1. Задачи к семинару 3
Метод моментов (ММ) и метод максимального правдоподобия (ММП)
1. Для случайной величины с распределением
X −1 0 2 4
P 0.6 + θ 0, 1 − θ 0.2 0.1
получена выборка: 4, 0, 2, -1, 4. Вычислите оценку ˆθ методом максимального правдоподо-
бия и методом моментов.
2. Для случайной величины с распределением
X 0 1 2
P θ 3θ 1 − 4θ
получена выборка: 0, 1, 2, 2. Вычислите оценку ˆθ методом максимального правдоподобия
и методом моментов.
3. Для случайной величины с распределением
значения 0 1 2 4
вероятности 0.5 + θ 0.1 − θ 0.2 0.2
получена выборка: 1, 4, 2, 2, 0, 1.
а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм.
б) Вычислите оценку ˆθ максимального правдоподобия.
4. Для случайной величины с равномерным распределением на отрезке [0; a] получена вы-
борка: 1, 0, 2, 3, 4. Вычислите оценкy ˆa методом моментов.
5. Для случайной величины с равномерным распределением на отрезке [a; b] получена вы-
борка: 1, 1, 3, 3. Вычислите оценки параметров методом моментов.
6. Дана выборка из пуассоновского распределения с параметром θ: 1, 1, 3, 2, 3, 2. Вычислите
оценку ˆθ максимального правдоподобия.
7. Дана выборка из пуассоновского распределения с параметром θ: 1, 4, 3, 2, 3, 0, 1, 1, 0, 5.
а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм.
б) Вычислите оценку ˆθ максимального правдоподобия и по методу моментов.
8. Дана выборка из нормального распределения со средним θ и дисперсией 1: 1, 3, -2, -1, 0,
4, 1, 2, 1.
а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм.
б) Вычислите оценку ˆθ максимального правдоподобия для среднего.
1
2. 9. Дана выборка из нормального распределения со средним θ и дисперсией σ2
: 1,0, 1, 2, 1.
а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм.
б) Вычислите оценки максимального правдоподобия для среднего и дисперсии.
в) Вычислите оценки для среднего и дисперсии методом моментов.
10. Методом максимального правдоподобия найдите вероятность успеха θ в схеме испытаний
Бернулли. Докажите, что эта оценка является несмещённой и состоятельной.
11. По выборке x1, x2 . . . , xn в случае равномерного распределения на отрезке [0; θ] методом
моментов найти оценку параметра θ. Найдите её смещение. Является ли оценка состоя-
тельной?
12. По выборке x1, x2 . . . , xn в случае равномерного распределения на отрезке [0; θ] методом
максимального правдоподобия найти оценку параметра θ. Найдите её смещение. Является
ли оценка асимптотически несмещённой? А состоятельной?
Необходимые термины
• Моменты
• Метод моментов
• Функция правдоподобия
• Метод максимального правдоподобия
2
![Задачи к семинару 3
Метод моментов (ММ) и метод максимального правдоподобия (ММП)
1. Для случайной величины с распределением
X −1 0 2 4
P 0.6 + θ 0, 1 − θ 0.2 0.1
получена выборка: 4, 0, 2, -1, 4. Вычислите оценку ˆθ методом максимального правдоподо-
бия и методом моментов.
2. Для случайной величины с распределением
X 0 1 2
P θ 3θ 1 − 4θ
получена выборка: 0, 1, 2, 2. Вычислите оценку ˆθ методом максимального правдоподобия
и методом моментов.
3. Для случайной величины с распределением
значения 0 1 2 4
вероятности 0.5 + θ 0.1 − θ 0.2 0.2
получена выборка: 1, 4, 2, 2, 0, 1.
а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм.
б) Вычислите оценку ˆθ максимального правдоподобия.
4. Для случайной величины с равномерным распределением на отрезке [0; a] получена вы-
борка: 1, 0, 2, 3, 4. Вычислите оценкy ˆa методом моментов.
5. Для случайной величины с равномерным распределением на отрезке [a; b] получена вы-
борка: 1, 1, 3, 3. Вычислите оценки параметров методом моментов.
6. Дана выборка из пуассоновского распределения с параметром θ: 1, 1, 3, 2, 3, 2. Вычислите
оценку ˆθ максимального правдоподобия.
7. Дана выборка из пуассоновского распределения с параметром θ: 1, 4, 3, 2, 3, 0, 1, 1, 0, 5.
а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм.
б) Вычислите оценку ˆθ максимального правдоподобия и по методу моментов.
8. Дана выборка из нормального распределения со средним θ и дисперсией 1: 1, 3, -2, -1, 0,
4, 1, 2, 1.
а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм.
б) Вычислите оценку ˆθ максимального правдоподобия для среднего.
1](https://image.slidesharecdn.com/sem3mmml-160221170943/85/-1-320.jpg)
![9. Дана выборка из нормального распределения со средним θ и дисперсией σ2
: 1,0, 1, 2, 1.
а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм.
б) Вычислите оценки максимального правдоподобия для среднего и дисперсии.
в) Вычислите оценки для среднего и дисперсии методом моментов.
10. Методом максимального правдоподобия найдите вероятность успеха θ в схеме испытаний
Бернулли. Докажите, что эта оценка является несмещённой и состоятельной.
11. По выборке x1, x2 . . . , xn в случае равномерного распределения на отрезке [0; θ] методом
моментов найти оценку параметра θ. Найдите её смещение. Является ли оценка состоя-
тельной?
12. По выборке x1, x2 . . . , xn в случае равномерного распределения на отрезке [0; θ] методом
максимального правдоподобия найти оценку параметра θ. Найдите её смещение. Является
ли оценка асимптотически несмещённой? А состоятельной?
Необходимые термины
• Моменты
• Метод моментов
• Функция правдоподобия
• Метод максимального правдоподобия
2](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)