Лекц №7 Релятив механик

1. PH101 ФИЗИК-1 Лекц №7
Лекцийн агуулга: Лоренцийн хувиргалт, тусгай онолын үндэслэлүүд, релятив
динамикийн үндэс
7. РЕЛЯТИВ МЕХАНИК
7.1. Харьцангуйн тусгай онолын үндэслэлүүд
Сонгодог механикийг хэрэглэх хязгаар. 1687 онд И.Ньютоны томъёолсон
динамикийн хуулиуд нь сонгодог механикийн үндэс бөгөөд 200 гаруй жил физикт тун
их амжилтанд хүрч, олонхи физикчид түүний түүхэн үүргийг үнэлж байв. Шинжлих
ухааны хөгжлийн дунд сонгодог механикийн хүрээнд тайлбарлагдахгүй шинэ үзэгдэл,
баримтууд 19-р зууны эхэн үед физикт гарсан бөгөөд энэ баримтуудыг шинэ онол
болох харьцангуйн тусгай онол ба Квант механикийн онолоор тайлбарлах болсон юм.
1905 онд А.Эйнштейны бүтээсэн харьцангуйн тусгай онолд орон зай, цаг хугацааны
тухай Ньютоны Ньютоны төсөөллийг дахин авч үзэн төгс шийдвэрлэсэн юм.
Ингэснээр их хурдтай (𝑉 ≪ 𝑐)орчны механикийг бүтээн релятив механик гэж
нэрлэжээ. Релятив механикийн тэгшитгэлүүд нь тодорхой хязгаарт (гэрлийн хурдтай
харьцуулахад бага хурдны хувьд) сонгодог механикийн тэгшитгэлд шилжиж байгаа нь
сонгодог механик бол релятив механикийн тухайн тохиолдол болох бөгөөд гэрлийн
хурдаас маш бага хурдтай явагдах хөдөлгөөнийг л тайлбарлахад хүчин төгөлдөр
гэдгийг батална. Үүнтэй адил, атомын физикийн хөгжлийн дүнд манай зууны 20-д онд
үүссэн квант механикийг мөн сонгодог механиктай харьцуулж үзвэл, квант механикийн
тэгшитгэлүүд нь бас тодорхой хязгаарт (атомын масстай харьцуулахад их массын
хувьд) сонгодог механикийн тэгшитгэлийг гаргана. Иймд сонгодог механик бол мөн л
квант механикийн тухайн тохиолдол юм. Ингэж физикийн шинжлэх ухааны хөгжил
сонгодог механикийг үгүйсгээгүй боловч хэрэглэх хязгаартай гэдгийг зааж өгсөн билээ.
Ньютоны хуулиуд дээр үндэслэн сонгодог (классик) механик нь бага хурдтай
(гэрэлийн хурдтай харьцуулахад) хөдлөж буй их масстай биеийн механик юм.
Харьцангуйн тусгай онолын үндэслэлүүд. Эйнштейн 1905 онд харьцангуйн тусгай
онолоо, 1915 онд харьцангуйн ерөнхий онолоо гаргасан явдал орон зай, хугацааны
ойлголтыг улам тодруулж, бие асар их (бараг гэрэлийнх шиг) хурдтай хөдлөж байхад
масс нь хурдаас хамааран хувирдаг хууль, мөн масс энергийн хувирлын хууль зэрэг
сонгодог механикийн үүднээс тайлбарлаж болохгүй хууль, зүй тогтлууд нээгдэж
релятив механикийн эх үүсвэр тавигдсан юм. А.Эйнштейн бол орчин үеийн физикийг
бүтээгчийн нэг бөгөөд түүний харьцангуйн тусгай онол (ХТО) бол орон зай, цаг
хугацааны тухай орчин үеийн физик онол юм. Эйнштейний ХТО-ын суурь нь
туршлагаар тогтоосон зүй тогтлыг нэгтгэсэн хоёр зарчим буюу хоёр үндэслэл
(поспулат) юм.
1. Харьцангуйн зарчим. Энэ нь Галилейн механик харьцангуйн зарчмыг ямарч физик
процесст өргөтгөсөн зарчим. Өгөгдсөн инерциал тооллын системд явуулах ямарч
физик туршлагаар (механик, цахилгаан, оптик) энэ систем тайван байна уу эсвэл ямар
нэгэн инерциал тооллын системтэй харьцангуйгаар шулуун, жигид хөдлөж байна уу
гэдгийг илрүүлэх боломжгүй. Ямар ч инерциал тооллын системд бүх физик үзэгдэл

2. нэг ижил нөхцөлд адилхан явагдана. Өөрөө хэлбэл харьцангуйн зарчим нь инерциал
тооллын системийг яаж сонгохоос физикийн хуулиуд үл хамаарах (инбариант) буюу
эдгээр хуулийг илэрхийллэх тэгшингэлүүд нь бүх л инерциал тооллын системд ижил
хэлбэртэй байдагийг баталдаг.
