Теория вероятностей

1. Лекция 8. Предельные теоремы
Курбацкий А. Н.
МШЭ МГУ
17,21 ноября 2016
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 1 / 13

2. Содержание
1 Неравенства Маркова и Чебышева
2 Теорема Муавра-Лапласа
3 Центральная предельная теорема
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 2 / 13

3. Неравенство Маркова
Задача
В газете написали, что 10% граждан имеют доход, который в 15 или
более раз превышает средний. Докажите, что автор статьи ошибся.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 3 / 13

4. Неравенство Маркова
Задача
В газете написали, что 10% граждан имеют доход, который в 15 или
более раз превышает средний. Докажите, что автор статьи ошибся.
Пусть N человек имеют средний доход x. Их общий доход Nx. Пусть
среди них есть 10% (то есть N/10) человек с доходом 15x или больше.
Тогда суммарный доход этой «элиты» равен 15xN/10 = 1, 5xN, но он
не может быть больше xN.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 3 / 13

5. Неравенство Маркова
Задача
В газете написали, что 10% граждан имеют доход, который в 15 или
более раз превышает средний. Докажите, что автор статьи ошибся.
Пусть N человек имеют средний доход x. Их общий доход Nx. Пусть
среди них есть 10% (то есть N/10) человек с доходом 15x или больше.
Тогда суммарный доход этой «элиты» равен 15xN/10 = 1, 5xN, но он
не может быть больше xN.
В общей форме это замечание называют иногда неравенством
Чебышёва или неравенством Маркова (Пафнутий Львович Чебышёв
(1821 - 1894) и Андрей Андреевич Марков (1856 - 1922).
Теорема
Пусть X случайная величина, принимающая неотрицательные
значения, а m - её математическое ожидание. Тогда вероятность того,
что значение величины X больше некоторой границы c, не
превосходит m/c: P(X > c) ≤ m/c.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 3 / 13

6. Доказательство неравенства Маркова
В самом деле, пусть p доля случаев (исходов), в которых
случайная величина X не меньше c.
Среднее значение величины может только уменьшиться, если в
этих случаях заменить значение величины на c, а в остальных
случаях - на нуль.
Но после такой замены среднее станет равным pc, поэтому
m > pc, откуда p ≤ m/c, что и требовалось доказать.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 4 / 13

7. Неравенство Маркова и Чебышева (общая
формулировка)
Теорема
Пусть Y - неотрицательная случайная величина, причем E(Y )
существует. Тогда для любого ε > 0 выполняются неравенства:
P(Y ≥ ε) ≤
E(Y )
ε
, P(Y ≥ ε) ≤
E(Y 2)
ε2
Если в качестве случайной величины Y рассмотреть Y = |X − E(X)|,
где X - произвольная случайная величина, у которой существует
дисперсия, то получим неравенство Чебышева.
Теорема
Пусть X - произвольная случайная величина такая, что ее дисперсия
D(X) существует. Тогда для любого ε > 0 выполняется неравенство:
P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤
1
ε2
D(X)
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 5 / 13

8. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Правильную монету бросили n = 100 раз. С помощью неравенства
Чебышева оценить вероятность того, что выпавшее число гербов
отклонится от 50 более, чем на 40.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 6 / 13

9. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Правильную монету бросили n = 100 раз. С помощью неравенства
Чебышева оценить вероятность того, что выпавшее число гербов
отклонится от 50 более, чем на 40.
Решение
Обозначим через Sn - выпавшее число гербов при 100 бросках монеты.
E(Sn) = n · p = 100 · 1
2 = 50, D(Sn) = n · p · (1 − p) = 100 · 1
2 · 1
2 = 25.
Тогда P(|Sn − E(Sn)| ≥ 40) ≤ D(Sn)
402 = 25
402 = 1
64 ≈ 0.0156.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 6 / 13

10. Содержание
1 Неравенства Маркова и Чебышева
2 Теорема Муавра-Лапласа
3 Центральная предельная теорема
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 7 / 13

11. Теорема Муавра-Лапласа
Теорема
Пусть Sn - число успехов в n испытаниях Бернулли (число n не
случайное; оно не зависит от результатов испытаний). Пусть p -
вероятность успеха в одном испытании 0 < p < 1. Тогда равномерно
относительно a и b, где −∞ < a < b < +∞:
P a ≤
Sn − np
np(1 − p)
≤ b → Φ(b) − Φ(a), при n → ∞
Где Φ(x) - функция стандартного нормального распределения.
Другими словами, нормированное число успехов Sn в серии из n
испытаний Бернулли с ростом n начинает вести себя как стандартная
нормальная случайная величина Z ∼ N(0, 1) или
Sn np + Z np(1 − p)
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 8 / 13

