Về Định Lý Van Der Waerden, Số Ramsey Và Tập Đơn Sắc.docx

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
NGUYỄN XUÂN VINH
VỀ ĐỊNH LÝ VAN DER WAERDEN,
SỐ RAMSEY VÀ TẬP ĐƠN SẮC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
Tải tài liệu tại sividoc.com
NGUYỄN XUÂN VINH
VỀ ĐỊNH LÝ VAN DER WAERDEN,
SỐ RAMSEY VÀ TẬP ĐƠN SẮC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. Hà Huy Khoái
THÁI NGUYÊN - 2018

1
Mnc lnc
M đau 2
1 Tong quan ve lý thuyet so to h p 4
1.1. Định lý Van der Waerden và Định lý Szemerédi .................... 4
1.1.1. Định lý Van der Waerden 1927.............................4
1.1.2. So Van der Waerden......................................................... 8
1.1.3. Định lý Szemerédi........................................................ 9
1.2. H phủ đong dư..................................................................... 10
1.2.1. Định nghĩa.................................................................. 10
1.2.2. Giả thuyet Selfridge và Schinzel và m®t so bài toán 13
2 So Ramsey và t p đơn sac 16
2.1. So Ramsey ............................................................................. 16
2.1.1. Định nghĩa.................................................................. 16
2.1.2. Tính chat so Ramsey.................................................. 17
2.1.3. Ti m c n so Ramsey .............................................18
2.1.4. So Ramsey cho trường hợp tőng quát ..........................22
2.2. T p đơn sac ........................................................................... 27
2.2.1. Định nghĩa.................................................................. 27
2.2.2. T p đơn sac và các van đe liên quan ......................28
Ket lu n 34
Tài li u tham khảo 35

2
M đau
Lý thuyet so tő hợp là m®t trong nhǎng chủ đe được nhieu người
quan tâm nghiên cáu trong lý thuyet so. Các ket quả của lý thuyet so
tő hợp có nhieu áng dụng trong nghiên cáu các b® môn khoa hoc khác
cũng như áng dụng vào trong các van đe thực te. Ngoài ra, nhieu van đe
của lý thuyet so tő hợp còn được đe c p đen trong các đe thi hoc sinh
giỏi toán.
Mục đích của lu n văn là tìm hieu và trình bày m®t so van đe của
lý thuyet so tő hợp. Cụ the, lu n văn trình bày ve Định lý Van der
Waerden ve sự ton tại m®t cap so c®ng đơn sac trong m®t t p so tự
nhiên liên tiep được tô màu, ve Định lý Szemerédi ve m t đ® cap so
c®ng trong t p hợp các so tự nhiên liên tiep, ve khái ni m h phủ đong
dư và áng dụng trong giải toán, ve so Ramsey và t p đơn sac trong bài
toán tô màu.
Ngoài phan ket lu n, mở đau và tài li u tham khảo n®i dung chính
của lu n văn trình bày thành 2 chương:
Chương 1: Tőng quan ve lý thuyet so tő hợp. Mục đích của chương
này là trình bày ve Định lý Van der Waerden, Định lý Szemerédi, nêu
ra m®t vài giá trị đã biet ve so Van der Waerden và m®t so van đe liên
quan tới h phủ đong dư.
Chương 2: So Ramsey và t p đơn sac. Mục đích của chương này là
trình bày khái ni m ve so Ramsey và m®t so ket quả ve so Ramsey, t p
đơn sac và m®t so van đe liên quan tới t p đơn sac trong bài toán tô
màu.
Lu n văn được hoàn thành với sự hướng dan, chỉ bảo t n tình của
GS.TSKH. Hà Huy Khoái và sự đóng góp ý kien sát sao của các thay, cô
trường Đại hoc Khoa hoc - Đại hoc Thái nguyên. Qua lu n văn này em
xin được bày tỏ lòng biet ơn đen sự hướng dan t n tình của thay hướng
dan và các thay, cô trường Đại hoc Khoa hoc - Đại hoc thái nguyên đã
góp ý sâu sac, tạo đieu ki n thu n lợi đe em hoàn thành lu n văn nay.

3
Tôn xin trân trong cám ơn đen Sở Giáo dục và Đào tạo Bac Ninh,
t p the sư phạm trường THPT Lý Thường Ki t đã tạo đieu ki n cho
tôi hoàn thành khóa hoc.

4
Chương 1
Tong quan ve lj thuyet so to h p
Trong Chương 1, lu n văn trình bày hai định lý, gom Định lý Van
der Waerden và Định lý Szemerédi, m®t vài giá trị đã biet ve so Van
der Waerden và các khái ni m cơ bản ve h phủ đong dư. Tài li u tham
khảo chính của chương này là các tài li u [1], [4].
1.1.Định lj Van der Waerden và Định lj Szemerédi
Định lý Van der Waerden và Định lý Szemerédi là hai định lý quan
trong trong lý thuyet so nghiên cáu ve cap so c®ng và m t đ® của cap
so, đong thời hai định lý này cũng là tien đe đe tìm hieu và phát trien
các ket quả mới ve cap so c®ng.
Nhac lại rang cap so c®ng là m®t dãy so (hǎu hạn ho c vô hạn)
mà trong đó, ke tà so hạng thá hai trở đi, moi so hạng đeu bang tőng
của so hạng đáng ngay trước nó với m®t so d không đői. Ta có the bieu
dien cap so c®ng dưới dạng như sau: a, a+d, a+2d, . . . , a+(m − 1)d, ...,
trong đó: m là so nguyên dương bat kỳ, a, d ∈ R, a được goi là so hạng
đau tiên và d goi là công sai của cap so c®ng.
Với moi n là so tự nhiên, ta kí hi u [n] = {1, 2, . . . ., n} là t p hợp
các so tự nhiên tà 1 đen n.
Cho m®t t p hợp X và t ∈ N, khi đó X(t) = {A ⊂ X, |A| = t} , tác
là X(t) là t p hợp gom các t p con của X có lực lượng t.
1.1.1. Định lj Van der Waerden 1927
Định lý Van der Waerden phát bieu rang: Với hai so nguyên dương
m, k cho trước ton tại m®t so nguyên N = N(m, k) sao cho với moi

5
n ≥ N neu [n] được tô bởi k màu thì luôn ton tại m®t cap so c®ng đơn
sac đ® dài m trong [n].
Giả sả Định lý Van der Waerden được cháng minh. Do t p [n] được
tô bởi k màu nên ta có the chia t p [n] thành k t p con được xác định
bởi k màu riêng bi t. Theo Định lý Van der Waerden thì khi đó sě ton
tại m®t t p con trong k t p con trên mà trong đó ton tại m®t cap so
c®ng đ® dài m.
Ta có the phát bieu lại Định lý Van der Waerden dưới dạng sau:
Định lj 1.1 Đoi với moi c¾p so tự nhiên k, l luôn ton tại so tự nhiên
n(k, l) sao cho neu m®t đoạn bat kỳ của dãy so tự nhiên có đ® dài n(k, l)
được phân hoạch theo cách tuỳ ý thành k lớp, thì sẽ có ít nhat m®t lớp
trong k lớp đó chúa m®t cap so c®ng đ® dài l.
Đe cháng minh Định lý Van der Waerden, ta sě cháng minh m®t
định lý tőng quát hơn:
Định lj 1.2 Cho trước dãy vô hạn so tự nhiên:
t1, t2, ..., tq, ... (1.1)
Đoi với mői c¾p so tự nhiên k, l luôn ton tại m®t so tự nhiên n(k, l) sao
cho neu m®t đoạn bat kỳ của dãy so tự nhiên có d® dài n(k, l) được phân
hoạch theo cách tuỳ ý thành k lớp, thì sẽ có ít nhat m®t lớp mà trong đó
ton tại dãy so c1, c2, ..., cl thóa mãn dieu ki n sau:
(c2 − c1) : (c3 − c2) : ... : (cl − cl−1) = t1 : t2 : ... : tl−1.
Nói m®t cách ngan gon, l so đó l p nên m®t cap so c®ng tőng quát
đ® dài l được tạo ra bởi dãy so (1.1). Định lý Van der Waerden là trường
hợp riêng của Định lý 1.2 trong trường hợp t1 = t2 = · · · = tq = · · · = 1.
Chúng minh Đ nh lý 1.2.
Đ t so hạng đau tiên của dãy (1.1) bang đơn vị: t1. De thay rang
Định lý 1.2 là hien nhiên với l = 2 và với moi k (bởi vì so n(k, l) có the
nh n giá trị k + 1), tác là ton tại m®t cap so c®ng trong dãy có đ® dài
là 2, đieu này luôn đúng. Giả sả định lý đúng với moi so l ≥ 2 và k bat
kỳ.
Đ t:
q0 = 1, n0 = n(k, l), qs = (1 + t1)ns−1qs−1, ns = n(kqs
, l) > 0. (1.2)

6
Ta sě cháng minh định lý đúng với l + 1, tác là so n(k, l + 1) có
the lay bang qk. Giả sả đoạn Δ của dãy so tự nhi n có đ® dài qk được
phân hoạch thành k lớp. Hai so a và b của đoạn Δ được goi là cùng
loại neu chúng cùng nam trong m®t lớp và được viet là a ∼ b. Hai đoạn
Δ′
(a, a + 1, ..., a + r) và Δ′′
(a, a′ + 1, ..., a′ + r) có đ® dài bang nhau và
cùng nam trong đoạn Δ sě được goi là cùng loại và được viet Δ′
∼ Δ′′
,
neu a + j ∼ a′ + j, j = 0, 1, ..., r. Rõ ràng đoi với các đoạn có đ® dài m,
thì so các loại khác nhau có the sě bang km
.
Vì qk = (1 + tl)nk−1qk−1 nên đoạn Δ có the được xem như gom hai
phan không bang nhau: Phan bên trái là m®t dãy gom nk−1 đoạn có đ®
dài qk−1, còn phan bên phải là m®t dãy gom tlnk−1 đoạn có đ® dài qk−1.
Ta sě nói rang các đoạn có đ® dài bang nhau tạo nên m®t cap so c®ng
tőng quát neu cap so đó được l p nên bởi các so đau tiên của chúng. Do
định nghĩa của so nk−1 nên ta có the khȁng định được rang: Phan bên
trái của đoạn Δ cháa m®t cap so c®ng tőng quát tà l đoạn cùng loại với
nhau Δ1, Δ2, ..., Δl và cùng có đ® dài là qk−1. Ký hi u các khoảng cách
giǎa các đau mút bên trái của hai đoạn ke nhau (tác là hi u giǎa hai so
đau tiên của hai đoạn ke nhau) là: d1, d1t2, ..., d1tl−1.
Đoi với cap so c®ng tőng quát, tà các đoạn cùng loại đó ta gan
thêm vào nó phan tả thá l + 1 là Δl+1, phan tả ay có the không cùng
loại với các phan tả đáng trước và nó có the vượt quá phan tả đau tiên
của đoạn Δ, nhưng van nam trong đoạn Δ.
Bây giờ ta lay m®t phan tả Δi1 bat kỳ tà l phan tả của cap so
c®ng tőng quát, đó là đoạn có đ® dài qk−1. Ta sě tien hành trên đoạn đó
tương tự như đã tien hành với đoạn Δ (tác là coi đoạn Δ như là dãy
(1 + tl)nk−1 đoạn có đ® dài qk−1). Do định nghĩa của so nk−1, ta có the
khȁng định rang, phan bên trái của đoạn Δi1 bao gom nk−1 đoạn có đ®
dài qk−2 cháa cap so c®ng tőng quát tà l đoạn cùng loại Δi2i2 (1 ≤ i2 ≤ l)
có cùng đ® dài qk−1. Ta ký hi u các khoảng cách giǎa các đau mút trái
của hai đoạn ke nhau Δi2i2 là: d2, d2t2, ..., d2tl−1.
M®t lan nǎa, ta lại noi thêm vào cap so c®ng tőng quát này phan
tả thá l + 1 và rõ ràng phan tả ay cũng van nam trong đoạn Δi1. Vi c
xây dựng như v y được tien hành với tat cả các đoạn Δi1 (1 ≤ i1 ≤ l + 1)
và trong tat cả các đoạn đó ta sě lay các đoạn Δi2i2 (1 ≤ i2 ≤ l + 1) theo
vị trí tương áng. Bởi vì tat cả là cùng loại nên rõ ràng moi Δi2i2 sě là
cùng loại, neu 1 ≤ i1 ≤ l, 1 ≤ i2 ≤ l.
Quá trình xây dựng được tiep tục k lan. Ket quả sau lan cuoi cùng ta

