geometri

1. SRI REJEKI
FKIP MATEMATIKA UMS

2.  Pendahuluan
◦ Penggolongan Geometri
◦ Geometri Euclides
 Transformasi
◦ Fungsi dan Jenis-jenis Fungsi
◦ Transformasi Sebagai Fungsi
◦ Sifat Transformasi
◦ Grup Transformasi
 Transformasi Geseran
◦ Pengertian Geseran
◦ Menemukan Rumus Geseran
◦ Sifat-sifat Geseran
◦ Hasil Kali Geseran
 Setengah Putaran
◦ Pengertian Setengah putaran
◦ Menemukan Rumus Setengah putaran
◦ Sifat-sifat Setengah putaran
◦ Hasil Kali Setengah putaran

3.  Transformasi Pencerminan
◦ Pengertian Pencerminan
◦ Menemukan Rumus Pencerminan
◦ Sifat-sifat Pencerminan
◦ Hasil Kali Pencerminan
 Transformasi Putaran
◦ Pengertian Putaran
◦ Menemukan Rumus Putaran
◦ Sifat-sifat Putaran
◦ Hasil Kali Putaran
 Hasil Kali Isometri
 Group dan Similaritas

4.  B. Susanta
Geometri Transformasi, UGM
 Gatut Iswahyudi
Geometri Transformasi, UNS
 I.M Yaglom
Geometric Transformations I, Yale University

5. (15%)
Tugas
(45%)
UAS
(35%)
UTS
(5%)
esensi
Pr




NA

6. 1. Presensi minimal 75%
2. …
3. …
4. …
5. …

7. A, B, … : titik-titik
g, h, … : garis-garis
titik (g,h) : titik potong garis g dan h
garis (A,B)= : garis melalui A dan B
: sinar garis AB dengan pangkal A
: ruas garis AB
AB : panjang ruas garis
AB
AB
AB
AB

8. : ruas garis berarah dari A ke B
: vektor dengan pangkal A ujung B
A-B-C : B terletak diantara A dan C
: sudut ABC
: besar sudut ABC (dalam derajat)
: kongruen
: sebangun (similar)
ABC


AB
ABC
m


9.  Berdasar ruang lingkup
1. Geometri bidang (dimensi 2)
2. Geometri ruang (dimensi 3)
3. Geometri dimensi n
4. Geometri bola
5. dsb

10.  Berdasar bahasa
1. Geometri murni (dengan geometri/gambar)
2. Geometri analitik (dengan bahasa aljabar)
3. Geometri differensial (dengan bahasa derivatif)
4. dsb

11.  Berdasar sistem aksioma
1. Geometri euclides
2. Geometri non euclides
3. Geometri proyektif
4. dsb

12.  Berdasar transformasi
 Berdasar metode pendekatannya
 dst.

13. 1. Dalam bidang diketahui lingkaran pusat
A(0,0) dengan jari-jari 5
2. Diketahui persamaan:
x+2y=4
z-y =4

14. TRANSFORMASI

15. B
A

16. B
A

17. B
A

18. B
A

19. B
A

20. B
A

21. B
A

22. B
A

24.  Unsur tetap
 Kolineasi
 Identitas
 Isometri
 Involusi

25. KOLINEASI

26. ISOMETRI

28.  ISOMETRI?
 KOLINEASI?
 INVOLUSI?

29. 1. Diketahui )
1
,
1
2
(
))
,
(( 

 y
x
y
x
T
a. Selidiki apakah T suatu kolineasi
b. Selidiki apakah T suatu involusi
a. )
1
,
1
2
(
))
,
(( 

 y
x
y
x
T




















1
1
2
'
'
dengan
)
'
,
'
(
)
,
(
y
x
y
x
y
x
y
x
T
ambil persamaan garis 0



 c
by
ax
g
diperoleh
1
'
1
'
2
1
'
1
2
'










y
y
y
y
x
x
x
x
sehingga '
)
( g
g
T 
 
0
)
2
(
'
2
'
0
)
1
'
2
1
'
'















 

c
b
a
by
ax
c
y
b
x
a
g
Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi.

30. a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T T
TT=T2





















1
1
2
'
'
dengan
)
'
,
'
(
)
,
(
y
x
y
x
y
x
y
x
T





















1
'
1
'
2
'
'
'
'
dengan
)
'
'
,
'
'
(
)
'
,
'
(
y
x
y
x
y
x
y
x
T













































2
3
4
1
)
1
(
1
)
1
2
(
2
1
'
1
'
2
'
'
'
'
dengan
)
'
'
,
'
'
(
)
,
(
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
T
Jadi )
2
,
3
4
(
))
,
((
2


 y
x
y
x
T

31.  Isometri adalah kolineasi atau bila U isometri
dan g garis maka U(g) = g’
 Isometri mempertahankan kesejajaran
 Isometri mempertahankan besar sudut

32. Jika V transformasi dan W transformasi, berkenaan sifat V dan W sebagai fungsi,
maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dari V dan W. Seperti halnya
menyusun komposisi dua fungsi maka komposisi W
V  , W dikerjakan dahulu
baru V. Jadi ))
(
(
)
( A
W
V
A
W
V 
 .
Kemudian untuk menyingkat, seringkali ditulis 2
, V
V
V
VW
W
V 
 


33. Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.
Bukti :
Ambil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•W
merupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaan
bidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu.
Ambil sebarang titik Q’’
Karena V transformasi )
'
(
'
'
' Q
V
Q
Q 


Karena W transformasi )
(
' Q
W
Q
Q 


Sehingga )
'
(
'
' Q
V
Q 
)
(
))
(
(
Q
W
V
Q
W
V



Berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titik
dalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akan
merupakan fungsi satu-satu.
Terbukti bahwa V•W adalah transformasi.

