1. Задачи к семинару 7
Проверка гипотез (одна выборка)
1. Проводится медицинский тест(анализ) для проверки наличия болезни. Изначально она
предполагается. Что будет означать для больного ошибка первого рода? А второго?
2. Вы собираете грибы и априори, считает, что они съедобные (презумпция съедобности
грибов). Что такое в этом случае ошибка первого рода? А второго?
3. Дана случайная выборка из нормального распределения N(µ, σ2
). Вычислите математи-
ческое ожидание и дисперсию величины z = (¯x−µ)
√
n
σ
. Докажите, что z стремится к стан-
дартному нормальному распределению при n → ∞.
4. Дана случайная выборка из биномиального распределения с вероятностью успеха p. Вы-
числите математическое ожидание и дисперсию величины z = (ˆp−p)
√
n
√
pq
. Докажите, что z
стремится к стандартному нормальному распределению при n → ∞.
5. По случайной выборке из нормального распределения N(θ, σ2
= 1): 9, 5, 7, 7, 4, 10 прове-
рить нулевую гипотезу о том, что θ = 6, при 1% уровне значимости против односторонних
альтернатив θ > 6.
6. По случайной выборке из нормального распределения N(θ, σ2
= 1): 3, 2, 4, 5, 1, 3 проверить
нулевую гипотезу о том, что θ = 4, при 5% уровне значимости против односторонних
альтернатив θ < 4.
7. Дана выборка из нормального распределения с неизвестным средним и дисперсией: 9, 6,
8, 11, 7, 7. На 5% уровне значимости проверьте гипотезу о равенстве среднего значения
пяти против двусторонних альтернатив (двумя способами).
8. Дана выборка из нормального распределения с неизвестным средним и дисперсией: 4, 1,
3, 6, 2, 2. На 10% уровне значимости проверьте гипотезу о равенстве среднего значения
двум против двусторонних альтернатив (двумя способами).
9. Студенты ВУЗа предполагают, что более 10% всех студенток в этом ВУЗе страдают от
избыточного веса. Проверьте предположение на уровне значимости 5%, если в выборке из
90 студенток избыточный вес оказался у 18.
10. Студентки ВУЗа предполагают, что более половины всех студентов в этом ВУЗе курят.
Проверьте предположение на уровне значимости 1%, если в выборке из 80 человек в ку-
рении признались только 20.
11. Среди студентов проводился опрос с целью выяснить среднюю стоимость мобильного те-
лефона. Результаты получились такими 4900, 6500, 5000, 7300, 6400, 6300, 5800, 6200, 6100,
5500, 6300, 6200, 6000. На уровне значимости 14% проверить гипотезу о том, что у 60%
студентов мобильный телефон стоит дороже 6000 рублей. Можно ли доверять полученным
выводам?
12. Среди покупателей проводился опрос с целью выяснить среднюю стоимость наручных
часов. Результаты таковы 2900, 1500, 5000, 10000, 7000, 6300, 1600, 5200, 3800, 1200, 1700,
1100. На уровне значимости 12% проверить гипотезу о том, что у 55% покупателей часы
стоят дороже 3000 рублей. Можно ли доверять полученным выводам?
1
2. 13. Проверьте гипотезу о равенстве дисперсии 75 на уровне значимости 0.05 против односто-
ронних альтернатив, если выборочная дисперсия получилась равной 81. Объём выборки
равен 26.
14. Проверьте гипотезу о равенстве дисперсии 361 на уровне значимости 0.01 против односто-
ронних альтернатив, если выборочная дисперсия получилась равной 225. Объём выборки
равен 16.
15. Если при проверке гипотезы о среднем H0 : µ = 0.02 против альтернативы H1 : µ = 0.02
было получено p − value 0.03, то нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости
(a) 0.01
(b) 0.05
(c) 0.1
16. Если при проверке гипотезы о среднем H0 : µ = 4 против альтернативы H1 : µ > 4 было
получено p − value 0.072, то нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости
(a) 0.01
(b) 0.05
(c) 0.1
17. По выборке x1, . . . , x100 из нормальной генеральной совокупности N(µ; σ2
= 9) для про-
верки гипотезы о среднем H0 : µ = 3 против альтернативы Ha : µ < 3 был получен
минимальный уровень значимости 0.007. Стоит ли отвергнуть нулевую гипотезу? Вычис-
лите сумму x1 + . . . + x100.