7
Xét các so
sě nh n được các đoạn có đ® dài q0 = 1, tác là m®t đoạn đơn giản Δ mà
m®t cách tőng quát ta có the ký hi u là Δi1i2...ik (1 ≤ i1, i2, ..., ik ≤ l+1).
Như v y ta de thay rang, với 1 ≤ s ≤ k, 1 ≤ ir ≤ l, 1 ≤ i′
r ≤ l(1 ≤
r ≤ s) thì
Δi1i2...is ∼ Δi′
1i′
2...i′
s
. (1.3)
Hai nh n xét sau đây là rat quan trong đoi với phan còn lại trong cháng
minh định lý.
1) Giả sả: 1 ≤ s ≤ k, 1 ≤ ir ≤ l, 1 ≤ i′
r
l + 1 (s + 1 ≤ m ≤ k). Khi đó
≤ l(1 ≤ r ≤ s), 1 ≤ im ≤
Δi1i2...isis+1...ik
∼ Δi1
′ i′
2...i′
si′
s+1...ik
. (1.4)
Th t v y, do hai so đó đáng ở các vị trí giong nhau trong các đoạn cùng
loại Δi1i2...is và Δi′
1i′
2...i′
s
.
2) Với so s ≤ k, is ≤ l, i′
s = is + 1, các đoạn Δi1...is−1is và Δi1...is−1is
′ là
các đoạn ke nhau ở bước xây dựng thá s của chúng ta, nên đoi với moi
chỉ so is+1, ...ik, các so Δi1i2...s−1isis+1...ik và Δi1i2...s−1i′
sis+1...ik sě chiem các
vị trí giong nhau trong hai đoạn ke nhau, sao cho:
Δi1i2...s−1i′
sis+1...ik
− Δi1i2...s−1isis+1...ik
= dstis
. (1.5)
Đe ngan gon, ta đ t l′ = l + 1. Xét k + l so
ar = Δ1̀ ·˛·¸· 1
xl̀′
·˛·¸· l
x
′, r = 0, 1, ..., k. (1.6)
Trong các so đó, ta luôn tìm được hai so ar và as cùng nam trong m®t
lớp
Δ1̀ ·˛·¸· 1
xl̀′ ·˛·¸· lx
′ ∼ Δ1̀ ·˛·¸· 1
xl̀′ ·˛·¸· lx
′. (1.7)
ar = Δ1̀ ·˛·¸· 1
xì ·˛·¸·x
il̀′ ·˛·¸· lx
′(1 ≤ i ≤ l′
). (1.8)
Ta sě cháng minh rang chúng cùng nam trong m®t lớp, và tạo thành
m®t cap so c®ng tőng quát.
Th t v y, các so cl′ và c1 cùng loại do (1.7), còn tat cả các ci(i < l′)
là cùng loại do (1.4). Vì v y tat cả các so ci(1 ≤ i ≤ l′) cùng nam trong
m®t lớp. Phan còn lại, ta can phải chỉ ra rang các so đó l p thành m®t
cap so c®ng, tác là:
(c2 − c1) : (c3 − c2) : · · · : (cl′ − cl) = 1 : t2 : · · · : tl′. (1.9)
k−r
r
r k−r s k−s
r s−r k−s

8
— − −
ci,m = Δ1̀ ·˛·¸· 1
xì′ ·˛·¸· i
x
′
ì ·˛·¸·x
il̀′ ·˛·¸· lx
′(0 ≤ m ≤ s − r).
(ci,m ci,m 1) bởi vì ci,0 = ci và ci,s r = ci+1.
m=1
Đe ngan gon, ta đ t i′ = i + 1. Ta đưa vào xét các so sau:
s m s−r−m k−s
s
Σ
−r
Nhưng do (1.5) ta có
ci,m−ci,m−1 = Δ1̀ ·˛·¸· 1
xì′
·˛·¸· i
x
′
ì ·˛·¸·x
il̀′
·˛·¸· l
x
′−Δ1̀ ·˛·¸· 1
xì′ ·˛·¸· i
x
′
ì ·˛·¸·x
i l̀′
·˛·¸· l
x
′ =
r m s−r−m
s
Σ
−r
k−s r m−1 s−r−m+1 k−s
dr+mti, có nghĩa là: ci+1 − ci =
s
Σ
−r
m=1
dr+mti.
được thỏa mãn. Do đó định lý được cháng minh với giả thiet rang, phan
tả đau tiên của dãy so (1.1) bang đơn vị (tác là bang 1). Neu t1 khác
đơn vị, thì ta xét dãy so sau đây:
1, t1, · · · , tq, · · · . (1.10)
Khi đó l + 1 so ci(i = 1, 2, · · · , l + 1) l p thành m®t cap so c®ng tőng
quát đ® dài l +1, được tạo ra bởi dãy so (1.10) cùng nam trong m®t lớp,
vì the đương nhiên nó cháa l so l p thành cap so c®ng tőng quát đ® dài
l, được tạo ra bởi dãy so (1.1) và cùng nam trong m®t lớp. Do đó định
lý được cháng minh.
1.1.2. So Van der Waerden
Định nghĩa 1.1 So tự nhiên nhỏ nhat N = N (m, k) thỏa mãn Định lý
Van der Waerden được goi là so Van der Waerden, và kí hi u là w(m, k).
M®t so giá trị chính xác của w(m, k) đã được chỉ ra. Ta có w(m, 1) =
m và w(2, k) = k + 1. Với các giá trị khác của k và m, chúng ta đã biet
w(3, 2) = 9, w(4, 2) = 35, w(5, 2) = 178, w(6, 2) = 1132, w(3, 3) = 27 và
w(4, 3) = 76.
Sau đây ta kiem tra lại, chȁng hạn hai ket quả w(m, 1) = m và
w(2, k) = k + 1.
Th t v y:
+) w(m, 1) = m, khi đó tat cả các phan tả của [n] được tô bang 1
màu. Như v y, neu đ t N = m thì với moi n ≥ N, trong [n] ton tại cap
m=1
Khi đó ci+1 − ci =
Nhưng do dr+m không phụ thu®c vào i, và do đó đieu ki n (1.9)

9
so c®ng đ® dài m (chính là m so liên tiep). Khi n < m thì hien nhiên
không the ton tại cap so c®ng đ® dài m trong [n]. V y N (m, 1) = m
chính là so nhỏ nhat can tìm, tác là w(m, 1) = m.
+) w(2, k) = k + 1, khȁng định này tương đương với vi c khi tô t p
hợp [n] với n ≥ k + 1 bởi k màu, thì trong k + 1 phan tả tuỳ ý, phải ton
tại cap so c®ng hai so hạng cùng màu. Nhưng đieu này là hien nhiên, vì
trong k + 1 so, có ít nhat hai so cùng màu, và dĩ nhiên chúng l p thành
cap so c®ng 2 so hạng. Neu chỉ lay k so thì có the xȁy ra trường hợp k
so đó được tô bởi k màu khác nhau. V y so nhỏ nhat thoả mãn là k + 1,
tác là w(2, k) = k + 1.
1.1.3. Định lj Szemerédi
Trong lý thuyet so, Định lý Szemerédi là m®t ket quả mà trước đó
mang tên "giả thuyet Erdős–Turán". Năm 1936 Erdős và Turán đưa ra
giả thuyet rang: “Với moi giá trị d, goi là m t đ®, thỏa mãn 0 < d < 1
và so nguyên k, ton tại so nguyên N = N(d, k) sao cho moi t p hợp con
A của 1, ..., N với lực lượng lớn hơn ho c bang dN đeu cháa m®t cap so
c®ng đ® dài k.
Đây là m®t tőng quát hóa của Định lý Van der Waerden. Trường hợp
k = 1 và k = 2 là tam thường. Trường hợp k = 3 được cháng minh năm
1956 bởi Klaus Roth bang phương pháp đường tròn Hardy–Littlewood.
Trường hợp k = 4 được cháng minh năm 1969 bởi Endre Szemerédi
bang phương pháp tő hợp. Bang phương pháp tương tự như cho trường
hợp k = 3, Roth đưa ra m®t cháng minh khác cho ket quả này năm
1972.
Cuoi cùng trường hợp tőng quát cho moi k được cháng minh năm
1975, bang m®t mở r®ng phác tạp của cháng minh tő hợp trước đó cũng
bởi Szemerédi (đây là "m®t ki t tác của l p lu n tő hợp", như đánh giá
của R. L. Graham).
Định lj 1.3 (Định lj Szemerédi) Moi dãy so nguyên m¾t đ® dương
đeu chúa cap so c®ng đ® dài tuỳ ý.
Ngày nay nhieu cháng minh khác của ket quả này đã được tìm ra,
m®t vài cháng minh quan trong trong so đó là của Hillel Fürstenberg
năm 1977 bang lý thuyet Ergodic và bởi Timothy Gowers năm 2001
bang giải tích Fourier và toán hoc tő hợp.

