лекц

1. PH101 ФИЗИК-1 Лекц №12
Лекцийн агуулга: Цахилгаан цэнэг хадгалагдах, Кулоны хууль, Цахилгаан орны хүчлэг,
Гауссын теорем, түүнийг хэрэглэх, Цахилгаан статик орны хүчлэгийн векторын циркуляц,
Цахилгаан статик орны потенциал, хүчлэг бол потенциалын градиент мөн.
12.1 Цахилгаан статик орон
Цахилгаан цэнэг хадгалагдах
Цахилгаан статикт үл хөдлөх цахилгаан цэнэгүүдийн шинж чанар ба харилцан
үйлчлэлийг судална. Биес цахилгаан цэнэгтэй болохыг цахилгаанжих буюу
цэнэглэгдэх гэж ярьдаг. Цахилгаан цэнэг байдаг нь цэнэглэгдсэн бие өөр бусад
цэнэглэгдсэн биетэй харилцан үйлчлэх явдлаар илэрч мэдэгдэнэ.
Байгаль дээр хоёр төрлийн цахилгаан цэнэг байдгийг эерэг , сөрөг гэж ялган
нэрлэдэг. Ижил тэмдэгтэй цэнэг байдгийг түлхэлцэж , эсрэг тэмдэгт цэнэг бүхий
бие таталцаж үйлчлэнэ. Туршлагын үндэс дээр альваа биеийн цахилгаан цэнэг
бүхэл тооны эгэл цэнэгүүдээс (нэг эгэл цэнэгийн хэмжээ е=1.6x10-19 kл-тэй тэнцүү)
бүрэлддэг болохыг тогтоожээ. Бүх атом ба молекулын бүтцэд ордог электрон сөхөг
е цэнэгтэй , протон эерэг e цэнэгтэй бөөмс юм. Ингэхлээр аливаа биеийн бүтцэд
эгэл цахилгаан цэнэг ордог байна. Хэрэв бие дэх электроны тоо NƱ протоны тоо Np
бол энэ биеийн цэнэг q=(Np-Ne)e байна.Бие дэх нийт эерэг цэнэгийн тоо нь бүх сөрөг
цэнэгийн тооноос илүү (Np> Ne) бол бие эерэг ; дутуу (Np< Ne) бол бие сөрөг цэнэгтэй
байна.Харин эерэг, сөрөг цэнэгийн тоо нь тэнцүү (Np=Ne) бол бие цахилгаан
саармаг байна. Хоёр биеийг хооронд нь үрэхэд нэг биеэс нөгөөд хэсэг цэнэг
(электронууд) шилжин очиж бие тус бүрийн эерэг ба сөрөг цэнэгүүдийн нийдбэр
тэнцүү байхаа больж, уул хоёр бие эсрэг бөгөөд ижилхэн хэмжээний цэнэгтэй
болно.Бие нөлөөгөөр цахилгаанжихад түүн дэх цэнэгийн жигд хуваарилагдсан
байдал алдагдаж биеийн нэг хэсэгт эерэг цэнэг , нөгөө хэсэгт нь сөрөг цэнэг тус тус
илүү болж биеийн дотор цэнэгүүд шинээр хуваарилагддаг байна.
Энэ бүхнээс үндэслэн байгалийн нэг тулгуур хууль цахилгаан цэнэг
хадгалагдах хуулийг тогтоожээ:
Аливаа тусгаарлагдсан системийн цахилгаан цэнэгүүдийн алгебр нийлбэр нь
уул системд ямар ч процесс болж байсан өөрчлөгдөхгүй.
Бүх бодисыг цахилгаан дамжуулах чадвараар нь дамжуулагч ,
диэлектрик , хагас дамжуулагч гэж гурав хуваадаг.Цахилгаан цэнэг бүх
эзэлхүүнээр нь чөлөөтэй шилжиж чаддаг бодисын дамжуулагч гэнэ.
Диэлекрик гэж нэрлэгддэг тусгаарлагч бодисуудад ийм чанар байхгүй ,
тэдгээрт өгсөн цэнэг анх байрлуулсан газраас шилжиж хөдлөхгүй тэндээ

2. үлддэг. Бүх металл давс , хүчил, шүлтийн усан уусамлууд шил , каучик , хүхэр
, шаазан , гялтагнуур , эбонит , ердийн нөхцөлд байгаа хий зэрэг нь
диэлектрик болно.Хагас дамжуулагч бол цахилгаан дамжуулах чадвараараа
дамжуулагч диэлектрик хоёрын завсрын байрыг эзэлдэг бөгөөд түүнд асар
олон бодис хамаарагдана.