12. Пример
Стрелок попадает в цель при одном выстреле с вероятностью 3/4.
Найти приближенную вероятность того, что число попаданий в цель
при 1200 выстрелах лежит в пределах между 870 и 915.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 9 / 13

13. Пример
Стрелок попадает в цель при одном выстреле с вероятностью 3/4.
Найти приближенную вероятность того, что число попаданий в цель
при 1200 выстрелах лежит в пределах между 870 и 915.
Решение
Пусть n = 1200, а вероятность того, что стрелок попадет в цель равна
p = 3/4. Математическое ожидание ES = np = 900 и дисперсия
DX = np(1 − p) = 225. По теореме Муавра-Лапласа случайная
величина S имеет асимптотически нормальное распределение,
поэтому приближенно можем считать выполненным равенство
S = 900 +
√
225Z = 900 + 15Z, где Z ∼ N(0; 1). Используя таблицу
для функции распределения стандартной нормальной величины,
находим
P(870 < S < 915) ≈ P(870 < 900 + 15Z < 915) =
= P (−2 < Z < 1) = Φ(1)−Φ(−2) = Φ(1)−(1−Φ(2)) ≈ 0.841345+0.97725−
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 9 / 13

14. Попробуйте самостоятельно!
Задача
Известно, что доля потребителей некоторого товара составляет 25%.
Вычислите приближенно, используя теорему Муавра-Лапласа,
вероятность того, что при случайном опросе 1000 респондентов от 230
до 280 заявят, что они являются потребителями этого товара.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 10 / 13

15. Попробуйте самостоятельно!
Задача
Известно, что доля потребителей некоторого товара составляет 25%.
Вычислите приближенно, используя теорему Муавра-Лапласа,
вероятность того, что при случайном опросе 1000 респондентов от 230
до 280 заявят, что они являются потребителями этого товара.
Решение
Итак, p = 1/4, ES = np = 250 и DX = np(1 − p) = 187.5. По теореме
Муавра-Лапласа пользуемся приближённым равенством
S = 250 +
√
187.5Z. Используя таблицу, находим
P(230 < S < 280) ≈ P(230 < 250 +
√
187.5Z < 280) =
= P −
20
√
187.5
< Z <
30
√
187.5
≈ P(−1.46 < Z < 2.19) =
= Φ(2.19) + Φ(1.46) − 1 ≈ 0.9817 + 0.9279 − 1.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 10 / 13

16. Содержание
1 Неравенства Маркова и Чебышева
2 Теорема Муавра-Лапласа
3 Центральная предельная теорема
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 11 / 13

17. Центральная предельная теорема
является обобщением теоремы Муавра-Лапласа на случай, когда
рассматриваются суммы произвольных с.в. Название "ЦПТ"
объединяет серию теорем, различающихся лишь условиями,
наложенными на суммируемые величины. Приведём здесь вариант
для независимых и одинаково распределенных с.в.
Теорема
Пусть X1, . . . , Xn - независимые одинаково распределенные случайные
величины такие, что E(X2
i ) < ∞ и i = 1, . . . , n. Обозначим через a их
математическое ожидание, через σ2 - дисперсию, и пусть σ > 0. Тогда
равномерно относительно u и v, где −∞ ≤ u ≤ v ≤ +∞:
P u ≤
Xi − na
σ
√
n
≤ v → Φ(v) − Φ(u), при n → ∞
Другими словами, сумма независимых одинаково распределенных с.в.
с ростом числа слагаемых начинает вести себя как нормальная
случайная величина N(na, nσ2):
n
i=1
Xi na +
√
nσ · Z.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 12 / 13

18. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Игральную кость бросили n = 100 раз. Найти вероятность того, что
сумма выпавших очков превысит 385.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 13 / 13

19. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Игральную кость бросили n = 100 раз. Найти вероятность того, что
сумма выпавших очков превысит 385.
Решение
Обозначим через Xi - число выпавших очков при i-том броске. Xi -
случайная величина, принимающая целые значения от 1 до 6 с
равными вероятностями. E(Xi ) = 3.5, D(Xi ) ≈ 2.9166 и
σ = D(Xi ) ≈ 1.708.
P
n
i=1
Xi ≥ 385 = P(100 · 3.5 +
√
100 · 1.708 · Z ≥ 385) ≈
≈ P(17.08·Z ≥ 35) ≈ P(Z ≥ 2.05) = 1−Φ(2.05) ≈ 1−0.9798 = 0.0202.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Предельные теоремы 17,21 ноября 2016 13 / 13