34. 1. Diketahui    
1
,
3
))
,
((
dan
2
,
))
,
(( 2
1 



 y
x
y
x
T
y
x
y
x
T
a. Carilah 2
1T
T
b. Kenakan 2
1T
T pada persamaan garis yang melalui (-4,-6) dan sejajar dengan
0
5
3
2 


 y
x
g
Jawab:
a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T2 T1
T1T2





















1
3
'
'
dengan
)
'
,
'
(
)
,
(
2
y
x
y
x
y
x
y
x
T




















'
2
'
'
'
'
'
dengan
)
'
'
,
'
'
(
)
'
,
'
(
1
y
x
y
x
y
x
y
x
T












































2
2
3
)
1
(
2
3
'
2
'
'
'
'
'
dengan
)
'
'
,
'
'
(
)
,
(
2
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
T
T
Jadi )
2
2
,
3
(
))
,
((
2
1 


 y
x
y
x
T
T

35. a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan 0
5
3
2 


 y
x
g
Karena sejajar maka 2
1 m
m 
3
5
2
5
2
3
0
5
3
2







x
y
x
y
y
x
Jadi
3
2
,
3
2
2
1 
 m
m
0
5
3
2
4
2
9
3
)
2
(
3
2
)
3
(
)
(
)
( 1
1













y
x
x
y
x
y
x
x
m
y
y
h






















2
2
3
'
'
dengan
)
'
,
'
(
)
,
(
2
1
y
x
y
x
y
x
y
x
T
T
1
2
1
2
2
'
3
'
3
'












y
y
y
y
x
x
x
x
Jadi h'
(h)
2
1 
T
T
 
0
28
'
3
'
4
0
5
3
'
2
3
6
'
2
0
5
1
'
2
1
3
3
'
2




















y
x
y
x
y
x

36. 1. Diketahui )
1
,
1
2
(
))
,
(( 

 y
x
y
x
T
a. Selidiki apakah T suatu involusi
b. Kenakan T pada 2
x
y 
a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T T
TT=T2





















1
1
2
'
'
dengan
)
'
,
'
(
)
,
(
y
x
y
x
y
x
y
x
T





















1
'
1
'
2
'
'
'
'
dengan
)
'
'
,
'
'
(
)
'
,
'
(
y
x
y
x
y
x
y
x
T













































2
3
4
1
)
1
(
1
)
1
2
(
2
1
'
1
'
2
'
'
'
'
dengan
)
'
'
,
'
'
(
)
,
(
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
T
Jadi )
2
,
3
4
(
))
,
((
2


 y
x
y
x
T

37. a. T pada 2
x
y 
2
2
'
2
)
'
(
'
2
'
2
)
'
(
'
2
4
'
2
)
'
(
2
'
2
)
1
'
(
)
1
'
(
2
2
)
1
'
(
1
'
)
(
2
2
2
2
2

















x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
y
x
y
h
T

39. S merupakan geseran apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB
sedemikian sehingga untuk setiap titik P pada bidang V berlaku S(P)=P’
dengan PQ=AB. Selanjutnya geseran dengan vektor geser AB
dinyatakan sebagai SAB
A B
P’
P

40. CD
AB
S
S CD
AB 


Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,
genjang
jajar
CABD
S
S CD
AB 

Geseran adalah suatu isometri

41. CD
AB
S
S CD
AB 


Bukti :
1) CD
AB
S
S CD
AB 


Ambil titik P dan kenakan S dengan vektor geser AB.
Berarti '
)
( P
P
SAB  berarti '
PP
AB  .
Karena CD
AB S
S  maka '
berarti
'
)
( PP
CD
P
P
SCD 
 .
Karena '
PP
AB 
'
PP
CD 
Maka akibatnya CD
AB 
2) CD
AB S
S
CD
AB 


Ambil P dan kenakan AB
S berarti '
'
)
( PP
AB
P
P
SAB 

 .
Karena '
maka PP
CD
CD
AB 
 .
Sehingga '
)
( P
P
SCD 
'
)
( P
P
SAB 
Maka akibatnya CD
AB S
S 
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa CD
AB
S
S CD
AB 



42. Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,
genjang
jajar
CABD
S
S CD
AB 