2. Гэрлийн хурд тогтмол байх зарчим. Вакумд гэрлийн хурд гэрэл үүсгүүрийн буюу
ажиглагчийн хөдөлгөөнөөс хамаарахгүй бөгөөд бүх инерциал тооллын системд адил
байна. Физикийн нэг чухал тогтмол болох гэрлийн хурд тооллын бүх л инерциал
системд аль ч чиглэлд ижил юм. Туршилгаас үзвэл: вакум дахь гэрлийн хурд 𝑐 бол
байгаль дээрх хамгийн их хязгаарын хурд бөгөөд ямар ч биеийн ба бөөмүүдийн хурд,
түүнчлэн ямар нэгэн дохио ба харилцан үйлчлэл тарах хурд𝑐-ээс хэтрэхгүй. Вакум
дотор гэрэл тарах энэхүү онцлог зүй тогтол нь бодит физик процессын хувьд тооллын
системийг цагжуулхад тухайлбал, огторгуйн өөр цэгт орших, авч үзэж буй тооллын
системтэй хамт шилжиж буй цагийг тохируулах ашиглах боломж бүрдүүлнэ. Нэгдүгээр
үндэслэл нь нэг инерциал тооллын системээс нөгөө инерциал тооллын системд
шилжихэд байгалийн бүх хууль инвариант өөрөөр хэлбэл, бүх инерциал тооллын
системд механик төдийгүй байгалийн бүх үзэгдэл тэгш эрхтэй, харин хоёрдугаар
үндэслэл нь гэрлийн хурд тогтмол байх нь туршлагын баримт шиг байгалийн бодит-
тулгуур чанар гэдгийг харуулна. Эйнштейний үндэслэлүүд ба түүний үндсэн дээр буй
болсон харьцангуйн тусгай онол нь сонгодог механикт авч үзэж байгаа абсолют цаг,
абсолют орон зайн тухай ойлголтыг өргөтгөн томъёолж, ертөнцийг үзэх шинэ үзэл,
орон зай хугацааны тухай шинэ төсөөлөл (тухайлбал, хугацаа ба уртын харьцангуй
чанар, үзэгдэл зэрэг явагдах зүй тогтол гэх мэт) –ийг буй болгосон юм.
7.2. Лоренцын хувиргалт
Сонгодог механикт нэг инерциал тооллын системийн координат, хугацааг нөгөө
инерциал тооллын системийн координат, хугацаанд шилжүүлэхэд Галилейн хувиргалт
(2.3)-аар гүйцэтгэдэг. Энэ хувиргалтаас хурдыг нэмэх хуулийг 𝑉 = 𝑉′
+ 𝑉0 (2.15 ба
2.16)томъёог үз. ] гэж гаргах ба энэ хууль гэрлийн хурд тогтмол байх зарчимтай зөр
чилдөнө. Үнэндээ, хэрэв 𝐾′системд гэрлийн дохио 𝑉0векторын чиглэлд 𝑐 хурдтай
тарах тул (2.16) ёсоор 𝐾системд дохионы хувьд 𝑐 + 𝑉0 болох учраас 𝑐-ээс их болж
байна. Ийм учраас Галилейн хувиргалт нь их хурдны тохиолдолд Эйнштейний
хоёрдугаар үндэслэл(постулат)-тэй зөрж, харьцангуй хөдлөгч инерциал системүүдийн
координат, хугацааны хоорондын шүтэлцээг зөв тусгадаггүй учир туршлагын
баримтыг зөв тусгасан, гэрлийн хурд тогтмол байдгийг илэрхийлдэг харьцангуйн
онолын үндэслэлүүдийг хангасан өөр хувиргалт хэрэгтэй. Ийм хувиргалтыг Лоренцын
хувиргалт гэдэг. Энэ хувиргалтыг гаргахын тулд (𝑥, 𝑦, 𝑧) координаттай 𝐾 ба𝐾-тай
харьцангуй 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 хурдтайгаар𝑋 тэнхлэгийн дагуу хөдлөж байгаа (𝑥′
,𝑦′
, 𝑧′
)
координаттай 𝐾′ гэсэн хоёр инерциал тооллын систем авч үзье (6.1-р зураг).
Хугацааны эхний агшинг 𝑡 = 𝑡 = 0 гэвэл координатын эх 0 ба 0′
давхцаж байхад
гэрлийн дохио тарсан гэе. Эйнштейний хоёрдугаар үндэслэл ёсоор хоёр системд
гэрлийн хурд адилхан. Иймд, хэрэв 𝐾 системд 𝑡 хугацаанд дохио 𝐴 цэг хүрсэн (6.1-р
зураг) бол явсан зам нь

3. 𝑥 = 𝑐𝑡 (6.1)
Тул 𝑘′
системд гэрлийн дохионы координат А цэг хүрэх тэр агшинд
𝑥′
= 𝑐𝑥′
(6.2)
болно. Үүний 𝑡′
нь 𝑘′
системд гэрлийн дохио координатын эхээс 𝐴 цэг хүрэх хугацаа,
системүүдэд хугацааг тоолох нь өөр өөр буюу хугацааны тоолол харьцангуй шинжтэй
(сонгодог физикт бүх инерциал тооллын системд хугацаа адил явагдана өөрөөр
хэлбэл 𝑡 = 𝑡′
) юм.
