Dokumen tersebut membahas tentang tiga jenis transformasi geometri yaitu translasi, refleksi, dan rotasi. Translasi adalah perpindahan objek dengan menggeser posisinya, refleksi adalah perubahan objek melalui cermin, sedangkan rotasi adalah perputaran objek terhadap titik pusat.
2. Tidak ada yang mudah, tapi tidak ada
yang tidak mungkin…..
3.
4. 3.5 menganalisis dan menbandingkan transformasi dan
komposisi transformasi dengan menggunakan matriks
4.5 menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks
transformasi geomatri (translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi.
6. Jenis jenis Transformasi
Pergeseran (Translasi)
Pencerminan (Refleksi)
Pemutaran (Rotasi)
Perkalian bangun (Dilatasi)
Beberapa transformasi lain (tetapi tidak akan dipelajari
secara khusus di SMA):
•Regangan
•Rebahan
•Gusuran, dll.
8. BACK
KOMPETENSI INTI
1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya
2. Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin,
tanggungjawab, peduli (toleransi, gotong royong), santun, percaya
diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan
alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya
3. Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural)
berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan,
teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata
4. Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret
(menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan
membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung,
menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di
sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori
9. KOMPETENSI DASAR
Setelah mengikuti pembelajaran transformasi siswa mampu:
1. memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika
serta memiliki rasa percaya diri pada daya dan kegunaan matematika, yang
terbentuk melalui pengalaman belajar;
2. mendeskripsikan lokasi benda dalam koordinat kartesius;
3. memahami konsep transformasi (dilatasi, translasi, pencerminanan, rotasi)
menggunakan obyek-obyek geometri;
4. menyelesaikan permasalahan dengan menaksir besaran yang tidak
diketahui menggunakan grafik;
5. menerapkan prinsip-prinsip transformasi (dilatasi, translasi,
pencerminanan, rotasi) dalam menyelesaikan permasalahan nyata.
BACK
11. Apa itu
transformasi
?
Transformasi dapat diartikan perubahan letak atau
bentuk dari suatu bangun geometri menjadi bangun
geometri yang lain. Dengan kata lain suatu bangun
geometri dapat diubah letak dan bentuknya.
Pernah, ada Transportasi,
Transmigrasi, Transplantasi,
Transisi dll.
Pernahkah kalian
mendengar istilah
yang menggunakan
kata Trans di awalnya
?
Jadi apa arti trans
dari kata-kata
tersebut ?
perpindahan
Benar, sekarang kita
akan belajar tentang
transformasi.
14. Aturan permainan
1. Kartu berwarna kuning menunjukkan arah kiri-
kanan. Positif berarti kanan, negatif berarti kiri.
2. Kartu berwarna merah menunjukkan arah atas
bawah. Positif berarti atas, negatif berarti bawah.
- 2 + 2
- 2
MAIN
Kemana bola
akan
berpindah ?
MAIN Kemana
bola akan
berpindah ?
MAIN
+ 1
+ 2
MAIN
- 2
Kemana
bola akan
berpindah ?
Kemana bola
akan
berpindah ?
Bosen euy,
main soccer
translation aja
yuk !!!!
15. Translasi (pergeseran) merupakan
transformasi yang memindahkan setiap
titik pada bidang dengan arah dan jarak
tertentu.
Apa yang terjadi pada
pion di permainan
catur, bola pada
permainan soccer,
dan cicak pada
gambar di samping ?
Itulah yang
disebut translasi,
jadi apa itu
translasi ?
16. Translasi titik A(x, y) dengan menggeser absis x
sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b,
sedemikian diperoleh titik A′(x+ a, y+ b), secara notasi
dilambangkan dengan:
19. Tentukan bayangan P(2, 3) oleh translasi .
3
4
T
Contoh 1:
Jawab:
O X
Y
2 6
3
6
4
3
P(2,3)
P’(6,6)
3
4
T
)
'
,
'
(
)
3
,
2
(
3
4
y
x
P
P
T
6
4
2
'
x
6
3
3
'
y
Bayangan P(2, 3) oleh
translasi adalah P(6,6).