Bukti :
1) genjang
jajar
CABD
S
S CD
AB 

Dengan dalil 2.1 diperoleh bahwa jika
CD
AB
S
S CD
AB 


Karena CD
AB
S
S CD
AB 

 berakibat BD
AC 
Jadi CABD jajar genjang.
2) CD
AB S
S
CABD 

genjang
jajar
CABD jajar genjang, berarti terdapat 2 pasang sisi yang sejajar dan
sama panjang, yaitu CD
AB 
BD
AC 
Karena CD
AB  dengan dalil 2.1 (jika CD
AB S
S
CD
AB 

 )
Jadi CD
AB S
S 
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa genjang.
jajar
CABD
S
S CD
AB 


43. Geseran adalah suatu isometri
Bukti :
1)
=
'
'
)
( PP
AB
P
P
SAB 


'
'
)
( QQ
AB
Q
Q
SAB 


Akibatnya '
' QQ
PP 
Akan dibuktikan PQ
Q
P 
'
'
'
PP dan Q tidak segaris, dengan dalil 2.2 PQQ’P’ jajar genjang
Berakibat PQ
Q
P
PQ
Q
P 

 '
'
'
'
2)
'
PP dan Q segaris
PQ
Q
P
PQ
Q
P
QQ
PP
PP
QQ
PQ
PP
PQ
Q
P








'
'
akibat
'
'
maka
'
'
karena
'
'
'
'
'
'
Jadi S isometri
A B
P P’
Q Q’
P Q’
Q
P’

44. Y
X
O
B(a,b)
P(x,y)
P’(x’,y’)
b
a
a
b









b
a
OB





























b
y
a
x
b
a
y
x
SOB

45. vektor










b
a
OB
koordinat
titik
)
,
( 
b
a
B
Q(c,d
)
P(a,b)











b
d
a
c
PQ

46. Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)
1) Carilah rumus SAB dan SBA?
2) Kena Apakah SBA kolineasi?
3) kan SBA pada garis h di mana h melalui titik
A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-
3y+10=9.
4) Apakah SBA involusi?
5) Apakah SBA isometri?
6) Apakah hasil kali SAB dan SBA?

47.  Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)
◦ Apakah SBA kolineasi?
◦ Kenakan SBA pada garis h di mana h melalui
titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-
3y+10=0.
◦ Apakah SBA involusi?
◦ Apakah SBA isometri?
◦ Apakah hasil kali SAB dan SBA ?

48.  Dari soal-soal di atas buatlah
kesimpulan tentang sifat-sifat geseran,
◦ Apakah geseran merupakan suatu kolineasi?
◦ Apakah geseran merupakan involusi?
◦ Apakah geseran merupakan isometri?
◦ Apakah hasil kali geseran dengan vektor geser
yang berlawanan arah?

49. Teorema
Hasil kali dua geseran SAB dan SCD akan
merupakan geseran lagi dengan
T T’
T’’
A B
CD
AB
PQ 

C
D
P
Q

50. A
B
C
D
Y
P(x1,y1)
O X
Q(x2,y2)

53. Setengah putaran terhadap titik P
(dengan pusat P) dilambangkan
dengan Hp, adalah pemetaan yang
memenuhi untuk sebarang titik A
di bidang V :
1. Jika A ≠ P maka titik P titik
tengah AA’
Hp(A)=A’
2. Jika A = P maka Hp(A)=P=A
A
A’
P

54. Bukti :
Akan ditunjukkan Hp2=I
Ambil A, kenakan Hp sehingga Hp(A)=A’
Kenakan A’ dengan Hp, maka
Hp(A’)=A
Hp(Hp(A))=A’=A
Hp2(A)=A
Hp2=I
Jadi Hp involusi
A P A’
Hp
Hp

55. TEOREMA
Setengah putaran adalah isometri
Bukti :
Ambil titik P, A dan B yang tidak segaris.
P sebagai pusat putar.
A
B
P
B’
A’
 Kenakan A dengan Hp,
sehingga Hp(A)=A’ dengan
AP=PA’.
 Kenakan B dengan Hp,
sehingga Hp(B)=B’ dengan
BP=PB’.

56. Lanjutan
Perhatikan ∆APB dan ∆A’PB’
Karena AP=PA’
BP=PB’
Maka ∆APB dan ∆A’PB’ kongruen (s, sd, s)
Akibat : AB=A’B’
Jadi setengah putaran adalah isometri
belakang)
(bertolak
'
'PB
A
APB 



57. X
O
Y
A(x,y)
A’(x’,y’)
P(a,b)
 Ambil P(a,b) sebagai
pusat putar.
 Hp memetakan
A(x,y) ke A’(x’,y’).

58. Diperoleh hubungan bahwa :
Jadi jika P(a,b) maka :
Hp = (x,y)→(x’,y’) dengan
y
b
y
y
y
b
y
y
b
x
a
x
x
x
a
x
x
a
















2
'
'
2
2
'
2
'
'
2
2
'



















y
b
x
a
y
x
2
2
'
'

59. LATIHAN
Diketahui A(-3,-5) dan B(-2,3)
1.Carilah HA•HB
2.Apakah HA•HB involusi?
3.HB memetakan ∆KLM ke∆K’L’M’ dengan
K(3,5), L(-5,-4) dan M(5,6). Carilah koordinat
K’, L’ dan M’
4.Carilah Q s.d.s HA•HB(Q)=P dengan P(-4,7)

60. 1. Diketahui A(4,4), B(2,-5) dan P(6,4), tentukan
HA•HB(P) dan HB•HA(P).
2. Diketahui P(3,2). Tentukan Hp((1,3)) dan Hp-1
((2,4)).
3. Misalkan L={(x,y)│x2+y2=25}.Tentukan L’=HB•HA(L)
jika A(2,1) dan B(-3,5).
4. Misalkan g={(x,y)│y=5x+3} dan A(2,3), B(-1,-2) dan
C(3,5). Tentukan SAB•Hc(g).