Ингэж Эйнштейний үндэслэлүүдийг хангасан Лоренцын хувиргалт нь: 𝐾 → 𝐾′
(𝐾системээс 𝐾′
системд шилжихэд)
x′
=
𝑥−𝑉𝑡
√1−β2 y’=y z’=z t′
=
𝑡−𝑉𝑥/𝐶2
√1−β2 (6.3)
𝐾′
→ 𝐾 (𝐾′
системээс 𝐾 системд шилжихэд)
x =
𝑥′−𝑉𝑡′
√1−β2
𝑦 = 𝑦′
z = 𝑧′
t =
𝑡′
+𝑉𝑥′/𝐶2
√1−β2
(6.3′)
Үүний: 𝛽 = 𝑉/𝑐
Нэг инерциал тооллын системээс хөдлөж буй өөр нэг инерциал тооллын
системд шилжихэд авч үзэж байгаа үзэгдлийн огторгуйн координат өөрчлөгдөх
төдийгүй түүнд харгалзах хугацааны агшин бас өөрчлөгдөнө гэдгийг Лоренцын
хувиргалт үзүүлнэ. Дээрхи тэгштгэлүүдийг харьцуулан үзвэл: Эдгээр нь тэгш хэмтэй
ба зөвхөн 𝑉-ийн тэмдгээр ялгагдана. Өөрөөр хэлбэл 𝐾 системтэй харьцангуй 𝐾
системийн хөдөлгөөний хурд 𝑉-тэй тэнцүү бол 𝐾′
–тэй харьцангуй 𝐾-ийн хөдөлгөөний
хурд 𝑉 байх нь илэрхий. Лоренцын хувиргалт нь орон, цаг хоёрт харгалзах учир
түгээмэл шинжтэй гэж Эйнштейн тогтоожээ. Лоренцын хувиргалтыг их бага ямар ч
хурдтай системд хэрэглэж болно. Гэтэл Галилейн хувиргалт нь бага хурдтай системтд
хүчин төгөлдөр байна. Бага хурдтай (гэрлийн хурдтай жишихэд) байхад 𝑉/𝑐 ≪ 1
болох учир 𝑉2
/𝑐2
ба 𝑉/𝑐2
гишүүнийг анхааралдаа авахгүй байж болно. Энэ үед
Лоренцын хувиргалт нь Галилейн хувиргалтанд шилжинэ. Иймд Галилейн хувиргалт
нь Лоренцын хувиргалтын тухайн тохиолдол болно. 𝑉 > 𝑐 үед (6.3) илэрхийллийн 𝑥,
𝑡, 𝑥′
, 𝑡′
нь физик утгагүй болно (хуурмаг болно). Эндээс үзвэл: вакуумд, гэрлийн
хурднаас их хурдтай хөдөлгөөн байх боломжгүй. Энэ бол харьцангуй онолын нэг
дүгнэлт юм.
𝑥1 ба 𝑥2 координаттай цэгт 𝐾 системд 𝑡1 ба 𝑡2 хугацааны агшинд хоёр үзэгдэл
боллоо гэе. Тэгвэл 𝐾′
системд тэдгээрийн харгалзан координатууд 𝑥1
′
ба 𝑥2
′
харин
хугацааны агшин 𝑡1
′
ба 𝑡2
′
болно. Хэрэв 𝐾 системд үзэгдэл нэг цэгт (𝑥1 = 𝑥2) нэгэн
зэрэг (𝑡1 = 𝑡2) явагдаж байвал Лоренцын хувиргалтаар:

4. 𝑥1=
′
𝑥2
′
; 𝑡1 =
′
𝑡2
′
, өөрөөр хэлбэл, энэ үзэгдлүүд дурын инерциал тооллын системд орон
зайн хувьд давхцаж, нэгэн зэрэг болдог.
Хэрэв K системд үзэгдэл орон зайн хувьд ангид 𝑋1 ≠ 𝑋2 харин хугацааны хувьд
нэгэн зэрэг (𝑡1 = 𝑡2) явагдаж K системд Лоренцын хувиргалтаар:
x1
′
=
𝑥1−𝑉𝑡
√1−β2 x2
′
=
𝑥2−𝑉𝑡
√1−β2
t1
′
=
𝑡−𝑉𝑥1/𝐶2
√1−β2 t2
′
=
𝑡−𝑉𝑥2/𝐶2
√1−β2 (6.4)
𝑥1
′
≠ 𝑥2
′
, 𝑡1
′
= 𝑡2
′
болно.