10
Giả sả k là m®t so nguyên dương và 0 < δ ≤
1
. M®t phiên bản
2
hǎu hạn của định lý khȁng định rang, ton tại so nguyên N = N(k, δ)
sao cho moi t p hợp con của {1, 2, ..., N } với kích thước δN đeu cháa
m®t cap so c®ng đ® dài k. Ch n ch t nhat đen nay cho N(k, δ) là
−22k+9
Clog(1/δ)k−1
≤ N(k, δ) ≤ 22δ
. Với C > 1, ch n dưới là của Behrend
(cho k = 3) và Rankin, ch n trên là của Gowers. Trong trường hợp đ c
bi t k = 3 ch n trên ch t nhat đen nay là N(3, δ) ≤ Cδ−2
log(1/δ)
.
1.2. H phủ đong dư
1.2.1. Định nghĩa
H phủ đong dư hay t¾p phủ đong dư là m®t t p hǎu hạn
(a1, n1), (a2, n2), · · · , (ar, nr),
với ai ∈ Z và n1 < n2 < · · · < nk, là các so tự nhiên sao cho với moi so
nguyên x, ton tại chỉ so j, sao cho ta có đong dư thác:
x ≡ aj (mod nj). (1.11)
M®t câu hỏi cơ bản được đ t ra tà năm 1934 là: n1 có được chon
tùy ý không? Đ c bi t nó có the lớn tuỳ ý không? Giá trị kỉ lục của nó
cho đen nay là 20, do S.R. L Choi tìm ra. M®t câu hỏi khác: “Đúng hay
không, với moi so d > 0, ton tại m®t h phủ đong dư với (ni, d) = 1"?
M®t t p so nguyên 1 < n1 < · · · < nk được goi là h phủ đong dư
neu chúng có the lay làm các modulo của h (1.11). H phủ đong dư
được goi là bat khả quy hay h phủ đong dư thu gon neu không có t p
con nào của nó là m®t h phủ đong dư. De thay chỉ ton tại m®t so hǎu
hạn h phủ đong dư bat khả quy đ® lớn k.
Ví dn 1.1 . (0,2); (0,3); (1,4); (1,6); (11,12) là m®t phủ đong dư có the
viet đơn giản (2,3,4,6,12) là m®t t p phủ đong dư.
Chúng minh (Erdős).
Xét các h đong dư, mà có the chỉ ra rang chúng l p thành m®t
h phủ: 0 (mod 2), 0 (mod 3), 1 (mod 4), 3 (mod 8), 7 (mod 12), và 23
(mod 24). Moi m®t đong dư thác kéo theo m®t đong dư tương áng đoi
với lũy thàa nào đó của 2. Ví dụ, đong dư thác k ≡ 1 (mod 4) cùng với

11
24
≡ 1(mod 5) kéo theo 2k
≡ 2(mod 5). Đe thay rõ đieu này, giả sả
k = 4n + 1 và nh n xét rang: 2k
≡ 24n+1
≡ 2(24
)n
≡ 2 (mod 5).
Tương tự, neu k là m®t so nguyên không âm thì ít nhat m®t trong
các đong dư sau nghi m đúng: 2k
≡ 1 (mod 3), 2k
≡ 1 (mod 7), 2k
≡
2 (mod 5), 2k
≡ 8 (mod 17), 2k
≡ 27
(mod 13) ho c 2k
≡ 23 (mod 241).
Bây giờ xét các đong dư thác: 1 (mod 3), 1 (mod 7), 2 (mod 8),
8 (mod 17), 27
(mod 13), và 223
(mod 241).
Vì các modulo đôi m®t nguyên to cùng nhau, ton tại vô hạn so
nguyên thỏa mãn tat cả các đong dư thác trên (theo định lý phan dư
Trung Hoa). Bây giờ neu so nguyên lẻ a thỏa mãn tat cả các đong dư, thì
tat cả các so nguyên có dạng a − 2k
chia het cho m®t trong các modulo
3, 7, 5, 17, 13 ho c 241. Suy ra rang a − 2k
không là so nguyên to và do
đó a không có dạng 2k
+ p.
M®t ví dụ khác ve áng dụng h phủ đong dư được biet đen bởi R. L
Graham trong cuon "A Fibonacci-like sequence of composite number",
xuat bản năm 1964. Ket quả của ông ve nghĩa nào đó là ngược lại với m®t
giả thuyet được biet, nói rang dãy Fibonacci, xác định bởi f0 = 0, f1 = 1,
và với n ≥ 0, fn+2 = fn+1 + fn, cháa vô hạn so nguyên to. Graham sả
dụng h phủ đong dư đe chỉ ra rang, có the chon các giá trị ban đau f0
và f1 nguyên to cùng nhau, sao cho dãy tương áng chỉ cháa các hợp so.
Giá trị nhỏ nhat được biet đen là:
f0 = 331636535998274737472200656430763
và
f1 = 1510028911088401971189590305498785.
M®t bài toán mở quan trong trong chủ đe này là giả thuyet của
Erdős nói rang: “Với moi c ≥ 2, ton tại h phủ đong dư với n1 ≥ c và
các modulo khác nhau”. Đieu này được biet đen là đúng với m®t vài giá
trị của c, k lục cho đen nay là c = 20. Neu có m®t h phủ đong dư với
các modulo khác nhau và n1 ≥ c với moi c ≥ 2 thì ta nh n được m®t
ket quả ve cap so c®ng “với moi so nguyên dương m, ton tại m®t cap so
c®ng mà không có so hạng nào của nó là tőng của m®t lũy thàa 2 và
m®t so nguyên có không quá m ước nguyên to".
Bài toán dưới đây cho chúng ta m®t áp dụng của h phủ đong dư
trong giải toán.
Bài toán 1.1 (Kỳ thi toán hoc Mj (AIME)) Harold, Tanya và
Ulysses sơn m®t hàng rào rat dài. Harold bat đau sơn tà c®t thá nhat

12
và sơn moi c®t cách đeu h c®t, Tanya bat đau sơn tà c®t thá 2 và sơn
moi c®t cách đeu t c®t, Ulysses bat đau sơn tà c®t thá 3 và sơn moi c®t
cách đeu u c®t. Giả sả moi c®t được sơn đúng m®t lan, hãy tìm tat cả
các b® ba có the (h, t, u).
L i giải.
Ta đánh so các c®t lan lượt là 1, 2, 3, . . . , theo bài ra, Harold sơn
c®t 1 và moi c®t cách đeu h, Tanya sơn c®t 2 và moi c®t cách đeu t,
Ulysses sơn c®t thá 3 và moi c®t cách đeu u. Do đó Ulysses không the
sơn c®t thá 4, vì neu ngược lại thì Ulysses sơn tat cả các c®t tiep theo.
Giả sả rang Harold sơn c®t 4, khi đó Ulysses không the sơn c®t 5, vì neu
ngược lại thì cả Harold và Ulysses đeu sơn c®t 7. Do đó Tanya sơn c®t 5,
Ulysses sơn c®t 6 và (h, t, u) = (3, 3, 3). M t khác, giả sả rang Tanya sơn
c®t 4, khi đó Ulysses không the sơn c®t 5, vì neu ngược lại thì không còn
c®t nào cho Harold sơn. Vì v y Ulysses sơn c®t 7 và (h, t, u) = (4, 2, 4).
Bài toán này thực chat là hỏi rang “làm the nào có the phân hoạch
t p hợp các so nguyên thành 3 cap so c®ng”. B® ba thá 2 (4,2,4) thú
vị hơn m®t chút so với b® ba (3,3,3) vì không phải tat cả các công sai
đeu bang nhau. Trong lý thuyet so sơ cap, cap so c®ng được goi m®t
cách tương đương là các lớp th ng dư với modulo khác nhau. Với cách
đ t van đe như v y, cap so c®ng a + km với k nguyên được ký hi u bởi
a (mod m).
Ta có the tőng quát hóa bài toán trên như sau: “Ton tại hay không
m®t t p hǎu hạn đong dư với modulo khác nhau, lớn hơn ho c bang 2,
sao cho chúng l p thành m®t phân hoạch của t p so nguyên” . Trong bài
báo “New problems and results in combinatorialnumbertheory, Monogr.
Enseign Math 28, L’EnseignementMathematique, Geneva, 1980” P. Er-
dos và R. L. Graham đã cháng minh đieu này là không the. Khi giảm
nhe m®t chút giả thiet, ta thay đieu ki n phân hoạch bởi đieu ki n ton
tại hǎu hạn các đong dư sao cho moi so nguyên thu®c ít nhat m®t trong
chúng. Mục đích của chúng ta là trình bày m®t cháng minh sơ cap ve
moi quan h giǎa hai giả thuyet női tieng đã biet.
Năm 1849, A.de Poligna giả thuyet rang, moi so nguyên lẻ n (n ≥ 3)
có the bieu dien dưới dạng 2k
+ p, ở đây k là m®t so nguyên không âm
và p ho c là so nguyên to, ho c là 1. Erdős đã bác bỏ đieu này bang
cách cháng minh rang, ton tại m®t cap so c®ng mà không có so hạng
nào của nó có dạng trên.

13
1.2.2. Giả thuyet Selfridge và Schinzel và m t so bài toán
Trong mục này ta quan tâm đen hai giả thuyet quan trong khác
của Selfridge và Schinzel. Giả thuyet Selfridge nói rang “Không ton tại
h phủ đong dư với modulo là các so lẻ khác nhau”; Giả thuyet Schinzel
nói rang "Trong moi h phủ đong dư ai (mod n1) với 1 ≤ n ≤ r, ton
tại i /= j sao cho ni | nj".
Schinzel đã cháng minh rang giả thuyet của Selfridge kéo theo giả
thuyet Schinzel bang cách sả dụng tính bat khả quy của m®t so đa thác.
Định lj 1.4 Giả thuyet của Sefridge kéo theo Schinzel.
Chúng minh.
Giả sả giả thuyet của Sefridge đúng nhưng giả thuyet của schinzel
không đúng. Khi đó ton tại m®t h phủ đong dư thu gon as (mod ns)
sao cho mi / |mj với moi i /= j.
Giả sả mi = 2βi
Oi ở đây Oi là so lẻ với 1 ≤ i ≤ r. Ta giả sả rang
các đong dư được đánh so theo cách sao cho neu i < j thì βi ≤ βj. Tà
giả thuyet Selfridge suy ra rang βr > 0 và rõ ràng tat cả các so Oi là
khác nhau.
Neu Oi ≥ 3 với moi i, thì ta có mâu thuan với giả thuyet Selfridge.
Vì neu x ≡ ai (mod 2βi
Oi) và 2βi
|(2βi
Oi) thì x ≡ ai (mod Oi) khi đó ta
sě có h phủ đong dư với tat cả các modulo lẻ. Cho nên, neu ai (mod ni)
là m®t h phủ đong dư và ni|mi với moi i, thì ai (mod ni) cũng là m®t
i0
h phủ đong dư. Vì v y, ton tại i0 sao cho Oi0 = 1 và do đó mi0 = 2 .
Suy ra rang i0 = r neu ngược lại ta có mi0 |mi0+1. Tiep theo ta nâng h
phủ đong dư bởi −ar có nghĩa là thay đői bien x thành x+ar, đe sao cho
có the giả sả rang đong dư thá r có dạng 0 (mod 2βr
). Xét so nguyên
có dạng x2βr
− 1 với x ∈ Z, khi đó không có so nguyên nào trong các so
đó được phủ bởi đong dư thác 0 (mod 2βr)
. Tuy nhiên tat cả chúng là
được phủ bởi các đong dư thác còn lại vì h là m®t h phủ đong dư. H
của chúng ta bây giờ có dạng:
x2βr
− 1 ≡ as (mod ms), 1 ≤ s ≤ r − 1. (1.12)
Chú ý rang có the xảy ra trường hợp không phải tat cả các đong
dư thác có nghi m, tuy nhiên khi m®t đong dư thác có nghi m ta phải
có:
gcd(2βr
, ms)|as + 1.

