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行列による空間の直和分解
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行列による空間の直和分解を解説します.行列による空間の直和分解を利用することで,ジョルダン標準形が計算できます.
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行列による空間の直和分解
1.
行列による空間の直和分解 Hanpen Robot
2.
まずは,行列𝔸 = 𝑎11 𝑎12 𝑎21
𝑎22 を考える
3.
次に,行列𝔸を使って, ℝ上の2次元ベクトル空間ℝ2を, ℝ[𝔸]上の加群ℝ 𝔸 𝟐に拡張する!
4.
拡張前 ℝ2 = 𝑥1 𝕖1
+ 𝑥2 𝕖2 𝑥𝑖 ∈ ℝ ただし,𝕖1 = 1 0 ,𝕖2 = 0 1 拡張後 ℝ[𝔸] 𝟐 = 𝒇 𝟏(𝔸)𝕖 𝟏 + 𝒇 𝟐(𝔸)𝕖 𝟐 𝒇𝒊 (𝔸) ∈ ℝ[𝔸]
5.
変数𝑡を行列𝔸に置き換える写像です. とても自然ですね♪ 𝜋: ℝ 𝑡
2 ∋ 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 ⟼ 𝑓1 𝔸 𝕖1 + 𝑓2 𝔸 𝕖2 ∈ ℝ 𝔸 2 ℝ 𝑡 2 とℝ 𝔸 2 の間には, 自然な全射準同型𝜋が存在します!
6.
実は𝑘𝑒𝑟 𝜋 =
𝔸 − 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2 なのです!
7.
略証 𝔸 − 𝑡𝔼 𝑓1
𝑡 𝑓2 𝑡 = 𝑎11 − 𝑡 𝑎12 𝑎21 𝑎22 − 𝑡 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 = 𝑎11 − 𝑡 𝑓1 𝑡 + 𝑎12 𝑓2 𝑡 𝑎21 𝑓1(𝑡) + (𝑎22 − 𝑡)𝑓2 𝑡 これを𝜋で写像する
8.
𝑎11 𝔼 −
𝔸 𝑓1 𝔸 + 𝑎12 𝑓2(𝔸) 𝕖1 + 𝑎21 𝑓1 𝔸 + 𝑎22 𝔼 − 𝔸 𝑓2(𝔸) 𝕖2 = 𝑓1 𝔸 0 −𝑎12 −𝑎21 𝑎11 − 𝑎22 + 𝑓2 𝔸 𝑎12 𝔼 1 0 + 𝑓1 𝔸 𝑎21 𝔼 + 𝑓2 𝔸 𝑎22 − 𝑎11 −𝑎12 −𝑎21 0 0 1 = 𝑓1 𝔸 0 −𝑎21 + 𝑓2 𝔸 𝑎12 0 + 𝑓1 𝔸 0 𝑎21 + 𝑓2 𝔸 −𝑎12 0 = 0 0 ∴ 𝔸 − 𝑡𝔼 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 ∈ 𝑘𝑒𝑟 𝜋 略証
9.
ℝ 𝑡 2 𝔸
− 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2 ≅ ℝ 𝔸 2 ∴ 𝑘𝑒𝑟 𝜋 = 𝔸 − 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2 そして,準同型定理より,
10.
記号の意味を思い出そう! ℝ 𝑡 2 𝔸
− 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2 = 𝑓1(𝑡) 𝑓2 𝑡 ∈ ℝ 𝑡 2 𝑎11 − 𝑡 𝑎12 𝑎21 𝑎22 − 𝑡 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 = 0 0 ℝ 𝑡 2 𝔸−𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2は以下のような意味です 𝑎11 − 𝑡 𝑎12 𝑎21 𝑎22 − 𝑡 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 = 0 0 は多項式が係数の連立一次方程式ですね.
11.
単因子論(単項イデアル整域の 連立一次方程式の理論)によれば 𝑎11 − 𝑡
𝑎12 𝑎21 𝑎22 − 𝑡 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 = 0 0 ⇒ 𝑑11(𝑡) 0 0 𝑑22(𝑡) 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 = 0 0 行基本変形,列基本変形で,↑のように方程式を簡約化できます. なお,𝑑22 𝑡 = 𝑔 𝑡 𝑑11(𝑡)の関係が成立します. (𝑑11(𝑡)は𝑑22 𝑡 の約多項式ってこと) 𝑑11(𝑡), 𝑑22(𝑡)は行列𝔸の単因子とよびます.
12.
ℝ 𝑡 2 𝔸
− 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2 = 𝑓1(𝑡) 𝑓2 𝑡 ∈ ℝ 𝑡 2 𝑑11(𝑡) 0 0 𝑑22(𝑡) 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 = 0 0 = 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 ∈ ℝ 𝑡 2 │ 𝑑11(𝑡)𝑓1 𝑡 𝑑22(𝑡)𝑓2 𝑡 = 0 0 = 𝑓1 𝑡 𝑚𝑜𝑑 𝑑11(𝑡) 𝑓2 𝑡 𝑚𝑜𝑑 𝑑22(𝑡) = ℝ 𝑡 𝑑11ℝ[𝑡] ⨁ ℝ 𝑡 𝑑22ℝ[𝑡] ∴ ℝ 𝔸 2 ≅ ℝ 𝑡 2 𝔸 − 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2 = ℝ 𝑡 𝑑11ℝ[𝑡] ⨁ ℝ 𝑡 𝑑22ℝ[𝑡] 行列で空間の直和分解ができた!
13.
行列による空間の直和分解を利用 する事で,行列のジョルダン標準形 が計算できます!
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