Ингэж 𝐾′
системд энэ үзэгдлүүд орон зайн хувьд ангид үлдэж, нэгэн зэрэг биш
явагдана. 𝑡2
′
− 𝑡1
′
ялгаврын тэмдэг 𝑉( 𝑥1 − 𝑥2) илэрхийллийн тэмдгээр тодорхойлогдох
учраас K янз бүрийн тооллын системд (𝑉янз бүр байх үед) 𝑡2
′
− 𝑡1
′
хэмжээгээрээ янз
бүр байх ба тэмдгээрээ ялгаатай болно. Иймд нэг тооллын системд нэгдүгээр үзэгдэл
хоёрдугаараас түрүүлж явагдаж байхад бусад тооллын системд хоёрдугаар үзэгдэл
нэгдүгээрээс түрүүлж явагдана.
Эндээс үзвэл орон зайн янз бүрийн цэгт явагдах хоёр үзэгдэл нэгэн зэрэг болох
нь харьцангуй юм. Тооллын нэг инерциал системд нэгэн зэрэг болсон үзэгдэл түүнтэй
харьцангуйгаар хөдлөх инерциал системд бас л нэгэн зэрэг болох албагүй. Харин цаг
тоологдох жамаараа л тоологдоно.
𝑋𝑌𝑍 системийн 𝑥 координат бүхий 𝐴 цэг дээр (6.1-р зураг) ямар нэг үзэгдэл
явагдсан бөгөөд үргэлжлэх хугацаа нь 𝜏′
= 𝑡1 − 𝑡2гэж яръя. Энд 𝑡1ба 𝑡2нь уг үзэгдэл
эхэлж явагдсан ба төгссөн хугацаа болохоос гадна 𝑋𝑌𝑍системд тоологдсон хугацаа
болно. Тэгвэл энэ 𝐾системтэй харьцангуй 𝑉хурдтай хөдлөж байгаа 𝐾системд уг
үзэгдлийн үргэлжлэх хугацаа
𝜏′
= 𝑡1
′
− 𝑡2
′
(6.5)
𝑡1
′
үзэгдэл эхлэх хугацаа,𝑡2
′
-үзэгдэл дуусах хугацаа бөгөөд (6.3) ёсоор:
t1
′
=
𝑡1−𝑉𝑥/𝐶2
√1−β2 t2
′
=
𝑡2−𝑉𝑥/𝐶2
√1−β2 (6.6)
6.6 –г 6,5 –д тавибал:
𝜏′ = ( 𝑡2 − 𝑡1)/ √1− 𝛽2
𝜏′
=
𝜏
√1−𝛽2 (6.7)
болох ба 𝜏′
> 𝜏 байна. Иймд 𝐾′
систем дэх үзэгдлийн үргэлжлэх хугацаа нь урт байх
нь ээ. Хэрэв 𝐾системээс түүнтэй харьцангуй 𝑉 хурдтай хөдлөж буй цагийг ажиглавал
уг цаг удаан явж байгаа юм шиг байна.

5. Хэрэв 𝐾′
системийн 𝑥′
координаттай цэгт явагдсан үзэгдлийн үргэлжлэх
хугацаа нь 𝜏′
= 𝑡1
′
− 𝑡2
′
бол уг үзэгдлийн 𝐾 системд үргэлжлэх хугацаа нь
Лоренцын хувиргалтаар:
𝜏 = 𝜏′
/√1 − 𝛽2 байх ба 𝜏 > 𝜏′
байх тул 𝐴 цэгийн харьцангуй тайван байдалд
байгаа тэр системд явагдсан үзэгдлийн үргэлжлэх хугацаа нь богино байна гэсэн
дүгнэлт хийж болно.
Хоёр системийн харьцангуй хурд 𝑉 нь хичнээн их бол үзэгдлийн
үргэлжлэх хугацаань төдийчинээ зөрөөтэй байна.
Цагийн явц удаашрах үзэгдэл зөвхөн хөдөлгөөний хурд 𝑉 маш их (вакуум дахь
гэрлийн хурдтай ойролцоо) байх тэр үед мэдэгдэхүйц болно. Энэ үзэгдэл тогтворгүй
эгэл бөөм-мвоны туршлагаар батлагдана. Мюоны хувийн дундаж амьдрах хугацаа
𝜏0 = 2.2 мкс байдаг. Мюон агаар мандлын дээд давхаргад сансрын анхдагч туяагаар
үүсэх бөгөөд дэлхийтэй харьцуулахад гэрлийн хурдтай ойролцоо хурдаар хөдлөнө.