18. По выборке x1, . . . , x121 из нормальной генеральной совокупности N(µ; σ2
= 16) для про-
верки гипотезы о среднем H0 : µ = 5 против альтернативы Ha : µ < 5 был получен
минимальный уровень значимости 0.15. Стоит ли отвергнуть нулевую гипотезу? Вычис-
лите сумму x1 + . . . + x121.
Дополнительные задачи
1. Исследователь заподозрил, что монета не является симметричной (ему кажется, чтогерб
выпадает реже, чем решка) и выдвинул гипотезу H0 : p = 1/2 против альтернативы Ha : p =
1/3. Для проверки гипотезы он подбрасывает монету 10 раз.
Если число гербов больше 7, то нулевая гипотеза отвергается и принимается Ha.
• Вычислите ошибку первого рода;
• Вычислите ошибку второго рода и мощность теста.
• Как изменяться ошибки первого и второго родов, если исследователь увеличит пороговое
значение с 7 до 8?
2. Маша долго подбрасывала монету и заметила, что герб выпадает приблизительно в 25%
случаев. Она выдвинула гипотезу H0 : p = 1/2 против альтернативы Ha : p = 1/4. Чтобы на
уровне значимости α = 0.1 проверить гипотезу о том, что монета не является симметричной,
она устраивает итоговый тест: подбрасывает монету 10 раз и если число гербов превышает C,
то она заключает, что монета не симметричная.
2
3. • Найдите критическое множество.
• Вычислите ошибку второго рода и мощность теста.
• Как изменится мощность теста, если Маша уменьшит уровень значимость до α = 0.01?
3. Костя долго подбрасывал монету и заметил, что герб выпадает приблизительно в 75%
случаев. Чтобы проверить гипотезу о том, что монета не является симметричной, он устраивает
итоговый тест: подбрасывает монету 15 раз и если число гербов превышает 9, то он заключает,
что монета не симметричная.
• Сформулируйте основную и альтернативную гипотезу.
• Вычислите ошибки первого и второго родов.
• Как изменяться ошибки первого и второго родов, если Костя увеличит пороговое значение
с 9 до 10?
4. Пусть p - это доля сторонников некоторого кандидата в президенты. Исследователь хочет
проверить, что его поддерживает половина избирателей и выдвигает основную гипотезу H0 :
p = 1/2 против односторонних альтернатив Ha : p > 1/2. Для этого он опрашивает 20 человек
и если число сторонников в выборке оказывается больше 12, то основная гипотеза отврегается
в пользу альтернативы.
• Найдите ошибку первого рода.
• Вычислите мощность теста для разных значений p (например, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9) и нарисуйте
приблизительный график функции мощности.
5. Рассматривается выборка объёма 64 из нормальной генеральной совокупности N(µ, 4).
Для проверки гипотезы H0 : µ = 0 против двусторонних альтернатив Ha : µ = 0 исследователь
делает следующее:
вычисляет среднее ¯x и если ¯x ∈ [−1; 1], то нулевая гипотеза не отвергается, если ¯x /∈ [−1; 1],
то отвергает H0 в пользу Ha.
• Вычислите уровень значимости;
• Вычислите мощность теста, если µ = 1.
6. Рассматривается выборка объёма 100 из нормальной генеральной совокупности N(µ, 9).
Для проверки гипотезы H0 : µ = 2 против односторонних альтернатив Ha : µ < 2 на 5% уровне
значимости исследователь делает следующее:
вычисляет среднее ¯x и если ¯x ≥ C, то нулевая гипотеза не отвергается, если ¯x < C, то он
отвергает H0 и принимает Ha.
• Вычислите C;
• Вычислите мощность теста, если µ = 0.
3
4. Необходимые термины
• Статистическая гипотеза
• Альтернативная гипотеза
• Критическая область
• Критические значения
• Статистика критерия
• Ошибки первого и второго родов
• Мощность критерия
• Функция мощности
• Минимальный уровень значимости
4
