Урок математики «Взаимное расположение прямой и окружности»

1. Цель:
1. Рассмотреть различные случаи взаимного расположения прямой и
окружности, выяснить, от чего зависит их взаимное расположение;
2. Совершенствовать навыки решения задач;
3. Развитие логического мышления, навыков самоконтроля;
4. Воспитание культуры математической речи, уважительного отношения
к мнению окружающих.
Тип урока: изучение нового материала
Формы работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная
Оборудование:
• Персональный компьютер
• Мультимедийный проектор
• Интерактивная доска
• Авторская презентация, подготовленная с помощью Microsoft Power
Point
• Карточки с заданиями
Структура урока
1. Организационный момент
2. Актуализация имеющихся знаний обучающихся по теме
3. Решение задач на закрепление изученного материала
4. Домашнее задание
5. Подведение итогов
6. Дополнительные задачи
Ход урока
1.Организационный момент урока: приветствие, сообщение темы урока,
формулировка цели урока. Запись в тетради даты и темы
Тема урока. Слайд 1.
2. Актуализация знаний.
1) Повторить определение окружности, её радиуса, диаметра и хорды.
Слайды 2, 3.

2. Окружностью называется геометрическая фигура,
– это отрезок, соединяющий две точки
окружности.
– это отрезок, соединяющий центр с
какой-либо точкой окружности.
– это хорда, проходящая через центр
окружности.
Хорда
Радиус
Диаметр
состоящая из всех точек плоскости,
расположенных на заданном расстоянии от
данной точки.
. . .
P
C1
D1
N
T
O
B
M
C
D
A
S
Хорды:
Диаметры:
Радиусы:
MN, CD, AB
AB
OP, OA, OB
2) Решение задач с целью подготовки учащихся к изучению нового
материала.
Слайды 4,5,6.

3. O
C
O
K
A
?
В окружности с центром О проведены диаметр
АС и радиус ОК так, что хорда КС равна
радиусу. Найдите угол АОК.
O
C
O
B
A
5см
r=5см
5см
120O
30O
60O
5см
60O
60O
В окружности с центром О проведены диаметр
АС и хорда ВС, равная радиусу. Найдите
стороны треугольника АВС, если радиус
окружности равен 5 см.

4. О
В
С
8см
D
?
5см
В окружности с
центром О
проведена хорда
ВС, равная 8 см.
Найдите
расстояние от
точки О до отрезка
ВС, если радиус
окружности равен
5 см.
В ходе решения задач подвести учащихся к выводу 1. Слайд 7.
Даны окружность с центром О и точка А. Где
находится точка А, если радиус окружности
равен 7 см, а длина отрезка ОА равна: а) 4 см,
б) 10 см, в) 7 см?
Вывод 1. Точка А находится на окружности
тогда и только тогда, когда ОА = r.
О
7см
3) Повторить определение перпендикуляра и наклонной. Слайд 8.

5. a
A
B C
Как называется отрезок AB ?
Как называется отрезок AC?
Сравните отрезки AC и AB
Вывод 2. Наклонная больше перпендикуляра
Выводы 1 и 2 вывешиваются на доске.
3. Изучение нового материала.
1) Подумайте, как могут располагаться по отношению друг к другу
прямая и окружность, выполните чертёж;
2) Проверка. Слайд 9
O
O O
a
a
a
3) Задание по группам: подумайте, почему ваши окружность и прямая
пересеклись 2 раза, 1 раз, не пересеклись. После обсуждения каждая группа
предлагает свою гипотезу;

6. 4) Учитель: значит, вы утверждаете, что если d<r, то прямая и
окружность пересекаются 2 раза, не меньше и не больше. Докажем это.
Пусть r – радиус окружности
d – расстояние от точки О до прямой а
а) как найти расстояние от точки О до прямой а?
ОН⊥а
ОН= d
б) на прямой а отложить отрезки НА=НВ= 22
dr −
ОА2
=ОН2
+НА2
=d2
+r2
- d2
=r2
, ОА=r ⇒ точка А лежит на окружности.
ОВ=ОА= r ⇒ точка В лежит на окружности.
Таким образом, прямая а и окружность имеют 2 общие точки.
5) Вторая группа утверждает, что если d=r, то окружность и прямая
имеют одну общую точку. (Учащиеся самостоятельно доказывают это
утверждение)
ОН= r ⇒ точка Н лежит на окружности.
Единственность общей точки доказывается с помощью вывода №2.
Для любой точки М прямой а: ОН – перпендикуляр, ОМ - наклонная к
прямой а ⇒ ОМ> ОН ⇒ ОМ> r ⇒ точка М не лежит на окружности
6) Третья группа утверждает, что если d>r, то прямая и окружность не
пересекаются.
ОН> r
Для любой точки М прямой а будет верно неравенство ОМ>ОН> r (Вывод 2)
⇒ точка М не лежит на окружности (Вывод 1) ⇒ общих точек нет.
7) Рассмотреть случай, когда прямая проходит через центр окружности.
Слайд 10
А Н В
О
О
МН

7. O
A
B
8) Подвести итог.
Если d<r, то прямая и окружность пересекаются 2 раза. В этом случае прямая
а называется секущей к окружности.
Если d=r, то окружность и прямая имеют одну общую точку. В этом случае
прямая а называется касательной к окружности.
4. Закрепление изученного материала.
1) По учебнику решить устно №631(а, в, д) по готовому слайду. Слайд 11.
№№ 631(631(аа,,вв,,дд))
ПустьПусть dd –– расстояниерасстояние отот центрацентра
окружностиокружности радиусарадиуса rr додо прямойпрямой рр..
КаковоКаково взаимноевзаимное расположениерасположение
прямойпрямой рр ии окружностиокружности,, еслиесли::
аа)) rr=16=16 смсм,, dd =12=12 смсм;;
вв)) rr =7,2=7,2 дмдм,, dd =3,7=3,7дмдм;;
дд)) rr =5=5 смсм,, dd =50=50 мммм??
2) В карточках с заданиями решить №1 устно, №2 в тетрадях.
№1.Проведите прямые через каждые две точки. Сколько общих точек имеет
каждая из прямых с окружностью.

8. Ответ.
Прямая ______ и окружность не имеют общих точек.
Прямая ______ и окружность имеют только одну ___________ точку.
Прямые ______, _______, ________, _______ и окружность имеют две общие
точки.
№2. В треугольнике АВС, изображенном на рисунке, ∠А=90о
, АВ=5 см,
ВС=13 см. Найдите радиус окружности с центром С, если она имеет с прямой
АВ только одну общую точку.
5. Домашнее задание: п.68, №631(б,г), 632.
6. Подведение итогов.
1) Каково взаимное расположение прямой и окружности?
2) В каком случае прямая и окружность пересекаются, касаются, не
пересекаются?
3) Объявить оценки
А В
С
D
А
В
С