3
4
T
20. Quiz1:
Translasi T memetakan A(2,3) menjadi A’(5,-1).
a. Tentukan translasi T !
b. Tentukan bayangan dari titik B(4,5) oleh translasi T tersebut!
Jawab:
a.
4
3
T
b. B(7,1)
21. Contoh 2
Ruas garis AB dengan A(1,5) dan B(3,-2)
ditranslasikan 2 satuan searah sumbu X
dan 3 satuan searah sumbu Y.
Tentukan bayangannya?
22. Penyelesaian:
x’
y’
=
x + 2
y + 3
A(1,5) A’(1+2,5+3) = A’(3,8)
B(3,-2) B’(3+2,-2+3)=B’(5,1)
Pergeseran 2 satuan arah X dan 3 satuan arah Y
identik dengan komponen translasi T=
2
3
Peta (bayangan) titik ujung ruas garis masing-masing ditentukan
sebagai berikut:
44. 1. Refleksi terhadap sumbu x
2. Refleksi terhadap sumbu y
3. Refleksi terhadap TitikPusat(0,0)
4. Refleksi terhadap garis y = x
5. Refleksi terhadap garis y = - x
6. Refleksi terhadap garis x = a
7. Refleksi terhadap garis y = b
45. A(x,y)
A1(x, - y)
Mx =
1 0
0 -1
Matriks Transformasi
=
1 0
0 -1
x
y
x1
y1
Persamaan Transformasi
x
y
46. A(x,y)
A1(-x, y)
My = -1 0
0 1
Matriks Transformasi
Persamaan Transformasi : =
-1 0
0 1
x1
y1
x
y
47. A(x,y)
A1(-x, -y)
My = -1 0
0 -1
Matriks Transformasi
Persamaan Transformasi : =
-1 0
0 -1
x1
y1
x
y
48. My=x
0 1
1 0
A1( y,x)
A(x,y)
y = x Matriks Transformasi
=
Persamaan Transformasi :
0 1
1 0
=
x1
y1
x
y
49. A1( -y,-x)
y = - x
A(x,y)
My=-x =
0 -1
-1 0
Matriks Transformasi
Persamaan Transformasi
0 -1
-1 0
=
x1
y1
x
y
50. x = a
A(x,y) A1( 2a-x,y) -1 0
0 1
x
y
+
2a
0
Persamaan Transformasi
x1
y1
=
55. Pernahkah kalian ke
Pasar Malam? Tentu
melihat bianglala kan?
Pergerakannya pasti
tahu juga kan? ^_^
56. Hal apa yang kalian
peroleh pada ketiga
contoh tersebut?
Itulah yang
disebut rotasi, jadi
apa itu rotasi ?
Rotasi atau perputaran adalah
transformasi yang memindahkan
suatu titik ke titik
lain dengan perputaran terhadap
titik pusat tertentu..
Arah perputaran dibagi menjadi
dua:
• Arah positif: berlawanan
dengan arah jarum jam.
• Arah negatif: searah dengan
arah jarum jam.
57. Contoh Soal
y
x
10 20 40
30
-10
10
-10
-20
-20
-30
-30
-40
20
30
0
Gambar koordinat
Kartesius
.P
.Q
.R
.S
Sebuah pesawat mainan pada titik
koordinat P(30,10) bergerak
berputar sebesar 90 berlawanan
arah jarum jam menuju titik Q.
Setelah tiba di titik Q, pesawat
melanjutkan rotasi sebesar 90 dari
titik asal menuju titik R.
Tunjukkanlah koordinat tujuan
pesawat tersebut pada koordinat
kartesius!