12.2 Кулоны хууль
Цахилгаан цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэх үндсэн хуулийг 1785 онд Францийн
физикч Кулон туршдагаар тогтоожээ.
Хэрэв цэнэглэгдсэн биеийн хэмжээ нь түүнээс өөртэй нь үйлчилж
байгаа бусад цэнэглэгдсэн биес хүртэлх зайтай жишихэд маш бага байвал
ууд биеийг цэг цэнэг гэнэ. Кулоны хууль бол чухам ийм цэг цэнэгүүдийн
үйлчлэлцэх хүчийг тодорхойлдог юм.
Кулоны цэнэгүүдэд үйлчлэх хүч нь төвийн хүч мөнийг , ө.х цэнэг бүрд
үйлчлэх хүч тэдгээр цэнэгийг холбосон шулууны дагуу чиглэгдсэн болохыг
туршлагаар мэдэж тогтоожээ.Кулоны хууль бол үл хөдлөх цахилгаан цэнэг
хоорондоо харилцан үйлчлэх хүчийг илэрхийлдэг цахилгаан статик хууль юм.
Кулоны хуулийг дараах маягаар томъёолж болно:
Хоёр цэг цэнэгийн харилцан үйлчлэх цахилгаан статик хүч нь аль аль
цэнэгийн хэмжээнд шууд пропорционоль бөгөөд хоорондоо зайн квадратад
урвуу пропорционоль байна.
F=k1
q1q2
r2
Үүний к1- пропорционалийн коэффициент q1 ба q2 нь харилцан
үйлчлэгч цэнэгүүдийн хэмжээ , r- тэдгээрийн хооронд зай.
Аливаа цэнэглэгдсэн биеийг олон цэг цэнэгийн бөөгнөрөл гэж үзэж
болно. Энэ нь механикт ямарч биеийг олон материал цэнэгийн бөөгнөрөл гэж
үздэгтэй адил юм.Ингэхлээр Кулоны хуулиар цэнэглэгдсэн их бага ямарч
хэмжээний биесийн харилцан үйлчлэх статик хүчийг илэрхийлж болох нь
тодорхой байна. Агаарт оршиж байгаа цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийг
Кулон судлажээ. Цаашдын туршлага , шинжилгээ цэг цэнэгүүдийн хоорондоо
үйлчлэх хүч нь тэдгээрийн оршин байгаа орчны физик чанараас хамаардаг
болхыг үзүүлэв. Иймд Кулоны хууль (12.1)-д байгаа к1 коэффициент орчны
шинж чанараас хамаарах ажээ.түүнээс гадна к1 нь аливаа пропорционалийн
коэффиециентийн харицаа маягаар илэррийлбэл тохиромжтой байна:
К1=к/𝜀

3. Үүнд к- зөвхөн нэгжийн системийн сонголтоос хамаарах коэффициент , (12.2)-
ийн үндсэн дээр Кулоны хууль (12.1)- ийг бичвэл:
F=k
𝑞1 𝑞2
𝜀𝑟2
Болно. Хэрэв цэнэгүүд вакуумд байгаа бол харилцан үйлчлэх хүч нь :
F0=k
𝑞1𝑞2
𝜀𝑟2
(12.3) ба (12.3) томдъёоноос :
𝜀 =
𝐹0
𝐹
гэж олдоно. Ийнхүү орчны диэлектрик тогтмол нь өгөгдсөн орчинд хоёр цэг
цэнэгийг хоорондоо үйлчлэх хүч вакуум дахиасаа хэд дахин бага байдгийг
харуулж байна.
Керосины 𝜀 = 2
Хуурай цаасны 𝜀 = 2 + 2.5
Усны 𝜀 = 81
Агаарын 𝜀 = 1,0006 ≈ 1
Кулоны хууль (12,3)- ийг вектор хэлбэрээр бичиж болно.:
F=k
𝑞1 𝑞2
𝜀𝑟3
r
Кулоны хуулийн томъёо (12.3)-д байгаа к коэффициентийг СИ системд
К=
1
4 𝜋𝜖
-тэй тэнцүү хэмээн авдаг . 𝜀0 хэмжигдэхүүнийг цахилгаан тогтмол гэнэ. Тэгвэл
Кулоны хууль СИ системд дараах хэлбэртэй бичигдэнэ.
