1. Математическая статистика
Контрольная работа 3
ФИО, группа
задача 1 задача 2 задача 3 задача 4 Сумма баллов
ВАРИАНТ 0
1. (5) Даны две выборки
x 4 1 3 6 5 1
y 6 0 4 9 7 4
Вычислите коэффициент корреляции Пирсона.
2. (5) Коэффициент корреляции Спирмена, вычисленный по 100 парам наблюдений,
равен 0.53. Проверьте гипотезу о равенстве коэффициента корреляции нулю против
односторонних альтернатив при уровнях значимости α = 0.01, α = 0.05, α = 0.1 и
α = 0.12.
3. (5) Опрос 39 потребителей об отношении к новой рекламе продукта показал, что 23
из них сочли рекламу удачной, трое не смогли определить свое мнение, а осталь-
ным она не понравилась. Сформулировать и проверить нулевую гипотезу о том, что
большинству реклама понравилась. Найдите минимальный уровень значимости для
проверки гипотезы против односторонних альтернатив. Отвергается ли гипотеза при
уровне значимости 5%?
4. (5) Даны выборочные наблюдения за двумя случайными величинами:
X : 5, 0, 3, 5, 1;
Y : 4, 0, 7, 5, 3, 8, 6.
С помощью критерия Вилкоксона (используя нормальную аппроксимацию и таблицу
стандартного нормального распределения) проверить нулевую гипотезу о равенстве
распределений выборок X и Y для 94% уровня доверия против двусторонних аль-
тернатив.
2. Решения задач
1. Воспользуемся формулой
r =
n
∑
xiyi −
∑
xi
∑
yi
√
n
∑
x2
i − (
∑
xi)2
√
n
∑
y2
i − (
∑
yi)2
.
Для этого вычислим суммы:
∑
xiyi = 129;
∑
xi = 20;
∑
yi = 30;
∑
x2
i = 88;
∑
y2
i = 198.
Подставляем их в формулу
r =
6 · 129 − 20 · 30
√
6 · 88 − 202
√
6 · 198 − 302
= 0.90625.
Ответ: 0.90625
2. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы:
H0 : ρ = 0 H1 : ρ > 0
Для проверки гипотезы используется t-статистика t = r
√
n−2
1−r2 с n − 2 степенями
свободы.
Найдем критическое значение и построим критическую область. В таблице t-распределения
находим α/2 = 0.005, число степеней свободы n − 2 = 98 и определяем критические
точки tcr = 2.364. Критическая область имеет вид (2.364; +∞).
Вычислим значение статистики критерия. Значение статистики критерия равно
t = r
√
n − 2
1 − r2
= 0.53
√
98
1 − 0.532
≈ 6.19.
Вывод. Так как t ∈ (2.364; +∞), то основная гипотеза H0 отвергается на уровне
значимости α = 0.01, а значит, и при α = 0.05, α = 0.1 и α = 0.12.
Ответ: при данных уровнях значимости и такой альтернативе гипотеза отвергается,
коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.
3. Пусть p – это доля тех, кому реклама понравилась. Сформулируем основную и аль-
тернативную гипотезы:
H0 : p = 0.5 H1 : p > 0.5.
(a) Сравниваем число плюсов и минусов.
S = min{количество 0, количество 1} = min{23, 13} = 13.
3. (b) Вычислим статистику
z =
2S + 1 − n
√
n
=
13 + 1 − 36
√
36
≈ −3.67.
Обратите внимание, что n = 36, потому что число нулей (т.е. тех, кто не опре-
делеился) мы не учитываем.
(c) Находим минимальный уровень значимости p − value = z−1
((−3.67) ≈ 0.000.
Так как p − value < 0.05, то основная гипотеза H0 отвергается на уровне значимости
5%.
Ответ: p − value = z−1
((−3.67) ≈ 0.000, при данном уровне значимости и такой
альтернативе гипотеза.
4. (a) Выписываем общую выборку (выделим выборку x):
0, 0, 1, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8.
(b) Ранжируем объединённую выборку
x(1.5) = 0, x(1.5) = 0, x(3) = 1, x(4.5) = 3, x(4.5) = 3,
x(6) = 4, x(8) = 5, x(8) = 5, x(8) = 5, x(10) = 6, x(11) = 7, x(12) = 8.
(c) Вычислим статистику
W = min{сумма рангов x, сумма рангов y} = min{25, 53} = 25.
(d)
µW =
n(n + m + 1)
2
=
5(5 + 7 + 1)
2
= 32.5,
σ2
W =
nm(n + m + 1)
12
=
5 · 7(5 + 7 + 1)
12
≈ 37.92.
(e) Вычислим статистику
z =
W − µW
σW
=
25 − 32.5
√
37.92
≈ −1.22.
(f) Уровень значимости α = 1 − 0.94 = 0.06. Так как альтернативы двусторонние,
то ищем z1−α/2 = z0.97 = 1.88. Так как z > −1.88 то нулевая гипотеза при таких
альтернативах не отвергается.
Ответ: при данном уровне значимости и такой альтернативе гипотеза не отвергается.
