Вневписанная окружност

1. Криворожская общеобразовательная школа І – ІІІ ступеней № 41
Работа ученика 9 В класса
Шевченко Антона
Руководитель работы
Болотская Лариса Александровна
учитель математики
Вневписанная окружность
Вневписанная окружность

2. 2
Геометрия является самым
могущественным средством для
изощрения наших умственных
способностей и дает нам
возможность
правильно мыслить и рассуждать.
Г. Галилей

3. Конфигурации треугольника и
окружности
3

4. 4
Цель работы. Выявить свойства вневписанной
окружности и ее применение к решению задач.
Задачи работы. Рассмотреть задачи, приводящие к
понятию вневписанной окружности. Ввести определение
вневписанной окружности, ее центра и радиуса. Изучить
свойства вневписанной окружности и ее связь с
основными элементами треугольника. Показать
применение свойств вневписанной окружности к решению
задач.
Объект исследования : вневписанная окружность
Предмет исследования : систематизация свойств
вневписанной окружности треугольника для решения
задач.

5. Элементы вневписанной
окружности и свойства
ОА – центр
вневписанной
окружности
ОАК1 ;ОАК2;ОАК3 –
радиусы
вневписанной
окружности
АК1 = АК2 = p
5

6. Теоремы о вневписанной
окружности
ra =
ra =p·tg
ra + rb + rc = r + 4R
rarb + rbrc + rcra = p2
rarbrc = rp2
6
2
α
rrrr cba
1111
=++

7. Исследование расстояний между точками
касания окружностей к гипотенузе
NK - расстояний между
точками касания
окружностей
NK=
7
A
BC
N
K
Oc
O

8. Исследование расстояний между точками
касания окружностей к катету
NK= rа – r;
КМ = .
8
A
BC
K M
N
O
Oa

9. Исследование расстояний между точками касания
окружностей к сторонам равнобедренного
треугольника
9
A
B
C
O
N
K
Oa
Ob
R

10. Высота равностороннего треугольника
10
B
A C
Оb
r
h
P

11. Взаимное расположение вписанной, описанной
и вневписанных окружншстей
• Отрезки, соединяющие
центр вписанной в
треугольник
окружности с центрами
вневписанных
окружностей, делятся
пополам окружностью,
описанной вокруг этого
треугольника
11

12. 12
Вывод
• Взгляд на планиметрию через призму
конструкций дает нам возможность по-
новому посмотреть на хорошо знакомый
материал, связать его с новыми знаниями,
укрепив их через практическое применение к
решению задач.
• Работая над данной темой научился
лучше рассуждать, анализировать и
систематизировать геометрический
материал.

13. 13
Спасибо за внимание

14. 14

15. 15
Задача 2. К двум непересекающимся окружностям
проведены две общие внешние касательные и
общая внутренняя касательная. Докажите, что
отрезок внутренней касательной, заключенный
между внешними касательными, равен отрезку
внешней касательной, заключенному между
точками касания.

16. 16
Решение: Пусть даны две окружности. Точки касания
окружностей с первой внешней касательной - А и В, со
второй - С и D. Внутренняя касательная пересекает
внешние в точках M и N. Продолжим прямые АВ и CD до
их пересечения в точке К. Тогда окружность с центром О2
является вписанной в треугольник MNK, а окружность с
центром 01 — вневписанной. Обозначим сторону MN
треугольника MNK — а и его полупериметр — р. Тогда (по
теореме 2) АК = р и ВК = р - а. Значит, АВ = а, то есть АВ =
MN. Аналогично CD = MN.

17. 17
Задача 2. Дан треугольник ABC со сторонами а, b,
с. Найти длины отрезков, на которые делятся
стороны треугольника точками касания
вневписанных окружностей.
Решение: Пусть AQ=y. Тогда AS=y, QC=CT=b-y,
BS=BT, следовательно
cp
cba
yybayc −=
−+
=−+=+
2
),(

18. Задача
18