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円柱、円錐以外の、
展開図の描ける曲面
第5回 プログラマのための数学勉強会
2015/11/21
落合雄介(@taro_x)
1
本スライドの内容
• 展開図の作れる曲面「可展面」とは?
• 円柱、円錐以外の可展面の例
• 可展面による非可展面の近似
• 展開図を印刷してみた
2
曲面には2種類ある
• 展開図が作れる曲面:可展面
• 展開図が作れない曲面
3
球面
円錐面円柱面
曲面が可展面であるための条件は?
1. 紙の性質として、一方向に曲げたら、別の方向に
は同時に曲げられない
 曲面上の任意の点に対し、その点を含む曲面上の
直線が存在する
• 言い換えると、「直線で構成される曲面」ということ
4
青い矢印の方...
もう一つの条件
• 「直線で構成される曲面」は可展面? → No!
※「直線で構成される曲面」を、「線織面」という
5
円柱面や円錐面は良い
もう一つの条件
• 「直線で構成される曲面」は可展面? → No!
6
棒を真ん中で束ねたものをねじった曲面
→これはダメ
もう一つの条件
• 各棒の中心同士は
近いが、端同士が
離れてしまっている。
紙は伸び縮みしないので
このような曲面は作れない。
• 可展面であるための
もう一つの条件とは、
「隣り合う直線」が、
ねじれの位置にないこと
• 「任意の点における...
円柱、円錐以外の可展面
• 線織面を構成する直線が、
1. 全て平行 → 柱面
2. 1点で交わる → 錐面
3. ある曲線の接線の集まり → 接線曲面
• 全ての可展面は、これらのどれか、
またはそれらの組み合わせである
8
接線曲面の例
• つるまき線の接線曲面
9
接線曲面の例
• つるまき線の接線曲面
円柱に巻きつけた紐を、
引っ張りながら
ほどいていくときに
掃く曲面。
これは展開図を
作ることができる。
10
作ってみた
11
作ってみた
• 上から見ると、
インボリュート曲線が
現れる
12
曲面部分の展開図は?
13
• 実はこれも、インボリュート曲線と円の一部で
囲まれた図形になる。
元のつるまき線が、
仰角αで半径1の円柱上に
巻きついているとき、
R
β
Rβ
R=
1
cos α2
β= 2π cos α
展開図
14
つるまき線の接線曲面 その2
• 円柱に巻きついた紐を、
「下から」ほどいていったときに掃く曲面と、
「上から」ほどいていったときに掃く曲面を、
組み合わせたものを作ることもできる。
15
つるまき線の接線曲面 その2
16
展開図
• 何枚も切って
つなげる
中心の円と外側の円の
半径の比率と、
どの位置で
合わせるかが重要
17
可展面の応用
• 可展面を応用して、何かを作ってみよう
 紙で作ることができるので、
材料の調達も作成も簡単なはず!
18
可展面を作る
• 空間内に2つの曲線があったとき、
それらを両方含むような可展面を
作れる場合がある
19
可展面を作る
• 両方の曲線に接する平面との接点同士を
結んだ直線の集まりで曲面を構成すると、
可展面になる。 (接平面包絡面)
20
球面の可展面による近似
• 球面上に、らせん状の曲線を引く
• この曲線を通る可展面を計算する
21
これはつまり、
りんごの皮むきの厳密な計算
22
計算した可展面と展開図
23
世界地図を印刷してみた
24
地球儀ができた!
25
のりやテープが要らないよう、一工夫
26
出っ張りを作って、
互い違いにひっかける。
形を工夫した結果、
5分程度で組み立てら
れるようになった!!
りんごの皮むき風近似球面展開図
のメリット
27
• 少ないパーツで、
比較的球に近い立体を
作ることができる
• 印刷が容易
せっかくなので、
地球儀以外も
印刷してみよう
Google Street View のような、
全方向の写真を球面に印刷
Photo by Takehiko YOSHIDA
https://theta360.com/s/Xhl 28
RICOH THETA
29
• シャッターを押すと、両側についた魚眼レンズが同時
に撮影して、画像を貼り合せてくれる
Panono
• 36個のカメラを搭載したボール型カメラ
30
正距円筒図法(Equirectangular)
の画像を変換するサイトを作った!
• 全天球パノラマ画像を扱う際の標準的な形式
• 大体この形式で画像をエクスポートできる
31
http://print-sphere.com
にアップロード
販...
可展面を楽しもう!
32
おまけ
33
球面以外も作れる
• またそのうち機会があれば発表します
34
おまけ
その2
35
切り絵もやってます
http://kirie.xyz
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円柱、円錐以外の、展開図の描ける曲面 第5回プログラマのための数学勉強会

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第5回プログラマのための数学勉強会 発表資料

関連:
地球儀を作る動画
https://www.youtube.com/watch?v=XsdxgSxdgak

THETAの写真を印刷する動画
https://www.youtube.com/watch?v=xVx1ROoZcGM

球面プリント
http://print-sphere.jp

切り絵オンデマンド
http://kirie.xyz

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円柱、円錐以外の、展開図の描ける曲面 第5回プログラマのための数学勉強会

