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【材料力学】はり のせん断力と曲げモーメントの求め方 (I-08-3 2020)
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Kazuhiro Suga
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【目標】 せん断力と曲げモーメントを決定できる
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【材料力学】はり のせん断力と曲げモーメントの求め方 (I-08-3 2020)
1.
はり のせん断力と曲げモーメントの求め方 目標 せん断力と曲げモーメントを決定できる 1/10
2.
せん断力と曲げモーメントの決定 P1 2/10
3.
手順と注意点 ① 支点反力の決定 ③ せん断力の決定 ④
曲げモーメントの決定 支点反力を図示する 力とモーメントの釣合いを考える ② 荷重条件による仮想切断面の場合分け せん断力によるモーメントを忘れずに考える 仮想切断して力の釣合いを考える 仮想切断してモーメントの釣合いを考える 釣合い式が異なるため 3/10
4.
① 支点反力の決定 P1 ℓ1 ℓ R2 ①-1. 支点に作用する反力を図示する ①-2.
力の釣合いを考える ①-3. モーメントの釣合いを考える :左端周りR2 ℓ −P1 ℓ1 = 0 ・・・(2) R2 ℓ P1 ℓ1 R2 = ℓ P1 ℓ1 ・・・(3) R1 R2=P1 − = ℓ P1 ℓ1ℓ − R1 R1+R2 P1 ・・・(1)− = 0 4/10
5.
② 荷重条件による仮想切断面の場合分け P1 ℓ1 ℓ < x
<ℓ1 ℓ< x ℓ10 < x 釣合い式に が入らないP1 釣合い式に が入るP1 5/10
6.
③ せん断力の決定( 0
< x < ) ℓ1 R1 R2 P1 x F(x) ℓ ℓ1 F(x) ℓ P1 ℓ1ℓ − =F(x) ③-1. 位置 x の断面を考える ③-2. 断面のせん断力F(x)を考える ③-3. 力の釣り合いを考える R1 = 0F(x) − 6/10
7.
③ せん断力の決定( <
x < ) ℓ1 ℓ R1 R2 P1 x ℓ1 ℓ F(x) F(x) ③-1. 位置 x の断面を考える ③-2. 断面のせん断力F(x)を考える ③-3. 力の釣り合いを考える ℓ P1 ℓ1 =−F(x) R1 = 0P1F(x) + − 7/10
8.
④ 曲げモーメントの決定(0 <
x < ) R1 R2 P1 x M(x) M(x) ℓ1 ③-1. 位置 x で断面を考える ③-2. 断面の曲げモーメントM(x)を考える ③-3. モーメントの釣合いを考える ℓ P1 x ℓ1ℓ − =M(x) M(x) = 0x−F(x) :左端周り F(x) F(x) F(x) x せん断力によるモーメント 8/10
9.
④ 曲げモーメントの決定 (
< x < ) R2 P1 x ℓ1 ℓ1 M(x) M(x) R1 P1 ℓ1 ④-1. 位置 x の断面を考える ④-2. 断面の曲げモーメントM(x)を考える ④-3. モーメントの釣り合いを考える ℓ P1 x ℓ1 =− P1 ℓ1+M(x) F(x) x M(x) = 0− P1 ℓ1xF(x)− F(x) F(x) ℓ 9/10
10.
まとめ: はり のせん断力と曲げモーメントの求め方 ① 支点反力の決定 ③
せん断力の決定 ④ 曲げモーメントの決定 支点反力を図示する 力とモーメントの釣合いを考える ② 荷重条件による仮想切断面の場合分け せん断力によるモーメントを忘れずに考える 仮想切断して力の釣合いを考える 仮想切断してモーメントの釣合いを考える 釣合い式が異なるため 10/10
Editor's Notes
はりに生じる力や変形は,受ける荷重と支持方法によって変化します. そこで,はりに作用する荷重と支持方法の種類について説明します.
せん断力と曲げモーメントを求める手順は,次の通りです. まず,はりに作用する反力を図示します. 次に,力とモーメントの釣り合いを考えて,支点反力を求めます. 最後に,荷重点の位置で場合分けをして,断面に生じるせん断力と曲げモーメントを求めます. それでは,単純支持はりに一つの集中荷重が作用している場合を例に,具体的な方法をみていきましょう
長さlの単純支持はりを考えます. 左端から長さl1の場所に,W1の集中荷重が作用しています. まず,はりに作用する支点反力を図示します. 単純支持はりでは,両端に垂直反力R1とR2が生じます. 次に,力の釣り合いを考えます. はりには,反力R1,R2と荷重W1が作用しています. したがって,力の釣り合いは,式(1)で表されます. 次に,左端周りのモーメントの釣り合いを考えます. 距離lの位置に反力R2が作用しているので,反時計周りにR2lのモーメントが生じます. また,距離l1の位置に,W1が作用しているので,時計回りにW1l1のモーメントが生じます. したがって,モーメントの釣り合いは,式(2)で表されます. 式(2)からR2が式(3)求まります. さらに,式(3)を式(1)に代入すると,R1が求まります.
せん断力の正の向きに注意! 続いて,せん断力を求めます. x軸をはりの長さ方向にとって, 左端からxの位置の断面に生じるせん断力F(x)を考えます. 図は,xの位置で仮想的に切断した断面にせん断力を表示したものです. せん断力の定義にしたがって,下向きを正に選んでいます. xの位置までのはりに対して,力の釣り合いを考えます. 働いている力は,左端の反力R1とせん断力F(x)です. したがって,符号の注意して,力の釣り合いはこの式で与えられます. すでに支点反力は得られているので,代入すると,せん断力F(x)が得られます.
手順は一緒です. 力の釣り合いの式に注意! では,W1が作用しています. −が付いているので,上向きのせん断力が働いていることが分かります
図のようなモーメントが加わると,はりは下に凸な形状になるので,モーメントの符号は正になります. ここで忘れていはいけないのが,断面に働く剪断力によって生じるモーメントです.
モーメントの説明を確認! 外力と対応してモーメントを示していますが, モーメントが作用しているのは,青で示した断面であることに注意!