置換族の一様分布は置換族と同一視できます. 確率分布をYORに基づくフーリエ変換して周波数成分から置換族の性質を推定できるかも...? 僕の研究テーマはそんな感じです.

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武井研 July 06 Wednesday, 2016 20:18 (Japan time)
Tamura Takumi Age 22
置換族ℱ ∈ 2 𝑆 𝑛はℱの特性関数𝜑ℱ(𝜋)
𝜑ℱ(𝜋) = {
1 (𝜋 ∈ ℱ)
0 (𝜋 ∉ ℱ)
と同一視できる(超重要なポイント！).
なお，ℱの特性関数𝜑ℱ(𝜋)は置換族ℱ ∈ 2 𝑆 𝑛上の一様分布𝑓(𝜋) (ℱからの一様ラン
ダムな抽出に対する分布関数)とも同一視できる.
𝑓(𝜋) = {
1
|ℱ|
(𝜋 ∈ ℱ)
0 (𝜋 ∉ ℱ)
未知の置換族𝒢 ∈ 2 𝑆 𝑛があった時，𝒢から(一様？)ランダムに抽出した時の
(実現値からなる)確率分布関数𝑔(𝜋)を，ヤング直交表現の基づくフーリエ変換し
て周波数成分を観測することで，その置換族𝒢がどのような置換族が推定する事
ができる！
有名な置換族の例. (以下の置換族には工学的応用があるかも…?)
(1) 𝑆 𝑛の共役類(工学的応用例:ラベル依存度?)
(2) 最小値独立置換族ℱ ∈ 2 𝑆 𝑛 (Jaccard 係数の計算の効率化?)
置換族ℱ ∈ 2 𝑆 𝑛が
∀𝑋 ∈ 2[𝑛]
= ∐ (
[𝑛]
𝑘
)𝑛
𝑘=1 なる𝑋から任意に選ばれた𝑥 (𝑥 ∈ 𝑋)に対し，
Pr
𝜋∈ 𝓊ℱ
[min{𝜋(𝑋)} = 𝜋(𝑥)] =
1
|𝑋|
=
|𝑋 ∩ {𝑥}|
|𝑋 ∪ {𝑥}|
= 𝑅(𝑋, {𝑥})
が成立するときに，置換族ℱは min-wise independent (最小値独立)であると定義する.
なお，(
[𝑛]
𝑘
)は[𝑛]の𝑘元部分集合を意味する. (
[𝑛]
0
) = {𝜙}に注意.
𝑅(𝐴, 𝐵) =
|𝐴 ∩ 𝐵|
|𝐴 ∪ 𝐵|
= Pr
𝜋∈ 𝓊ℱ
[min{𝜋(𝐴)} = min{𝜋(𝐵)}]
(3) 2 点の行き先のみ気にする置換の集合 (機械学習への応用?)
面白そうな置換族をみんなも考えてみよう.