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Plano
Númerico
By: Génesis Sira
02
Plano númerico
Definición, ecuaciones
Cónicas
Circunferencias,
parábolas, hipérbolas y
elipses. Representación
grafica
Tabla de contenidos
01
Esta conformado por dos rectas numéricas
perpendiculares, que descubre una
ubicación de un punto por un sistema de
coordenadas. Analiza matemáticamente
figuras geométricas.
Plano Cartesiano
Contiene:
Y: ordenadas
X: abscisas
0: origen
Cuadrantes: I, II, III y IV.
P: punto en el plano
Distancia entre dos puntos
Dados dos puntos cualesquiera
A(2, 3), B(-1, -2), definimos la
distancia entre ellos, de (A,B),
como la longitud del segmento
que los separa.
A(2, 3)
B(-1, -2)
Coordenadas
Punto Medio
Punto que esta a la misma distancia de
dos elementos geométricos.
Las coordenadas son los números que nos
dan la ubicación del punto en el plano. Las
coordenadas se forman asignando un
determinado valor al eje “x” y otro valor al eje
“y”. El punto de “x” esta del lado derecho, y
“y” al lado izquierdo: ( x, y)
Ecuaciones de rectas
Nombre Ecuación
Pendientes 𝑚 = 𝑦. 𝑦1 /(𝑥 − 𝑥1)
Paralelas
𝐿1 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏 ; 𝐿2 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏, 𝐿1/𝐿2
si 𝑚1 = 𝑚2
Perpendiculares
𝐿1 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏 ; 𝐿2 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏, 𝐿1┴𝐿2
si 𝑚1. 𝑚2
Paramétricas 𝑋 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝑌 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃
Paramétricas en otro punto 𝑋 = 𝑎 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝑌 = 𝑏 + 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃
Secciones
Cónicas
Circunferencias, parábolas,
hipérbolas y elipses.
Representación grafica
02
Trazado de una circunferencia.
• Circunferencia de pequeño
diámetro: Será suficiente con
ubicar el cuadrado
circunscrito. Se efectúan dos
trazos en sentido
descendente, como en la
figura.
Trazado de una circunferencia.
• Circunferencia de tamaño
mediano: Las líneas de eje
ayudan a determinar el punto en
que se debe producir la tangencia
entre el lado del cuadrado
circunscrito y la circunferencia.
También en este caso se efectúan
dos trazos en sentido
descendente.
Trazado de una circunferencia.
• Circunferencia de mayor
diámetro: Para circunferencias más
grandes puede ser necesaria una
ayuda adicional. Los extremos de los
diámetros no son suficientes. Se
dibuja el cuadrado que va a contener
la circunferencia y sus ejes
principales, se marcan las longitudes
del radio sobre las diagonales, se
insinúan los arcos de circunferencia
en los extremos de los diámetros
recién dibujados y finalmente se
completa el trazado de la
circunferencia.
Hipérbola
Elipse
Parábola
Ecuaciones
Nombre Ecuación
Circunferencia centrada en
el origen
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑅2
Circunferencia centrada en
otro punto
(𝑥 − 𝑎)2
+(𝑦 − 𝑏)2
= 𝑅2
Elipse
𝑥2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
= 1
Hipérbola
𝑥2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
Parábola 𝑦2
= 4. 𝑝𝑥
Ejercicios
6𝑥2
+ 8𝑥𝑦 − 6𝑦2
+ 12𝑥 + 18𝑦 − 45 = 0
82
− 4. 6. −6 = 64 + 144 = 208 > 0
𝑯𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂
3𝑦2
− 5𝑥 + 6𝑦 = 10
0𝑥2
− 0𝑥𝑦 + 3𝑦2
− 5𝑥 + 6𝑦 − 10 = 0
02
− 4. 0.3 = 0 − 4.0 = 0
𝑷𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂
5𝑥2
− 2𝑦2
= −9 − 7𝑦
5𝑥2
+ 0𝑥𝑦 − 2𝑦2
+ 0𝑥 + 7𝑦 + 9 = 0
02
− 4. 5. −2 = −20 + 8 = −12 < 0
𝑯𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂
Ejercicios con ecuación general:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0
Ecuación discriminante:
𝑏2
− 4𝑎𝑐 < 0 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑙𝑎
𝑏2
− 4𝑎𝑐 > 0 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎
Pasos:
1. Ordenar la ecuación según la
ecuación general.
2. Sustituir valores según la
ecuación discriminante.
