Κατανομή Maxwell - Boltzmann. (Μαζί και μερικές εισαγωγικές γνώσεις για τη συνάρτηση Γάμμα).

1. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELLBOLTZMANN
http://en.wikipedia.org/wiki/File:MaxwellBoltzmann-en.svg
ΦΞΠΕΜ΢ΘΜΞΡ ΓΘΑΜΜΗΡ
ΦΣΡΘΙΞΡ
MSc. ΘΕΩΠΗ΢ΘΙΗΡ ΦΣΡΘΙΗΡ
ΑΘΗΜΑ
ΑΣΓΞΣΡ΢ΞΡ 2011
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

2. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
Η ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηωλ ηαρπηήηωλ ηωλ κνξίωλ ελόο αεξίνπ, δίλεηαη από
ηε ζρέζε:
f ( ) 
1

dn
m 3 2
m 2
 4 2 (
) 2  exp(
)
n.d
2kT
2kT
(1)
Η παξαπάλω ζρέζε καο παξέρεη ην θιάζκα ηωλ κνξίωλ –αλά κνλάδα όγθνπελόο αεξίνπ, πνπ νη ηαρύηεηέο ηνπο βξίζθνληαη ζε έλα κνλαδηαίν δηάζηεκα πνπ
εκπεξηέρεη κηα ζπγθεθξηκκέλε ηαρύηεηα.
Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο θαηαλνκήο ηωλ Maxwell-Boltzmann
δίλεηαη παξαθάηω (ζρήκα 1):
0.25
f σ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL BOLTZMANN
0.20
0.15
0.10
0.05
dσ
σ mp
1
σ
2
3
4
5
Ρρήκα 1. Ιαηαλνκή Maxwell-Boltzmann
Όπωο ζα πεξίκελε θαλείο, ε ζπλάξηεζε κεδελίδεηαη γηα π=0 θαζώο θαη γηα
   , θαζ΄όζνλ δελ ππάξρνπλ αθίλεηα κόξηα, νύηε κόξηα θηλνύκελα κε «άπεηξε»
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

3. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ηαρύηεηα. Οαξαηεξνύκε όηη ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη κέγηζην γηα κηα ζπγθεθξηκκέλε ηαρύηεηα (πmp= πηζαλόηεξε ηαρύηεηα(most probable)), θαζώο θαη όηη ην κεγαιύηεξν θιάζκα ηωλ κνξίωλ ηνπ αεξίνπ θηλνύληαη κε ηαρύηεηεο θνληά ζηε πmp.
Ρην ζρήκα (2) δίλνληαη νη αληίζηνηρεο θαηαλνκέο γηα ηξεηο δηαθνξεηηθέο
ζεξκνθξαζίεο. (όζν απμάλεηαη ε ζεξκνθξαζία ηόζν ε θακπύιε κεηαηνπίδεηαη πξνο
ηα δεμηά –κεγαιύηεξεο ηαρύηεηεο- ην «εκβαδόλ» όκωο ηνπ ζρήκαηνο «θακπύιε- ρ
άμνλαο » παξακέλεη ζηαζεξό, αθνύ καο δίλεη ην ζπλνιηθό αξηζκό ηωλ κνξίωλ ηνπ
ζεωξνύκελνπ αεξίνπ).
0.35
f σ
T
0.30
0.25
0.20
2T
0.15
0.10
10 T
0.05
σ
2
4
6
8
Ρρήκα 2. Η θαηαλνκή ζε ηξεηο δηαθνξεηηθέο ζεξκνθξαζίεο.
Τξεζηκνπνηώληαο ηελ θαηαλνκή Maxwell-Boltzmann, κπνξνύκε λα
ππνινγίζνπκε έλα αξηζκό πνζνηήηωλ πνπ είλαη ζπνπδαίεο γηα ηε κνξηαθή θπζηθή.
Γηα παξάδεηγκα, ε κέζε ηαρύηεηα  ηωλ κνξίωλ, ε ελεξγόο ηαρύηεηα
rms   2
θαη ε πηζαλόηεξε πmp ηαρύηεηα. Νεθηλάκε κε ηνλ ππνινγηζκό ηεο κέζεο ηαρύηεηαο
ηωλ κνξίωλ.
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

4. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΛΕΡΗ ΢ΑΤΣ΢Η΢Α ΢ΩΜ ΛΞΠΘΩΜ
Η κέζε ηαρύηεηα  ηωλ κνξίωλ ηζνύηαη εμ΄νξηζκνύ κε ην πειίθν ηνπ
αζξνίζκαηνο ηωλ ηαρπηήηωλ όιωλ ηωλ κνξίωλ πνπ ππάξρνπλ ζηε κνλάδα ηνπ όγθνπ
πξνο ηνλ αξηζκό ηωλ κνξίωλ ζηε κνλάδα ηνπ όγθνπ.
Ξ αξηζκόο ηωλ κνξίωλ –αλά κνλάδα όγθνπ- πνπ νη ηαρύηεηέο ηνπο βξίζθνληαη
ζην δηάζηεκα από π κέρξη π+dπ είλαη: n. f ( ).d θαη ην άζξνηζκα ηωλ ηαρπηήηωλ
όιωλ απηώλ ηωλ κνξίωλ είλαη ίζν κε:.n. f ( ).d . Γηα λα βξνύκε ην άζξνηζκα ηωλ
ηαρπηήηωλ όιωλ ηωλ κνξίωλ ζα πξέπεη λα νινθιεξώζνπκε ηελ παξαπάλω
ζπλάξηεζε ωο πξνο όιεο ηηο ηαρύηεηεο από κεδέλ κέρξη άπεηξν. Έηζη ινηπόλ
ηνάζξνηζκα όιωλ ηωλ ηαρπηήηωλ είλαη:

 .n. f ( ).d
(2)
0
θαη ε κέζε ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ είλαη:


1
   .n. f ( ).d   . f ( ).d
n0
0
(3)
Τξεζηκνπνηώληαο ηε ζρέζε (1), παίξλνπκε:

1
  4 2 (

m 3 3
m 2
) 2   .exp(
).d
2kT 0
2kT
(4)
Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ νινθιεξώκαηνο , εθαξκόδνπκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό:
 3 .exp(
m 2
m 2
1
m 2
).d   2 .exp( 
)..d   2 .exp( 
).d ( 2 )
2kT
2kT
2
2kT
(5)
νπόηε:

1
  4 2 (

m 3 1 2
m 2
) 2 .   .exp(
).d ( 2 )
2kT 2 0
2kT
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
(6)

5. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
Ρηε ζπλέρεηα εηζάγνπκε ηε κεηαβιεηή:
z
m 2
2kT
(7)
θαη παίξλνπκε:


1 2
m 2
1 2kT 2
 .exp(
).d ( 2 )  (
)  z.e z .dz

20
2kT
2 m 0
(8)
Λε νινθιήξωζε θαηά κεξε, έρνπκε:

 z.e
z
.dz  1
(9)
0
Έηζη ινηπόλ γηα ην νινθιήξωκα ηεο εμίζωζεο (4) παίξλνπκε:

3
 .exp(
0
m 2
kT
).d  2( ) 2
2kT
m
(10)
Εηζάγνληαο ηελ ηηκή απηή ζηελ (4) έρνπκε:

1
  4 2 (
3
m 2 kT 2
8kT
) .2( ) 
2kT
m
m
(11)
Ξπόηε ηειηθά έρνπκε:

8kT
m
(12)
ΕΜΕΠΓΞΡ ΢ΑΤΣ΢Η΢Α (΢Ε΢ΠΑΓΩΜΘΙΗ ΠΘΖΑ ΢ΗΡ ΛΕΡΗΡ ΢ΘΛΗΡ ΢ΩΜ
΢Ε΢ΠΑΓΩΜΩΜ ΢ΩΜ ΢ΑΤΣ΢Η΢ΩΜ).
Γηα λα βξνύκε ηελ ελεξγό ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ rms   2 , πξέπεη λα
ππνινγίζνπκε ην πειίθν ηνπ αζξνίζκαηνο ηωλ ηεηξαγώλωλ ηωλ ηαρπηήηωλ ηωλ
κνξίωλ ζ΄έλα κνλαδηαίν όγθν πξνο ην ζπλνιηθό αξηζκό ηωλ κνξίωλ ζηνλ όγθν απηό.
Ρύκθωλα ινηπόλ κε ηα πξνεγνύκελα ζα έρνπκε:
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

6. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN

 2    2 . f ( ).d
(13)
0
Αληηθαζηζηώληαο ηελ f(π) κε ηελ θαηαλνκή Maxwell-Boltzmann, παίξλνπκε:
  4
2

1
2

m 3 4
m 2
2
(
) .  .exp(
).d
2kT 
2kT
0
(14)
Ξινθιεξώλνληαο θαηά κέξε (ή θάλνληαο ρξήζε ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα) παίξλνπκε:

4
 .exp(
0
m 2
3 2kT 5
).d  (
)2 
2kT
8 m
(15)
Έηζη ινηπόλ:
2 
3kT
m
(16)
Ξπόηε ηειηθά:
  rms   2 
3kT
m
(17)
ΟΘΘΑΜΞ΢ΕΠΗ ΢ΑΤΣ΢Η΢Α.
Θα ππνινγίζνπκε ηώξα ηελ πην πηζαλή ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ, πνπ αληηζηνηρεί
(πξνθαλώο) ζην κέγηζην ηεο θαηαλνκήο Maxwell-Boltzmann. Γηα λα ηε βξνύκε ινηπόλ ζα πξέπεη λα παξαγωγίζνπκε ηελ ζπλάξηεζε θαηαλνκήο f(π) θαη αθνινύζωο λα
εμηζώζνπκε ηελ παξάγωγν κε ην κεδέλ. Έρνπκε ινηπόλ:
1

d
d
m 3 2
m 2
f ( ) 
[4 2 (
) 2  exp(
)]
d
d
2kT
2kT
(18)
Ξπόηε απαηηνύκε:
d 2
m 2
[ exp(
)]  0
d
2kT
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
(19)

7. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
Οαξαγωγίδνληαο νδεγνύκαζηε ζηε ζρέζε:
2.exp(
m 2
m 2
)(1 
)0
2kT
2kT
(20)
Η παξαπάλω εμίζωζε επαιεζεύεηαη είηε όηαλ π=0, είηε όηαλ    , είηε όηαλ
m 2
έρνπκε: 1 
 0 . Είλαη θαλεξό όηη νη δύν πξώηεο ζπλζήθεο δελ αληηζηνηρνύλ ζην
2kT
κέγηζην ηεο ζπλάξηεζεο θαηαλνκήο. Έηζη ε ηηκή ηεο πην πηζαλήο ηαρύηεηαο,
πξνζδηνξίδεηαη από ηε ζρέζε:
1
mmp 2
0
(21)
2kT
m
(22)
2kT
απ΄’νπνπ πξνθύπηεη:
mp 
Έρνπκε ινηπόλ ην παξαθάηω ζρήκα:
0.25
f σ
σ1
πιθανότερη τατύτητα
σ2 μέση τατήτητα
σ3 ενεργός τατύτητα.
0.20
0.15
σ3
σ2
0.10
σ1
0.05
σ
1
2
3
Ρρήκα 3. Οηζαλόηεξε, κέζε θαη ελεξγόο ηαρύηεηα.
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
4
5

8. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΟΑΠΑ΢ΗΠΗΡΕΘΡ
Ρύκθωλα ινηπόλ κε ηα παξαπάλω, (3) έρνπκε (βιέπε θαη ζρήκα 3):
2kT
m
1  mp 
2   
8kT
m
,
,
πην πηζαλή ηαρύηεηα.
(23)
κέζε ηαρύηεηα
3    rms   2 
3kT
m
,
(24)
ελεξγόο ηαρύηεηα
(25)
Οαξαηεξνύκε ινηπόλ όηη ηζρύεη:
mp    rms
(26)
Οην ζπγθεθξηκκέλα:
rms 
3
  1, 09.
8
rms 
3
.mp  1, 22.mp
2
,
(27)
(28)
Οαξαηεξνύκε ινηπόλ όηη νη δηαθνξέο κεηαμύ ηωλ ηξηωλ απηώλ ηηκώλ ηαρύηεηαο
δελ είλαη πνιύ κεγάιεο. Ιαη ε ελεξγόο θαη ε κέζε ηαρύηεηα είλαη αξθεηά θνληά ζηελ
πην πηζαλή ηαρύηεηα.
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

9. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΛΑΘΗΛΑ΢ΘΙΞ ΡΣΛΟΚΗΠΩΛΑ
Η ΡΣΜΑΠ΢ΗΡΗ ΓΑΛΛΑ
Η (εμαηξεηηθά ρξήζηκε ζηε Φπζηθή) ζπλάξηεζε Γάκκα (Gamma function) , πνπ
ζπκβνιίδεηαη ζαλ Γ(n),νξίδεηαη από ηνλ ηύπν:

(n)   x n 1e x dx
(1)
0
΢ν νινθιήξωκα ζηελ (1) ζπγθιίλεη γηα ηηκέο n  0 .
Λέζω αλαδξνκηθνύ ηύπνπ, ε ζπλάξηεζε Γάκκα δίλεηαη από ηε ζρέζε:
(n  1)  n.(n)
(2)
κε Γ(1)=1. (απνδεηθλύεηαη παξαθάηω).
Αλ ν αξηζκόο ε είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο, ηόηε:
(n  1)  n!
,
n  1, 2,3,...
(3)
Όκωο όπωο βιέπνπκε ζηε ζρέζε (2), ε ζπλάξηεζε κπνξεί λα νξηζζεί γηα όια ηα
n  0 , αλ νη ηηκέο ηεο ζην δηάζηεκα: 1  n  2 (ή ζε νηνδήπνηε άιιν κνλαδηαίν
δηάζηεκα).
Η ζπλάξηεζε Γάκκα, νλνκάδεηαη θαη παραγοντική συνάρτηση.
Οαξαδείγκαηα:
(2)  1!  1
(6)  5!  120
(7) 6!
  30
(5) 4!
Οαξαθάηω ζα απνδείμνπκε επίζεο όηη ηζρύεη:
1
( )  
2
Η αλαδξνκηθή ζρέζε (2) είλαη κηα εμίζωζε δηαθνξώλ πνπ επηδέρεηαη ηελ (1) ζαλ
ιύζε. Οαίξλνληαο ηελ (1) ζαλ νξηζκό ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα, όηαλ ε>0, κπνξνύκε
λα γεληθεύζνπκε ηε Γάκκα ζπλάξηεζε γηα ε<0, αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ αλαδξν-
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

10. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
(n  1)
. Η δηαδηθαζία απηή νλνκάδεηαη αναλυτική συνέχιση.
n
κηθή ζρέζε: (n) 
Θα δείμνπκε ηώξα, όηη ε ζπλάξηεζε Γάκκα, όπωο νξίδεηαη ζηελ (1) ηθαλνπνηεί
πξάγκαηη ηελ αλαδξνκηθή ζρέζε: (n  1)  n.(n) , ε>0.
Έρνπκε ινηπόλ:

(n  1)   x n e x dx  lim
M 
0
 lim{( x n ) (e x )
M 
M
x e
n x
dx 
0
M
  (e x )(n.x n 1 )dx} 
M
0
0
M
 lim{ M n e M  n  x n 1 (e x )dx} n.(n) ,
M 
n0
0
Ρηε ζπλέρεηα ζα δείμνπκε όηη πξάγκαηη Γ(1)=1.
Έρνπκε ινηπόλ:

(1)   e dx  lim
x
M 
0
M
e
x
dx  lim (1  e M )  1
M 
0
1
2
Οαξνπζηάδεη πξάγκαηη ηδηαίηεξν ελδηαθέξνλ λα δείμνπκε όηη: ( )   .
Γξάθνπκε ινηπόλ:

1

1
( )   x 2 e x dx . Θέηνληαο u 2  x , έρνπκε:
2 0

2
1
( )  2 eu du ,
2
0

ή


2
2
2
2
1
[( )]2  [2 eu du ].[2 e d ]  4  e (u  ) du.d
2
0
0
0 0
Αιιάδνληαο ζε πολικές συντετεγμένες (ξ,θ), όπνπ:
u   cos( )
θαη
   sin( ) ,
ην νινθιήξωκα γίλεηαη:
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

11. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN



2
2
2
1
1 2
[( )]2  4   e   .d  .d  4   e 
2
 0  0
 0 2

 0
d   .
Επνκέλωο:
1
1
[( )]2    ( )   .
2
2
Αο δνύκε ζηε ζπλέρεηα πωο κε ηε βνήζεηα ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα κπνξνύκε
λα ππνινγίζνπκε ηα νινθιεξώκαηα (9) θαη (15) .

Ρην νινθιήξωκα (9) έρνπκε:
I   z.e  z .dz
0
Βιέπνπκε ινηπόλ ακέζωο όηη είλαη:
I  (2)  1!  1
Ρην νινθιήξωκα ηεο ζρέζεο (15) έρνπκε:

I1    4 .exp(
0
m 2
).d
2kT
Θεωξνύκε ην κεηαζρεκαηηζκό:
m 2
z
2kT
΢όηε ζα είλαη επίζεο:
2 
θαη:
2kT
z
m
2kT 1/2 1
1 2kT 1/2  1
2
 (
) z  d  (
) z 2 dz
m
2 m
νπόηε ην νινθιήξωκα γξάθεηαη:
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

12. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN

I1    4 .exp(
0

m 2
2kT 2 2
m 2 1 2kT 1/2  1
).d   (
) z .exp(
). (
) z 2 dz
2kT
m
2kT 2 m
0
ή

3
1 2kT 5 2
2
I1  (
) z .exp( z )dz
2 m 
0
ή
1 2kT 5 5
I1  (
) 2 .( )
2 m
2
ή
3 2kT 5
I1  (
)2 . 
8 m
Γίλεηαη ινηπόλ νινθάλεξε ε ρξεζηκόηεηα ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα.
Γηα κηα πιήξε αλαθνξά ζηε ζπλάξηεζε Γάκκα θαη ηηο ηδηόηεηέο ηεο, δείηε ην
άξζξν από ην Wolfram MathWorld:
Gamma Function
Γηα έλα on line ππνινγηζκό ηωλ ηηκώλ ηεο Γάκκα:
Gamma function finder
Οεξηζζόηεξα γηα ηηο ηδηόηεηεο ηεο Γάκκα:
Elementary properties of the gamma function
Gamma function
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

13. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
Γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα ζην δηάζηεκα: -5<ε<5
10
5
4
2
2
5
10
Οίλαθαο ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα ζην δηάζηεκα [1,2]:
Table of Gamma Values
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
4

14. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
James Clerk Maxwell
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

15. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
Ludwig Boltzmann
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

16. ΙΑ΢ΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
http://www.ic.sunysb.edu/Class/phy141md/lib/exe/fetch.php?media=phy141:lectur
es:maxdistt.png
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