Materi Turunan Parsial

1.  
Aulia Oktavia, S.Si., M.Si
Politeknik Negeri Padang

2.  Andaikan 𝑓 adalah fungsi dengan dua peubah 𝑥 dan
𝑦. Jika 𝑦 dijaga agar tetap konstan, misalkan 𝑦 = 𝑦0
maka 𝑓(𝑥, 𝑦0) adalah fungsi dengan peubah tunggal
𝑥. Turunannya di 𝑥 = 𝑥0 disebut turunan parsial 𝑓
terhadap 𝑥 di (𝑥0, 𝑦0) dan dinyatakan sebagai
𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0).
 Jika 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , maka
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓 𝑥,𝑦
𝜕𝑥
= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
𝜕𝑓 𝑥,𝑦
𝜕𝑦
= 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)

3. Contoh :
1. Tentukanlah 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) dan 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) dari 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦 +
3𝑦3.
Jawab :
Untuk menentukan 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦), kita anggap 𝑦 sebagai
konstanta dan mendiferensialkannya terhadap 𝑥 ,
sehingga
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 + 0 = 2𝑥𝑦
Dengan cara yang sama, kita anggap 𝑥 sebagai
konstanta dan mendiferensialkannya terhadap 𝑦 ,
sehingga

4. 2. Jika 𝑧 = 𝑥 sin 𝑦, tentukanlah
𝜕𝑧
𝜕𝑥
dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
Jawab :
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= sin 𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑥 cos 𝑦

5. 3. Volume gas tertentu berhubungan dengan suhu T dan tekanan P-nya
berdasarkan hukum gas 𝑃𝑉 = 10𝑇, dimana V diukur dalam satuan inci
kubik, P dalam satuan pon per inci kuadrat, dan T dalam derajat
Kelvin(K). Jika V dijaga agar tetap konstan pada nilai 50, berapakah laju
perubahan tekanan terhadap suhu ketika T= 200 ?
Jawab :
Karena 𝑃 =
10𝑇
𝑉
,
𝜕𝑃
𝜕𝑇
=
10
𝑉
.
Jadi,
𝜕𝑃
𝜕𝑇
|𝑇=200, 𝑉=50 =
10
50
=
1
5
.
Dengan demikian, tekanan bertambah dengan laju
1
5
pon per inci
kuadrat per derajat Kelvin.

6. 4. Jika 𝑧 = 𝑥2 sin(𝑥𝑦) , tentukan
𝜕𝑧
𝜕𝑥
dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
Jawab :
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑥2 𝜕
𝜕𝑥
sin 𝑥𝑦2 + sin 𝑥𝑦2 𝜕
𝜕𝑥
𝑥2
= 𝑥2
cos 𝑥𝑦2 𝜕
𝜕𝑥
𝑥𝑦2
+ sin 𝑥𝑦2
. 2𝑥
= 𝑥2 cos 𝑥𝑦2 . 𝑦2 + 2𝑥 sin(𝑥𝑦2)
= 𝑥2𝑦2 cos 𝑥𝑦2 + 2𝑥 sin(𝑥𝑦2) .
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑥2 cos 𝑥𝑦2 . 2𝑥𝑦 = 2𝑥3 𝑦 cos(𝑥𝑦2) .

7. Tentukan
𝜕𝑧
𝜕𝑥
dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦
dari :
1. 𝑧 = 𝑥4 − 2𝑥3𝑦 + x𝑦2
2. 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
3. 𝑧 = 𝑥 ln(𝑦2)
4. 𝑧 =
4𝑥
𝑦
𝑒−𝑥2