3. Resolver.
Ejercicio Propuesto:
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
C𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 3,4 𝑦 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 2
𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 4 2 = 22
𝑥2
− 6𝑥 + 9 + 𝑦2
− 8𝑦 + 16 = 4
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 9 + 16 − 4 = 0
𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 − 8𝑦 + 21 = 0

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  • 2. 02 Plano númerico Definición, ecuaciones Cónicas Circunferencias, parábolas, hipérbolas y elipses. Representación grafica Tabla de contenidos 01
  • 3.
  • 4. Esta conformado por dos rectas numéricas perpendiculares, que descubre una ubicación de un punto por un sistema de coordenadas. Analiza matemáticamente figuras geométricas. Plano Cartesiano Contiene: Y: ordenadas X: abscisas 0: origen Cuadrantes: I, II, III y IV. P: punto en el plano
  • 5. Distancia entre dos puntos Dados dos puntos cualesquiera A(2, 3), B(-1, -2), definimos la distancia entre ellos, de (A,B), como la longitud del segmento que los separa. A(2, 3) B(-1, -2)
  • 6. Coordenadas Punto Medio Punto que esta a la misma distancia de dos elementos geométricos. Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. El punto de “x” esta del lado derecho, y “y” al lado izquierdo: ( x, y)
  • 7. Ecuaciones de rectas Nombre Ecuación Pendientes 𝑚 = 𝑦. 𝑦1 /(𝑥 − 𝑥1) Paralelas 𝐿1 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏 ; 𝐿2 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏, 𝐿1/𝐿2 si 𝑚1 = 𝑚2 Perpendiculares 𝐿1 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏 ; 𝐿2 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏, 𝐿1┴𝐿2 si 𝑚1. 𝑚2 Paramétricas 𝑋 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝑌 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 Paramétricas en otro punto 𝑋 = 𝑎 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝑌 = 𝑏 + 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃
  • 9. Trazado de una circunferencia. • Circunferencia de pequeño diámetro: Será suficiente con ubicar el cuadrado circunscrito. Se efectúan dos trazos en sentido descendente, como en la figura.
  • 10. Trazado de una circunferencia. • Circunferencia de tamaño mediano: Las líneas de eje ayudan a determinar el punto en que se debe producir la tangencia entre el lado del cuadrado circunscrito y la circunferencia. También en este caso se efectúan dos trazos en sentido descendente.
  • 11. Trazado de una circunferencia. • Circunferencia de mayor diámetro: Para circunferencias más grandes puede ser necesaria una ayuda adicional. Los extremos de los diámetros no son suficientes. Se dibuja el cuadrado que va a contener la circunferencia y sus ejes principales, se marcan las longitudes del radio sobre las diagonales, se insinúan los arcos de circunferencia en los extremos de los diámetros recién dibujados y finalmente se completa el trazado de la circunferencia.
  • 13. Ecuaciones Nombre Ecuación Circunferencia centrada en el origen 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 Circunferencia centrada en otro punto (𝑥 − 𝑎)2 +(𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 Elipse 𝑥2 𝑎2 + 𝑥2 𝑏2 = 1 Hipérbola 𝑥2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 = 1 Parábola 𝑦2 = 4. 𝑝𝑥
  • 14. Ejercicios 6𝑥2 + 8𝑥𝑦 − 6𝑦2 + 12𝑥 + 18𝑦 − 45 = 0 82 − 4. 6. −6 = 64 + 144 = 208 > 0 𝑯𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂 3𝑦2 − 5𝑥 + 6𝑦 = 10 0𝑥2 − 0𝑥𝑦 + 3𝑦2 − 5𝑥 + 6𝑦 − 10 = 0 02 − 4. 0.3 = 0 − 4.0 = 0 𝑷𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂 5𝑥2 − 2𝑦2 = −9 − 7𝑦 5𝑥2 + 0𝑥𝑦 − 2𝑦2 + 0𝑥 + 7𝑦 + 9 = 0 02 − 4. 5. −2 = −20 + 8 = −12 < 0 𝑯𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂 Ejercicios con ecuación general: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0 Ecuación discriminante: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑙𝑎 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 Pasos: 1. Ordenar la ecuación según la ecuación general. 2. Sustituir valores según la ecuación discriminante. 3. Resolver.
  • 15. Ejercicio Propuesto: 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 C𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 3,4 𝑦 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 2 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 4 2 = 22 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 4 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 9 + 16 − 4 = 0 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 21 = 0