1. Федеральное агентство по образованию
Вятский государственный гуманитарный университет
П. М. Горев
И. И. Подгорная
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Учебное пособие
для студентов I курса,
обучающихся по специальности
050201.65 Математика
Киров
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. 2
Издательство ВятГГУ
2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. 3
ББК 22.161.0я73
Г68
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Вятского государственного гуманитарного университета
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор
Е. М. Вечтомов
кандидат физико-математических наук, доцент
В. И. Варанкина
учитель высшей категории
физико-математического лицея г. Кирова
М. А. Прокашева
Г68 Горев, П. М. Введение в анализ: практикум по решению задач [Текст]:
учебное пособие / П. М. Горев, И. И. Подгорная. – Киров: Изд-во ВятГГУ,
2006. – 66 с.: ил.
Учебное пособие посвящено основным разделам курса «Введение в анализ» и содержит ма-
териал к 15 тематическим занятиям, включающий примеры с готовыми решениями, задачи
для обсуждения в аудитории и самостоятельной работы, тесты «Проверь себя». В пособии
приведены примерные варианты двух контрольных работ по изучаемой тематике.
Книга предназначена для студентов младших курсов физико-математических специально-
стей педагогических вузов, а также может быть адресована в качестве дополнительной лите-
ратуры старшеклассникам школ и классов с углубленным изучением предмета.
© Издательство ВятГГУ, 2006
© Горев П.М., Подгорная И.И., 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. 4
Предисловие
Предлагаемое учебное пособие составлено в соответствии с требованиями
Государственного стандарта высшего профессионального образования и рабочей
программы дисциплины «Математический анализ» для специальности 050201.65
Математика. Оно содержит материал к практикуму по курсу «Введение в ана-
лиз», который изучается в течение первого семестра.
Работа первокурсника с учебным пособием опирается на методический
подход, предполагающий отработку каждого занятия на четырех основных эта-
пах: подготовка к занятию, аудиторная, самостоятельная и контрольная работы.
При подготовке к занятию студент изучает теоретический материал, обо-
значенный в вопросах к обсуждению, разбирает примеры решения задач. Как
правило, практические занятия проводятся после прочтения соответствующих
вопросов в лекционном курсе, поэтому для подготовки достаточно изучения
лекций, однако для углубления знаний можно обратиться к рекомендованным
учебным пособиям. При разборе задач следует сначала попытаться самостоя-
тельно решить их и свериться с предложенным решением. Если задачу решить
не удается, необходимо не просто прочесть решение, но и разобраться, почему
задача решается именно так; подобрать похожую задачу (например, из задач
аудиторной работы) и попытаться решить ее.
Аудиторная работа направлена на обсуждение основных теоретических
вопросов и ключевых задач темы занятия. Она проводится, как правило, фрон-
тально с использованием непродолжительных самостоятельных работ для ре-
шения задач. Цель аудиторной работы заключается в предоставлении студенту
возможности получить наиболее полные представления о способах решения за-
дач и их теоретическом обосновании.
На этапе самостоятельной работы студент решает предложенные задачи
и выявляет пробелы в знаниях при помощи теста «Проверь себя», ответы к ко-
торому приведены в конце пособия. Количество задач в домашних заданиях
обусловлено требованиями учебных программ нового поколения, предполага-
ющих большой объем самостоятельной работы; возникает также необходи-
мость расширить спектр задач, определить их место и значение во всем курсе
«Ведение в анализ», что обеспечивается включением заданий, связывающих
тему занятия с предыдущим материалом.
Новое занятие начинается с контрольного теста по изученному ранее ма-
териалу, дающего оценку знаниям и умениям студента. Таким образом, в тече-
ние семестра каждый первокурсник получает около 20 отметок, включая оцен-
ки за тесты к каждому занятию, контрольные работы, домашние контрольные
работы, семинары и т. п. Такая система оценки очень близка к школьной и
обеспечивает работу студентов с учебным материалом в течение семестра и в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5. 5
значительной степени облегчает работу преподавателя при выставлении итого-
вой оценки за семестр.
В учебном пособии также приведены примерные варианты двух контроль-
ных работ. При подготовке к контрольной работе необходимо решить пример-
ный вариант, обращаясь к изученному ранее материалу.
Заметим, что для достаточно обширного материала первого семестра отво-
дится не так много аудиторных часов, поэтому практически каждое занятие
предполагает изучение новой темы, что еще раз подчеркивает необходимость
систематической самостоятельной работы студента над учебным материалом.
Кроме первокурсников математического факультета пособие может быть
рекомендовано в качестве дополнительной литературы студентам, обучающим-
ся на специальностях, предполагающих достаточно большой объем занятий по
математическому анализу, а также старшеклассникам школ и классов с углуб-
ленным изучением математики.
Авторы считают своим долгом выразить благодарность декану математиче-
ского факультета ВятГГУ, кандидату физико-математических наук доценту
В.И. Варанкиной за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания по
совершенствованию изложения материала в пособии.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

