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線形写像を行列で表現しよう
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線形写像を行列で表現しよう
1.
線形写像と行列 Hanpen Robot
2.
「線形代数ならったけど, 線形写像と行列の関係が分からないよ!」 という人にオススメのスライドです
3.
今日のテーマ • 線形写像が行列で表現できること理解しよう! • 抽象的なn次元空間ではなく,2次元空間を使って,分 かりやすく説明します! •
スライドに間違い等あったら,コメントで教えても らえると幸いです.
4.
記号の定義 • 𝕧1, 𝕧2
を2次元ベクトル空間𝑉の基底とします. • 写像 𝜋: ℝ2 → 𝑉を • 𝜋 𝑥1 𝑥2 = 𝕧1 𝕧2 𝑥1 𝑥2 = 𝑥1 𝕧1 + 𝑥2 𝕧2 と定義します. • 写像 𝜋 は同型写像です. ゆえに,ℝ2 ≅ 𝑉 (同一視できるって事) • 写像 𝜋 が同型写像である事の証明は付録に回します.
5.
線形写像の性質 ←超大事! • 𝑓:
𝑉 → 𝑉 を線形写像とします.すると, • 𝑉 ∋ 𝑥1 𝕧1 + 𝑥2 𝕧2 ↦ 𝑓(𝑥1 𝕧1 + 𝑥2 𝕧2) = 𝑥1 𝑓(𝕧1) + 𝑥2 𝑓(𝕧2) • 𝑥1 𝑓 𝕧1 + 𝑥2 𝑓 𝕧2 = 𝑓 𝕧1 𝑓 𝕧2 𝑥1 𝑥2 • これが線形性です!
6.
線形写像の行列表現 • 𝑓: 𝑉
→ 𝑉を線形写像とします.すると,線形性から,以下が成立します. • 𝑉 ∋ 𝕧 = 𝕧1 𝕧2 𝑥1 𝑥2 ↦ 𝑓 𝕧 = 𝑓 𝕧1 𝑓 𝕧2 𝑥1 𝑥2 ∈ V • 𝑓 𝕧1 𝑓 𝕧2 𝑥1 𝑥2 (1)式 • さて,𝑓 𝕧1 , 𝑓 𝕧2 を𝕧1, 𝕧2の線形結合で表現してみよう! • 𝑓 𝕧1 = 𝐴𝕧1 + 𝐵𝕧2 𝑓 𝕧2 = 𝐶𝕧1 + 𝐷𝕧2 ⇔ 𝑓 𝕧1 𝑓 𝕧2 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝕧1 𝕧2
7.
線形写像の行列表現 • 𝑓 𝕧1 𝑓 𝕧2 = 𝐴
𝐵 𝐶 𝐷 𝕧1 𝕧2 を転置してみよう! • 𝑓 𝕧1 𝑓 𝕧2 𝑇 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝕧1 𝕧2 𝑇 • 𝑓(𝕧1) 𝑓 𝕧2 = 𝕧1 𝕧2 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 (2)式 • ※積の転置に注意! 𝔸𝔹 𝑇 = 𝔹 𝑇 𝔸 𝑇 • なお, 𝔸, 𝔹は行列です
8.
線形写像の行列表現 • (2)式を(1)式に代入する! • 𝑓
𝕧1 𝑓 𝕧2 𝑥1 𝑥2 = 𝕧1 𝕧2 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 𝑥1 𝑥2 • ∴ 𝑓 𝕧 = 𝕧1 𝕧2 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 𝑥1 𝑥2 (3)式 • つまり, • 𝑉 ∋ 𝕧 = 𝕧1 𝕧2 𝑥1 𝑥2 ↦ 𝑓 𝕧 = 𝕧1 𝕧2 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 𝑥1 𝑥2 ∈ 𝑉 (4)式
9.
線形写像の行列表現 • そういえば,写像𝜋のおかげで,𝑉 ∋
𝕧1 𝕧2 𝑥1 𝑥2 ↔ 𝑥1 𝑥2 ∈ ℝ2 • という風に同一視できますね. ということは,(4)式は • ℝ2 ∋ 𝑥1 𝑥2 ↦ 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 𝑥1 𝑥2 ∈ ℝ2 • と書き換えることができる. 𝕩 = 𝑥1 𝑥2 , 𝔽 = 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 とおくと・・・ • 𝑉 ∋ 𝕧 ↦ 𝑓 𝕧 ∈ 𝑉 ⇔ ℝ2 ∋ 𝕩 ↦ 𝔽𝕩 ∈ ℝ2 • 線形写像𝑓に行列𝔽が対応している. • ∴線形写像は基底が 𝕧1, 𝕧2 の時に,行列𝔽 = 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 で表現できる.
10.
写像𝜋が同型写像である事の証明 • 少し難しい話なので,飽きちゃった人は無視してね • 𝜋 𝑥1 𝑥2 =
𝕧1 𝕧2 𝑥1 𝑥2 は明らかに,ℝ2から𝑉への全射準同型写像である. • よって,写像𝜋が単射である事を示せばよい.すなわち, • ker 𝜋 = 𝑥1 𝑥2 ∈ ℝ2 𝜋 𝑥1 𝑥2 = 0} = 0 0 (5)式 • が成り立てば良い. 結論から言えば,(5)式は成り立つ.
11.
写像𝜋が同型写像である事の証明 • なぜならば,𝕧1, 𝕧2は基底であるから, •
𝑥1 𝕧1 + 𝑥2 𝕧2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 0 かつ 𝑥2 = 0 • が成立する.ゆえに, • 𝜋 𝑥1 𝑥2 = 𝕧1 𝕧2 𝑥1 𝑥2 = 𝑥1 𝕧1 + 𝑥2 𝕧2 = 0 ⇒ 𝑥1 𝑥2 = 0 0 • よって,写像𝜋が同型写像 • 証明終了!
12.
END
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