Хэрэв хугацаа удаашрах релятив үзэгдэл байгаагүйсэн бол мюон амьдрах
хугацаандаа дэлхий дэх ажиглагчтай харьцуулахад агаар мандалд дунджаар
𝜏0′ 𝑐 = 660м –ээс хэтрэхгүй зам туулж, дэлхийн гадаргад ирж чадахгүй байв.
Үнэндээ хөдлөж буй мюоны дундаж амьдрах хугацаа дэлхийн ажиглагчийн цагаар 𝜏 =
𝜏0/√1 − 𝛽2энэ хугацаанд туулах зам 𝜏𝑉 ≫ 660𝑀 тул дэлхийн гадаргад байрлуулсан
багажаар тэдгээрийг бүртгэж болно. Дэлхийтэй харьцангуй хөдлөх сансрын алс холын
нислэг хийх боломжийг нээнэ. Харьцангуйн зарчим ёсоор сансрын хөлөгт сансрын
нисгэгч өтлөхөөс авахуулаад л бүх процесс дэлхий дээрх тэр л хуулиар явагдана.
Гэвч энэ үед хөлөг дотор цаг хугацааг дэлхийтэй харьцуулахад 𝑉 хурдтайгаар
хөлөгтэй хамт хөдлөх тэр цагаар хэмжих болно. Хэрэв 𝑉 хурд с-тэй ойролцоо бол
хөлөгт орох цаг, буудал дахь цагаас ихээхэн удаан, тухайлбал
1
√1−𝛽2 дахин удаан
явна.
Жишээлбэл, 𝛽 = 𝑉/𝑐 = 0.9999үед сансрын хөлөг ба дэлхий дээрх цагийн зөрөө
224 дахиэ ялгаатай байх ажээ. 𝑉 хурд хэдийчинээ гэрлийн хурдад ойртоно, сансрын
хөлөг төдийчинээ их замыг 𝜏0 хугацаанд туулж сансрын нисгэгчид асар холын нислэг
хийх боломж бүрдэнэ. Хэрэв сансрын нисгэгч гэрлийн хурдтай ойролцоо 𝑉
хурдтайгаар сансрын нислэг хийж дэлхийд буцаж ирвэл үдэгсдийг өөрөөсөө илүү
хөгширсөн болохыг мэдэх болно. 1/√1 − 𝛽2 ≫ 1 буюу с-ээс тун бага ялгаатай 𝑉
хурдаар ниссэн сансрын нисгэгч үе тэнгийн хүмүүсийн дундаж настай тэнцэх
хугацаанд алсын нислэг хийгээд дэлхийдээ буцаж ирвэл дараачийн олон үеийн
танихгүй хүмүүс л түүнийг угтах жишээтэй юм. Ийнхүү буудал ба хөлөг дэх цагийн
заалтын ялгаа хөлөг газардсаны дараа нэг талаас эерэг, нөгөө талаас сөрөг утгатай
байх ёстой. Энэ хэвийн биш дүнг цагийн буюу хугацааны гажиг (парадокс) гэдэг.
Хөдлөж байгаа биеийн шугаман хэмжээс (урт) өөрчлөгддөг болохыг мэдэхийн тулд
𝐾 𝑡
системтэй хамт 𝑥′
тэнхлэгийн дагуу хөдлөж буй саваа (бие) авъя. Тэгвэл энэ бие𝐾
системтэй харьцуулахад 𝑉 хурдтай байна.𝐾 𝑡
системд уг бие харьцангуй тайван
байдалд байх тул түүний урт𝐿𝑡
= 𝑥2
𝑡
− 𝑥1
𝑡
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,энэд 𝑥2
𝑡
ба 𝑥1
𝑡
савааны төгсгөлийн ба

6. эхний координат болно.𝐾 системтэй харьцангуй 𝑉 тогтмол хурдтай хөдлөж байгаа бие
(саваа)𝐾 системд ямар урттай байхыг олохын тулдбиеийн эх ба төгсгөлийн координат
𝑥1, 𝑥2-ийг 𝐾 системд нэг ижил 𝑡 хугацаанд хэмжих хэрэгтэй болно.
Лоренцын хувиргалтаар
L′
= x2
′
− x1
′
=
𝑥2 − 𝑉𝑡
√1 − β2
−
𝑥1 − 𝑉𝑡
√1 − β2
=
𝑥2 − 𝑥1
√1 − β2
болно. Үүний 𝐿 нь𝐾 систем дэх биеийн урт. Иймд𝐾 системтэй харьцуулахад𝑉 хурдтай
хөдлөж байсан биеийн𝐿 урт нь харьцангуй тайван байдалд байгаа биеийн 𝐿′
урттай
𝐿 =
𝐿′
√1−𝛽2 ( 6.8) гэсэн холбоотой байна. 𝐾 систем дэх биеийн урт нь 𝐾′
систем дэх
биеийн уртаас богино 𝐿 < 𝐿′
байна. Өөрөө хэлбэл, ямар системд бие нь
харьцангуйгаар тайван байдалд байна тэр систем дэх биеийн шугаман хэмжээг
түүний хувийн хэмжээ гэнэ. (6.8) илэхрийллээс үзвэл инерциал тооллын системтэй
харьцангуйгаар хөдлөж байгаа биеийн шугаман хэмжээ хөдөлгөөний чиглэлд √1 − 𝛽2
дахин багасна. Бие хөдлөх үеийн энэхүү өөрчлөлтийг Лоренц агшилт гэнэ.