61. Bukti :
TEOREMA
Hasil kali dua setengah putaran merupakan geseran
P
B
A C
P
’
P’’

62. Ambil titik P, A dan B tidak segaris, kenakan P
dengan HA sehingga :
HA(P)=P’ berlaku PA=AP’
HB(P)=P’ berlaku P’B=BP’’
Berarti :
HB(P’)=P’’
HB(HA(P))=P’’
HB•HA(P)=P’’
Karena PA=AP’ dan P’B=BP’’
Maka AB merupakan garis tengah sejajar alas PP’
dalam ∆PP’P’’ sehingga PP’’=2AB
Berarti HA•HB merupakan geseran atau
HA•HB=SAC dengan AC=2AB

63. Hasil kali geseran dan setengah
putaran ???

64.  Diketahui koordinat P(-2,8) dan R(0,10) serta
∆A’B’C’ dengan A’(5,1) B’(-3,-4) dan C’(1,-5).
Carilah ∆ABC sehingga :
HR•HP(A)=A’
HR•HP(B)=B’
HR•HP(C)=C’
Jawab :
A(1,-3) B(-7,-8) C(-3,-9)

65.  Diketahui koordinat E(-5,-1) F(1,4) G(-2,-8)
1. Apakah hasil dari HF•HG
Jawab : (6-x, 22-y)
2. Jika HF•HG=SED carilah koordinat D
Jawab : (1, 21)
3. Kenakan HE•HF pada garis g di mana g melalui E
dan tegak lurus garis yang melalui F dan G
4. Apakah hasil dari HF•HE•HG
5. Selidiki apakah HG•SEF involusi
Find the answers by yourself, pasti bisa!!!

67.  Transformasi pencerminan /refleksi
menghasilkan bayangan yang tergantung
pada acuannya.

68.  Refleksi terhadap sumbu x
Refleksi titik A (a, c) terhadap
sumbu x menghasilkan
bayangan yaitu A’(a’, c’),
demikian juga untuk titik B dan
titik C.
Diperoleh persamaan bahwa :
a’ = a, b’ = b, c’= -c dan
seterusnya sehingga
persamaan matrik
transformasinya adalah :
1 0
0 -1
x
T
 
  
 
Dengan notasi
matrik :
Refleksi ditulis dengan notasI
:
A(a,c) A’(a, -c)
sumbu x
1 0
0 -1
x
x x x
T
y y y

       
 
       

       

69. Sama seperti refleksi terhadap
sumbu x menghasilkan
persamaan a’= - a, b’ = - b
dan c’ = c dan seterusnya.
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
Refleksi ditulis dengan notasI
:
A(a,c) A’(-a, c)
sumbu y
Dengan notasi
matrik :
-1 0
0 1
y
x x x
T
y y y

       
 
       

       
-1 0
0 1
y
T
 
  
 

70.  Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan
persamaan :
a’= - a, dan c’ = -c,
b’= - b, dan c’ = -c,
d’= - d, dan c’ = -c,
sehingga persamaan
matrik transformasinya
adalah :
(0,0)
-1 0
0 -1
T
 
  
 
Refleksi ditulis dengan notasI
:
A(a,c) A’(-a,-c)
titik(0,0)
(0,0)
-1 0
0 -1
x x x
T
y y y

       
 
       

       
Dengan notasi
matrik :

71.  Refleksi terhadap garis y = x
Menghasilkan persamaan :
a’= c, dan c’ = a,
b’= c, dan c’’ = b,
d’= e, dan e’ = d dan
seterusnya
sehingga persamaan
matrik transformasinya
adalah :
0 1
1 0
y x
T 
 
  
 
Refleksi ditulis dengan
notasI :
A(a,c) A’(c,a)
y = x
0 1
1 0
y x
x x x
T
y y y


       
 
       

       
Dengan notasi
matrik :

72.  Refleksi terhadap garis y = - x
Menghasilkan persamaan :
a’= -c, dan c’ = -a,
b’= -c, dan c’’ = -b,
d’= -e, dan e’ = -d dan
seterusnya, sehingga
persamaan matrik
transformasinya adalah :
0 -1
-1 0
y x
T 
 
  
 
Refleksi ditulis dengan
notasI :
A(a,c) A’(-c,-a)
y =- x
0 -1
-1 0
y x
x x x
T
y y y


       
 
       

       
Dengan notasi
matrik :

