1. ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ
ΚΡΟΥΣΗ
Στη διάρκεια του δέκατου έβδομου αιώνα καθιερώθηκε η αρχή
διατήρησης της ορμής στη διάρκεια κρούσεων, κυρίως μέσα από μια σειρά
σχετικών πειραμάτων. Όμως μεταξύ αυτών που ασχολήθηκαν με το θέμα
ήταν και ο Christian Huygens, ο οποίος εφαρμόζοντας «τεχνικές» από τη
φυσική του εικοστού και του εικοστού πρώτου αιώνα, κατάφερε να
«ανακρίνει» και να αποσπάσει πληροφορίες για τις κρούσεις (ελαστικές) δύο
σωμάτων. Η ανάλυσή του βασίσθηκε στις αρχές της συμμετρίας και στην
ισοδυναμία των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς.
2. Ο Huygens φαντάσθηκε δύο ίσες μάζες να συγκρούονται μετωπικά
και ελαστικά με ίσες κατά μέτρο και αντίθετης φοράς ταχύτητες .
Στηριζόμενος στη συμμετρία υπέθεσε ότι μετά την κρούση οι ταχύτητες
των δύο σωμάτων «αντιστρέφονται». Στη συνέχεια φαντάσθηκε την ίδια
κρούση να συμβαίνει μέσα σε μία βάρκα, η οποία κινείται με ταχύτητα
ως προς την ακτή. Για ένα παρατηρητή στην ακτή, η κρούση γίνεται
ανάμεσα σε ένα ακίνητο σώμα και σε ένα σώμα που κινείται με ταχύτητα
2 . Μετά την κρούση η πρώτη μάζα αποκτά ταχύτητα 2 , ενώ η δεύτερη
παραμένει ακίνητη.
Πιο γενικά, αν η βάρκα κινείται με ταχύτητα
ταχύτητες είναι:
u,
διαφορετική της , οι
ΣΩΜΑ Α
Πριν την κρούση
Μετά την κρούση
ΣΩΜΑ Β
u
u
u
u
Έτσι ο Huygens κατά κάποιο τρόπο «προβλέπει» τα αποτελέσματα
όλων των δυνατών πειραμάτων ελαστικής μονοδιάστατης κρούσης δύο ίσων
μαζών. Το κοινό χαρακτηριστικό όλων αυτών είναι το γεγονός ότι το
μέτρο της σχετικής ταχύτητας είναι το ίδιο (αναλλοίωτο) πριν και μετά την
κρούση.
Ο Huygens όμως προχώρησε περισσότερο. Βασιζόμενος και πάλι
στην απαίτηση της συμμετρίας, έφτασε σε μια γενική ιδιότητα των
ελαστικών μετωπικών κρούσεων ανάμεσα σε δύο άνισες μάζες.
Αν ένα κινούμενο με ταχύτητα u σώμα Α συγκρουσθεί με ένα ακίνητο
σώμα διαφορετικής μάζα Β, τότε μετά την κρούση τα δύο σώματα θα
κινούνται με ταχύτητες και w . Θεωρούμε ότι η βάρκα κινείται προς τα
δεξιά με ταχύτητα
w
.
2
3. ΠΡΙΝ
Παρατηρητής
στην ακτή
Παρατηρητής
στη βάρκα
Α
u
ΜΕΤΑ
B
A
υ
-(u-w/2)
B
w
w/2
A
u-w/2
-w/2 B
Έτσι πριν την κρούση το σώμα Β φαίνεται να κινείται προς τα
αριστερά με ταχύτητα
w
.
2
O Huygens θεωρεί ότι η αντιστροφή της
κίνησης του Β, όπως φαίνεται στον παρατηρητή που βρίσκεται πάνω στη
βάρκα, πρέπει να συνοδεύεται επίσης με την αντιστροφή της κίνησης του
Α. Έτσι η ταχύτητα του Α μετά την κρούση πρέπει να είναι (u w ) . Όμως
2
η ταχύτητα αυτή πρέπει να είναι ίση και με
w
,
2
αφού
είναι η ταχύτητα
μετά την κρούση του Α, όπως την αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής στην
ακτή. Έτσι λοιπόν έχουμε:
w
w
(u )
2
2
ή
w
w
2
2
ή
u
w u
(1)
Έτσι ο Huygens συμπεραίνει ότι στην ελαστική μετωπική κρούση δύο
σωμάτων το μέτρο της σχετικής ταχύτητας παραμένει αναλλοίωτο. Όμως
εκτός της διατήρησης της ορμής, υπάρχει και κάτι άλλο που εμπλέκεται
εδώ. Τι είναι αυτό; Θα φανεί σε λίγο…
Θεωρούμε τη μετωπική και ελαστική κρούση δύο μαζών m1 και m2 . Με
u1 και u2 παριστάνουμε τις αρχικές και με 1 , 2 τις τελικές ταχύτητες. Από
την αρχή της διατήρησης της ορμής θα έχουμε:
4. m1u1 m2u2 m11 m22
(2)
Όπως είδαμε στα προηγούμενα, σύμφωνα με τους συλλογισμούς του
Huygens , θα ισχύει επίσης η σχέση:
u1 u2 2 1
(3)
Οι εξισώσεις (2) και (3) συνιστούν ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο
αγνώστους (τα 1 και 2 ), το οποίο όταν λυθεί μας δίνει:
1
m1 m2
2m2
u1
u2
m1 m2
m1 m2
(4)
2
2m1
m m2
u1 1
u2
m1 m2
m1 m2
(5)
Παίρνοντας λοιπόν τις τιμές για τα 1 και 2 , είναι ζήτημα
αλγεβρικών πράξεων (επαφίεται στον αναγνώστη) να αποδείξει κανείς ότι
θα ισχύει:
2
2
m112 m22 m1u12 m2u2
(6)
Όμως η (6) μπορεί επίσης να γραφεί:
1
1
1
1
2
2
m112 m22 m1u12 m2u2
2
2
2
2
(7)
Καταλήγουμε δηλαδή στην διατήρηση της κινητικής ενέργειας στην
ελαστική κρούση. Φτάσαμε στην διατήρηση αυτή, χωρίς να αναφερθούμε
σε δυνάμεις ή σε έργα.
5. Είναι εκπληκτικό το γεγονός ότι ο μεγάλος Ολλανδός φυσικός
κατάφερε να περιγράψει σωστά τις ελαστικές κρούσεις βασιζόμενος σε
μεθόδους (συμμετρία, αδρανειακά συστήματα αναφοράς) που έμελε να
κυριαρχούν στη φυσική του εικοστού και του εικοστού πρώτου αιώνα…