Хөдөлгөөний хурд хэдийчинээ их байвал Лоренц агшилт төдийчинээ их байна. Ийнхүү
биеийн шугаман хэмжээ адилгүй юм. Харин бага хурдтай(𝑉 ≪ 𝑐)байхад √1 − 𝛽2 ≈ 1
гэж авч болох тул биеийн шугаман хэмжээсийн өөрчлөлтийг хайхрахгүй байж болно.
Ньютоны механикт хурдыг нэмэх теорем нь Галилейн хувиргалтаас гарна. Гэтэл
Лоренцийн хувиргалтаар эдгээр хурднуудын хооронд өөр холбоотой. 𝐾 системтэй
харьцангуйгаар𝑉 хурдтай хөдлөж байгаа материал цэгийн хөдөлгөөнийг авч үзье.
Одоо𝐾 тооллын системд энэ цэгийн хурдыг тодорхойлъё. Хэрэв𝐾 систем энэ цэгийн
хөдөлгөөн хугацааны𝑡 агшин бүрд 𝑥, 𝑦, 𝑧 координатаар харин𝐾′
системд хугацааны𝑡
агшинд 𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′
координатаар тодорхойлогдож байна гэвэл
𝑈𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑈 𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑈𝑧 =
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑈′ 𝑥 =
𝑑𝑥′
𝑑𝑡
𝑈′ 𝑦 =
𝑑𝑦′
𝑑𝑡
𝑈′ 𝑧 =
𝑑𝑧′
𝑑𝑡
Илэрхийлэлүүд нь 𝐾 ба𝐾 𝑡
системтэй харьцангуй авч үзэж буй цэгийн хурдны векторын
𝑥, 𝑦, 𝑧 ба 𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′
тэнхлэг дээрх проекцуудыг илэрхийлнэ.(6.3) Лоренцын хувиргалт
ёсоор:
dx′
=
𝑥−𝑉𝑑𝑡
√1−β2 𝑑𝑦′
= 𝑑𝑦 𝑑𝑡′
= 𝑑𝑧 𝑑t =
𝑡′
+𝑉𝑑𝑥′/𝐶2
√1−β2
Бөгөөд харгалзах хувиргалт хийж харьцангуйн тусгай онолын хурдыг нэмэх релятив
хуулийг гаргана.

7. 𝐾′
→ 𝐾
𝑈𝑥 =
𝑈 𝑥
′
+𝑉
1+𝑉𝑈 𝑥
′
/𝑐2 𝑈 𝑦 =
𝑈 𝑦
′
√1−β2
1+𝑉𝑈 𝑦
′
/𝑐2 𝑈𝑧 =
𝑈𝑧
′
√1−β2
1+𝑉𝑈𝑧
′
/𝑐2
(6.7)
𝑈′ 𝑥 =
𝑈 𝑥+𝑉
1+𝑉𝑈 𝑥/𝑐2 𝑈′ 𝑦 =
𝑈 𝑦√1−β2
1+𝑉𝑈 𝑦 /𝑐2 𝑈′ 𝑧 =
𝑈𝑧 √1−β2
1+𝑉𝑈𝑧/𝑐2
Хэрэв материал цэг 𝑥 тэнхлэгтэй параллелиар хөдлөж байвал 𝐾 системтэй
харьцангуй хурд 𝑈 нь 𝑈𝑥-тэй харин 𝐾′
системтэй харьцангуй хурд 𝑈′
нь𝑈𝑥
′
-тэй тус тус
тэнцүү болно. Тэгвэл хурдыг нэмэх хууль нь дараах хэлбэртэй болно.