6. 6
Программа вводного минимума
Ниже приведен список вопросов, знание которых в объеме школьной программы необходи-
мо для успешного освоения курса «Введение в анализ». При составлении заданий предпола-
галось, что студенты хорошо владеют этими вопросами, а при необходимости могут само-
стоятельно повторить материал, используя для этого действующие школьные учебники по
алгебре и началам анализа.
 Выражения и преобразования
Многочлены от одной переменной. Формулы сокращенного умножения. Формула
корней квадратного трехчлена, нахождение рациональных корней многочленов
высоких степеней. Разложение многочленов на множители. Деление «уголком».
Модуль действительного числа, его свойства.
Корень n-й степени и его свойства. Степень с рациональным показателем, свой-
ства степеней. Логарифм и его свойства. Тождественные преобразования ирра-
циональных, степенных, логарифмических выражений.
Арифметическая прогрессия, формулы общего члена, суммы первых членов
арифметической прогрессии. Геометрическая прогрессия, формулы общего
члена, суммы первых членов геометрической прогрессии, суммы бесконечной
убывающей геометрической прогрессии.
 Тригонометрия
Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Соотношения между
тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы сложения аргу-
ментов, сложения функций, произведения функций, двойного угла, понижения
степени, приведения. Универсальная тригонометрическая подстановка.
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числового аргумента. Основ-
ные соотношения для обратных тригонометрических функций.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений.
 Функции
Область определения функции, множество значений. Нули функции, промежут-
ки знакопостоянства. Свойства функций: четность (нечетность), периодичность,
монотонность. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Элементарные функции, их свойства и графики: линейная, квадратичная, дроб-
но-линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические,
обратные тригонометрические.
Основные приемы преобразования графиков функций: сдвиги, растяжения,
отображения относительно осей. Построение графиков функций, содержащих
знак модуля.
 Метод координат на плоскости
Координаты точки на плоскости. Расстояние между точками. Взаимное распо-
ложение двух прямых на плоскости: параллельность, перпендикулярность.
Угол между прямыми. Уравнение окружности.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

7. 7
Занятие 1
Соответствия и отображения
 Вопросы к обсуждению
Соответствия. Область определения и множество значений при соответствии. Образы и про-
образы элементов и множеств при соответствии, полный прообраз элемента и множества.
Функциональное соответствие. Отображения. Виды отображений: сюръективное, инъектив-
ное, биективное (взаимно однозначное). График отображения.
 Примеры решения задач
Пример 1.1. Пусть X – множество всех выпуклых четырехугольников на плоскости,
Y – множество точек этой плоскости. Выясните, какие из нижеприведенных со-
ответствий между множествами X и Y являются отображениями, а какие не яв-
ляются таковыми. Найдите их области определения.
Четырехугольнику соответствует:
1) точка пересечения его диагоналей;
2) множество центров всех окружностей, не пересекающихся с его сторонами;
3) центр вписанной в него окружности.
► 1) Так как у каждого выпуклого четырехугольника существует единственная точка пере-
сечения диагоналей, то данное соответствие является функциональным, всюду определен-
ным соответствием, то есть отображением. 2) Поскольку существует бесконечно много
окружностей, не пересекающихся со сторонами данного четырехугольника, то заданное со-
ответствие (всюду определенное) не является отображением. 3) Соответствие является
функциональным, но, так как не в любой четырехугольник можно вписать окружность, оно
не всюду определено: его область определения – множество таких четырехугольников, в ко-
торые можно вписать окружность. Следовательно, это не отображение.
Пример 1.2. Отображение RRf : задается формулой
  xxf sin . Определите образ  Af множества   ;0A и
полный прообраз  Bf 1
множества  2
1
2
1
;B .
► На промежутке  ;0 синус принимает все значения из промежутка
]1;0[ , значит, ]1;0[)( Af . Синус принимает значения из промежутка
 2
1
2
1
;B , если аргумент лежит в объединении промежутков вида
 nn  
66
; , Zn (рис. 1). Это и есть полный прообраз множества B.
Пример 1.3. Определите, какие из приведенных ниже соответствий являются всюду
определенными, функциональными, сюръективными, инъективными и биективны-
ми:
1) каждому автомобилю ставится в соответствие регистрационный номер;
2) каждому квадрату на плоскости ставится в соответствие точка пересечения
его диагоналей (область отправления – множество всех квадратов на плоско-
сти; область прибытия – множество всех точек плоскости);
3) соответствие, заданное формулой xy cos1 .
► 1) Соответствие не всюду определено, так как есть автомобили без регистрационных но-
меров (например, новые); функционально, так как каждому автомобилю ставится в соответ-
ствие ровно один номер; не сюръективно, так как существуют регистрационные номера, не
принадлежащие никакой машине; инъективно, поскольку разным автомобилям соответству-
ют разные номера; не взаимно однозначно. 2) Соответствие всюду определено и функцио-
2
1
2
1