Dari Gambar dapat kita lihat bahwa
perputaran titik P(30,10) sebesar 90°
berlawanan arah jarum jam menuju titik
Q(–10,30). Jika kita lanjutkan rotasi sebesar
90° dari titik Q menghasilkan titik tujuan R(-
30,–10)
Dapat kita tulis:
𝑃 30,10
𝑅[𝑃 30,10 ,90°
𝑄 −10,30
𝑄 −10,30
𝑅[𝑄 −10,30 ,90°
𝑅 −30, −10
Misalkan Pesawat mainan tersebut
bergerak berputar -90°, dimana koordinat
tujuan pesawat tersebut pada koordinat
kartesiusnya?
Dari Gambar dapat kita lihat bahwa
perputaran titik P(30,10) sebesar -90° maka
akan berada pada titik S(10,-30).
Dapat ditulis
𝑃 30,10
𝑅[𝑃 30,10 ,−90°
𝑆 10, −30
58. Sifat-sifat rotasi
𝑅𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑂 0,0 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 90 °
𝐴 𝑥, 𝑦
𝑅[𝑂 0,0 ,90°
𝐴′
−𝑦, 𝑥
𝑅𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑂 0,0 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 − 90 °
𝐴 𝑥, 𝑦
𝑅[𝑂 0,0 ,−90°
𝐴′ 𝑦, −𝑥
𝑅𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑂 0,0 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 180 °
𝐴 𝑥, 𝑦
𝑅[𝑂 0,0 ,180°
𝐴′
−𝑥, −𝑦
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan
ukuran.
Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.
59. A(x,y)
A1(x cos –y sin , x sin + y cos)
M =
cos -sin
sin cos
Rotasi dengan pusat P(0,0)
Matriks Transformasi
Persamaan Transformasi :
=
x1
y1
x
y
cos -sin
sin cos
60. A(x,y)
A1 [a+(x-a) cos –(y-b) sin , b+(x-a) sin + (y-b) cos]
+
cos - sin
sin cos
Rotasi dengan pusat P(a,b)
P(a,b)
a
b
x-a
y-b
Persamaan Transformasi
=
x1
y1
64. Seorang ibu menyimpan gula dalam sebuah gelas plastik
berbentuk tabung tanpa tutup dengan luas alas 616 𝑐𝑚2(alas
berbentuk lingkaran). Kemudian ibu menutup tabung tersebut
dengan plastik serta mengikatnya dengan karet gelang yang
berbentuk lingkaran dengan diameter 7 cm. Hitunglah
pembesaran karet tersebut?
Karet gelang
66. Dilatasi (pembesaran atau perkalian) ialah suatu
transformasi yang mengubah ukuran
(memperkecil atau memperbesar) suatu bangun
tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang
bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat
dan faktor (faktor skala) dilatasi.
Jadi, apa ya yang dimaksud
dengan dilatasi?
Pembesaran atau
perkalian itu nama
lain dari dilatasi
67. Apa yang dimaksud faktor
skala?
Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak
titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik
benda berkaitan dari titik pusat dilatasi.
𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎 𝑘 =
𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎
68. Sebuah segitiga ABC dengan titik
A(1,2), B(2,3), dan C(3,1) dilatasi
terhadap titik 0 dengan faktor skala 2.
tentukan koordinat bayangan titik-titik
segitiga ABC.
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, dan C masing-masing adalah A1(2,4),
B1(4,6), dan C1(6,2).
A
B
C
A1
C1
B1
69. DILATASI PUSAT
𝑂(0,0) DAN FAKTOR
SKALA 𝑘
Jika titik 𝑃(𝑥, 𝑦) dilatasi terhadap pusat 𝑂(0,0) dan faktor skala
𝑘, didapat bayangan 𝑃’(𝑥’, 𝑦’) maka 𝑥’ = 𝑘𝑥 dan 𝑦’ = 𝑘𝑦 dan
dilambangkan dengan [𝑂, 𝑘]
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝐷[0,𝑘]
𝑃′(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)
70. Contoh 1: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),
C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!
A
D
B
C
Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan
D(3,3)
Dilatasi
terhadap titik
A dengan
faktor skala 2.
