Мат.стат

1. Лекция 5. Распределения, связанные с нормальным
Курбацкий А. Н.
МШЭ МГУ
9 марта 2016
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 1 / 21

2. Содержание
1 Распределение хи-квадрат (К.Пирсон)
2 Таблица распределения Стьюдента (В.Госсет)
3 Распределение Фишера (Р.Фишер)
4 Более подробно
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 2 / 21

3. Содержание
1 Распределение хи-квадрат (К.Пирсон)
2 Таблица распределения Стьюдента (В.Госсет)
3 Распределение Фишера (Р.Фишер)
4 Более подробно
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 3 / 21

4. Распределение хи-квадрат
Пусть ξ1, . . . , ξk — совместно независимые стандартные нормальные
случайные величины, то есть: ξi ∼ N(0, 1). Тогда случайная величина
ξ = ξ2
1 + · · · + ξ2
k имеет распределение хи-квадрат с k степенями
свободы.
Для этого распределения составлена таблица наиболее используемых
значений.
Важно!
В нижеприведённой таблице указаны некоторые значения для
вероятностей вида P(χ2(k) ≥ x).
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 4 / 21

5. •
χ2
l
•
3
•
5
•
7
•
9
•
χ2
r
x
−0.05
−0.15
χ2
//
OO
Замечание
Распределение хи-квадрат стремится к нормальному распределению
при k → ∞. Математическое ожидание равно k, а дисперсия – 2k.
Математическое ожидание больше моды этого распределения, потому
что правый хвост "тяжелее" левого.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 5 / 21

6. Таблица критических значений хи-квадрат
распределения
k α 0.100 0.050 0.025 0.020 0.010 0.005 0.001
1 2.706 3.841 5.024 5.412 6.635 7.879 10, 828
2 4.605 5.991 7.378 7.824 9.210 10.597 13.816
3 6.251 7.815 9.348 9.837 11.345 12.838 16.266
4 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.860 18.467
5 9.236 11.070 12.833 13.388 15.086 16.750 20.515
6 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.548 22.458
7 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.278 24.322
8 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.955 26.124
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 6 / 21

7. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Для распределения χ2 с семью степенями свободы найдите квантиль
уровня 0.99.
Смотрим в строчку для k = 7 и столбец для α = 0.01. Находим
значение 18.475, это и есть χ2
0.99(7) ≈ 18.475.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 7 / 21

8. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Для распределения χ2 с семью степенями свободы найдите квантиль
уровня 0.99.
Смотрим в строчку для k = 7 и столбец для α = 0.01. Находим
значение 18.475, это и есть χ2
0.99(7) ≈ 18.475.
k α 0.100 0.050 0.025 0.020 0.010 0.005 0.001
1 2.706 3.841 5.024 5.412 6.635 7.879 10, 828
2 4.605 5.991 7.378 7.824 9.210 10.597 13.816
3 6.251 7.815 9.348 9.837 11.345 12.838 16.266
4 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.860 18.467
5 9.236 11.070 12.833 13.388 15.086 16.750 20.515
6 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.548 22.458
7 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.278 24.322
8 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.955 26.124
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 7 / 21

9. Пример
Для распределения χ2 с двумя степенями свободы найдите квантиль
уровня 0.95.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 8 / 21

10. Пример
Для распределения χ2 с двумя степенями свободы найдите квантиль
уровня 0.95.
Смотрим в строчку для k = 2, и столбец для α = 0.05. Находим
значение 5.991, это и есть χ2
0.95(2) ≈ 5.991.
k α 0.100 0.05 0.025 0.020 0.01 0.005 0.001
1 2.706 3.841 5.024 5.412 6.635 7.879 10, 828
2 4.605 5.991 7.378 7.824 9.210 10.597 13.816
3 6.251 7.815 9.348 9.837 11.345 12.838 16.266
4 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.860 18.467
5 9.236 11.070 12.833 13.388 15.086 16.750 20.515
6 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.548 22.458
7 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.278 24.322
8 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.955 26.124
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 8 / 21

