: new perspective, Bull. Amer. Mat.
Soc. 35 , 215-230.

Ve Ho Chuan Tac Các Hàm Phân Hình.docx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Ve Ho Chuan Tac Các Hàm Phân Hình.docx

Similar to Ve Ho Chuan Tac Các Hàm Phân Hình.docx (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Ve Ho Chuan Tac Các Hàm Phân Hình.docx