73.  Refleksi terhadap garis y = h
Sumbu x digeser sejauh h,
menghasilkan persamaan :
a’= a, dan c’ = 2h-c,
b’= b, dan c’ = 2h-c,
d’= d, dan e’ = 2h-e,
sehingga notasi persamaan
matrik transformasinya
adalah :
1 0 0
0 -1 2
x x
y y h

       
 
       

       

74. Bukti :
Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x
yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik
berubah menjadi (x’, y’) dengan :
Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x
yang baru menjadi :
Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke
sumbu-x semula dengan memakai translasi
diperoleh:
0
x x x
y y h y h

       
  
       
 
       
1 0
0 -1
x x x
y y h y h

       
 
       
   
       
0
2
0 1 0 0
- 2 0 -1 2
x x x
y y h h y h
x x
y h y h

       
  
       
    
       
         
   
         
         

75.  Refleksi terhadap garis x = k
Sekarang yang digeser
adalah sumbu y sejauh k,
menghasilkan persamaan :
a’= 2k-a, dan c’ = c,
b’= 2k-b, dan c’ = c,
d’= 2k-d, dan e’ = e,
sehingga notasinya adalah :
A(a,c)
A’(2k-a,c)
x=k
-1 0 2
0 1 0
x x k
y y

       
 
       

       
Dengan notasi
matrik :

76. Contoh Soal :
Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD
dengan titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan
D(1,11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x,
kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap
sumbu-y.
Jawab :
Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua
tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang
ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian
bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap

77. Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai
berikut :

78. Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’
direfleksikan pada sb-y

79. Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’
dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-
1,-11).
Coba pikirkan :
Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi
pada suatu sistem yang mengalami refleksi lebih
dari satu kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan
mengunakan satu tahap saja ?

81.  Telah dibahas bahwa :
◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu
sejajar adalah berupa geseran.
◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu
yang saling tegak lurus adalah berupa setengah
putaran.
 Apakah hasil kali 2 pencerminan jika kedua
sumbu sebarang???

82.  Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.
Sebuah titik A sebarang dikenai Ms dan Mt , berarti :
Ms(A) = A’
Mt(A’) = A’’
Jadi, Mt(A’) = A’’
Mt(Ms(A)) = A’’
(Mt•Ms)(A) =A’’
 Ambil Q titik tengah AA’
 Ambil R titik tengah A’A’’

83. Akibat pencerminan :
1. QPA'
m
APQ
m 


PR
A'
m
2
QPA'
2m
'
APA'
m
maka
t)
s,
(
m
Jika
'
RPA'
m
PR
A'
m











PR)
A'
m
QPA'
m
(
2 



2.PA = PA’
PA’ = PA’’
Jadi PA = PA’’
Sehingga Mt•Ms menghasilkan :
1.PA = PA’’
2. t)
titik(s,
P
dan
t)
(s,
m
dengan
2
'
APA'
m 



 


84.  Putaran terhadap P dengan sudut θ sebagai
sudut putar dilambangkan dengan RP,θ adalah
pemetaan yang memenuhi :
◦ RP,θ (P) = P
◦ Rp,θ (A) =A’ di mana PA=PA’ dan
P = pusat putar
θ = sudut putar

85.  Jika θ = 0o maka RP,θ = I
 Jika θ = 180o maka RP,θ = HP
 Jika α = β maka α = β + k•360o, dengan k
anggota B+
 Sudut θ positif jika arah berlawanan jarum
jam

86.  Sebarang putaran RP,θ selalu dapat dianggap
sebagai hasil kali 2 pencerminan, satu terhadap
sumbu s dan satu terhadap sumbu t.
 P = titik (s,t)
 Jadi, hasil kali 2 pencerminan Mt•Ms :
◦ Jika s//t maka Mt•Ms = SAB dengan AB = 2 jarak (s,t)
◦ Jika s tidak sejajar t maka Mt•Ms = Rp,θ dengan P = titik
(s,t) dan
◦ Jika s tegak lurus t maka Mt•Ms = RP,θ = HP

87.  Dengan pusat putar (0,0)
Ambil sumbu cermin s dan t di mana s berimpit dengan sumbu x dan t garis melalui (0,0)
dengan
2
cos
2
sin



m
RP,θ dinyatakan sebagai hasil kali pencerminan :
 Sumbu s, y = 0
Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan 
































y
x
y
y
y
x
y
x
1
)
(
1
.
2
1
)
(
0
.
2
'
'


















y
x
1
0
0
1

88.  Sumbu t, x
y
2
cos
2
sin


 , maka
2
sin
2
cos 
 x
y 
0
)
2
90
sin(
)
2
90
cos(
)
2
90
cos(
)
2
90
sin(












y
x
x
y
Mt : (x’,y’) → (x’’,y’’) dengan 










































cos
sin
2
'
'
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
'
'
'
'
p
y
x
y
x











































'
'
cos
sin
sin
cos
0
'
'
)
180
(
cos
)
180
(
sin
)
180
(
sin
)
180
(
cos
y
x
y
x









89.  Mt•Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan 

























'
'
cos
sin
sin
cos
'
'
'
'
y
x
y
x



















 




























y
x
y
x








cos
sin
sin
cos
1
0
0
1
cos
sin
sin
cos
Jadi, jika P(0,0) maka :
RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan 