11. Распределение Стьюдента
Пусть ξ0, ξ1, . . . , ξn — независимые стандартные нормальные
случайные величины. Тогда распределение случайной величины
t =
ξ0
1
n
n
i=1
ξ2
i
,
называется распределением Стьюдента с n степенями свободы и
пишут t ∼ t(n). Для этого распределения составлена таблица наиболее
используемых значений.
Важно!
В нижеприведённой таблице указаны некоторые значения для
вероятностей вида P(t(n) ≥ x) и P(|t(n)| ≥ x).
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 9 / 21

12. Критические значения распределения tk
(распределения Стьюдента)
two − side 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
one − side 0.050 0.0250 0.0125 0.0050 0.0025 0.0005
k
1 6.314 12.706 25.452 63.657 127.321 636.619
2 2.920 4.303 6.205 9.925 14.089 31.599
3 2.353 3.182 4.177 5.841 7.453 12.924
4 2.132 2.776 3.495 4.604 5.598 8.610
5 2.015 2.571 3.163 4.032 4.773 6.869
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 10 / 21

13. //
OO
Замечание
Распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению
при n → ∞, поэтому при больших выборках их значения будут почти
совпадать.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 11 / 21

14. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Для распределения Стьюдента с тремя степенями свободы вычислите
вероятности P(t(3) < 5.841), P(|t(3)| > 3.182) и найдите квантили
уровня 0.95 и 0.9995.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 12 / 21

15. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Для распределения Стьюдента с тремя степенями свободы вычислите
вероятности P(t(3) < 5.841), P(|t(3)| > 3.182) и найдите квантили
уровня 0.95 и 0.9995.
Смотрим в строчку для трёх степеней свободы,то есть k = 3, и
находим (о, чудо!) значение 5.841. Откуда P(t(3) < 5.841) ≈ 1 − 0.005.
P(|t(3)| > 3.182) ≈ 0.05.
t0.95(3) ≈ 2.353 и t0.9995(3) ≈ 12.924.
two − side 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
one − side 0.050 0.0250 0.0125 0.0050 0.0025 0.0005
k = 1 6.314 12.706 25.452 63.657 127.321 636.619
2 2.920 4.303 6.205 9.925 14.089 31.599
3 2.353 3.182 4.177 5.841 7.453 12.924
4 2.132 2.776 3.495 4.604 5.598 8.610
5 2.015 2.571 3.163 4.032 4.773 6.869
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 12 / 21

16. Критические значения распределения tk
(распределения Стьюдента)
Задача
Найдите с точностью до тысячных квантиль уровня 0.975 для
случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с 4
степенями свободы.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 13 / 21

17. Критические значения распределения tk
(распределения Стьюдента)
Задача
Найдите с точностью до тысячных квантиль уровня 0.975 для
случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с 4
степенями свободы.
На пересечении строки соответствующей четырём степеням свободы и
уровню значимости 1 − 0.975 = 0.025 находим t0.975(4) ≈ 2.776.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 13 / 21

18. Критические значения распределения tk
(распределения Стьюдента)
Задача
Найдите с точностью до тысячных квантиль уровня 0.975 для
случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с 4
степенями свободы.
На пересечении строки соответствующей четырём степеням свободы и
уровню значимости 1 − 0.975 = 0.025 находим t0.975(4) ≈ 2.776.
two − side 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
one − side 0.050 0.0250 0.0125 0.0050 0.0025 0.0005
k = 1 6.314 12.706 25.452 63.657 127.321 636.619
2 2.920 4.303 6.205 9.925 14.089 31.599
3 2.353 3.182 4.177 5.841 7.453 12.924
4 2.132 2.776 3.495 4.604 5.598 8.610
5 2.015 2.571 3.163 4.032 4.773 6.869
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 13 / 21

19. Распределение Фишера
Пусть ξ1, ξ2 — две независимые случайные величины, имеющие
распределение хи-квадрат: ξi ∼ χ2(ki ), где ki ∈ N, i = 1, 2. Тогда
распределение случайной величины
F =
ξ1/k1
ξ2/k2
,
называется распределением Фишера (или Фишера-Снедекора) со
степенями свободы k1 и k2. Пишут F ∼ F(k1, k2).
Важно!
Таблицы составляются отдельно для каждого уровня занчимости! Мы
будем использовать таблицу только для 5-процентных точек или
квантилей уровня 0.95.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 14 / 21