(6.8) 𝑈 =
𝑈′+𝑉
1+𝑉𝑈′/𝑐2 𝑈′ =
𝑈−𝑉
1−𝑉𝑈/𝑐2
𝑉, 𝑈′
ба 𝑈 хурдууд гэрлийн хурд 𝑐-тэй харьцуулахад бага байхад (6.7) ба (6.8)
томъёонууд нь сонгодог механик дахь хурдыг нэмэх хуулиудыг илэрхийлнэ. Ингэж
релятив механикийн хуулиуд нь бага хурдтай (𝑐-тэй харьцуулахад) байх хязгаарын
тохиолдолд Эйнштейний механикийн тухайн тохиолдол болох сонгодог механикийн
хуулиудад шилжинэ. Хурдыг нэмэх релятив хууль нь Эйнштейний хоёрдугаар
үндэслэл (постулат)-д захирагдана. Үнэндээ, хэрэв 𝑈′
= 𝑐 бол (6.8) томъёо
𝑈 =
𝑐 + 𝑉
1 + 𝑐𝑉/𝑐2
Хэлбэртэй болно. Энэ үр дүн бол харьцангуйн тусгай онол зөв болохын баталгаа
болж чадна. Хэрэв нэмэгдэж байгаа хурдууд гэрлийн хурдад ойролцоо бол тэдгээрийн
нийлбэр хурд үргэлж𝑐-ээс бага байх болно гэдгийг батлая. Жишээ болгож 𝑈 = 𝑉 =
𝑐 хязгаарын тохиолдлыг авч үзье. (6.8)-д энэ нөхцөлийг оруулахад 𝑈 = 𝑐 гарна. Ингэж
дурын хурдуудыг нэмэхэд үр дүн нь вакум дахь гэрлийн хурд 𝑐-ээс давахгүй(их байх
боломжгүй). Вакуум дахь гэрлийн хурд нь хурдны дээд хязгаарын утга бөгөөд ямар
нэгэн орчин дахь гэрлийн хурд нь 𝑐/𝑛-тэй тэнцүү (𝑛-орчны абсолют хугарлын илтгэгч)
ба хурдны дээд хязгаар утга болж чадахгүй.
7.3 Релятив динамикийн үндэс
Сонгодог механикийн төсөөллөөр биеийн масс тогтмол хэмжигдэхүүн байдаг. Гэвч XIX
зууны сүүлээр хурдан хөдлөх электроны туршлагаар биеийн масс хурдаас хамаарна
гэдгийг тогтоосон юм. Их хурдтай тохиолдолд биеийн масс:
m =
𝑚0
√1−V2
/c2 (6.9)

8. Хуулиар өөрчлөгдөнө. Энэд 𝑚0 –материал цэгийн тайвны масс ө.х., тайван байгаа
материал цэгтэй харьцангуй инерциал тооллын системд хэмжсэн масс,𝑐-вакуум дахь
гэрлийн хурд (𝑐 = 3 ∙ 108
м/с), 𝑚-релятив масс. Байгалийн бүх хууль, нэг инерциал
тооллын системээс нөгөө инерциал тооллын системд шилжихэд инвариант гэдгийг
баталсан Эйнштейний харьцангуйн зарчмаас физикийн хуулиуд Лоренцийн
хувиргалтанд инвариант байх нөхцөл биелэнэ. Ньютоны динамикийн үндсэн
тэгшитгэл:
d
dt
(
𝑚0
√1−V2
/c2 V) = F (6.10)
Болох бөгөөд үүний
p = mV =
𝑚0
√1−V2
/c2 V (6.11)
Нь материал цэгийн релятив импульс юм. Огторгуйн нэг төрлийн чанараас үндэслэн
мөн релятив механик релятив импульс хадгалагдах хууль биелнэ. Битүү системд
релятив импульс хадгалагдан ө.х., хугацааны турш өөрчлөгдөхгүй. Энэ хуулиас
релятив масс хадгалагдах хууль гарна. Битүү системд явагдаж буй дурын процессын
үед бүрэн релятив масс хадгалагдана. (6.9), (6.10) ба (6.11) томъёонд шинжилгээ
хийж үзвэл: гэрлийн хурдаас маш бага хурдны үед 𝑚нь бараг𝑚0 − 𝑐ялгагдахгүй тул
тогтмол гэж үзэж болох учраас 𝑝 = 𝑚𝑉 = 𝑚0 𝑉 болж (6.10) тэгшитгэл сонгодог
механикийн үндсэн хуульд шилжинэ. Иймд сонгодог механикийг хэрэглэх нөхцөл нь:
𝑉 ≪ 𝑐 релятив ба квант механикийн хуулиуд (микро бие, микро бөөмүүдийн
харилцан үйлчлэл, хөдөлгөөнийг судлах) нь илүү түгээмэл (универсал) болох тул
эдгээр хууль нь ямарч бие, ямарч хурданд хэрэглэгдэнэ. Сонгодог механикийн
хуулиуд нь 𝑉 ≪ 𝑐 хязгаарын тохиолдолд харьцангуй тусгай онолын мөрдлөг болж
гарна. Ингэж сонгодог механик нь бага хурдтай хөдлөж байгаа макро биеийн механик
юм. Релятив масс, энергийн холбоо: Эйнштейний харьцангуйн онолын нэг чухал үр
дүн нь биеийн энерги, массын холбоог илэрхийлсэн универсал харьцаа болно. (6.9)
томъёог Ньютоны биномоор цуваанд задлан, масс энергийн холбоог хялбархан
гаргаж болно:
m = m0 (1 −
V2
c2
)
−
1
2
= m0 (1 +
1
2
V
c2
2
+ … ) ≈ m0 +
Ek
c2
Үүнээс 𝐸𝑘 = ∆𝑚𝑐2
буюу энергийн ямарч хэлбэрт тохирох байдлаар масс энергийн
холбоо бичвэл:
E = mc2
=
𝑚0 c2
√1−V2
/c2 V (6.12)

9. Үүний 𝐸𝑘 = 𝑚0 𝑉2
/2 –хөдлөж байгаа биеийн кинетик энерги, 𝐸0 = 𝑚0 𝑐2
тайвны энерги.