6

6


6
5
6
7
Рис. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

8. 8
нально, так как у каждого квадрата есть точка пересечения его диагоналей, то есть это отоб-
ражение; сюръективно, так как любой точке плоскости соответствует какой-либо квадрат,
точкой пересечения диагоналей которого она является; не инъективно, так как существуют
квадраты, у которых одна и та же точка пересечения диагоналей; не взаимно однозначно.
3) Соответствие не всюду определено, так как в точках Znn 
,2
косинус обращается в
ноль и дробь не существует; функционально, так как каждому допустимому значению аргу-
мента ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной; не сюръектив-
но, так как в точки интервала (–1; 1) ничего не отображается; не инъективно, в силу перио-
дичности косинуса, следовательно, не взаимно однозначно.
Пример 1.4. Пусть X – множество букв {г, р, ф, к} а Y – множество букв {а, и}. Со-
ответствие сопоставляет каждой букве из множества X ту букву из множества
Y , которая стоит следующей за ней в слове «график». Является ли данное соот-
ветствие отображением? Укажите его свойства. Запишите прямое произведение
YX  и график данного соответствия.
► Данное соответствие является функциональным, но не всюду определенным. Это не отоб-
ражение, так как его область определения – {р, ф} X . {YX (г, а), (р, а), (ф, а), (к, а),
(г, и), (р, и), (ф, и), (к, и)}, график – {(р, а), (ф, и)}.
 Задачи для обсуждения в аудитории
1.1. Каждому параллелограмму сопоставляется его площадь (область отправления –
множество всех параллелограммов на плоскости, область прибытия – множе-
ство действительных чисел). Является ли это соответствие отображением? Ка-
ковы его область определения и множество значений?
1.2. Каждой окружности сопоставляется ее касательная (область отправления – мно-
жество всех окружностей на плоскости; область прибытия – множество всех пря-
мых на плоскости). Является ли это соответствие функциональным?
1.3. Существует ли отображение, область определения которого состоит из четы-
рех, а множество значений – из пяти элементов? из трех элементов?
1.4. Отображение каждой букве русского алфавита сопоставляет ее порядковый но-
мер. Найдите образ множества };;{ иеа . Найдите полный прообраз множества
}4;3;2;1{ . Запишите несколько элементов графика данного отображения.
1.5. При заданном отображении f найдите образ  Af множества A и полный про-
образ  Bf 1
множества B:
1)   2
xxf  ;  2;1A ;  4;1B ; 2)   xxf  ; NA  ; NB  ;
3)    xDxf  ;  1;0A ;   ;5,0B ; 4)   xxf sgn ;   ;0A ;   ;2B
1.6. Найдите образы множеств  3;2;11 A и  NkkA  ,22 при заданном отобра-
жении  





 
нечетно;,2
четно;,2/
n
nn
nf n
 Nn . Запишите множество, являющееся гра-
фиком отображения множества 1A . Изобразите его на координатной плоскости.
1.7. Каждому студенту в группе сопоставляется его имя. Является ли данное соответ-
ствие функциональным, всюду определенным, сюръективным, инъективным, вза-
имно однозначным? Возможно ли, что такое соответствие не будет отображением?
Функция
Всюду
опреде-
ленная
Сюръек-
тивная
Инъек-
тивная
Биек-
тивная
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

9. 9
1.8. Заполните таблицу для функций из R в R:
1) 2
xy  , 2) 3
xy  , 3) xy sin , 4) xy tg ,
5)  xDy  , 6)
x
y
1
 .
 Задачи для самостоятельного решения
1.9. Каждой окружности сопоставляется вписанный в нее квадрат (область отправле-
ния – множество всех окружностей на плоскости, область прибытия – множество
всех квадратов на плоскости). Является ли это соответствие отображением? Явля-
ется ли отображением соответствие, при котором каждой окружности сопоставля-
ется вписанный в нее квадрат, стороны которого параллельны осям координат?
Каковы область определения и множество значений заданных соответствий?
1.10. Является ли отображением соответствие, при котором каждому треугольнику со-
поставляется центр описанной около него окружности (область отправления –
множество всех треугольников на плоскости; область прибытия – множество всех
точек плоскости)? Каковы его область определения и множество значений? Явля-
ется ли данное соответствие всюду определенным, сюръективным, обратимым,
взаимно однозначным?
1.11. Отображение NNf : каждому натуральному числу от 2 до 10 ставит в соот-
ветствие число всех его натуральных делителей (включая единицу). Является
ли данное отображение всюду определенным, сюръективным, инъективным,
взаимно однозначным? Запишите множество, являющееся графиком данного
отображения. Изобразите его на координатной плоскости.
1.12. При заданном отображении найдите образ  Af и полный прообраз  Bf 1
:
1)   
;;0 2
A ;  2
;0 
A ;  1;0B ;   ;0B при   xxf tg ;
2)  11,10,9A ;  5,|  nNnnA ;  2
1;0B ; 1B при  