20. F-распределение
•
1
•
2
•
4
•
Fα
x
−0.5
−1
F
//
OO
Замечание
Распределение Фишера не является симметричным.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 15 / 21

21. Критические значения распределения
Распределение Фишера (5%)
k2 k1 = 1 2 3 4 5 6 7 8
2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371
3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845
4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041
5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818
6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147
7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726
8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 16 / 21

22. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Найдите 5-процентную точку для F(4; 8).
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 17 / 21

23. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Найдите 5-процентную точку для F(4; 8).
Решение
Смотрим в строчку для восьми степеней свободы, то есть k2 = 8, и
столбец для k1 = 4. Находим значение 3.838.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 17 / 21

24. Попробуйте самостоятельно!
Пример
Найдите 5-процентную точку для F(4; 8).
Решение
Смотрим в строчку для восьми степеней свободы, то есть k2 = 8, и
столбец для k1 = 4. Находим значение 3.838.
k2 k1 = 1 2 3 4 5 6 7 8
2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371
3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845
4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041
5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818
6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147
7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726
8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 17 / 21

25. Задача
Найдите 5-процентную точку для F(8; 4).
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 18 / 21

26. Задача
Найдите 5-процентную точку для F(8; 4).
Решение
Смотрим в строчку для четырёх степеней свободы, то есть k2 = 4, и
столбец для k1 = 8. Находим значение 6.041.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 18 / 21

27. Задача
Найдите 5-процентную точку для F(8; 4).
Решение
Смотрим в строчку для четырёх степеней свободы, то есть k2 = 4, и
столбец для k1 = 8. Находим значение 6.041.
k2 k1 = 1 2 3 4 5 6 7 8
2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371
3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845
4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041
5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818
6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147
7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726
8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 18 / 21

28. Без компьютера было бы чувство неудовлетворенности...
Значения вероятностей всех вышеприведённых распределений зависят
от числа степеней свободы, поэтому подробную таблицу теперь
написать не получится, как для нормального распределения.
Важно!
Вероятности и квантили для рассмотренных распределений найти, как
правило, не получится. Надо использовать компьютер, например,
Excel.
Приведем список функции MS Excel и OpenOffice для вычисления
критических значений стандартных распределений с уровнем
значимости α
Распределение MS Excel (Рус) MS Excel (Eng)
Двустор. N(0,1) НОРМСТОБР(1 − α/2) NORMSINV(1 − α/2)
Одностор. N(0,1) НОРМСТОБР(1 − α) NORMSINV(1 − α)
χ2
k (хи-квадрат) ХИ2ОБР(α; k) CHIINV(α; k)
Двустор. tk СТЬЮДРАСПОБР(α; k) TINV(α; k)
Одностороннее tk СТЬЮДРАСПОБР(2α; k) TINV(2α; k)
Фишера Fk1,k2
FРАСПОБР(α; k1; k2) FINV (α; k1; k2)Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 19 / 21

29. Содержание
1 Распределение хи-квадрат (К.Пирсон)
2 Таблица распределения Стьюдента (В.Госсет)
3 Распределение Фишера (Р.Фишер)
4 Более подробно
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 20 / 21

30. Где и что почитать?
Тема. Распределения, связанные с нормальным (распределение
хи-квадрат, распределение Стьюдента, распределение Фишера).([И-М],
§7,12-13; [Ф,Л], глава 12).
Фадеева Л. Н., Лебедев А. В., Теория вероятностей и
математическая статистика: учебное пособие. - 2-е изд., перераб. и
доп. - М.: Эксмо, 2010. - 496 с. – (Новое экономическое
образование).
Ивашев-Мусатов О. С., Теория вероятностей и математическая
статистика: учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИМА,
2003. - 224 с.
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 5. F,t,χ2
-распределения 9 марта 2016 21 / 21