1. ジョルダン標準形(2次)
HanpenRobot

2. 2次のジョルダン標準形を導いてみます！ 注意：このスライドの内容は2次元のみで成立します

3. ジョルダン標準形とはなんぞや？
•行列픸の固有値が휆=훼,훽のように，２個ある時は対角化できます.
•つまり，픸~ 훼00훽 といえます.（～は行列の相似を意味します.）
•픸の固有値が휆=훼のように，１個しか無い時は対角化不能です！
•この時픸は，ジョルダン標準形훼10훼 と相似です.つまり・・・
•픸~ 훼10훼

4. 픸~ 훼10훼 となる事を証明してみます！

5. 픸~ 훼10훼 となる事の証明
•固有値훼に対応する，固有ベクトルを합とする.
•固有ベクトルの定義から，以下の事が成立します.
•픸합=훼합(1)
•(픸−훼피)합=할(2)
•할は零ベクトル，피は単位行列を意味します.
•(2)式が，後で役に立ちます.注意しておいてくださいね

6. 픸~ 훼10훼 となる事の証明
•突然ですが，次式を満たすベクトル핪を考えます.
•픸−훼피핪=합(3)
•また，(3)式を変形すると次式になります.
•픸핪=합+훼핪(4)
•実は，ベクトル합と핪は線形独立です！
•証明は後でやります.その時に(2)式と(3)式が役立ちます

7. 픸~ 훼10훼 となる事の証明
•합と핪が線形独立なので，行列합핪は正則です.
•行列합핪を使って，ジョルダン標準形を導きます.
•합핪−1픸합핪=합핪−1픸합픸핪
•=합핪−1훼합합+훼핪=합핪−1합핪훼10훼 = 훼10훼
•∴픸~ 훼10훼

8. 합と핪が線形独立である事の証明
•퐷합+퐸핪=할⇒퐷=퐸=0を示す.
•퐷합+퐸핪=할の両辺に픸−훼피を掛けてみます.
•픸−훼피퐷합+퐸핪=퐷픸−훼피합+퐸픸−훼피핪=할
•(2)式と(3)式から・・・
•퐸합=할⇒퐸=0(∵합≠할)
•ゆえに，퐷합+퐸핪=퐷합=할⇒퐷=0
•証明終！