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20140914_曲面上の「直線」と「最短線」

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20140914_第5回関西すうがく徒のつどい

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20140914_曲面上の「直線」と「最短線」

  1. 1. 曲面上の「直線」と「最短線」 2014.9.14 @matsumoring
  2. 2. はじめに 信じないでください
  3. 3. 目的 この講演を聞いて家に帰ったあとに 「ちょっと測地線の方程式でも調べてみるか…」 と手を動かしてもらえること Levi-Civita接続を理解してもらえること
  4. 4. 内容 𝑹3 内の曲面の「最短線」は「直線」であること 𝑹3 内の回転面の測地線の振舞い 一般の曲面の「直線」と「最短線」の関係 ※高校3年生~大学1回生向けです。 予備知識は偏微分だけ(のつもり)です。
  5. 5. §0.準備
  6. 6. 準備1. 記号(notation)
  7. 7. テンソル解析の記法 曲面のパラメータは 𝑢1 , 𝑢2 と上付きの添え字 で表します。 …ベキ乗ではありません。 具体例のときは適宜読み替えてください。 例えば極座標なら 𝑢1 = 𝑟, 𝑢2 = 𝜃 です。
  8. 8. テンソル解析の記法 𝑢1 , 𝑢2 での偏微分はそれぞれ 𝜕1, 𝜕2 で 表します。 例えば 𝑓 𝑢1 , 𝑢2 = 𝑢1 2 + cos 𝑢2 なら 𝜕1 𝑓 = 2𝑢1 , 𝜕2 𝑓 = −sin 𝑢2 です。
  9. 9. Einstein記法 上と下に同じ添え字が現れたら和をとります。 𝑎 𝑖 𝑏𝑖 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 𝑔𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 = 𝑔11 𝑥1 𝑥1 + 𝑔12 𝑥1 𝑥2 + 𝑔21 𝑥2 𝑥1 + 𝑔22 𝑥2 𝑥2 この講演では添え字は1と2です。 A.Einstein (1879~1955)
  10. 10. Einstein記法(練習) 行列の計算 𝑎1 1 𝑎2 1 𝑎1 2 𝑎2 2 𝑏1 1 𝑏2 1 𝑏1 2 𝑏2 2 の 𝑖, 𝑗 成分 = 𝑎 𝑘 𝑖 𝑏𝑗 𝑘 合成関数の微分 𝑓 𝑢1 , 𝑢2 と𝑢1 𝑡 , 𝑢2 (𝑡)について 𝑓 = 𝜕𝑖 𝑓 𝑢 𝑖
  11. 11. 準備2. 3次元空間内の曲面
  12. 12. 空間内の曲面 曲面のパラメータ表示 𝒑: 𝑹2 → 𝑹3 𝒑 𝑢1 , 𝑢2 = 𝑥 (𝑢1 , 𝑢2 ) 𝑦 (𝑢1 , 𝑢2 ) 𝑧 (𝑢1 , 𝑢2 )
  13. 13. 例(単位球面) 𝒑 𝜃, 𝜑 = cos 𝜃 cos 𝜑 cos 𝜃 sin 𝜑 sin 𝜃
  14. 14. Gauss枠 𝒑の偏微分{𝒑1, 𝒑2}が接平面の基底になる。 𝒑𝒊 ≔ 𝜕𝑖 𝒑 𝑹3 の基底 {𝒑1, 𝒑2, 𝒆} をGauss枠という。 𝒆 ≔ 𝒑1×𝒑2 |𝒑1×𝒑2| J.C.F.Gauss (1777~1855) T.Kitano (1947~) …似てる。
  15. 15. 第一基本量 𝑔𝑖𝑗 ≔ 𝒑𝑖 ⋅ 𝒑 𝑗を第一基本量という。 ※ 𝑔𝑗𝑖= 𝑔𝑖𝑗 接ベクトル 𝝃 = 𝜉 𝑖 𝒑𝑖 の長さの2乗は 𝑔𝑖𝑗 𝜉 𝑖 𝜉 𝑗 で与えられる。 曲線の長さも第一基本量から計算できる。 …曲線の長さは速度ベクトルの長さの積分。