14
Σ
n
1 k
Σ
Vì gcd(2βs
, ms) = 2βs
nên suy ra rang 2βs
|as + 1.
Đ t U = {s : 1 ≤ s ≤ r − 1 sao cho 2βs |as + 1}. Với moi s ∈ U h
đong dư thác (1.12) có dạng x2βr−βs
≡ (as + 1)/2βs
(mod Os) ho c
x ≡ cs (mod Os) với so nguyên cs nào đó.
Bài toán 1.2 Tìm so lớn nhat trong h phủ đong dư thu gon 1 ≤ n1 <
· · · < nk và có bao nhiêu h phủ đong dư thu gon có dạng 1 ≤ n1 <
· · · < nl ≤ x với l tùy ý.
Đe giải quyet được bài toán này Erdős đã chỉ ra rang can phải ước
1
lượng ho c xác định giá trị max . Khi đó có m®t câu hỏi là “li u có
i
bao nhiêu so nguyên n sao cho các ước lớn hơn 2 của n l p thành m®t
h phủ thu gon”. Ví dụ với n = 12 thì t p {2, 3, 4, 6, 12} là các ước của
12 và l p thành h phủ đong dư thu gon.
Erdős giả thuyet giả rang với moi C ton tại so nguyên N với
σ(N )/N > C sao cho các ước của N không l p thành h phủ đong
dư, trong đó σ(N ) là tőng các ước của N . J. Haight đã cháng minh giả
thuyet này trong bài báo của ông. Bây giờ có the phát bieu Bài toán
cực trị như sau:
Đ t f(x) = max σ(m)/m, ở đây cực đại được lay theo moi m mà
m<x
các ước của m không l p thành h phủ đong dư. Theo định lý Haight
f (x) tien tới vô cùng khi x dan tới vô cùng. Đúng hay không f (x) =
o(loglogx)? Nói cách khác f (x) có dan tới vô cùng ch m hơn so với
maxσ(m)/m hay không? Có m®t bài toán cực trị như sau “Xác định ho c
đánh giá so lớn nhat jx của h phủ đong dư {n(i) < n(i)
< · · · < n(i)
}
trong đó moi so ni đeu khác nhau và nhỏ hơn x”. Chúng ta không biet
rang f(x) dan tới vô cùng khi x dan tới vô cùng hay không vì tà đó suy
ra rang ton tại m®t h phủ đong dư với n lớn bat kỳ. Chúng ta hy vong
rang jx tien tới vô cùng rat ch m.
Đánh giá ho c ước lượng max
1
, ở đây cực đại được lay trên
mi
các dãy {mi} không l p thành h phủ đong dư và moi phan tả của của
nó nhỏ hơn x. Giá trị lớn nhat này có lě lớn hơn log x − C, vì neu không
thì lại ton tại m®t h phủ đong dư với n1 đủ lớn.
Romanoff cháng minh năm 1934 rang m t đ® của t p các so nguyên
có dạng 2k
+ p là dương. Erdős cháng minh rang ton tại cap so c®ng
gom các so lẻ u (mod v) và t p hợp hǎu hạn so nguyên to P =
{p1, p2, · · · , pk}, sao cho với moi n ≡ u (mod v), moi so n − 2l
chia het
2

15
cho m®t so nguyên to thu®c P . Neu jx dan đen vô cùng ho c tương
đương, ton tại h (1.11) với n lớn tuỳ ý, thì với moi r ton tại m®t cap
so c®ng mà không có phan tả nào của nó có dạng 2k
+ Qr, trong đó Qr
có không quá r ước nguyên to. Chac chan moi n đủ lớn đeu có dạng
2k
+ Qr, r < log log n nhưng người ta van chưa cháng minh được đieu
này. Như v y, ta van chưa biet được rang: Ton tại hay không vô hạn so
nguyên lẻ n sao cho n − 2u
, 1 ≤ 2u
≤ n, không bao giờ là so Squarefree
(so không có ước chính phương khác 1)? Th m chí có ton tại so nguyên
nào thoả mãn tính chat đó không?

16
Chương 2
So Ramsey và t p đơn sac
Chương 2 được dành đe trình bay ve so Ramsey và m®t so ket quả
mới ve so Ramsey, cũng như nghiên cáu t p đơn sac và các bài toán áng
dụng. Tài li u tham khảo chính được sả dụng trong chương này là các
tài li u [2], [3], [6], [7].
2.1. So Ramsey
Đe đi đen định nghĩa so Ramsey ta xét bài toán sau đây.
Bài toán 2.1 Trong m t phȁng cho 6 điem được noi với nhau tàng đôi
m®t bởi các đoạn màu xanh ho c màu đỏ. Cháng minh rang luôn tìm
được 3 điem sao cho các đoạn noi chúng có cùng m®t màu?
Van đe đ t ra sau bài toán này là li u so 6 trong bài toán trên đã
là so nhỏ nhat hay chưa đe tìm được 3 điem noi với nhau bang các cạnh
được tô cùng màu. Neu bài toán này thay vì cho 6 điem ta cho 5 điem
ho c ít hơn nǎa thì có tìm được 3 điem được noi với nhau cùng màu hay
không? Câu trả lời là không the và so 6 nêu trong bài toán trên là so
nhỏ nhat đe tìm được 3 điem được noi với nhau bang các cạnh được tô
cùng màu. Mở r®ng phạm vi bài toán hơn nǎa thì đe tìm được 4 điem,
5 điem, ..., noi với nhau bang các cạnh được tô cùng màu thì so nhỏ
nhat phải cho ban đau là bao nhiêu? Đây van là câu hỏi khó trả lời khi
ta cho so điem được noi với nhau bang các cạnh được tô cùng màu tăng
lên.
M®t cách phát bieu khác của bài toán trên là: Trong so 6 người tại
m®t bàn ti c luôn tìm được ho c ba người đôi m®t quen nhau ho c ba

17
người đôi m®t không quen nhau.
Con so nhỏ nhat vàa nói đen trong các van đe vàa đ t ra được goi là
các so Ramsey, mang tên nhà toán hoc người Anh đã cháng minh được
định lý női tieng trong lý thuyet t p hợp là sự tőng quát hoá nguyên lý
Dirichlet. Đe có the phát bieu nhǎng ket quả tőng quát hơn chúng ta có
m®t so định nghĩa.
Định nghĩa 2.1 Đo thị Kn là b® gom hai t p V, E, trong đó V là t p
gom n điem còn E là t p các đoạn noi giǎa tat cả các c p điem trong
V . Ta ký hi u Kn = (V, E), goi các phan tả của V là các đỉnh và V là
t p đỉnh của Kn. Moi đoạn noi hai đỉnh u, v ∈ V sě được goi là m®t
cạnh của Kn và ký hi u là (u, v) và t p E được goi là t p cạnh của Kn.
Khi đó ta có the phát bieu lại bài toán 2.1 như sau: Giả sả moi
cạnh của K6 được tô bởi m®t trong hai màu xanh ho c đỏ. Khi đó, K6
luôn cháa ho c K3 với tat cả các cạnh được tô màu xanh ho c được tô
màu đỏ. Đe giải quyet bài toán trên Ramsey năm 1930 đã cháng minh
định lý sau:
Định lj 2.1 Cho hai so nguyên m1, m2 ≥ 2. Khi đó luôn ton tại m®t
so nguyên N = N(m1, m2) sao cho với moi n ≥ N, neu đo th Kn được
tô bới 2 màu thì luôn ton tại ho¾c m®t đo th Km1 được tô bới màu thú
nhat ho¾c Km2 được tô bới màu thú hai.
Định nghĩa 2.2 Giả sả i và j là hai so nguyên dương sao cho i ≥ 2, j ≥
2. So nguyên dương m được goi là có tính chat (i, j)-Ramsey neu trong
Km moi cạnh được tô bởi m®t trong hai màu xanh, đỏ thì Km luôn cháa
ho c là Ki đỏ, ho c Kj xanh.
Ta có định nghĩa so Ramsey như sau.
Định nghĩa 2.3 So Ramsey R(i, j) là so nguyên dương nhỏ nhat có
tính chat (i, j)-Ramsey.
Chȁng hạn, ta có R(3, 3) = 6, vì 6 có tính chat (3,3)- Ramsey và
nhǎng so nguyên dương nhỏ hơn nó không có tính chat này.
2.1.2. Tính chat so Ramsey
Dưới đây ta trình bày m®t so tính chat cơ bản sau đây của so
Ramsey R(i, j).

18
a) So Ramsey khi đői cho m và n thì không thay đői, tác là
R(n, m) = R(m, n).
b) R(2, m) = R(m, 2) = m.
Ket hợp với tính chat a), ta có R(2, m) = R(m, 2), nên suy ra
R(2, m) = R(m, 2) = m.
c) Neu m có tính chat (i, j) - Ramsey thì moi so n > m cũng có
tính chat này.
Chúng minh.
So m có tính chat (i, j)-Ramsey có nghĩa là neu tô màu đay đủ đo
thị Km bởi hai màu xanh ho c đỏ thì Km cháa Ki được tô màu xanh,
ho c Kj được tô màu xanh. De thay, khi đó đo thị đay đủ Kn, n > m
được tô bởi hai màu xanh và đỏ sě cháa ít nhat Ki đỉnh được tô màu
xanh ho c Kj đỉnh được tô màu đỏ. Tương tự ta de dàng cháng minh
được hai tính chat sau:
d) Neu m không có tính chat (i, j)-Ramsey thì moi so n < m cũng
không có tính chat này.
e) Neu i1 ≥ i2 thì R(i1, j) ≥ R(i2, j).
2.1.3. Ti m c n so Ramsey
Tà ket quả ở mục trước ta thay 6 có tính chat (3,3)- Ramsey. Nhưng
van đe là 6 có phải là so nhỏ nhat có tính chat này hay không? Giả sả
các cạnh của K5 được tô màu như chỉ ra trong hình vě dưới đây (đỏ
- đ m , xanh - nhạt). Rõ ràng không the tìm được K3 đỏ (đ m) cũng
như không the tìm được K3 xanh (nhạt). Như v y so 5 không có tính
chat (3,3)- Ramsey. De thay rang moi so nguyên dương nhỏ hơn 5 cũng
không có tính chat (3,3)-Ramsey. V y 6 là so nhỏ nhat có tính chat này.
(Hình 2.1)
Hình 2.1: Đỏ màu đ¾m, xanh màu nhạt