F=
1
4 𝜋𝜖
𝑞1𝑞2
𝜀𝑟2
(12.6)
СГСЭ системд к коэффициентийг нэргүй бөгөөд нэгтэй тэнцүү (k=1)
Гэж үздэг тул Кулоны хууль дараах хэлбэртэй бичигдэнэ.
F=k
𝑞1 𝑞2
𝜀𝑟2
(12.7)

4. Цахилгаан хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд нэгжийн хоёр янзын систем
хэрэглэгдэгийг нэг нь олон улсын нэгжийн систем СИ (буюу s1) нөгөө нь
абсалют цахилгаан статик нэгжийн систем СГСЭ (буюу GGSE) болно.
Тогтмол 1 ампер (A) гүйдэл гүйж байгаа дамжуулагчийн хөндлөн огтлолоор
нэг секундэд өнгөрөх цэнэгийн хэмжээ СИ системд цахилгаан цэнэгийн нэгж
болон авч кулон (kn) гэж нэрлэнэ: 1kn =1Ax1c
СИ системд хүч ньютоноор , зай метрээр , цэнэг кулоноор илэрхийлэгдэх тул
(12,3) томъёон дахь к коэффициент (кулоны тогтмолч гэдэг).
𝑘 = 9 ∙ 109 𝐻∙𝑀2
𝐾𝑛2
- тэй тэнцэнэ. 𝑘 =
1
4 𝜋𝜀
-оос 𝜀0 ийг тодорхойлбол 𝜀0 = 8,85 ∙
1012
Кл2
(Н∙ м2
) гэж олдоно. 𝜀0 бол тулгуур физик тогтмолуудын нэг юм.
12.3 Цахилгаан орны хүчлэг
Цэнэгүүдийн хоорондын үйлчлэл цахилгаан орноор дамжин явагддаг.
Аливаа цэнэг орчин тойрондоо цахилгаан орон үүсгэнэ.Цэнэгийн орчинд өөр нэг
цэнэг оруулбал түүнд Кулоны хүч үйлчилнэ.Иймд цахилгаан орон механикт бидний
үзсэн таталцалын (гравитацын) орны адил хүчний орон ажээ. Цахилгаан орон нь
макро биесийн болон бодисын бүтцэд ордог бөөмсийн хооронд харилцан үйлчлэл
бий болговч материйн онцгой хэлбэр юм.
Цахилгаан орон байгаа эсэхийг мэдэх , түүнийг хэмжихийн тулд турших цэнэг
ашигладаг. Турших цэнэгт үйлчлэх хүчээр нь өгөгдсөн цэг дэх орныг тодорхойлох
учир турших цэнэг орныг гажаан өөрчлөхөөргүй маш бага байвал зохино. Бид энэ
бүлэгт үл хөдлөх цэнэгийн орчинд үүсдэг тогтмол цахилгаан орны шинж чанарыг
авч үзнэ.Тийм орныг цахилгаан статик орсон гэнэ. Q цэнэгийн цахилгаан орны ямар
нэг цэгт турших цэнэг 𝑞 𝑚∙ 𝑟 оруулбал түүнд
𝐹 =
1
4 𝜋𝜖
𝑞1 𝑞2
𝜀𝑟2
хүч үйлчилдэгийг бид мэднэ. Үүнд r нь q цэнэгээс 𝑞 𝑚 -ийн байгаа цэг хүртэлх зай
болно. Турших цэнэгт үйлчлэх хүч орныг тодорхойлогч хэмжигдэхүүнүүд (q ба r) –
ээс төдийгүй бас турших цэнэг ( 𝑞 𝑚 ) -ийн хэмжээнээс хамаарах нь (12.6)
томъёоноос харагдаж байна. Ингэхлээр энэ хүч орныг тодорхойлогч хэмжигдэхүүн
болж үл чадна. Харин F/𝑞 𝑚 харицаа нь турших цэнэгээс огт хамаарахгүй , зөвхөн
тухайн цэг дэх цахилгаан орныг тодорхойлогч хэмжигдэхүүн q ба r –ээс
хамаардагийг хялбархан үзэж болно. Иймд энэхүү харицааг цахилгаан орныг
тодорхойлогч хэмжигдэхүүн болгон авдаг юм.