 









y
x
y
x




cos
sin
sin
cos
'
'

90.  Dengan pusat putar P(a,b)
Ambil suatu koordinat dengan pangkal P(a,b) dari suatu sumbu y
y
x
x //
dan
// .
Terhadap sumbu y
P
x koordinat C(x,y) dan C’(x,y).
RP,θ : (x,y) →(x’,y’) dengan















 









y
x
y
x




cos
sin
sin
cos
'
'
Bila terhadap sumbu XOY, koordinat C(x,y) dan C’(x’,y’)


























































b
a
y
x
OP
OC
PC
y
x
b
a
y
x
OP
OC
PC
y
x
'
'
'
'
'
'

91. Jadi 














 









y
x
y
x




cos
sin
sin
cos
'
'






























 

























 
















 









































 


















b
b
a
a
b
a
y
x
b
a
b
a
y
x
y
x
b
a
y
x
b
a
y
x




















cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
'
'
cos
sin
sin
cos
'
'
Jadi jika pusat putar P(a,b) maka
RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan
























 









q
p
y
x
y
x




cos
sin
sin
cos
'
'
dengan




cos
sin
sin
cos
b
a
b
q
b
a
a
p






Suatu transformasi yang dipenuhi 1
sin
cos 2
2

 
 merupakan putaran.

92. 1. Diketahui A(-1,-2) dan B(10,0)
a. tentukan RA,45
o
dan RA,45
o
(B)
b. tentukan RA,-90
o
• RA,90
o
2. Selidiki apakah transformasi tersebut merupakan rotasi dan tentukan pusat putarnya.
a. 



































1
1
3
4
4
3
5
1
'
'
y
x
y
x
b. 



































10
5
5
/
3
5
/
4
5
/
4
5
/
3
'
'
y
x
y
x
c. 























 









4
2
13
/
12
13
/
5
13
/
5
13
/
12
'
'
y
x
y
x

94. HASILKALI YANG DIBICARAKAN
1. REFLEKSI GESER
2. GESERAN DAN ROTASI
3. ROTASI DAN ROTASI

95.  Definisi
 Misalkan s suatu garis dan AB suatu
garis berarah dengan AB // s. Suatu
refleksi geser G adalah pemetaan yang
memenuhi G=MsSAB..
 Teorema
 Misal s garis dan AB garis berarah. Jika
s//AB , maka MsSAB = SABMs

96.  Teorema
 Suatu refleksi geser tidak mempunyai titik
tetap.
 Satu-satunya garis tetap adalah sumbunya
sendiri.

 Teorema
 Misal t suatu garis dan CD suatu garis
berarah sedemikian sehingga CD tida tegak
lurus t. Terdapat suatu refleksi geser G
sedemikian sehingga G = SCDMt.

97.  .
C
D
E
t
r

98.  Misalkan p suatu garis dengan p // t dan jarak
(p,t) = ½ |CE|
 Maka :
 SCDMt = SEDSCE Mt
 = SED (Mp Mt ) Mt
 = SED Mp (Mt Mt )

 = SED Mp I
 = SED Mp = G ( = suatu refleksi geser
 karena p//ED )

99. Misal s suatu garis dan A titik di luar s .
Misalkan diketahui suatu sudut dengan besar
. Terdapat suatu refleksi geser G1 dan G2
sedemikian sehingga G1 = Ms RA, dan G2 =
RA, Ms.
 ( Dengan kata lain teorema ini ,mengatakan
bahwa suatu putaran terhadap A dan diikuti
oleh suatu refleksi terhadap garis s atau
sebaliknya merupakan suatu refleksi geser )

100.  .
A
r
s
D
C
t
/2

101.  Misalkan r garis yang melalui A dan r // s.
 Misalkan t garis yang melalui A dengan m(<(t,r))
= ½ .
 Diperoleh Ms RA, = Ms (Mr Mt)
 = (Ms Mr) Mt
 = SCD Mt
 = G1.

102.  Misalkan s suatu garis, P titik yang tidak terletak
pada s. Misal r garis yang melalui P tegak lurus s.
Maka berlaku:
 a. HPMs merupakan suatu refleksi geser yang
sama dengan MrSAB
 b. MsHP merupakan suatu refleksi geser yang
sama dengan SCDMr.