(6.12) тэгшитгэл нь байгалийн тулгуур хууль болох энерги, массын холбоог
илэрхийлсэн хууль юм. Системийн бүрэн релятив энерги түүний бүрэн релятив
массыг вакуум дэх гэрлийн хурдны кюадратаар үржүүлсэнтэй тэнцүү. Релятив
механик дахь хугацааны нэг төрөл чанараас үүдэн, сонгодог механикийн адил
релятив механикт энерги хадгалагдах хууль биелэнэ. Битүү системийн бүрэн релятив
энерги хадгалагдана. Биеийн кинетик энергийн хувьд релятив илэрхийлэл:
Ek = E − E0 = mc2
− 𝑚0c2
= 𝑚0c2
(
1
√1 − V2 /c2
− 1)
Хэлбэртэй байна. Энэ илэрхийлэл нь дурын хурдны хувьд үнэн бөгөөд харин 𝑉 ≪ 𝑐
үед сонгодог механикийн илэрхийлэлд шилжинэ.
(6.12) ба (6.11) томъёоноос бүрэн энерги ба бөөмийн импульсийн хоорондох релятив
холбоог олъё.
𝐸2
= 𝑚2
𝑐4
= 𝑚0
2
𝑐4
+ 𝑝2
𝑐2
𝐸 = √𝑚0
2 𝑐4 + 𝑝2 𝑐2 (6.13)
Ямар нэг бөөмүүдийн системийн, (жишээ нь: атомын цөм бол протон нейтроноос
тогтсон систем) тогтворшил ба холбооны бат бөхийн зэргийг тодорхойлохын тулд
холбоос энергийг авч үздэг. Системийн холбоос энерги нь системийг бүрдүүлэгч
хэсгээр нь задлах (жишээ нь, атомын цөмийг протон ба нейтрон, атомыг электрон
болон цөмд гэх мэт)-ын тулд зайлшгүй зарцуулах ажил (бөөмүүд хооронд барьцалдах
хүчний эсрэг хийх ажил)-тай тэнцүү. Системийн холбоос энерги:
Eхол = ∑ moic2
−
𝑛
𝑖=1
Moc2
(6.14)
Үүний 𝑚0 𝑖
-чөлөөт төлөв дэх 𝑖–р бөөмийн тайвны масс, 𝑀0 − 𝑛 бөөмөөс тогтсон
системийн тайвны масс. (6.12) тэгшитгэл нь маш түгээмэл шинжтэй бөгөөд энергийн
бүх л хэлбэрт хэрэглэж болохын зэрэгцээ масс нь энергитэй 𝑚 =
𝐸
𝑛𝑐2 гэсэн холбоотой
ба урвуугаар тодорхой тоо хэмжээ бүхий энерги мөн л тодорхой масстай холбоотой.
Релятив масс, энергийн хартлцан холбооны хууль цөмийн физикийн олон тооны
туршлагаар сайн батлагдсан юм. Тухайлбал, цөмийн урвал явагдахад ялгарах энери
гэх мэт. Биеийн масс нь хурднаас хамаарч тогтмол биш хэмжигдэхүүн болох ба харин
биеийн урт, үзэгдлийн үргэлжлэц бол абсолют хэмжигдэхүүн биш, харьцангуй
чанартай юм. Масс, энерги нь бие биетэйгээ холбоотой төдийгүй материйн янз бүрийн
чанарыг чанарын талаас илэрхийлнэ. Үнэн чанартаа, масс энергийн холбооны хууль
нь биеийн энергийн дурын хувирал түүний массын хувирлыг буй болгоно гэдгийг
батладаг. Гэхдээ масс <<энергид шилжихгүй>> харин нэг хэлбэрээс нөгөө хэлбэрт
(жишээ нь: тайвны масс, цахилгаан соронзон цацралын массд хувирах) хувирна.
Ингэж масс нь материйн тоо хэмжээний хэмжээс харин энерги нь харилцан үйлчлэл
ба хөдөлгөөний янз бүрийн хэлбэрийг илэрхийлдэг хэмжээс болох тул масс, энергийн
холбооны хууль нь диалектик материализмын тулгуур асуудлын нэг болох хөдөлгөөн
ба материйн тасралтгүй чанарын баталгаа болдог.