𝐸 =
𝐹
𝑞 𝑚
буюу 𝐸 =
𝐹
𝑞 𝑚

5. Вектор хэмжигдэхүүн Е-г тухайн цэг дэх цахилгаан орны хүчлэг гэнэ.
(12.8) томъёо ёсоор цахилгаан орны хүчлэг Е нь орны тухайн цэгт орших нэгж цэнэгт
үйлчлэх F хүчтэй тоогоороо тэнцүү байна. E векторын чиглэл нь эерэг цэнэгт
үйлчлэх F хүчний чиглэлтэй давхцана.
Нэг нэгж цэнэгт нэг нэгж хүч үйлчлэх тийм цэгийн хүчлэгийг цахилгаан орны
хүчлэгийн нэгж болгон авдаг.
СИ системд хүчлэгийн нэгж вольт хуваах метр гэсэн нэртэй байх ба B/м нэж
тэмдэглэнэ. (12.42) томъёог үзнэ үү.
q хэмжээний цэнэгтэй цэг цэнэгийн цахилгаан орны хүчлэгийг олъё. Энэ оронд
оруулсан турших цэнэгт үйлчлэх хүч (12.6) –ийг (12.8) томъёонд оруулбал цэг
цэнэгийн орны хүчлэг
E=
1
4 𝜋𝜖
𝑞1𝑞2
𝜀𝑟2
Болно. Вектор хэлбэрээр бичвэл
E=
1
4 𝜋𝜖
𝑞
𝜀𝑟3
𝑟
Үүнд R нь q цэнэгийг 𝑞 𝑚 цэнэгтэй холбогч радиус вектор хэрэв цахилгаан орныг нэг
биш нэг хэсэг 𝑞1𝑞2
… … . . 𝑞 𝑛 цэнэг үүсгэж байвал энэ орны тодорхой нэг цэгт
оруулсан турших цэнэгт нийлбэр хүч үйлчлэх болно. Механикт үзсэн хүчнүүдийн
үйлчлэл үл хамаарах зарчим ёсоор орны зүгээс турших цэнэг 𝑞 𝑚 -д үйлчлэх
нийлбэр хүч F нь түүнд 𝑞1 цэнэг тус бүрээс үйлчлэх 𝐹1 хүчнүүдийн вектор
нийлбэртэй тэнцэнэ:
𝐹 = ∑ 𝐹1
𝑛
𝑖=1 (12.10)
(12,8) томъёо ёсоор :
𝐹 = 𝑞 𝑚 𝐸, 𝐹1=𝑞 𝑚 𝐸𝑖
Үүний Е-ийн нийлбэр орны хүчлэг , 𝐸𝑖 нь i-р цэнэгийн үүсэх орны хүчлэг.
Эдгээр илэрхийллийг (12.10)-д орлуулан тавьж, 𝑞 𝑚-д хураавал
𝐹 = ∑ 𝐹1
𝑛
𝑖=1
Олон цэнэгийн системийн үүсгэх орны хүчлэг нь уул системийн цэнэг бүрийн үүсгэр
орны хүчлэгүүдийн вектор нийлбэртэй тэнцүү байна.Ө.х жич цэнэгүүдийн орныг

6. нэмэх замаар нийлбэр орныг олж болно. Энэхүү баталгааг цахилгаан орны үл
хамаарах зарчим буюу орны суперпозицийн (нэмэгдэх ) зарчим гэдэг.
Систем цэнэгийн үүснэх цахилгаан орны жишээ бол цахилгаан диполын орон юм.
Хоорондор зай 1 нь орчныг тодорхойлж байгаа цэг хүртэлх зайг бодвол маш бага
байх хэмжээгээрээ ижил , тэмдгээрээ эсрэг +q -q хоёр цэнэгийн системийг
цахилгаан диполь гэнэ. Хоёр цэнэгийг дайран гарсан шулууныг диполийн тэнхлэг
гэх бөгөөд энэхүү тэнхдэгийн дагуу сөрөг цэнэгээс эерэг цэнэг уруу чиглэсэн ,
цэнэгүүдийн хоорондох зайтай тоогоороо тэнцүү i векторыг диполийн мөр гэнэ.
(12.2-р зураг ).
Диполийн эерэг цэнэгийг мөрөөр үржүүлснийг дидолийн цахилгаан момент 𝑝𝜖 гэнэ:
𝑝 𝑒=𝑞𝑙
Pe чиглэлээрээ диполийн мөртэй давхцана (12.12 –р зураг )
Орны суперпозицийн зарчим ёсоор диполийн орны дурын цэг дэх хүчлэг нь
𝐸 = 𝐸+
+ 𝐸_
-тэй тэнцүү байна. Үүнд 𝐸+
ба 𝐸−
бол +q ба -q цэнэгийн орны хүчлэг.