103.  Misal t adalah garis yang melalui P dengan t // s
dan r garis yang melalui P dengan r tegak lurus s.
 Misal AB garis berarah dengan AB//r , |AB| = 2
kali jarak (s,t) dan CD garis berarah dengan CD//r ,
|CD| = 2 kali jarak ( t,s).
 Sehingga HP Ms = ( Mr Mt ) Ms
 = Mr ( Mt Ms )
 = Mr SAB
 Kemudian Ms HP = Ms ( Mt Mr )
 = (Ms Mt ) Mr
 = SCD Mr
bukti

104. Teorema
Untuk sebarang titik A, B, P dan suatu
sudut dengan besar , selalu dapat
ditemukan titik C dan D sedemikian
sehingga :
a. SAB RP,  = RC, 
b. RP, SAB = RD,

105.  .
r
P
C
A B
p
q
/2

106.  . Dari yang diketahui titik-titik A, B, dan P
serta suatu sudut dengan besar , tarik garis p
melalui P dengan p tegak lurus AB dan tarik
garis q dengan q // p , (p,q) = ½ |AB|.
Kemudian buat garis r melalui P dengan
m(<(r,p)) = ½ .
 Sehingga :
 SAB RP, = (Mq Mp )(Mp Mr )
 = Mq ( Mp Mp ) Mr
 = Mq I Mr
 = Mq Mr
 = RC, 

107.  .
r
P
A
B
q
p
/2 /2

108.  b. Dari yang diketahui titik-titik A, B, dan P
serta suatu sudut dengan besar , tarik garis p
melalui P dengan p tegak lurus AB dan tarik
garis q dengan q // p , (p,q) = ½ |AB|.
Kemudian buat garis r melalui P dengan
m(<(p,r)) = ½ .
 RP, SAB = ( Mr Mp ) (Mp Mq )
 = Mr( Mp Mp ) Mq
 = Mr I Mq
 = Mr Mq
 = RD,

109.  Pada saat membahas tentang putaran
telah diketahui bahwa hasil kali dua
putaran yang pusatnya sama , akan
menghasilkan suatu putaran baru dengan
pusat semula dan besar sudut putar
adalah jumlah dari kedua sudut putar
semula, atau dalam lambang putaran .
 Berikut ini akan dibahas tentang hasil
kali putaran dengan putaran tetapi
pusat kedua putaran tidak sama.
 Teorema
 Hasil kali dua putaran ,
 A B akan berupa putaran lagi dengan sudut
putar + atau berupa geseran jika + =
360.

110.  . r
C (+)/2
/2 /2
s
t
B
A

111.  Dalam segitiga ABC di atas, m(<ABC) = m(<(t,r)) =
½  . dan m(<CAB) = m(<(s,t) = ½ , maka m(<ACD
=(<(s,r)) = ½  + ½  = (+)/2 , sehingga putaran
yang dihasilkan oleh MrMs mempunyai sudut
putaran sebesar + .

112.  Hal tersebut tidak akan terjadi jika C tidak ada(
yaitu dalam kondisi r // s). Jadi apabila m(<(r,t))
= m(<(s,t)) = ½  , tetapi m(<(t,r)) = -m(<(r,t)) =
½  . Jadi
 – ½ = ½  sehingga + = 0.
 Dalam hal ini
 RB,RA, = MrMs
 = SCD
 ( dengan |CD| = 2 kali jarak ( s,r)

113.  Untuk tiga garis sebarang r,s,t yang tidak
bertemu di satu titik dan tidak saling sejajar,
maka hasil kali MtMsMr tanpa memandang
urutan merupakan suatu refleksi geser.
B A
/2 /2
r
s

114.  Pandang MtMsMr = Mt (MsMr )
 = Mt RA, 
 = G ( misal m(<(r,s)) = 
 Apa yang terjadi jika r,s,t melalui satu titik yang
sama ?
 Bagaimana pula jika r//t//s

115.  Diketahui dua segitiga ABC dan segitiga A’B’C’
yang konkruen seperti pada gambar berikut.
Tentukan suatu refleksi geser G yang
membawa segitiga ABC menjadi A’B’C’.
A
B
C
A’
B’
C’

116.  Andaikan G sudah didapat, berarti terdapat
ruas garis berarah PQ dan garis s sedemikian
sehingga G = SPQMs yang berarti G(ABC) =
A’B’C’.
 Misalkan A”B”C” = Ms(ABC) dan A’B’C’=
SPQ(A”B”C”), diperoleh A’C’//A”C” dan
m(<(s,AC)) = m(<(s,A”C”)). Jadi m(<(A’C’, s ))
= m(<(s,AC)) . Sehingga dapat disimpulkan
bahwa s sejajar dengan garis bagi (A’C’ , AC ) .

117.  a. Lukis P = ( A’C’ , AC )
 b. Lukis garis bagi <(A’C’ , AC ), yaitu garis t.
 c. Lukis garis m, dengan m//t , m melalui A dan garis l,
dengan l t, l melalui A. Misal A”=( m, l ) .
 d. Lukis garis s , dengan s//t dan s melalui titik tengah
AA”.
 e. Lukis titik-titik B” dan C” , dengan B”=Ms(B) dan
C”=Ms(C).
 f. Lukis titik P, Q di t sedemikian sehingga PQ=A’A”
 g. Diperoleh G= SPQMs sedemikian sehingga (A’B’C’) =
SPQMs (ABC) = G(ABC)

119. Definisi
Suatu transformasi L disebut suatu similatitas, jika terdapat
bilangan positif k sedemikian hingga untuk sebarang titik P, Q dipenuhi
|P’Q’| = k |PQ| , dengan P’=L(P) dan Q’=L(Q).
Similaritas (kesebangunan)
similaritas dengan faktor k tersebut dilambangkan dengan LK dan
k disebut faktor similaritas.
Dari definisi diatas, tampak bahwa jika k=1 suatu similaritas
adalah suatu isometri atau dengan kata lain, suatu isometri adalah
kejadian khusus dari similaritas.