19
Ví dn 2.1 Tìm R(2, 7) là so nguyên dương nhỏ nhat có tính chat (2,7)-
Ramsey.
L i giải.
Trước het ta tìm so nguyên dương n sao cho với moi cách tô các
cạnh của Kn bởi hai màu xanh, đỏ, luôn tìm được ho c K2 đỏ ho c K7
xanh. R(2, 7) là so nhỏ nhat có tính chat này. Xét m®t cách tô màu (tuỳ
ý) các cạnh của K7. Rõ ràng ho c là tìm được ít nhat m®t cạnh của K7
được tô màu đỏ, ho c là tat cả các cạnh của nó đeu được tô bởi màu
xanh. Neu có cạnh tô màu đỏ thì rõ ràng ta có K2 đỏ. Còn neu tat cả
các cạnh đeu tô bởi màu xanh thì ta có K7 xanh. V y so 7 có tính chat
(2,7)-Ramsey, và vì the R(2, 7) ≤ 7.
Nhưng R(2, 7) không the nhỏ hơn 7, bởi vì neu tô tat cả các cạnh
của K6 bởi màu xanh, ta sě không tìm được K2 đỏ và cũng không tìm
được K7 xanh. V y R(2, 7) = 7.
Sả dụng l p lu n trong ví dụ vàa trình bày, ta có the chỉ ra rang:
R(2, k) = k, với moi k ≥ 2.
Vi c xác định so Ramsey R(i, j) đòi hỏi chúng ta phải tìm so nguyên
dương nhỏ nhat có tính chat (i, j)-Ramsey.
M®t câu hỏi đ t ra là: Li u so này có ton tại với moi i ≥ 2, j ≥ 2
hay không? Bő đe và định lý dưới đây sě trả lời câu hỏi đ t ra.
Bo đe 2.1 Neu i ≥ 3 và j ≥ 3 thì
R(i, j) ≤ R(i, j − 1) + R(i − 1, j). (2.1)
Chúng minh.
Giả sả m = R(i, j − 1) + R(i − 1, j), ta cháng minh rang m có tính
chat (i, j)-Ramsey. Giả sả các cạnh của Km được tô bởi hai màu xanh,
đỏ và v là m®t đỉnh của Km, ta phân t p đỉnh Km thành hai t p:
A - t p tat cả các đỉnh noi với v bởi cạnh đỏ.
B - t p tat cả các đỉnh noi với v bởi cạnh xanh.
Do | A | + | B |=| A ∪ B |= m − 1 = R(i, j − 1) + R(i − 1, j) − 1,
nên ho c | A |≥ R(i − 1, j), ho c | B |≥ R(i − 1, j). Thực v y neu trái
lại ta có | A |< R(i − 1, j) và | B |< R(i − 1, j), tà đó suy ra đieu vô lý
sau: m − 1 =| A ∪ B |< R(i, j − 1) + R(i − 1, j) − 1 = m − 1.
Xét trường hợp | A |≥ R(i − 1, j). Goi K|A| là b® gom t p đỉnh A
và t p cạnh là các cạnh noi các đỉnh trong A của Km. Ta sě chỉ ra rang
K|A| ho c cháa Ki đỏ ho c cháa Ki xanh. Do | A |≥ R(i−1, j) nên K|A|

20
ho c cháa Ki−1 đỏ ho c cháa Kj xanh. Neu K|A| cháa Ki−1 đỏ thì bő
sung vào nó đỉnh v và các cạnh noi v với các đỉnh trong A ta thu được
Ki đỏ. V y Km luôn cháa Ki đỏ ho c cháa Ki xanh.
Trường hợp | B |≥ R(i, j − 1) được xét tương tự. Như v y m có
tính chat (i, j) Ramsey, tà đó ta suy ra bat đȁng thác (2.1) được cháng
minh. Tà ket quả của bő đe, sả dụng phép qui nạp toán hoc ta có the
cháng minh ket quả sau đây:
Định lj 2.2 Neu i ≥ 2, j ≥ 2 là các so nguyên dương thì luôn tìm dược
so nguyên (dươnq) với tính chat (i, j)-Ramsey, tù đó suy ra so R(i, j) là
ton tại.
Chúng minh.
Giả sả P(n) là m nh đe: Neu i+j = n thì luôn tìm được so nguyên
với tính chat (i, j) -Ramsey.
Khi n = 4 ta có i = j = 2. Tà ket quả của (2.1), ta suy ra P(4) đúng. Giả
sả P(n) đúng, ta cháng minh P(n + 1) cũng đúng. Giả sả i + j = n + 1,
ta suy ra i + (j − 1) = n và (i − 1) + j = n. Theo giả thiet qui nạp, luôn
tìm được so nguyên có tính chat (i, j − 1)- Ramsey và so nguyên với tính
chat (i − 1, j)- Ramsey. Tà đó suy ra các so R(i, j − 1) và R(i − 1, j)
ton tại. Tà đó và tà bat đȁng thác (2.1) suy ra so R(i, j) cũng ton tại.
V y P(n + 1) đúng.
Theo nguyên lý qui nạp P (n) đúng với moi i ≥ 2, j ≥ 2. Tà đó suy
ra R(i, j) luôn ton tại với moi i ≥ 2, j ≥ 2. Chúng ta đã có các ket quả
sau:
R(2, k) = R(k, 2) = k.
R(3, 3) = 6.
Khi i ≥ 2, j ≥ 2, vi c tìm các so R(i, j) càng khó khi i, j càng lớn. Hi n
nay mới chỉ biet rat ít các so Ramsey.
Bảng dưới đây cho ta nhǎng giá trị đã biet của R(i, j).

21
i j 2 3 4 5 6
2 2
3 3 6
4 4 9 18
5 5 14 25-27 43-52
6 6 18 34-43 57-94 102-169
7 7 23 ≥ 49 ≥ 76
8 8 28 ≥ 53 ≥ 94
9 9 36 ≥ 69
Các so R(3, 3), R(4, 3), R(5, 3) và R(4, 4) được tìm thay tà năm
1955 bởi A. M. Gleason và R. E. Gleenwood, R(6, 3) - J. G. Kalbfleisch
năm 1966, R(3, 3) - J. E. Graver, J. Yackel năm 1968, R(8, 3) - B. M
cKay và Z. Ke Min mới gan đây, R(9, 3) - C. M. Grinstead và S. M.
Robets năm 1982.
Các định lý trên cho ta biet sự ton tại của so Ramsey, tuy nhiên
các định lý này không cho ta biet cách tính so Ramsey. Nói chung không
có công thác tính so Ramsey, vì v y người ta co gang đi tìm các công
thác đánh giá so Ramsey. Các đánh giá này hi n nay cũng chưa nhieu
và cho đen hi n nay chưa có m®t công thác chính xác nào đe tính so
Ramsey. Trong mục này ta trình bày m®t so giá trị của so Ramsey và
m®t so công thác đánh giá so Ramsey.
Định lj 2.3 Với moi so nguyên p, q ≥ 2 ta có R(s, t) ≤ R(s, t − 1) +
R(s − 1, t).
Cháng minh định lý này đã được cho ở mục trước.
Ví dn 2.2 : R(3, 4) ≤ R(3, 3) + R(2, 4)
≤ 6 + 4 = 10.
mà R(3, 4) = 9, nên:
R(4, 4) ≤ R(3, 4) + R(4, 3)
≤ 9 + 9 = 18 và R(4, 4) = 18.
V y chúng ta mới đánh giá được c n trên của so Ramsey, c n dưới
của nó là m®t bài toán khó. Erdős đã đưa ra giới hạn dưới của so Ramsey
với trường hợp i = j như sau: R(s, s) > 2(s−1)/2
. Sau đây ta cháng minh
khȁng định trên.

22
s
s
Xét đo thị đay đủ K được tô bởi 2 màu xanh và đỏ. Khi đó xác
1
xuat đỉnh x của đo thị được tô màu đỏ là . V y xác suat các đỉnh Ks
2
được tô màu đỏ là 2−s(s−1)/2
. Do đó xác suat Ks đơn sac là 21−s(s−1)/2
.
Ta chon n đủ lớn đe ton tại m®t cách tô màu các đỉnh Kn sao cho nó
là t p đơn sac. Xác suat ton tại m®t đo thị con đơn sac Ks trong Kn
là: P (Ks) = (n
)21−s(s−1)/2
. Chon n đủ lớn đe xác suat nhỏ hơn 1. Ta lay
n = 2(s−1)/2
. Khi đó ta có đieu phải cháng minh.
Sau đây ta đưa ra công thác đánh giá c n dưới của so Ramsey trong
trường hợp đo thị được tô bởi k màu.
Định lj 2.4 Ta có: R(Ks,t; k) > (2π
√
st)1/(s+t)
.((s + t)/e2
).k(st−1)/(s+t)
với {k1, k2, k3, · · · · · · , kk} là t¾p hợp các màu được tô.
Chúng minh
Xác suat đe đỉnh x (x ∈ Ks,t) được tô bởi màu k1 là:
1
. Xác
k
suat đe Ks,t được tô bởi màu k1 là: k−st
. Xác suat đe Ks,t đơn sac
là: k.k−st
= k1−st
. Xác suat các đỉnh của ks,t mà được chon tà Kn là:
n
s+t
(n
)(s+t
).
Khi đó xác suat đe ton tại đo thị đơn sac trong Kn là: P(Ks,t) =
)(s+t
)k1−st
. Chúng ta chon n đủ lớn đe xác suat bé hơn 1 khi đó ta
s+t s
√ 1/(s+t) 2 (st−1)/(s+t)
có: n ≤ 2π st) .((s + t)/e ).k và có m®t màu được tô mà
không có m®t đo thị con đơn sac nào ton tại. Do dó ta có R(Ks,t; k) > n.
2.1.4. So Ramsey cho trư ng h p tong quát
Các so Ramsey giới thi u trong mục trước chỉ là m®t trong ho các
so Ramsey. Trong mục này chúng ta sě xét m®t ho các so Ramsey tőng
quát hơn.
a) Trường hợp tőng quát hóa nhieu màu đe tô cho các đỉnh của Kn.
Chȁng hạn neu ta tô màu các cạnh của Kn bởi ba màu xanh, đỏ,
tím, thì so n ít nhat phải là bao nhiêu đe chac chan tìm được ho c K3
đỏ, ho c K3 xanh ho c K3 tím? So n nhỏ nhat có tính chat như v y
được ký hi u là R(3, 3, 3; 2). Con so 2 được viet như là m®t thành phan
của R(3, 3, 3; 2) bởi vì các cạnh (đoi tượng được tô màu) được xác dịnh
bởi 2 đỉnh. Con so 2 này cũng có the thay bởi m®t so nguyên dương bat
kỳ. Ba so 3 cũng có the thay bởi các so nguyên dương tuỳ ý đe có the
thu được m®t ho mới các so Ramsey.
(