  1. 1. 円柱、円錐以外の、 展開図の描ける曲面 第5回 プログラマのための数学勉強会 2015/11/21 落合雄介(@taro_x) 1
  2. 2. 本スライドの内容 • 展開図の作れる曲面「可展面」とは? • 円柱、円錐以外の可展面の例 • 可展面による非可展面の近似 • 展開図を印刷してみた 2
  3. 3. 曲面には2種類ある • 展開図が作れる曲面:可展面 • 展開図が作れない曲面 3 球面 円錐面円柱面
  4. 4. 曲面が可展面であるための条件は? 1. 紙の性質として、一方向に曲げたら、別の方向に は同時に曲げられない  曲面上の任意の点に対し、その点を含む曲面上の 直線が存在する • 言い換えると、「直線で構成される曲面」ということ 4 青い矢印の方向に曲 げたとき、赤い線が、 この曲面の上に乗る 直線になる。
  5. 5. もう一つの条件 • 「直線で構成される曲面」は可展面? → No! ※「直線で構成される曲面」を、「線織面」という 5 円柱面や円錐面は良い
  6. 6. もう一つの条件 • 「直線で構成される曲面」は可展面? → No! 6 棒を真ん中で束ねたものをねじった曲面 →これはダメ
  7. 7. もう一つの条件 • 各棒の中心同士は 近いが、端同士が 離れてしまっている。 紙は伸び縮みしないので このような曲面は作れない。 • 可展面であるための もう一つの条件とは、 「隣り合う直線」が、 ねじれの位置にないこと • 「任意の点における ガウス曲率がゼロの曲面」とも言える 7
  8. 8. 円柱、円錐以外の可展面 • 線織面を構成する直線が、 1. 全て平行 → 柱面 2. 1点で交わる → 錐面 3. ある曲線の接線の集まり → 接線曲面 • 全ての可展面は、これらのどれか、 またはそれらの組み合わせである 8
  9. 9. 接線曲面の例 • つるまき線の接線曲面 9
  10. 10. 接線曲面の例 • つるまき線の接線曲面 円柱に巻きつけた紐を、 引っ張りながら ほどいていくときに 掃く曲面。 これは展開図を 作ることができる。 10
  11. 11. 作ってみた 11
  12. 12. 作ってみた • 上から見ると、 インボリュート曲線が 現れる 12
  13. 13. 曲面部分の展開図は? 13 • 実はこれも、インボリュート曲線と円の一部で 囲まれた図形になる。 元のつるまき線が、 仰角αで半径1の円柱上に 巻きついているとき、 R β Rβ R= 1 cos α2 β= 2π cos α
  14. 14. 展開図 14
  15. 15. つるまき線の接線曲面 その2 • 円柱に巻きついた紐を、 「下から」ほどいていったときに掃く曲面と、 「上から」ほどいていったときに掃く曲面を、 組み合わせたものを作ることもできる。 15
  16. 16. つるまき線の接線曲面 その2 16
  17. 17. 展開図 • 何枚も切って つなげる 中心の円と外側の円の 半径の比率と、 どの位置で 合わせるかが重要 17
  18. 18. 可展面の応用 • 可展面を応用して、何かを作ってみよう  紙で作ることができるので、 材料の調達も作成も簡単なはず! 18
  19. 19. 可展面を作る • 空間内に2つの曲線があったとき、 それらを両方含むような可展面を 作れる場合がある 19
  20. 20. 可展面を作る • 両方の曲線に接する平面との接点同士を 結んだ直線の集まりで曲面を構成すると、 可展面になる。 (接平面包絡面) 20
  21. 21. 球面の可展面による近似 • 球面上に、らせん状の曲線を引く • この曲線を通る可展面を計算する 21
  22. 22. これはつまり、 りんごの皮むきの厳密な計算 22
  23. 23. 計算した可展面と展開図 23
  24. 24. 世界地図を印刷してみた 24
  25. 25. 地球儀ができた! 25
  26. 26. のりやテープが要らないよう、一工夫 26 出っ張りを作って、 互い違いにひっかける。 形を工夫した結果、 5分程度で組み立てら れるようになった!!
  27. 27. りんごの皮むき風近似球面展開図 のメリット 27 • 少ないパーツで、 比較的球に近い立体を 作ることができる • 印刷が容易 せっかくなので、 地球儀以外も 印刷してみよう
  28. 28. Google Street View のような、 全方向の写真を球面に印刷 Photo by Takehiko YOSHIDA https://theta360.com/s/Xhl 28
  29. 29. RICOH THETA 29 • シャッターを押すと、両側についた魚眼レンズが同時 に撮影して、画像を貼り合せてくれる
  30. 30. Panono • 36個のカメラを搭載したボール型カメラ 30
  31. 31. 正距円筒図法(Equirectangular) の画像を変換するサイトを作った! • 全天球パノラマ画像を扱う際の標準的な形式 • 大体この形式で画像をエクスポートできる 31 http://print-sphere.com にアップロード 販売も してるよ!
  32. 32. 可展面を楽しもう! 32
  33. 33. おまけ 33
  34. 34. 球面以外も作れる • またそのうち機会があれば発表します 34
  35. 35. おまけ その2 35
  36. 36. 切り絵もやってます http://kirie.xyz 36

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