120. Teorema
Similaritas adalah suatu kolineasi.
Teorema
Similaritas mempertahankan besar sudut.
Teorema
Similaritas mempertahankan ketegaklurusan.
Teorema
Similaritas mempertahankan kesejajaran.

121. Bukti Similaritas adalah suatu kolineasi
Ambil sebarang garis t, dan dua titik A , B di t yang berbeda dan
A’=T(A) , B’=T(B). Misal h garis yang melalui A’ dan B’. Misalkan pula
T suatu transformasi kesebangunan.
Akan dibuktikan bahwa T(t) = h. Untuk itu akan dibuktikan T(t) h dan
h T(t)
a. Bukti T(t) h
Ambil sebarang titik P di t dengan P berbeda dengan A dan B. Misalkan
P terletak antara A dan B , maka berlaku |AP|+|PB|=|AB|.
Kemudian misalkan P’ = T(P) dan faktor kesebangunan T adalah k,
maka berlaku
|A’P’| + |P’B’| = k|AP| + k|PB|
= k |AP + PB |
= k |AB|
Oleh karena |A’B’| = k|AB| maka |A’P’ |+|P’B’| = |A’B’|.

122. Oleh karena |A’B’| = k|AB| maka |A’P’ |+|P’B’| = |A’B’|.
Jadi P’ terletak antara A’ dan B’ yang berarti bahwa A’, P’, dan B’
segaris. Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa hal ini berlaku
pula untuk A antara P dan B maupun B antara A dan P.
Jadi P anggota h atau T(P)  h

123. a. Bukti h T(t).
Ambil sebarang titik Q’ pada h.
Karena T suatu transformasi, jadi surjektif maka ada Q pada bidang V
sedemikian sehingga Q’ = T(Q).
Misalkan Q’ terletak antara A’ dan B’. Sehingga berlaku
|A’Q’|+|Q’B’|=|A’B’|.
Misalkan Q tidak berada di t maka berlaku |AQ|+|QB|>|AB|,
akibatnya k|AQ|+k|QB|> k|AB|.
Sehingga |A’Q’|+|Q’B’|>|A’B’|. Ini bertentangan dengan
|A’Q’|+|Q’B’|=|A’B’|. Jadi haruslah Q terletak pada t.
Bukti serupa untuk A’ antara Q’ dan B’ dan juga B’ antara A’ dan Q’.
Diperoleh h T(t).
Dari bukti a. dan b. dapat disimpulkan bahwa T(t) = h.

124. 1. Kesebangunan mempertahankan besar sudut
Misalkan diberikan sebarang sudut < ABC dan T(<ABC) =
<A’B’C’.
Diperoleh |A’B’| = k|AB|, |B’C’| = k|BC|, dan |A’C’| = k|A’C’|.
Sehingga segitiga A’B’C’ sebangun dengan segitiga ABC. Diperoleh
besar sudut A’B’C’ sama dengan besar sudut ABC.
Jadi terbukti bahwa kesebangunan mempertahankan besar sudut.
Akibat langsung dari bukti ini adalah kesebangunan juga
mempertahankan ketegaklurusan.

125. Teorema
HasilkalisimilaritasLk danLm adalahsimilaritasLkm,yaitusuatu
similaritasdenganfaktorkm.

126. Definisi
Misal P suatu titik tertentu dan k 0. Transformasi DP,k
disebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor k jika
a. DP,k (P)=P.
b. Untuk sebarang titik QP, DP,k(Q) = Q’ dengan PQ’=kPQ dan
Q’ pada PQ untuk k>0 kemudian Q’ pada P/Q untuk k<0.
Teorema
Untuk sebarang garis g dan g’=DP,k(g) berlaku :
a. g’=g jika P terletak pada g.
b. g’//g jika P tidak terletak pada g.

127. Teorema
Hasil kali suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu
similaritas. Sebaliknya, suatu similaritas selalu dapat dinyatakan
sebagai hasilkali suatu dilatasi dan suatu isometri.
Teorema
Untuk sepasang segitiga yang sebangun ABC dan A’B’C’ terdapat
tepat satu similaritas L yang membawa A ke A’, B ke B’ , dan C ke C’

128. 1. Rumus Dilatasi
Misalkan titik P(x,y) suatu titik tertentu. T(a,b) sebarang titik
dengan T’(a’,b’) sedemikian hingga T’=DP,k(T).
Kemudian p adalah vektor posisi dari P(x,y), t’ vektor posisi dari
T’(a’,b’) dan t vektor posisi dari T(a,b)
T’(a’,b’)
P(x,y)
t’
x T(a,b)
t
Sehingga dengan menggunakan aturan vektor dan matriks
diperoleh:
PT’ = k(PT)
t’-x = k(t-x)

129. atau























y
-
b
x
-
a
k
y
b'
x
a'
sehingga

































y
x
k)
(1
b
a
k
b'
a'