23
Ví dn 2.3 . R(5, 4, 7; 2) là so nguyên dương nhỏ nhat n sao cho với moi
cách tô màu các cạnh của Kn bởi 3 màu xanh, đỏ, tím thì trong Kn luôn
cháa ho c K5 đỏ ho c K4 xanh ho c K7 tím ho c các hoán vị khác của
các màu xanh, đỏ, tím cho K5, K4, K7 (vì các màu có vai trò như nhau).
Định nghĩa 2.4 Giả sả i1, i2, · · · , in là các so nguyên dương, trong
đó ij ≥ 2, với moi so j so nguyên dương m được goi là có tính chat
(i1, i2, · · · , in; 2)-Ramsey neu với moi cách tô màu các cạnh của Kn bởi
n màu 1, 2, . . . , n luôn tìm được trong nó Kij màu ij với ít nhat m®t j
nào đó. So nguyên dương nhỏ nhat với tính chat (i1, i2, ..., in; 2)-Ramsey
được goi là so Ramsey R(i1, i2, ..., in; 2).
Chú ý neu n = 2, so Ramsey R(i1, i2, ..., in; 2) chính là so Ramsey
R(i1, i2) trong mục trước.
Chúng ta biet rat ít ve so Ramsey R(i1, i2, ..., in; 2) khi n ≥ 3.
Tuy nhiên neu ij = 2 với moi j thì người ta cháng minh được rang:
R(2, ..., 2; 2) = 2. Khi moi ij ≥ 3, cho tới thời điem hi n tại mới xác định
được giá trị R(3, 3, 3; 2) = 17 (bởi R. E. Greenwood A. M. Gleason).
Định lj 2.5 Cho r là so tự nhiên, p1, p2, ..., pr, khi đó ton tại so tự nhiên
nhó nhat R(p1, p2, ..., pr) chí phự thu®c vào các so p1, p2, ..., pr sao cho
với moi đo th đay đủ n đính, r màu, n ≥ R(p1, p2, ..., pr) luôn ton tại
m®t đo th con đay đủ p1 đính mà tat cả các cạnh được tô màu k1, ho¾c
p2 đính mà tat cả các cạnh được tô màu k2, ho¾c .... ho¾c pr đính mà
tat cả các cạnh được tô màu kr.
Chúng minh.
Ta sě cháng minh định lý trên bang phương pháp qui nạp theo r.
Với r = 1, R(p1) = p1. Với r = 2, đây chính là Định lý Ramsey tô màu
đo thị bang 2 màu.
Giả sả định lý đúng đen r − 1. Ta sě cháng minh định lý đúng đen
r . Theo giả thiet ton tại q = R(p1, p2, · · · , pr − 1) sao cho moi đo thị
đay đủ q đỉnh r − 1 màu luôn ton tại m®t đo thị con đay đủ p1 đỉnh mà
tat cả các cạnh được tô bởi màu k1, ho c p2 đỉnh mà tat cả các cạnh
được tô màu k2, ... ho c pr − 1 đỉnh mà tat cả các cạnh được tô màu
kr − 1. Ta lay kr là màu đỏ, còn các màu k1, k2, ..., kr − 1 là màu xanh.
Theo Định lý Ramsey cho trường hợp 2 màu, ton tại so n = R(q, pr)
sao cho trong moi đo thị đay đủ n đỉnh hai màu, luôn ton tại m®t đo
thị con đay đủ q đỉnh mà tat cả các cạnh được tô màu xanh, ho c pr
đỉnh mà tat cả các cạnh được tô màu đỏ.

24
V y luôn ton tại so tự nhiên R(p1, p2, ..., pr), sao cho với moi đo thị
đay đủ n đỉnh r màu, n ≥ R(p1, p2, ..., pr), luôn ton tại m®t đo thị con
đay đủ p1 đỉnh, mà tat cả các cạnh được tô màu k1, ho c p2 đỉnh mà tat
cả các cạnh được tô màu k2, ... ho c pr đỉnh mà tat cả các cạnh được
tô màu kr.
Bài toán 2.2 Cháng minh R(3, 3, 3; 2) = 17.
Hình 2.2: Đo thị Clebsch
Ta thay trên đo thị Clebsch có 16 đỉnh các cạnh được tô bởi 3 màu
xanh, đỏ, vàng nhưng không có tam giác nào có 3 cạnh cùng màu. Suy
ra R(3, 3, 3; 2) > 16.
Bây giờ ta xét m®t đo thị đay đủ 17 đỉnh. Các cạnh của đo thị
được tô bởi m®t trong ba màu xanh, đỏ, vàng. Ta can cháng minh trong
đo thị ton tại ba đỉnh mà các cạnh được noi với nhau bởi cùng m®t
màu. Kí hi u m®t đỉnh là A. Vì A noi với 16 đỉnh còn lại bởi ba màu
nên theo nguyên tac Dirichlet ton tại 6 đỉnh noi với A bởi cùng m®t
màu. Giả sả sáu đỉnh là B, C, D, E, F, G noi với A bởi màu xanh. Neu
trong sáu đỉnh có hai đỉnh noi với nhau bởi màu xanh, giả sả là B, C
thì ba đỉnh A, B, C được noi với nhau cùng m®t màu. Neu trong sáu
đỉnh không có hai đỉnh nào noi với nhau bởi màu xanh. Suy ra trong
6 đỉnh B, C, D, E, F, G các cạnh được noi với nhau bởi hai màu đỏ và
vàng theo bài toán (2.1) ton tại ba đỉnh mà các cạnh được noi với nhau
bởi m®t màu.
V y trong 17 đỉnh luôn ton tại ba đỉnh mà các cạnh được noi với
nhau bởi cùng m®t màu. Suy ra R(3, 3, 3; 2) = 17.

25
b) Trường hợp chia Kn thành các ho.
Trươc tiên, ta quay trở lại với trường hợp của đo thị K6 với với t p
đỉnh V , ta xét tat cả các t p con 2 phan tả của V (tác là các cạnh của
K6) và chia các t p con này ra làm hai ho C1 và C2. So 6 có tính chat
(3, 3)-Ramsey neu và chỉ neu m®t trong hai khả năng sau xảy ra:
i) Tìm được t p con 3 phan tả của V sao cho moi t p con 2 phan
tả của nó đeu thu®c vào C1.
ii) Tìm được t p con 3 phan tả của V sao cho moi t p con 2 phan
tả của nó đeu thu®c vào C2.
Neu coi C1 là t p các cạnh được tô màu đỏ và C2 là t p các cạnh
được tô màu xanh, thì rõ ràng ta có tam giác đỏ khi và chỉ khi đieu ki n
i) được thực hi n và có tam giác xanh khi và chỉ khi đieu ki n ii) được
thực hi n. Tuy nhiên ở đây chúng ta không can dùng đen khái ni m
cạnh. Các tính chat này có the được phát bieu trong ngôn ngǎ t p hợp
và các tính chat của m®t ho các t p con của nó. Cách mô tả này cho
phép xét vi c phân các t p con có kích thước r tùy ý (không phải chỉ
có 2) ra thành m®t so các ho con (không nhat thiet chỉ phân làm 2 ho
C1 và C2 như trong ví dụ vàa nêu). Ta đi đen định nghĩa tőng quát của
so Ramsey.
Định nghĩa 2.5 Giả sả i1, i2, · · · , in, r là các so nguyên dương, trong
đó n ≥ 2 và ij ≥ r với moi so j. So nguyên dương m được goi là có tính
chat (i1, i2, · · · , in; r)-Ramsey neu m nh đe sau đúng: Neu S là t p m
phan tả và n ho C1, C2, · · · , Cn, là các t p con r phan tả, thì với m®t j
nào đó tìm đươc t p con của S có lực lượng ij sao cho moi t p con r phan
tả của nó đeu thu®c vào Cj. So nguyên dương nhỏ nhat có tính chat
(i1, i2, · · · , in; r)–Ramsey được goi là so it Ramsey R(i1, i2, · · · , in; r).
Định lj 2.6 (Định lj Ramsey 1930) Neu i1, i2, · · · , in, r là các so
nguyên dương, trong đó n ≥ 2 và ij ≥ r với moi so j thì so Ramsey
R(i1, i2, · · · , in; r) luôn ton tại.
Khi r = 1 so R(i1, i2, · · · , in; 1) có the xác định khá de dàng, bởi vì
chúng ta chỉ phải xét các t p con m®t phan tả của S. Công thác tính
cụ the trong trường hợp này được cho bởi định lý dưới đây:

26
Định lj 2.7 : R(i1, i2, · · · , in; 1) = i1 + i2 + · · · + in − (n − 1).
Chúng minh.
Đ t m = i1 + i2 + · · · + in − (n − 1). Trước het ta chỉ ra rang m
có tính chat (i1, i2, · · · , in; r) – Ramsey. Lay S là t p m phan tả và chia
các t p con 1 phan tả của nó ra làm n lớp C1, C2, · · · , Cn. Trước het
nh n thay rang phải tìm được chỉ so j0 sao cho | Cj0 |≥ ij0 (neu trái
lại | Cj |< ij với moi j, thì | Cj |≤ ij − 1). Suy ra: m =| C1 | + · · · + |
Cn |< (i1 − 1) + · · · + (in − 1) = i1 + i2 + · · · + in − n = m − 1. Neu
ta lay ij0 phan tả của Cj0 thì ta có t p con của S với lực lượng ij0 sao
cho moi t p con 1 phan tả của nó đeu thu®c Cj0 . Đieu đó cháng tỏ rang
R(i1, i2, · · · , in; 1) ≤ i1 + i2 + · · · + in − (n − 1).
Bây giờ ta sě chỉ ra rang m−1 = i1 +i2 +· · ·+in −n không có tính
chat (i1, i2, · · · , in; r)-Ramsey. Lay t p S gom i1 + i2 + · · · + in − n phan
tả. Phân các t p con m®t phan tả của nó vào n lớp C1, C − 2, · · · , Cn
sao cho | Cj |= ij − 1. Rõ ràng với cách phân chia này không the tìm
được t p con của S có lực lượng sao cho moi t p con m®t phan tả của
nó thu®c cùng m®t lớp Cj.
Khi i1 = i2 = · · · = in = 2, ta có R(2, 2, ..., 2; 1) = n + 1.
c) Trường hợp tőng quát.
hai mục trên, ta đã thay Định lý Ramsey có the phát bieu trên
ngôn ngǎ chia t p hợp thành hai lớp ho c ngôn ngǎ đo thị hai màu. Có
the đ t câu hỏi là: "Có the tőng quát hóa Định lý Ramsey khi t p hợp
được chia thành nhieu lớp ho c trên ngôn ngǎ đo thị nhieu màu hay
không?". Giả sả S là t p hợp gom s phan tả, ký hi u πr(S)là ho tat cả
các t p con của S moi t p có đúng r phan tả r ≥ 1. Ta nói ho πr(S)
được phân hoạch thành hai ho các t p hợp A và B neu A và B khác
rong và thỏa mãn đieu ki n: πr(S) = A ∪ B; A ∩ B = ∅.
Định lj 2.8 (Định lj Ramsey tong quát) Giả sủ S là t¾p hợp gom s
phan tủ và πr(S) là ho tat cả các t¾p con gom r phan tủ của S, r ≥ 1. Giả
sủ rang chúng ta có cách phân hoạch t¾p hợp πr(S) = A1 ∪A2 ∪· · ·∪An,
sao cho moi lớp Ai khác rőng và mői t¾p con r phan tủ của S thu®c
vào chí m®t t¾p Ai(Ai ∩ Aj = ∅ với moi i =
/ j). Giả sủ k1, k2, · · · , kn l
à
các so nguyên sao cho r ≤ ki ≤ s với moi i = 1, 2, ..., n. Khi đó ton tại
so nguyên R(k1, k2, ..., kn; r) chí phự thu®c vào n, k1, k2, ..., kn và r, mà
không phự thu®c vào t¾p S sao cho neu s ≥ R(k1, k2, ..., kn; r) thì ton tại
m®t t¾p con Pi gom ki phan tủ của S mà moi t¾p con r phan tủ của Pi