Диполийн орны дурын С цэг дэх хүчлэг нь
𝐸 =
1
4 𝜋𝜖
𝑃
𝜀𝑟3 √𝐼 + 3𝑐𝑜𝑠2 𝛼 (12.13)
Томъёогоор илэрхийлэгдэнэ. Үүнд 𝛼 бол диполийн тэнхлэг , авч үзэж байгаа цэг
хүртэлх радиус вектор хоёрын хоорондох өнцөг юм (12.2б
)
Хэрэв 𝛼 = 0 буюу с цэг диполийн тэнхлэг дээр байвал
E=
1
4 𝜋𝜖
2𝑃
𝜀𝑟3
харин 𝛼 𝜋2 буюу с цэг диполийн тэнхлэгт босгосон перпендикуляр дээр
байвал E=
1
4 𝜋𝜖
𝑃
𝜀𝑟3
болно.
Диэлектрикийн молекулууд нь цахилгаан шинж чанараар дипольтой адил байдгийг
бид дараа үзнэ.
12.4 Цахилгаан орны хүчний шугам хүчлэгийн урсгал
Цахилгаан орны хүчний шугам (хүчлэгийн шугам )-ын тусламжтай графикаар
дүрсэлдэг.

7. Цэг бүхэн дээрх шахагч нь мөнхүү цэг дэх Е вектортой чиглэлээрээ давхцах чанар
бүхий муруйг хүчний шугам гэнэ. (12.3 зураг)
Хүчний шугам эерэг цэнэг дээрээс эхэлж , сөрөг цэнэг дээр төгсдөг гэж үзнэ. Орны
цэг бүхэнд Е вектор зөвхөн нэг тодорхой чиглэлтэй байдаг тул хүчний шугамууд
хоорондоо үл огтлолцоно. Харин хүчний шугам нь (хэрэв цэнэг нь эерэг бол)
цэнэгээс гадагш ба (хэрэв цэнэг сөрөг бол ) цэнэг уруу чиглэлтэй радиал шулуунууд
байдгийг бид мэднэ.(12.4 зураг)
Ижил буюу эсрэг цэнэгтэй адилхан хоёр цэнэгийн үүсгэх орны тухайд гэвэл хүчний
шугамууд (12.5-р зураг) муруйдаг. Дээрх зургуудаас үзвэл хүчний шугамууд
хязгааргүйд одож болох ажээ.
Хүчний шугамд пердендикуляр байралсан өчүүхэн бага 𝑑𝑠0 гадаргын нэгж талбайд
ноогдох хүчний шугамын тоо нь тэр хэсэг дэх орны хүчлэг Е-ийн утгатай тэнцэж
байхаар ө.х
𝑑ф
𝑑𝑆0
= 𝐸 (12.14)
Гэсэн харьцаа биелж байхаар 𝑑Ф 𝑒 тооны хүчний шугам уул талбайг дайруулан
татахаар тогтъё (12.6-р зураг). Ингэснээр бид хүчлэгийн хэмжээг хүчний шугамын
нягт сийрэгтэй холбож байгаа юм.
Ямар нэг гадаргыг нэвтрэх хүчний шугамын нийт тоог хүчлэгийн урсгал хэмээн
нэрлэж Фе үсгээр тэмдэглэе.
Хэрэв dS гадаргын талбайн нормаль нь Е вектортой 𝛼 өнцөг үүсгэн байрлаж (12,6-
р зураг ) байвал энэхүү талбайгаар нэвтрэх шугамын тоо 𝑑ф 𝑒 = 𝐸𝐷𝑆𝑐𝑜𝑠𝛼 байна.
Ecos𝛼 хэмжигдэхүүн бол dS талбайн нормаль дээр буулгасан Е векторын проекц
мөн нь зургаас ил байна.
𝐸 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐸 𝑛
Ингэхлээр
𝑑Фе = 𝐸 𝑛 𝑑𝑆 (12.15)
Эндээс ямарваа битүү гадарга S-ыг нэвтрэх хүчлэгийн урсгал нь
ф 𝑒 = 𝐸 𝑛 𝑑𝑆 (12.16)
интегралиар илэрхийлэгдэнэ.