1. ΚΛΙΜΑΚΕ΢ ΕΝΕΡΓΕΙΑ΢ ΚΑΙ ΑΡΦΗ
ΣΗ΢ ΑΒΕΒΑΙΟΣΗΣΑ΢
΢τα επόμενα θα δούμε πως η αρχή της αβεβαιότητας
(απροσδιοριστίας) του Heisenberg, θέτει ένα κάτω όριο στην
ελάχιστη κινητική ενέργεια που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο του
μικρόκοσμου, που είναι «εγκλωβισμένο» σε μια περιοχή του χώρου:
ΗΛΕΚΣΡΟΝΙΟ ΢ΣΟ Ε΢ΩΣΕΡΙΚΟ ΣΟΤ ΑΣΟΜΟΤ
Θα υπολογίσουμε την ελάχιστη κινητική ενέργεια που
επιτρέπεται να έχει ένα ηλεκτρόνιο, το οποίο είναι δέσμιο, λόγω της
ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης, στο εσωτερικό του ατόμου.

2. Για να ξεκινήσουμε τον υπολογισμό, ας θεωρήσουμε ότι η
αβεβαιότητα (απροσδιοριστία) στη θέση του ηλεκτρονίου είναι
περίπου ίση με την ατομική ακτίνα. Θεωρούμε δηλαδή ότι:
x
ή
0,1nm
x 10
10
(1)
m
Από την αρχή της αβεβαιότητας (Heisenberg) έχουμε:

2
x. p
(2)
Η αντίστοιχη λοιπόν αβεβαιότητα στην ορμή θα είναι:

p
(3)
2 x
Η ελάχιστη κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου θα είναι:
Ek
( p) 2
2m
min
Ek
ή
2
8m( x) 2
min
(4)
Η μάζα του ηλεκτρονίου είναι:
m 9,1.10
31
(5)
Kg
Η σχέση (4) λοιπόν δίνει:
Ek
Ek
min
min
Ek
min
Ek
min
Ek
min
2
8m( x) 2
ή
(1,06.10 34 Js ) 2
8.9,1.10 31 Kg.(10 10 m) 2
1,54.10
19
1,54.10
19
ή
J 2s2
Kgm2
ή
J
ή
1eV
΢τα προηγούμενα, κάναμε χρήση των τιμών:
(6)

3.  1,06.10
1eV
34
1,6.10
Js
19 J
ΠΡΩΣΟΝΙΟ ΢ΣΟ Ε΢ΩΣΕΡΙΚΟ ΣΟΤ ΠΤΡΗΝΑ
Θα υπολογίσουμε τώρα την ελάχιστη κινητική ενέργεια που
επιτρέπεται να έχει ένα πρωτόνιο, το οποίο είναι εγκλωβισμένο μέσω
της ισχυρής δύναμης στον πυρήνα.
Ας θεωρήσουμε σαν μια «τυπική» τιμή για την ακτίνα ενός
πυρήνα τα 2fm (1 fm 10 15 m )
Για να ξεκινήσουμε τον υπολογισμό μας ας θεωρήσουμε ότι
η αβεβαιότητα στη θέση του πρωτονίου είναι ίση με την πυρηνική
ακτίνα. Θεωρούμε δηλαδή ότι:
x
x
2.10
ή
2 fm
15
(7)
m
Από την αρχή της αβεβαιότητας (Heisenberg) έχουμε:
x. p

2
ή

4. 
p
(8)
2 x
Η ελάχιστη λοιπόν τιμή της κινητικής ενέργειας που
επιτρέπεται να έχει το «εγκλωβισμένο» πρωτόνιο θα είναι:
Ek
( p) 2
2m p
min
Ek
min
ή
2
8mp ( x) 2
(9)
Η μάζα του πρωτονίου είναι:
mp
1,67.10
27
(10)
Kg
Έτσι λοιπόν:
Ek
min
Ek
Ek
(1,06.10 34 Js) 2
8.1,67.10 27 Kg.(2.10
min
min
2,1.10
13
15
ή
J
1,3.106 eV
ή
m) 2
(11)
1,3MeV
ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢
1)
Η ελάχιστη κινητική ενέργεια που επιτρέπεται να έχει το
πρωτόνιο στον πυρήνα είναι στην περιοχή του ενός MeV. (Ενώ
αντίστοιχα για το ηλεκτρόνιο στο εσωτερικό του ατόμου, η
ελάχιστη επιτρεπόμενη τιμή της κινητικής ενέργειας είναι στην
περιοχή του ενός eV).
2)
Η μάζα του πρωτονίου είναι:
mp 1,67.10 27 Kg
οπότε:
mpc 2
940MeV
Αντίστοιχα:
p.c