27
thu®c vào t¾p Ai với ít nhat m®t giá tr i, 1 ≤ i ≤ n.
Chúng minh.
Ta sě cháng minh theo qui nạp với n = 2 làm điem xuat phát. Giả sả
định lý đã được cháng minh cho phép chia t p hợp πr(S) vào n − 1 ho c
ít hơn các ho t p hợp. Xét phép chia: πr(S) = (A1 ∪A2 ∪· · ·∪An−1)∪An.
Giả sả ρ = R(k1, k2, ..., kn−1; r), s ≥ R(ρ, kn; r) và S là t p gom s phan
tả. Khi ay ho c là S cháa t p con Pn gom kn phan tả, moi t p con r
phan tả của nó thu®c nA. Trong trường hợp này định lý được cháng
minh. Ho c là S cháa t p con T gom ρ phan tả, moi t p con r phan tả
của nó thu®c t p A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An−1. Theo cách chon ρ và theo qui
nạp, t p T phải cháa ít nhat m®t t p con Pi gom ki phan tả, moi t p
con r phan tả của nó thu®c ho Ai với m®t giá trị i nào đó, 1 ≤ i ≤ n − 1.
Nhưng Pi cũng là t p con của t p S do đó trong moi trường hợp S cháa
t p m®t t p con Pi gom ki phan tả, moi t p con r phan tả của nó thu®c
ho Ai với m®t giá trị i nào đó 1 ≤ i ≤ n. Định lý được cháng minh.
2.2. T p đơn sac
M®t t p con Y của t p X được goi là đơn sac trong m®t cách tô
màu t p X neu moi phan tả của Y đeu có cùng màu.
Theo khái ni m trên và áp dụng Định lý Ramsey ta có: Giả sả
c : A(r)
→ {1, 2, ..., k} là m®t phép tô màu cho các t p con lực lượng
r(1 ≤ r < ∞) của m®t t p vô hạn A bang k màu. Khi đó A cháa m®t
t p con đơn sac vô hạn.
Mở r®ng hơn nǎa theo Định lý Van der Waerden năm 1927: Cho
m, k ∈ N. Khi đó ton tại m®t so nguyên N = N(m, k) sao cho với moi
n ≥ N , neu t p {1, 2, . . . , n} được tô bởi k màu thì luôn ton tại m®t
cap so c®ng đơn sac trong [n] có đ® dài m.
V y theo Định lý Ramsey và Định lý Van der Waerden thì chac
chan tìm được m®t t p đơn sac bang cách tô màu t p {1, 2, . . . , n} với
n đủ lớn bởi k màu.

28
1
r
2.2.2. T p đơn sac và các van đe liên quan
Cũng theo hai Định lý Ramsey và Định lý Van der Waerden ở trên
thì muon tìm được t p đơn sac phải tìm đươc so Van der Waerden ho c
so Ramsey. đây ta phát bieu Định lý Van der Waerden mạnh hơn
như sau: "Cho m, k là các so tự nhiên. Khi đó ton tại m®t so nguyên
dương N = N(m, k) sao cho với moi n ≥ N neu [n] được tô bởi k màu
thì luôn ton tại m®t cap so c®ng đ® dài m, sao cho moi phan tả của
nó tạo thành m®t t p đơn sac", có nghĩa là ton tại a, d ∈ N sao cho
a, a + d, a + 2d, . . . , a + (m − 1)d có cùng m®t màu.
Định lý trên hoàn toàn có the cháng minh bang phương pháp qui
nạp toán hoc và trong Chương 1 ta đã có m®t cách cháng minh.
H quả 2.1 (Định lj Schur 1916) Cho k là so tự nhiên, khi đó ton
tại m®t so nguyên dương N = N(k) sao cho với moi n ≥ N đe neu [n]
được tô bới k màu khác nhau thì luôn ton tại x, y, z thu®c [n] được tô
cùng m®t màu, thóa mãn x + y = z.
H quả trên có the được cháng minh bởi Định lý Ramsey.
Định nghĩa 2.6 Lay l, r ∈ N. M®t đường thȁng đơn sac, ho c đơn giản,
m®t đường thȁng trong [l]r
là m®t t t hợp L ∈ [l]r
sao cho đoi với t p
hợp không rong nào đó I = {i1, i2, ..., it} và aj ∈ [l] nào đó sao cho moi
j ∈
/ I, ta có: L = {x ∈ [l]r
: xj = aj, ∀j ∈
/ I, và xi = · · · = xi }.
t
Cho l ≥ 2 t p I là t p hợp các phan tả dương của L và aj j ∈
/ I là
t p hợp các phan tả âm của L. Lay L− và L+
bieu thị các điem của L
sao cho L− = 1 và L+
= l với moi i ∈ I. L− và L+
là các điem cuoi của
L, L− là các điem đau và L+
là các điem cuoi của L, ở đây chúng ta có
| L |= l.
Ví dn 2.4 Trong [3]2
, ví dụ các đường thȁng là:
L = {(1, 3), (2, 3), (3, 3)}, I = {1};
L = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}, I = {2};
L = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, I = {1, 2}.
Chú ý rang {(1, 3), (2, 2), (3, 3)} không là m®t đường thȁng (m c
dù nó xuat hi n m®t lan).
Trong [5]3
, m®t so các đường thȁng là:
L = {(4, 1, 1), (4, 2, 1), (4, 3, 1), (4, 4, 1), (4, 5, 1)}, I = {2};
L = {(1, 5, 1), (2, 5, 2), (3, 5, 3), (4, 5, 4), (5, 5, 5)}, I = {1, 3};

29
≥
r
−
−
−
×
— −
i i
i j
L = {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5)}, I = {1, 2, 3}.
Trong các trường hợp khác, L− và L là phan tả đau tiên và phan
tả cuoi cùng trong danh sách tương áng của L.
Định lj 2.9 (Định lj Hales - Jewett, 1963) Cho l, k là các so tự
nhiên, khi đó ton tại m®t so tự nhiên N = N(l, k) sao cho với moi
r N, neu [l]r
được tô với k màu thì luôn ton tại m®t đường tő hợp
đơn sac trong [l]r
.
Chúng minh.
Cháng minh định lý này tương tự Định lý Van der Waerden. Lay
m®t màu của [l]r
, chúng ta nói rang L1, L2, ..., Ls h®i tụ f ∈ [l]r
, neu
L+
= f với moi i. L1, L2, ..., Ls là màu h®i tụ tại f neu moi Li{L+
} là
đơn sac và Li{L+
}, Lj{L+
} có các màu khác nhau với moi i khác j.
Chúng ta sả dụng phép qui nạp với l. Định lý đúng với l = 1, bây giờ
với l ≥ 2 và giả sả định lý đúng với l − 1 với bat kỳ so lượng màu. Ta
cháng minh định lý đúng với l với bat kỳ so lượng màu tà đó định lý
được cháng minh.
Bo đe 2.2 Với moi 1 ≤ s ≤ k, ton tại r = r(l, s, k) sao cho neu [l]r
bat
kỳ được tô bới k màu thì ton tại m®t đường đơn sac trong [l] , ho¾c ton
tại s đường đơn sac h®i tự trong [l]r
.
Chúng minh bő đe.
Lay s = k, chúng ta ho c có m®t đường đơn sac ho c k đường đơn
sac h®i tụ. Đieu đó cho chúng ta m®t đường đơn sac, không quan tâm
màu h®i tụ của k trên đường đó. Đe cháng minh bő đe. Chúng ta sả
dụng qui nạp s.
Với s = 1 bởi giả thiet qui nạp với l khi đó ton tại N′ = N′(l−1, k)
sao cho neu [l − 1]N
′
được tô bởi k màu thì đó là m®t đường thȁng đơn
sac trong [l − 1]N
′
. Bő đe rõ ràng đúng với s = 1 khi [l]N
′
được tô bởi k
màu và vì v y chúng ta có the lay r = N ′. Bây giờ lay s ≥ 2 và giả sả
rang bő đe đúng với s 1 tác là r′ = r′(l, s 1, k) là giá trị can tìm. Ta
cháng minh bő đe đúng với s. Ton tại N” = N”(l 1, klr′
) sao cho neu
[l 1]N”
được tô bởi klr′
màu thì f ton tại m®t đường đơn sac trong
[l 1]N”
. Chúng ta chỉ ra r = r′ + N” là giá trị chap nh n được cho s.
Th t v y lay k màu được tô của [l]r
= [l]r
′
+N”
chúng ta ket thúc neu
[l]r
cháa m®t đường đơn sac, chúng ta có [l]r
= [l]r
′
+N”
= [l]r
′
[l]N”
.
Đieu này có nghĩa rang chúng ta có the tưởng tượng [l]r
như [l]N”
với

