1. Задачи к семинару 8
Сравнение двух выборок
1. Даны две независимые выборки x1, . . . , xn1 и x1, . . . , xn2 из нормальных генеральных со-
вокупностей с одинаковым распределением N(0; σ2
). Доказать, что
z =
¯x1 − ¯x2
σ 1
n1
+ 1
n2
,
имеет стандартное нормальное распределение.
2. Даны две независимые выборки x1, . . . , xn1 и x1, . . . , xn2 из нормальных генеральных со-
вокупностей N(µ1; σ2
1) и N(µ2; σ2
2) соответственно. Доказать, что
z =
(¯x1 − ¯x2) − (µ1 − µ2)
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
,
имеет стандартное нормальное распределение.
3. Даны две нормальные выборки со следующими характеристиками
объем выборки выборочное среднее дисперсия
X 9 25 2
Y 6 21 1
Проверьте гипотезу о равенстве средних значений этих выборок при 95% уровне доверия
против односторонней альтернативы. В ответе укажите значение статистики критерия.
4. Даны две нормальные выборки со следующими характеристиками
объем выборки выборочное среднее выборочная дисперсия
X 10 15 2
Y 7 12 1
С помощью критерия Стьюдента проверьте гипотезу о равенстве средних значений этих
выборок (считая их дисперсии равными) при 95% уровне доверия против двусторонних
альтернатив. В ответ укажите минимальный уровень значимости.
5. Даны две нормальные выборки со следующими характеристиками
объем выборки выборочное среднее выборочные дисперсии
X 10 15 2
Y 7 12 1
Построить 95%-доверительный интервал для разности средних, если дисперсии предпо-
лагаются равными.
6. Даны две нормальные выборки со следующими характеристиками
1
2. объем выборки выборочное среднее дисперсия
X 9 25 2
Y 6 21 1
Построить 90%-доверительный интервал для разности средних.
7. Средний уровень ежемесячных продаж компании в прошедшем году составил 15 у.е. В
новом году компания сменила рекламную стратегию. При этом были зафиксированы сле-
дующие ежемесячные показатели продаж: 13, 17, 18, 15, 15, 18. При 95% уровне доверия
проверьте гипотезу о том, что средний уровень продаж после рекламы не изменился.
8. 10 абитуриентов пришли на подготовительные курсы по ЕГЭ и написали тестирование в
начале обучения и после. Результаты теста занесены в таблице
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
До 7 6 5 4 6 2 10 3 8 5
После 9 6 4 5 7 4 10 6 9 6
Проверьте гипотезу об отсутствии влияния подготовительных курсов на подготовку сту-
дентов на уровне значимости 0.01.
9. Для исследование эффективности препарата для похудения было проведено исследова-
ние. Был записан вес пациента до приёма препарата и после. В результате получились
следующие разности для веса каждого пациента: 2, -3, 4, 1, 1,-3, -1, 5, 3, 1, 2, 6, 5, -2, 0.
На уровне значимости 5% проверьте гипотезу об отсутствии влияния препарата против
двусторонних альтернатив.
10. Для нормальных выборок объемами 9 и 17 известны выборочные дисперсии 5 и 4 соот-
ветственно. Проверьте гипотезу о равенстве дисперсий, на уровне значимости α = 0.05
против односторонних альтернатив.
11. Для нормальных выборок объемами 26 и 18 известны выборочные дисперсии 36 и 10
соответственно. Проверьте гипотезу о равенстве дисперсий, на уровне значимости α = 0.05
против односторонних альтернатив.
12. Даны две нормальные выборки. Пусть из 200 случайно отобранных студентов экономи-
ческого факультета 86 ездят в университет на машине, а из 300 студентов химическо-
го факультета - 135 человек. Проверьте гипотезу о равенстве долей студентов каждого
факультета, которые ездят в университет на машине, на уровне значимости α = 0, 05.
Укажите минимальный уровень значимости.
13. Объем выборок n1 = 100 и n2 = 200, выборочные доли ˆp1 = 0.2, ˆp2 = 0.25. Постройте 95%
доверительный интервал для разности долей.
14. Пусть объем выборок n1 = 100 и n2 = 200, выборочные доли ˆp1 = 0.43, ˆp2 = 0.45. Построй-
те 95% доверительный интервал для разности долей.
15. Из 200 случайных прохожих, 80 ходят в наушниках, а остальные нет. Постройте 96%
доверительный интервал для разности долей.
16. Из опрошенных 100 случайных фанатов, идущих на футбольный матч 80 знают, кто будет
играть, 20 нет. Постройте 99% доверительный интервал для разности долей.
2
3. Необходимые термины
• Независимые выборки
• Парные выборки
• Белый шум
Статистические тесты Функции в MS Excel (возвращают p-value)
Гипотеза о равенстве средних tтест
Гипотеза о равенстве дисперсий ФТЕСТ
3