2 x
c
1,06.10 34 Js.3.108 m / s
2.2.10 15 m
8.10
12
J
ή

5. p.c 50MeV
Βλέπουμε λοιπόν ότι: p.c mpc 2 , γεγονός που μας
επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε την «μη σχετικιστική» σχέση
κινητικής ενέργειας-ορμής ( Ek
P2
).
2m
UP QUARK ΢ΣΟ Ε΢ΩΣΕΡΙΚΟ ΠΡΩΣΟΝΙΟΤ
Θα βρούμε τώρα την ελάχιστη κινητική ενέργεια που
επιτρέπεται να έχει ένα «πάνω» κουάρκ (up quark, u), το οποίο λόγω
της ισχυρής αλληλεπίδρασης είναι εγκλωβισμένο μέσα στο πρωτόνιο.
(Θεωρείστε την ακτίνα του πρωτονίου ίση προς 1fm).
Η αβεβαιότητα στη θέση του πάνω κουάρκ u στο πρωτόνιο,
μπορεί να ληφθεί προσεγγιστικά ίση με την ακτίνα του πρωτονίου,
οπότε έχουμε:

6. x 1 fm 10
15
(12)
m
Μέσω της αρχής του Heisenberg, η αβεβαιότητα στην ορμή
του u είναι:
p

(13)
2 x
΢την περίπτωση του πάνω κουάρκ παρατηρούμε ότι:

p.c
2 x

p.c
2 x
ή
c
c
p.c 1,6.10
1,06.10 34 Js.3.108 m / s
2.10 15 m
11
J
p.c 108 eV
ή
ή
ή
(14)
p.c 100MeV
Η μάζα του πάνω κουάρκ είναι της τάξης των
5eV
c2
, οπότε
παρατηρούμε ότι:
mu c2
p.c
(15)
Έτσι λοιπόν (παίρνοντας και απλουστεύοντας την σχετικιστική σχέση
κινητικής ενέργειας – ορμής), βρίσκουμε ότι η ελάχιστη κινητική
ενέγεια τoυ u, στο εσωτερικό του πρωτονίου είναι:
Ek
min
p.c 100MeV
(16)

7. ΜΠΑΛΑΚΙ ΣΟΤ ΣΕΝΙ΢ ΜΕ΢Α ΢Ε ΚΟΤΣΙ
Ας θεωρήσουμε τώρα ένα μπαλάκι του τένις μέσα σε ένα κουτί
σχήματος κύβου και ακμής 0,5m. Ζητάμε την ελάχιστη κινητική
ενέργεια που επιτρέπεται να έχει το μπαλάκι.
Παίρνοντας ως αβεβαιότητα για τη θέση την τιμή:
(17),
x 0,5m
η αντίστοιχη αβεβαιότητα στην ορμή θα είναι:
p

(18)
2 x
Σο μπαλάκι του τένις έχει μάζα (ας πούμε) 50g.
Η ελάχιστη λοιπόν επιτρεπόμενη τιμή της κινητικής ενέργειας
για το «εγκλωβισμένο» μπαλάκι θα είναι:
Ek
Ek
min
min
Ek
min
Ek
min
Ek
min
( p) 2
2m
ή
2
8m( x) 2
(1,06.10 34 Js) 2
8.5.10 2 Kg.(0,5m) 2
1,1.10
67
J
6,9.10
49
eV
ή
ή
ή
(19)
Σο παραπάνω αποτέλεσμα (  10 48 eV ) που για κάθε πρακτική
χρήση μπορεί να θεωρηθεί ίσο με το μηδέν, μας δείχνει ότι η αρχή
της αβεβαιότητας δεν κάνει αισθητή την παρουσία της στα
μακροσκοπικά αντικείμενα της καθημερινότητάς μας.

8. Ας δούμε τι σημαίνει για ένα αντικείμενο με μάζα 0,05Κγ, μια
κινητική ενέργεια της τάξης του 10 67 J :
Από τη σχέση:
Ek
1
m
2
2
, βρίσκουμε ότι στην εν λόγω ενέργεια
αντιστοιχεί ταχύτητα:
2 Ek
m
ή
2.10
33
m
s
Η ηλικία του ΢ύμπαντος είναι (τάξη μεγέθους) 1010 χρόνια.
Με δεδομένο ότι :
είναι:  3,1.1017 s .
1
ό
3,1.107 s ,
η ηλικία του ΢ύμπαντος
Πόση λοιπόν απόσταση διανύει ένα σώμα με την ταχύτητα
2.10
33
m
s
σε χρόνο όση η ηλικία του ΢ύμπαντος;
Η απάντηση είναι περίπου 6.10 16 m . Δηλαδή απόσταση
μικρότερη και από την ακτίνα ενός πυρήνα (ή ακόμα και ενός
πρωτονίου). Έτσι λοιπόν στην μακροσκοπική περίπτωση με το
μπαλάκι του τένις, οι προβλέψεις της κλασσικής μηχανικής (το
μπαλάκι μπορεί και να είναι ακίνητο) αποδεικνύονται απόλυτα
σωστές.

9. ΑΘΗΝΑ, ΙΟΤΛΙΟ΢ 2012
ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ΢ ΓΙΑΝΝΗ΢