Ένα μικρό φυλλάδιο που παρουσιάζει τον ε,δ-ορισμό του ορίου μίας συνάρτησης, την εποπτική ερμηνεία του και (χωρίς απόδειξη) τις βασικές ιδίοτητες των ορίων.
1. Ορισμός και βασικές ιδιότητες πεπερασμένων ορίων
συναρτήσεων σε πραγματικό αριθμό
21 Ιουνίου 2015
Ορισμός (εκτός ύλης):
΄Εστω f : A −→ R μία συνάρτηση, x0 ∈ A ένα σημείο του πεδίου ορισμού της
και l ένας πραγματικός αριθμός. Θα λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο
σημείο x0 τον αριθμό l αν ισχύει ότι:
Για κάθε ε > 0 υπάρχει ένα δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x ∈ A:
(1) 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε
και συμβολίζουμε:
lim
x→x0
f(x) = l
Εποπτική ερμηνεία του ορισμού
Ο παραπάνω ορισμός αποδίδει την διαισθητική εικόνα που έχει κάποιος για το
όριο μίας συνάρτησης, δηλαδή ότι καθώς ¨πλησιάζουμε¨, όσο θέλουμε, (χωρίς
ποτέ να φτάνουμε) τον αριθμό x0 οι τιμές της συνάρτησης f ¨πλησιάζουν¨, όσο
θέλουμε, τον αριθμό l, δηλαδή συσσωρεύονται άπειρα σημεία όσο κοντά θέλου-
με στο σημείο (x0, l).
Μία άλλη προσέγγιση θα ήταν να πούμε ότι, αν γνωρίζουμε ότι το όριο μί-
ας συνάρτησης f σε κάποια σημείου x0 του πεδίου ορισμού της είναι κάποιος
πραγματικός αριθμός l τότε μπορούμε, αν μας δώσουν μία οριζόντια λωρίδα
οποιουδήποτε (μικρού) πλάτους που να περιέχει το σημείο (x0, l), μπορούμε να
βρούμε μία κάθετη λωρίδα η οποία να περιέχει και αυτή το σημείο (x0, l) και για
κάθε άλλο σημείο που βρίσκεται μέσα στην κάθετη λωρίδα να ισχύει ότι αυτό
βρίσκεται και μέσα στην οριζόντια λωρίδα.
Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι:
lim
x→0.85
x2
= 0.7225
συνεπώς αν μας δοθεί μία οριζόντια λωρίδα (βλ. σχήμα) μπορούμε να βρού-
με μία κατακόρυφη λωρίδα για να ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του ορισμού.
1
2. Βασικές ιδιότητες των ορίων
΄Εστω f και g δύο συναρτήσεις. Αν υπάρχουν τα όριά τους σε ένα σημείου x0
του πεδίου ορισμού τους και είναι πραγματικοί αριθμοί (έστω limx→x0 f(x) = l1
και limx→x0 g(x) = l2), τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = l1 + l2
lim
x→x0
(f(x) − g(x)) = l1 − l2
lim
x→x0
f(x)· g(x) = l1· l2
lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
l1
l2
, l2 = 0
lim
x→x0
(f(x))ν
= lν
1
lim
x→x0
|f(x)| = |l1|
lim
x→x0
ν
f(x) = ν
l1, l1 ≥ 0
2
