∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 25 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ25
ΘΕΜΑ 1: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Άσκηση 1) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
n
n
n
n
n
n
nnf
nnf
nnf
)(log
2
)(log
2
1
)(log)(
)(
)(log)(
log
log
=
=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 25 2
(Ασκηση 2) Να υπολογίσετε την λύση των αναδροµικών σχέσεων:
2
8
5)()1( n
n
TnT +





=
3/1
125
5)()2( n
n
TnT +





=
2
9
80)()3( n
n
TnT +





=
n
n
TnT log
5
2)()4( +





=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 25 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = (0+1)11(0+1)*(00+11)11
L2 = (0+10+110)*
L3 = 0(0+1)*11+00(0+1)*
L4 = (111+0)*(1+00)*(11+00)*(111+000)*
L5 = (0*1*0*+1*0*1*+110*110)*

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 25 4
Άσκηση 2:
∆ίδεται η κανονική έκφραση: (10*)*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 25 5
Άσκηση 3:
∆ίδονται οι γλώσσες του αλφαβήτου {a,b}:
εκ των οποίων η µία είναι κανονική και η άλλη δεν είναι κανονική.
(A) Επιλέξτε την γλώσσα που είναι κανονική και αποδείξτε το, δίνοντας ΜΠΑ που αναγνωρίζει
τις συµβολοσειρές της
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι κανονική: ∆είξτε ότι δεν είναι κανονική µε το λήµµα
άντλησης
}1|{},1|{ 2
2
2
1 ≥=≤= nbaLnbaL nnnn

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 25 6
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L 0 1 | 0
L , , 0
L 0 1 | 2
L | , ∈ , ∗
, | | 2| |
L | , ∈ , ∗
, 2| | | |
L! 2 " 3
L$ | %

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 25 7
Άσκηση 2
∆ίδεται η γλώσσα του αλφαβήτου {α,b}: }0,|{ ≥= mnbacaL nmmn
(Α) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική.
(Β) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L.
(Γ) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
(∆) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω & µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός ' (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ( ∈ & µε |)| ' να
µπορεί να γραφεί στην µορφή ( *+, όπου για τις συµβολοσειρές *, + και , ισχύει:
|*+| % '
+ - .
*+/
, ∈ & για κάθε φυσικό / 0

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 25 8
ΘΕΜΑ 5: ΑΠΟΦΑΣΙΣΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {α, b, c, #, Y, N}, που να αποφασίζει την
γλώσσα της προηγούµενης άσκησης
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{a,b,c}* ξεκινά την λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψη της
εισόδου, αντίστοιχα.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).