30
∪
1 s−1
≤ ≤ −
s
n′
n′
moi véc tơ của [l]N”
được thay the bang bản sao [l]r
′
. Thực v y chúng
ta có the viet moi véc tơ v ∈ [l]r
với dạng v = (v′, v”) trong đó v′ ∈ [l]r
′
và v” ∈ [l]N”
, do đó v” cháng tỏ rang vị trí của bản sao của [l]r
′
trong
[l]N”
và v′ bao gom toa đ® của v nam trong bản sao của [l]r
′
. Có klr′
cách tô màu bản sao [l]r
′
, chúng ta có the tưởng tượng toàn b® cau trúc
[l]r
như m®t [l]r
′
được tô bởi klr′
màu, với moi klr′
màu tương áng với
m®t trạng thái của [l]r
′
được tô bởi k màu. Bang cách định nghĩa N”
chúng ta có l−1 bản sao được tô màu giong h t nhau của [l]r
′
trong [l]r
.
V y khi đó chúng được xác định với các vec tơ tương áng của nó trong
[l]N”
, các véc tơ trở thành L {L+
} m c dù m®t vài đường L ∈ [l]N”
.
Lay I là t p hợp các véc tơ của L có toa đ® dương, hơn nǎa theo cách
định nghĩa r′ ho c có m®t đường đơn sac trong moi l − 1 bản sao được
tô màu tương tự nhau của [l]r
′
ho c có s − 1 đường đơn sac h®i tụ trong
moi bản sao. Neu van đe trước khi lay L′ là đường đơn sac trong bản
sao của [l]r
′
tương áng với L− với các toa đ® dương trong t p I′. Nhưng
sau đó, đường trong [l]r
, với các toa đ® dương I I′ và toàn b® các véc
tơ đau và véc tơ cuoi là (L
′
−
, L−) và (L
′
+
, L+
) là đơn sac, m®t sự mâu
thuan. Vì v y sự khȁng định cuoi đúng. Lay L1, ..., Ls−1 là các đường
đơn sac có toa đ® dương I1, ..., Is−1 h®i tụ tại f trong bản sao của [l]r
′
tương áng với L−, ví dụ f = L+
= · · · = L+ . Chú ý rang f có màu
′
khác với L1, ..., Ls−1, bây giờ với moi 1 i s 1 xét đường Li trong
[l]r
với véc tơ đau tiên (L−, L−) véc tơ cuoi (L+
, L+
= (f, L+
) và các
i i
toa đ® dương I ∪ Ii. Vì v y L′
i là màu h®i tụ tại (f, L+
) hơn nǎa đường
r − +
L′
s trong [l] với véc tơ đau và véc tơ cuoi (f, L ), (f, L ) và các toa đ®
dương I.
Như v y L′
s {L′+
} là đơn sac với các màu khác nhau tà Li
′
{Li
′−
}
với 1 ≤ i ≤ s − 1 vì v y L′
1, ..., L′
s là m®t t p hợp các đường đơn sac h®i
tụ trong [l]r
và h®i tụ tại (f, L+
). Bő đe được cháng minh bởi qui nạp
theo s.
Định nghĩa 2.7 So nguyên lớn nhat N = N(l, k) thỏa mãn Định lý
Hales-Jewett được goi là so Hales-Jewett, ký hi u HJ(l, k).
Chúng minh Đ nh lý Van der Waerden tù Đ nh lý Hales- Jewett.
Với m, k đã cho ta cháng minh N = m.HJ(m, k). Lay n ≥ N khi đó
c : [n] −→ {1, ..., k} được tô bởi k màu cho trước xác định c′ : [m] −→
{1, ..., k} được tô bởi k màu với c′((x1, ..., xn′ )) = c(x1 + · · · + xn′ ) khi
n′ = HJ(m, k) theo định lý (2.9), [m] cháa m®t đường đơn sac L trong

31
∈
j∈
/I j∈
/I
cách tô màu C′. Đường L tương áng tới m®t cap so c®ng đơn sac có đ®
dài m trong [n], trong cách tô màu c, ở đó moi phan tả là tőng của các
toa đ® của m®t véc tơ trong L (phan tả đau tiên cháa tőng các toa đ®
của L−) và sự khác nhau thông thường là kích thước của t p hợp L cháa
các toa đ® dương.
M®t nghiên cáu khác ve Định lý Hales- Jewett là chúng ta có the
sả dụng nó đe cháng minh Định lý Gallai m®t định lý có ket quả rat
hǎu ích và cháng minh ngay được Định lý Van der Waerden. Trước khi
chúng ta phát bieu và cháng minh Định lý Gallai chúng ta có định nghĩa
sau:
Định nghĩa 2.8 Lay X = N ho c X = R và S ⊂ Xr
với n ∈ N. M®t
bản sao đong dạng của S là m®t t p S′ ⊂ Xr
có dạng: S′ = aS + b =
{av + b : v ∈ S}, với a ∈ X, a 0 và b ∈ Xr
.
Định lj 2.10 (Định lj Gallai) Giả sủ X = N ho¾c X = R, r, k ∈ N
và S ⊂ Xr
là m®t t¾p hũu hạn. Khi đó neu t¾p Xr
được tô bới k màu
thì luôn ton tại m®t bản sao đơn sac đong dạng của S trong Xr
.
Định lý Gallai được biet đen như Định lý Grunwald ho c Định
lý Gallai-Witt. Chúng ta coi Định lý Gallai là m®t trường hợp tőng
quát của Định lý Van der Waerden bang cách lay X = N, r = 1 và
S = {1, . . . , m} trong đó m là đ® dài của cap so c®ng đơn sac mà chúng
ta muon tìm thay trong Định lý Van der Waerden.
Chúng minh.
Lay S = {s(1), ..., s(m)} với m ∈ N và n = HJ(m, k) với c :
Xr
−→ {1, ..., k} được tô bởi k màu xác định c′ : [m]n
−→ {1, ..., k} với
c′(x) = c(s(x1)+· · ·+s(xn)) theo định lý (2.9) [m]n
cháa m®t đường đơn
sac trong vi c tô màu c′. Nó de dàng đe tìm thay đường L tương áng với
bản sao đơn sac và đong dạng của S trong Xr
, liên quan đen vi c tô màu
c bởi k màu. Thực v y neu I là t p hợp các toa đ® dương của L và aj ∈
[m] , j / I là các toa đ® còn lại của L. Khi đó liên quan đen vi c tô màu
c, t p hợp: {|I|s(1)+
Σ
s(aj), |I|s(2)+
Σ
s(aj), · · · , |I|s(m)+
Σ
s(aj)}
là m®t bản sao đong dạng đơn sac của S trong Xr
.
Ví dụ sau đây cho ta thay áng dụng của Định lý Gallai và Định lý
Van der Waerden trong giải toán.
Ví dn 2.5 Giả sả t p hợp các so thực được chia làm hai t p con không
giao nhau tùy ý. Khi đó, với moi c p so nguyên dương (m, n) luôn ton
j∈
/I

32
tại ba so thực x, y, z cùng thu®c m®t t p con thỏa mãn x < y < z và
m(z − y) = n(y − x).
Chúng ta có the giải quyet bài toán này m®t cách đơn giản bang
cách sả dụng Định lý Gallai. Chú ý rang trong bài toán này t p so
ở đây là so thực còn theo định lý là so tự nhiên. Vì v y chúng ta có
the xem xét bài toán như vi c giải quyet bài toán tô màu t p so tự
nhiên bởi 2 màu. Theo Định lý Gallai với X = N, r = 1, k = 2 và
S = {1, m + 1, m + n + 1}, có m®t lớp màu cháa m®t bản sao đong dạng
của S đó là m®t t p hợp có dang {a + b, a(m + 1) + b, a(m + n + 1) + b}
với a, b là so nguyên và a lớn hơn ho c bang 1. Chúng ta ket thúc với
x = a + b, y = a(m + 1) + b và z = a(m + n + 1) + b khi đó chúng ta có
m(z − y) = amn và n(y − x) = amn. Suy ra đieu phải cháng minh.
Ngoài ra, ta có the giải quyet bài toán trên bang cách sả dụng Định
lý Van der Waerden. Theo Định lý này, ta có m®t lớp màu cháa m®t
cap so c®ng có đ® dài m + n + 1 với phan tả đau tiên a ∈ N và công sai
d là so tự nhiên. Sau phan tả a là a + md và a +(m + n)d đeu thu®c cap
so c®ng so hoc. Vì v y lay x = a, y = a + md và z = a + (m + n)d khi
đó cho ta m(z − y) = dnm và n(y − x) = dmn. Suy ra đieu phải cháng
minh.
Ví dụ sau đây minh hoa cho Định lý Van der Waerden trong trường
hợp n = 9.
Ví dn 2.6 Với moi cách tô màu các so 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 bởi hai
màu đỏ và xanh, thì ton tại ba so được tô cùng màu l p thành cap so
c®ng.
L i giải.
Giả sả rang vi c tô màu dãy so trên không có cap so c®ng đơn sac
nào có 3 phan tả và so 5 được tô màu đỏ. Khi đó, rõ ràng các so 3 và 7
không the cùng được tô bởi màu đỏ. Giả sả rang m®t trong hai so 3 và
7 là màu đỏ, khi đó theo tính đoi xáng, chúng ta có the giả sả rang 3 là
đỏ khi đó 1, 4 và 7 là màu xanh (Hình 2.3). Chúng ta thu được m®t cap
so c®ng đơn sac màu xanh (Hình 2.4). Mâu thuan với giả sả ở trên.
Hình 2.3

33
Hình 2.4
Vì v y, chúng ta tô màu 3, 5 và 7 dưới dạng như Hình 2.5, tác là
so 5 màu đỏ và hai so 3 và 7 là màu xanh.
Hình 2.5
Khi đó các so 1, 5, 9 không the được tô het bởi màu đỏ. Do đó 1
ho c 9 là màu xanh. Do tính đoi xáng, chúng ta có the giả sả rang 1
là màu xanh. Trong Hình 2.6, ta thay tat cả các khả năng xảy ra trong
trường hợp này. Ta thay rang, trong tat cả các trường hợp, ta đeu có
m®t cap so c®ng đơn sac với đ® dài bang 3. Vì v y mâu thuan với giả
sả trên. Suy ra đieu phải cháng minh.
Hình 2.6

34
Ket lu n
Lu n văn đã trình bày được m®t so van đe sau:
1. Trình bày ve Định lý Van der Waerden và Định lý Szemerédi ve cap
so c®ng và m t đ® cap so c®ng trong t p các so tự nhiên liên tiep.
2. Trình bày khái ni m h phủ đong dư và áng dụng của h phủ đong
dư trong giải toán.
3. Trình bày m®t so ket quả ve so Ramsey và t p đơn sac trong bài
toán tô màu.

35
Tài li u tham khảo
Tieng Vi t
[1] Hoàng Đác Tân (2017), "Định lý Van der Waerden ve cap so c®ng
và m®t so tőng quát hóa", dịch tà bài viet của M. A Lukomskaia,
Tạp chí Epsilon so 13, trang 205-208.
[2] Ngô Đac Tân (2003), Lý Thuyet tő hợp và đo th , NXB Đại hoc
Quoc gia HN.
[3] Nguyen Đác Nghĩa, Nguyen Tô Thành (2009), Giáo trình Toán Rời
Rạc, NXB Đại hoc Quoc gia HN.
Tieng Anh
[4] P. Erdős (1980), "A survey of problems in combinatorial number
theory", Annals of Discrete Mathemattics, 6, 89-115.
[5] T. Ahmead (2013), "Some more Van der Waerden numbers", Jour-
nal of Integer Sequences, Vol. 16, Article 13.4.4, 1-9.
[6] H. Liu (2012), "Combinatorial Number Theory", available at
http://www.cantab.net/users/henry.liu/comb nt.pdf.
[7] B. A. Asaad, "Generalization of Ramsey Numbers Fur-
ther Research on Ramsey Theorem", slides available at
https://www.slideshare.net/AlAhmadgaidAsaad/f-28030794.

Về Định Lý Van Der Waerden, Số Ramsey Và Tập Đơn Sắc.docx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Về Định Lý Van Der Waerden, Số Ramsey Và Tập Đơn Sắc.docx

Similar to Về Định Lý Van Der Waerden, Số Ramsey Và Tập Đơn Sắc.docx (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (18)

Về Định Lý Van Der Waerden, Số Ramsey Và Tập Đơn Sắc.docx