  16. 16. Christoffel記号(接続係数) 𝒑𝑖𝑗 ≔ 𝜕𝑗 𝜕𝑖 𝒑 = Γ𝑖𝑗 𝑘 𝒑 𝑘 + ℎ𝑖𝑗 𝒆 という式で Γ𝑖𝑗 𝑘 , ℎ𝑖𝑗 という量を定義する。 Γ𝑖𝑗 𝑘 を第二種Christoffel記号という。 ※ Γ𝑗𝑖 𝑘 = Γ𝑖𝑗 𝑘 … ℎ𝑖𝑗 を第二基本量という。 E.B.Christoffel (1829~1900)
  17. 17. 第二種Christoffel記号の公式 第二種Christoffel記号は第一基本量で 書ける。(重要) Γ𝑖𝑗 𝑘 = 1 2 𝑔 𝑘𝑙 (𝜕𝑖 𝑔𝑗𝑙 + 𝜕𝑗 𝑔𝑙𝑖 − 𝜕𝑙 𝑔𝑖𝑗) ※ 𝑔 𝑘𝑙 は 𝑔𝑖𝑗 の逆行列。
  18. 18. 証明 第一種Chrisoffel記号を次で定める。 Γ𝑘,𝑖𝑗 ≔ Γ𝑖𝑗 𝑙 𝑔𝑙𝑘 cyclicに添え字を動かし、2つ足して1つ引く。 ー「どうしてこの組合せなのか…」 by深谷賢治先生 K.Fukaya(1959~)
  19. 19. 例(平面の極座標) 𝒑 = 𝑟cos𝜃 𝑟sin𝜃 0 𝒑 𝑟 = cos𝜃 sin𝜃 0 , 𝒑 𝜃 = −𝑟sin𝜃 𝑟cos𝜃 0
  20. 20. 例(平面の極座標) 𝑔 𝑟𝑟 = 1, 𝑔 𝜃𝜃 = 𝑟2 𝑔 𝑟𝑟 = 1, 𝑔 𝜃𝜃 = 1 𝑟2 Γ𝑟𝜃 𝜃 = Γ𝜃𝑟 𝜃 = 1 𝑟 Γ𝜃𝜃 𝑟 = −𝑟 ※その他はすべて0。
  21. 21. §1.3次元空間内の曲面の 測地線
  22. 22. 曲面上の曲線 曲面上の曲線のパラメータ表示 𝒄: 𝑹 → 𝑀 (𝑀: = Im 𝒑) 𝒄 𝑡 = 𝒑(𝑢1 𝑡 , 𝑢2 𝑡 )
  23. 23. 速度ベクトル・加速度ベクトル 𝒄 を微分したものが速度ベクトル。 𝒄 = 𝑢 𝑖 𝒑𝑖 二階微分したものが加速度ベクトル。 𝒄 = 𝑢 𝑘 + Γ𝑖𝑗 𝑘 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 𝒑 𝑘 + ℎ𝑖𝑗 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 𝒆 速度ベクトルは曲面に接しているが 加速度ベクトルは曲面に接していない。
  24. 24. 共変微分 加速度ベクトルを接平面に射影して、それを 曲面上の曲線の曲がり具合とみる。 𝐷 𝒄 𝑑𝑡 ≔ 𝑢 𝑘 + Γ𝑖𝑗 𝑘 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 𝒑 𝑘 一般に、曲面上の曲線に沿ったベクトル場を 微分して接平面に射影する操作を共変微分 という。
  25. 25. 測地線  𝐷 𝒄 𝑑𝑡 のことを測地的曲率という。 測地的曲率が0となる曲線を測地線という。 𝑢 𝑘 + Γ𝑖𝑗 𝑘 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 = 0 測地線が曲面上の「直線」。
  26. 26. 測地線のパラメータ 加速度=0なので、測地線の方程式は曲線の 形を決めるだけではなく等速となるパラメータ まで要求している。 𝒄 2 = 𝑔𝑖𝑗 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 = 定数
  27. 27. 曲線の長さ・弧長パラメータ 曲線の長さは速度ベクトルの長さの積分。 𝒄: [𝑎, 𝑏] → 𝑀 𝐿 𝒄 ≔ 𝑎 𝑏 | 𝒄|𝑑𝑡 速さが1のパラメータを弧長パラメータという。 | 𝒄| = 1
  28. 28. 極値問題 曲面上の2点𝑃, 𝑄を結ぶ曲線のうち 長さが最小のものを求めたい。 曲線 𝒄 を以下を満たす最短線とする。 𝒄: 0, 𝑙 → 𝑀 𝒄 0 = 𝑃, 𝒄 𝑙 = 𝑄 | 𝒄| = 1 ※これらの条件から𝐿 𝒄 = 𝑙 。
