Grafos y Dígrafos

1. UNIVERSIDAD "FERMÍN TORO"
SISTEMA INTERACTIVOS DE EDUCACIÓN A
DISTANCIA. (SAIA) CABUDARE.
EJERCICIOS 1
APELLIDO Y NOMBRE: Domínguez Javier
SECCIÓN: SAIA A
ACTIVIDAD N° 1
FECHA: 15-06-2021
PROFESORA: Edecio Freitez

2. v1 a1 v2
a2 v3 a3
a5 a6 a7 a8 a9 a10
a4 a12
a11 a13
a16
a14
a15 a19
a20
a17
a18
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ESTRUCTURAS DISCRETAS II
EJERCICIOS PROPUESTOS
Dado el siguiente grafo, encontrar:
a) Matriz de adyancencia
Ma(G)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 0 0 1 1
V2 1 0 1 0 1 1 0 1
V3 1 1 0 1 1 1 1 0
V4 1 0 1 0 1 0 1 0
V5 0 1 1 1 0 1 1 1
V6 0 1 1 0 1 0 0 1
V7 1 0 1 1 1 0 0 1
V8 1 1 0 0 1 1 1 0

3. b) Matriz de incidencia
Mi(G)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
a1 1 1 0 0 0 0 0 0
a2 1 0 1 0 0 0 0 0
a3 0 1 1 0 0 0 0 0
a4 1 0 0 1 0 0 0 0
a5 1 0 0 0 1 0 0 0
a6 1 0 0 0 0 0 1 0
a7 0 0 1 0 0 0 0 1
a8 0 1 0 0 0 1 0 0
a9 0 1 0 0 0 0 1 0
a10 0 1 0 0 0 0 0 1
a11 0 0 1 1 0 0 0 0
a12 0 0 1 0 1 0 0 0
a13 0 0 1 0 0 1 0 0
a14 0 0 0 1 0 1 0 0
a15 0 0 0 1 1 0 0 0
a16 0 0 0 0 0 1 0 1
a17 0 0 0 0 1 1 0 0
a18 0 0 0 0 1 0 1 0
a19 0 0 0 0 0 1 1 0
a20 0 0 0 0 0 0 1 1
c) Es conexo?. Justifique su respuesta
Si es conexo, ya que para que cualquier par de vértices a y b en (G) existe al menos una
trayectoria de (a) a (b) donde existe un camino que los une.
d) Es simple?. Justifique su respuesta
Si es simple, ya que ninguno de los vértices posee lazos.
e) Es regular?. Justifique su respuesta
No es regular, ya que hay vértices que tienen grados diferentes, cuando es regular cada
vértice tiene el mismo grado o valencia.
f) Es completo? Justifique su respuesta
No es completo, porque posee aristas paralelas y más de una arista por cada par de
vértices, dando origen a los subgrafos.

4. g) Una cadena simple no elemental de grado 6
En el caso de C=[V1 a1 V2 a10 V6 a16 V5 a14 V4 a3 V2] se repite el vértice [V2] por lo
tanto no es elemental.
h) Un ciclo no simple de grado 5
En el caso de C=[V5 a19 V8 a18 V7 a17 V5 a19 V7 a9 V2] se repite la aristas [a19] por lo
tanto no es simple.
i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor
j) Se elige S1=V1 haciendo H1=[V1]
ii) Se elige la arista a4 que conecta a V1 con V4 haciendo H2=[V1,V4]
iii) Se elige la arista a15 que conecta V4 con V7 haciendo H3=[V1, V4, V7]
iv) Se elige la arista a17 que conecta a V7 con V5 haciendo H4=[V1, V4, V7, V5]

5. v) Se elige la arista a19 que conecta a V5 con V8 haciendo H5=[V1, V4, V7, V5, V8]
vi) Se elige la arista a20 que conecta a V8 con V6 haciendo H6=[V1, V4, V7, V5, V8, V6]
vii) Se elige la arista a10 que conecta a V6 con v2 haciendo H7=[V1, V4, V7, V5, V8, V6 ,V2]

6. viii) Se elige la arista a3 que conecta a V2 con V3 haciendo H8=[V1, V4, V7, V5, V8, V6, V2
,V3]
Árbol Generador
a) Subgrafo parcial

7. b) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
 Se selecciona a1
 Se selecciona a3

8.  Se selecciona a2
 Se selecciona a4
 Se selecciona a11

9.  Se selecciona a12
 Se selecciona a5
 Se selecciona a6

10.  Se selecciona a9
 Se selecciona a10
 Se selecciona a7

11.  Se selecciona a13
 Se selecciona a14
 Se selecciona a15

12.  Se selecciona a18
 Se selecciona a20

13.  Se selecciona a16
El grafo no es euleriano, ya que los vértices no tienen grado par, por lo cual no es posible construir
un ciclo euleriano.
c) Demostrar si es hamiltoniano
Si es Hamiltoniano ya que el número de vértices de G en 8, Gr(V1)≥ 8/2=4 (i=1,2,8)

14. a1 v2
1
a6 a5 a2 a3 a4
a9
v3 a8 v4
a7
a12
a10 a11
v5 a13
Dado el siguiente dígrafo
v
v6
a14
a) Encontrar matriz de conexión
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

15. b)Es simple?. Justifique su respuesta
Si es simple, porque no posee ningún lazo y además tampoco existen arcos paralelos que
puedan partir de un mismo vértice a otro.
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
C=[ V1 a6 V5 a11 V4 a12 V6 a14 V5 a13 V6]
d)Encontrar un ciclo simple
C=[ V5 a11 V4 a12 V6 a14 V5]

16. e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
Ma(D)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0
Se eleva la matriz al cuadrado para encontrar los caminos de tamaño dos (02)
M²(G)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 0 1 1 1 1
V2 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 0 1
V4 0 1 1 0 1 0
V5 1 0 1 1 1 1
V6 0 1 0 1 0 1
Se eleva la matriz al cubo para encontrar los caminos de tamaño tres (03)
M³(G)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 0 1 1
V4 0 1 1 1 1 1
V5 0 1 1 1 1 1
V6 1 0 1 1 0 1

17. Se eleva la matriz a la cuatro para encontrar los caminos de tamaño cuatro (04)
M^4(G)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 0 1 1 1 1
V3 0 1 1 1 1 1
V4 1 1 0 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
Se eleva la matriz a la cuatro para encontrar los caminos de tamaño cuatro (05)
M^5(G)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
Ahora calculamos la Matriz de Accesibilidad ACC(D)= bin [ I6+ M+𝑀2+𝑀3+𝑀4+𝑀5]
Acc(D)=bin
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 3 4 5 4 5 4
V2 4 2 5 5 5 5
V3 3 4 3 4 4 4
V4 4 4 3 5 4 4
V5 3 4 4 5 4 5
V6 3 3 3 4 1 4
• Componentes iguales a 0 permanecerá como un 0
• Componentes diferentes de 0 permanecerá como un 1
Acc(D)=bin
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1
Dígrafo fuertemente conexo

18. f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra
Ponderación de las aristas
Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
Ponder. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3
D V2 a V1 : 2
D V2 a V3 : 3
D V2 a V4 : 4
D V2 a V5 : 3
D V2 a V6 : 3