1. ドロネー三角形分割
shiatsumat
松下祐介

2. 自己紹介
• Haskell共和国の住人
• 競技プログラミングエンジョイ勢

3. 本の紹介
• 『コンピュータ・ジオメトリ』
• 計算機科学の一分野の計算幾何学の本
• 著者4人のうち3人がMark

4. 今日の予定
• ドロネー三角形分割についてゆるふわに
話します

5. 三角形分割
• 平面上の点の集合Pについて、いくつかの
点の対も辺で結ばれていて、どの辺も交
差していなくて、どの辺で結ばれていな
い2点を辺で結んでも、辺が交差してしま
うような、平面の分割（辺の取り方）を
三角形分割という。
• これが三角形分割です→実演

6. 三角形分割
• どの面も三角形である。
（∵多角形は三角形に分割できる）
• 外側はPの凸包である。
• Pがn点を含み、Pの凸包の境界上にk点が
あるとき、Pのどの三角形分割も、2n-2-k
個の三角形を含み、3n-3-k個の辺を含む。

7. ドロネー三角形分割
• Pの三角形分割Tにm個の三角形が含まれ
ているとし、Tのそれぞれの三角形の内角
3m個を昇順にソートした列をTの角度ベ
クトルという。
• Pの三角形分割のうち、角度ベクトルが辞
書順で最大であるものをPのドロネー三角
形分割という。
• これがドロネー三角形分割です→実演

8. ドロネー三角形分割
• TをPの三角形分割とする。TがPのドロ
ネー三角形分割であるための必要十分条
件は、Tの任意の三角形の外接円がその内
部にPの点を含まないことである。
不正な辺

9. アルゴリズムの概要
• 乱択逐次構成法
• 点をシャッフルし、1つずつ点を増やして
いってそのたびにドロネー三角形分割を
する
• 割と簡単

10. アルゴリズム
• Pをn点の集合とする
• 三角形分割をするために、最初にPの点を
全て含む大きい三角形を考える
（すごく左上にある点とすごく右上にあ
る点を追加し、Pの一番下にある点と一緒
に三角形を作る）
• 三角形分割Tを大きい三角形として初期化
する。

11. アルゴリズム
• Pの一番下にある点以外の点をシャッフル
し、列P’を求める。
• P’の点Xを順に追加していく。
• Xを含む三角形分割Tの三角形を△ABCと
する。Tにおいて△ABCを△XBC・
△XCA・△XABに分割する。
• ここで不正な辺が出来ていないか確かめ
る。

12. アルゴリズム
• 不正な辺になる可能性があるのはBC, CA,
ABの3辺。
• ここではBCが不正であるかを確かめてい
く。他も同様にできる。

13. アルゴリズム
• △XBCと辺BCで接する三角形を△YCBと
する。
• Yが△XBCの外接円の内部にあれば、BC
は不正。
X
C
B
Y
不正な辺

14. アルゴリズム
• 不正な辺があった際は、図のように
フリップする。
X
C
B
Y
X
C
B
Y

15. アルゴリズム
• フリップしたらまた不正な辺ができるか
もしれない。
• YBとYCが不正であるかどうか確かめる。
以下同様に続いていく。
X
C
B
Y

16. アルゴリズム
• 最終的に全部の点を追加したら、三角形
分割Tから、最初に追加したすごく左上の
点とすごく右上の点に接続している辺を
すべて取り除く。
• これでドロネー三角形分割は完了。
• うれしい。

17. アルゴリズム
• 「Xを含む三角形分割Tの三角形を△ABC
とする。」ここの計算量はどうだろう
か？
• ナイーブに個々の三角形について点が含
まれているか確かめることもできるが、
O(n)となる
• 三角形分割と同時に木構造を作って再帰
的に求めていくことができる

18. アルゴリズム
• この乱択逐次構成法の計算量の期待値は
O(n log n)
• うれしい。

19. ドロネー三角形分割の実用例
• 各地点の高さが分かっているとき、地形の
状況をドロネー三角形分割に基づき表す

20. ボロノイ図
• 点の集合Pがあり、平面上のすべての座標
について、一番近いPの要素の点を表す図。

21. ボロノイ図
• 藤原さんが夏季セミナー中に実装しました

22. ボロノイ図⇔ドロネー三角形分割
• ボロノイ図で領域が接している⇔
ドロネー三角形分割で辺で結ばれている

23. ボロノイ図の実用例
• 主要都市を元に地域を分割する

24. ドロネー三角形分割→EMST
• ユークリッド最小木(EMST): 平面上の全
ての点を連結する木の中で辺の長さの総
和が最小なもの
• ドロネー三角形分割をグラフとして見る。
点の数をnとするとドロネー三角形分割の
辺の数は3n-3-kなので、O(n log n)で最
小全域木が求まる。ドロネー三角形分割
と合わせてもO(n log n)となる。

25. 行商人問題 (TSP)
• 言わずと知れたNP困難問題
• n点の間にいくつか距離のある辺があって、
n点全てを1回だけ通る経路のうち総移動
距離が最小のものを求めよ、という問題
• ここではn点は平面上にあり、どの2点間
にも辺があり幾何的な距離を持っている
ものとする

26. EMST→2近似TSP
• EMSTからTSPの2近似アルゴリズム（総
移動距離が最小の場合の2倍以下）を作る
ことができる
• まずEMSTをなめる閉路をつくる

27. EMST→2近似TSP
• 閉路をショートカットしていく。

28. EMST→2近似TSP
• 2回通っている点についてO(1)でショート
カットできるので、O(n)で巡回路になる。
EMSTまでと合わせてO(n log n)となる。

29. EMST→2近似TSP
• 行商人問題の最適解での総移動距離をtsp、
最小全域木の辺の長さの合計をemst、
ここで求めた巡回路の総移動距離をdとす
る。
tsp≧tspから1本辺を取ったもの≧emst
d≦2emst
∴d≦2tsp
• 以上よりこれは2近似アルゴリズムである。

30. おまけ
• 暇だったので3Dの凸包を作ってみました
→実演
• このアルゴリズムも乱択逐次構成法
• うれしい

31. まとめ
• ドロネー三角形分割はうれしい！

32. ありがとうございました