  29. 29. 変分法 𝒄 の変分 𝒇(𝑡, 𝜆) を次のようにとる。 𝒇: 0, 𝑙 × −𝜖, 𝜖 → 𝑀 𝒇 𝑡, 0 = 𝒄 𝑡 𝒇 0, 𝜆 = 𝑃, 𝒇 𝑙, 𝜆 = 𝑄 𝒄 が最短線ならば𝐿 𝜆 ≔ 0 𝑙 𝜕𝒇 𝜕𝑡 𝑑𝑡として 𝑑𝐿 𝑑𝜆 (0) = 0 となる。(どんな変分𝒇についても)
  30. 30. 弧長の第一変分公式 次の等式を弧長の第一変分公式という。 𝑑𝐿 𝑑𝜆 0 = − 0 𝑙 𝜕𝒇 𝜕𝜆 ⋅ 𝐷 𝒄 𝑑𝑡 𝑑𝑡 この公式から、最短線は 𝐷 𝒄 𝑑𝑡 = 0 をみたすことがわかる。
  31. 31. 「最短線」は「直線(測地線)」 最短線であるための必要条件は 𝐷 𝒄 𝑑𝑡 = 0 つまり測地線であること。 ※逆は必ずしも真ではない。
  32. 32. 例(回転放物面) 放物線𝑧 = 1 2 𝑥2 を𝑧軸回りに回転させる。 𝒑 𝑟, 𝜃 = 𝑟cos𝜃 𝑟sin𝜃 𝑟2 /2 𝒑 𝑟 = cos𝜃 sin𝜃 𝑟 , 𝒑 𝜃 = −𝑟sin𝜃 𝑟cos𝜃 0
  33. 33. 例(回転放物面) 𝑔 𝑟𝑟 = 1 + 𝑟2 , 𝑔 𝜃𝜃 = 𝑟2 𝑔 𝑟𝑟 = 1 1+𝑟2 , 𝑔 𝜃𝜃 = 1 𝑟2 Γ𝑟𝑟 𝑟 = 𝑟 1+𝑟2 Γ𝑟𝜃 𝜃 = Γ𝜃𝑟 𝜃 = 1 𝑟 Γ𝜃𝜃 𝑟 = − 𝑟 1+𝑟2 ※その他はすべて0。
  34. 34. 例(回転放物面) 測地線の方程式 𝑟 + 𝑟 1+𝑟2 ( 𝑟2 − 𝜃2 ) = 0 𝜃 + 2 𝑟 𝑟 𝜃 = 0 𝑡 → ∞ とすると曲面上を無限回回転する。
  35. 35. 例(二葉双曲面) 双曲線𝑧2 − 𝑥2 = 1を𝑧軸回りに回転させる。 𝒑 𝑢, 𝜃 = sinh𝑢 cos𝜃 sinh𝑢 sin𝜃 cosh𝑢
  36. 36. 例(二葉双曲面) 測地線の方程式 𝑢 + tanh2𝑢 ( 𝑢2 − 1 2 𝜃2 ) = 0 𝜃 + 2coth𝑢 𝑢 𝜃 = 0 𝑡 → ∞ とすると曲面上を有限回回転して 子午線に漸近する。
  37. 37. 例(一葉双曲面) 双曲線𝑥2 − 𝑧2 = 1を𝑧軸回りに回転させる。 𝒑 𝑢, 𝜃 = cosh𝑢 cos𝜃 cosh𝑢 sin𝜃 sinh𝑢
  38. 38. 例(一葉双曲面) 測地線の方程式 𝑢 + tanh2𝑢 ( 𝑢2 − 1 2 𝜃2 ) = 0 𝜃 + 2tanh𝑢 𝑢 𝜃 = 0 𝑡 → ∞ とすると最初の向きにより±∞にいくか 平行円に収束する。
  39. 39. 解析力学的に… 測地線はLagrangian 𝐿 = 1 2 𝑔𝑖𝑗 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 の作用積分(曲線のエネルギー)の停留点。 Legendre変換するとHamiltonianは 𝐻 = 1 2 𝑔𝑖𝑗 𝑝𝑖 𝑝𝑗
  40. 40. 回転面の場合 回転対称性を持つのでNoetherの定理より 保存量が存在する。 →Hamiltonianと合わせて2つの第一積分を持ち 完全積分可能系となる。
  41. 41. §2.一般の曲面
  42. 42. ここからは 眉に唾をつけてください
  43. 43. 量的関係 “「何重にも拡がったもの」が何種類もの量的 関係を有し得ること、したがって空間は「三重 に拡がったもの」の特別な場合にしかすぎない ことが導かれる。” 「幾何学の基礎をなす仮説について」 1854年 G.F.B.Riemann G.F.B.Riemann (1826~1866)