B’
C’
D’
A’
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah
A’(3,2), B’(5,2), C’(5,4), dan D’(3,4)
71. Dari contoh 1 dapat disimpulkan
bahwa “jika k>1, maka bangun
terlihat diperbesar dan letaknya
searah terhadap pusat dilatasi
dengan bangun semula”.
72. Contoh 2: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),
C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
−2 . Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!
A
D
B
C
Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan
D(3,3)
Dilatasi
terhadap titik A
dengan faktor
skala −2 .
B’
C’ D’
A’
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah
A’(3,2), B’(1,2), C’(1,0), dan D’(3,0)
73. Dari contoh 2 dapat
disimpulkan bahwa “jika
k<-1, maka bangun
terlihat diperbesar dan
letaknya berlawanan arah
terhadap pusat dilatasi
dengan bangun semula”.
74. Contoh 3: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),
C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala 1.
Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!
A
D
B
C
Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan
D(3,3)
Dilatasi
terhadap titik A
dengan faktor
skala 1.
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D tidak mengalami
perubahan (tidak diperbesar ataupun diperkecil), koordinatnya
tetap.
75. Dari contoh 3 dapat disimpulkan bahwa
“jika 𝑘 = 1 , maka bangun tidak
mengalami perubahan ukuran dan letak”.
76. Contoh 4: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2),
C(5,4), dan D(3,4) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
1
2
. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!
A
D
B
C
Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan
D(3,4)
Dilatasi
terhadap titik
A dengan
faktor skala
1
2
.
B’
C’
D’
A’
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah
A’(3,2), B’(4,2), C’(3,2), dan D’(3,3)
77. Dari contoh 4 dapat disimpulkan
bahwa “jika 0 < 𝑘 < 1, maka bangun
terlihat diperkecil dan letaknya searah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula”.
78. Contoh 5: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2),
C(5,4), dan D(3,4) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
−
1
2
. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!
A
D
B
C
Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan
D(3,4)
Dilatasi
terhadap titik
A dengan
faktor skala
−
1
2
.
B’
C’ D’
A’
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah
A’(3,2), B’(2,2), C’(2,1), dan D’(3,1)
79. Dari contoh 5 dapat disimpulkan
bahwa “jika −1 < 𝑘 < 0 , maka
bangun terlihat diperkecil dan
letaknya berlawanan arah terhadap
pusat dilatasi dengan bangun
semula”.
80. DILATASI PUSAT P(A,B)
DAN FAKTOR SKALA K
Bayangannya adalah 𝑥′ = 𝑘 𝑥 − 𝑎 + 𝑎 dan 𝑦′ = 𝑘 𝑦 − 𝑏 + 𝑏
dilambangkan dengan 𝑃(𝑎,𝑏), 𝑘
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑃 𝑎,𝑏 ,𝑘
𝐴′ 𝑘 𝑥 − 𝑎 + 𝑎, 𝑘 𝑦 − 𝑏 + 𝑏
81. DAPAT DISIMPULAKAN BAHWA SIFAT
DILATASI ADALAH
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat
mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah
bentuknya.
a. Jika k>1, maka bangun akan diperbesar dan terletak secara
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
b. Jika k=1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan
letak.
c. Jika 0<k<1, maka bangun akan diperkecil dan terletak searah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
d. Jika -1<k<0, maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan
arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
e. Jika k<-1, maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan
85. No Transformasi Pemetaan Matriks
1.
2.
1.
2.
Rotasi
P(0,0) dengan sudut
P(a,b) dengan sudut
Dilatasi
P(0,0) dengan skala k
P(a,b) dengan skala k
(x,y) (x1,y1)
(x,y) (x1,y1)
(x,y) (x1,y1)
(x,y) (x1,y1)
[ ] = [ ][ ]
[ ] = [ ][ ]+
[ ]
[ ] = [ ] [ ]
[ ] = [ ][ ]+[ ]
x1
y1
x
y
x1
y1
x1
y1
x1
y1
x-a
y-b
x
y
x-a
y-b
cos -sin
sin cos
cos -sin
sin cos
a
b
k 0
0 k
k 0
0 k
a
b