  44. 44. まとめると  何重にも拡がったもの(多様体)には量的関係 (Riemann計量)と幾何的関係(affine接続)が それぞれ独立に入れられる。  量的関係は「最短線」という概念を、幾何的関係は 「直線(測地線)」という概念を定める。  量的関係はそれと整合するただ1つの幾何的関係 (Levi-Civita接続)を誘導し、その量的関係における 最短線はLevi-Civita接続に関する測地線となる。 T.Levi-Civita (1873~1941)
  45. 45. 比べると Riemann計量 affine接続 意味 量的関係 幾何的関係 もの 接空間の内積 ベクトル場の方向微分 線 最短線 測地線 備考 整合する唯一の接続 (Levi-Civita接続) を誘導 接続が与えられると 曲率が計算できる
  46. 46. 構造 集合 位相空間 可微分多様体 Riemann多様体 affine接続空間 位相 微分 構造 Riemann 計量 affine 接続 Levi-Civita 接続
  47. 47. 共変微分(接続) 曲線に沿ったベクトル場の微分。 曲線に沿ったベクトル場から曲線に沿ったベク トル場への線形写像でLeibniz則をみたすもの。 𝐷(𝑓𝝃) 𝑑𝑡 = 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝝃 + 𝑓 𝐷𝝃 𝑑𝑡 接続が与えられると曲率が計算できる。
  48. 48. Riemann計量 接空間の内積(正定値対称双一次形式)。 3次元空間内の曲面の第一基本量に相当。 Riemann計量を与えると曲線の長さが定まる。 ※Riemannは講演の中で一般の場合に言及。 “その次に簡単な場合は線素が4次の微分形式の4乗根として 表される場合となるであろう。(中略)が、かなり面倒な上に結果 が幾何学的に表現できないから、空間の研究にはあまり新しい 光明を与えないであろう。”
  49. 49. Levi-Civita接続 Riemann計量 , が与えられたとき、  𝐷 𝜕𝑠 𝜕𝑓 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕𝑡 𝜕𝑓 𝜕𝑠 (𝑓: 𝑹2 → 𝑀)  𝑑 𝑑𝑡 𝝃, 𝜼 = 𝐷𝝃 𝑑𝑡 , 𝜼 + 𝝃, 𝐷𝜼 𝑑𝑡 をみたす接続をLevi-Civita接続という。 Riemann計量に関する最短線はそれに対応する Levi-Civita接続に関する測地線。
  50. 50. 例(Poincare上半平面) 𝑯 = { 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑹2 |𝑦 > 0} 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥2+𝑑𝑦2 𝑦2 𝑔11 = 𝑔22 = 1 𝑦2 , 𝑔12 = 𝑔21 = 0 測地線はy軸に平行な半直線または 中心をx軸上にもつ半円。 J.H.Poincare (1854~1912)
  51. 51. (参考)一般相対性理論 Einstein方程式 𝑅 𝜇𝜈 − 1 2 𝑔 𝜇𝜈 𝑅 = −𝜅𝑇𝜇𝜈 …物質の配置(エネルギー運動量テンソル𝑇𝜇𝜈) から時空の計量を求める。 …Newton力学で言うと万有引力の法則。 (物質の配置からポテンシャルが定まる。)
  52. 52. (参考)一般相対性理論 運動方程式 𝑢 𝑘 + Γ𝑖𝑗 𝑘 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 = 0 …時空の計量に沿って“まっすぐ”運動する。 …Newton力学の運動方程式に相当。
  53. 53. ご清聴いただき ありがとうございました!

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