;10,/1
;10,2
nn
nn
nf Nn .
1.13. Заполните таблицу (см. 1.8) для функций из R в R: 1) xy  , 2) xy  ,
3)
x
y
sin
1
 , 4) 2
1
x
y  , 5)
1
1
2


x
y , 6) xy sgn .
 Тест «Проверь себя»
В тесте «Проверь себя» две части: в части А предполагается выбор одного или нескольких вариан-
тов из предложенных; в части В требуется дать ответ в виде числа, функции, графика и т. п.
Часть А
А1. Отметьте соответствия, являющиеся отображениями:
1) отрезку соответствует его середина;
2) отрезку соответствует центр окружности, построенной на нем как на радиусе;
3) шару соответствует его объем;
4) треугольнику соответствует центр описанной около него окружности.
А2. Образом множества  3
2
3
; 
A при отображении RRf : , заданным формулой
xy tg , является множество
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

10. 10
1)  3;3 ; 2)     ;33; ; 3)    3;00;3  ; 4)   ; .
А3. Прообразом множества  2;;1  при отображении RRf : , заданным формулой
  xxf sgn , является множество
1)  ;0 ; 2)  ;0 ; 3)  0; ; 4)   ; .
А4. Отображение из множества книг во множество натуральных чисел ставит в со-
ответствие книге количество страниц в ней. Оно обладает свойствами:
1) всюду определено; 2) сюръективно; 3) инъективно; 4) биективно.
А5. Сюръективными из приведенных отображений из R в R являются
1) 5
xy  ; 2) x
ey  ; 3) xy tg ; 4) xy 2log .
А6. Инъективными из приведенных отображений из R в R являются
1)  xy  ; 2) x
y 5 ; 3) 3
xxy  ; 4) xy arctg .
Часть B
В1. Отображение RZf : каждому целому числу ставит в соответствие его оста-
ток от деления на 5. Какое множество является прообразом отрезка  1;0 ?
В2. Каждому натуральному числу промежутка  7;2 ставится в соответствие 1, если
оно нечетно, и 0, если четно. Запишите график этого отображения.
В3. Задайте какое-нибудь соответствие между множествами X и Y , график которо-
го совпадает с декартовым произведением YX  этих множеств.
В4. Приведите пример, заданный формулой, не сюръективного, но инъективного
отображения RRf : .
Занятие 2
Числовые функции
 Вопросы к обсуждению
Числовая функция. Область определения функции. Сужение функции. Композиция функций.
График функции. Равные функции.
 Примеры решения задач
Пример 2.1. Найдите области определения каждой из функций:
1)  
1
1
2


x
xf , 2)    25arcsin  xxf , 3)    2
1 4log xxf x   .
► 1) Функция существует тогда и только тогда, когда знаменатель выражения не обращается
в нуль и подкоренное выражение неотрицательно. Учитывая условия, составляем неравен-
ство 012
x , решение которого задает область определения функции
    ;11;fD . 2) Арксинус существует, если его аргумент принадлежит промежут-
ку  1;1 . Решая двойное неравенство 1251  x , получаем  5
3
5
1
;fD . 3) Существование
функции определяется одновременным выполнением трех условий: 04 2
 x , 01x и
11x или 22  x , 1x , 0x , что задает область определения    2;00;1 fD .
Пример 2.2. Являются ли равными функции xxf )( и xxxxg tgtg)(  ? Явля-
ется ли одна из них сужением другой?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

11. 11
► Данные функции не равны, поскольку имеют разные области определения: RDf  ,








 ZnnRDg ,
2
. Функция g является сужением функции f на множество








ZnnR ,
2
.
Пример 2.3. Для числовых функций 1)(  xxf и xxg sin)(  составьте функции
gf  и fg  .
► Чтобы составить функцию gf  , нужно в формулу )(xf вместо аргумента подставить
)(xg . Получаем:    ))(( xgfxgf  1sin  x . Аналогично,
   1sin))((  xxfgxfg  .
Пример 2.4. Постройте графики функций ))(( xgfy  и ))(( xfgy 
для функций






2если,
,2если,1
)( 2
xx
xx
xf и xxg  4)( .
► 1) Функция ))(( xgfy  будет задаваться формулой






,2)(если,))((
,2)(если),(1
))(( 2
xgxg
xgxg
xgf
то есть 3)4(  xxf при 24  x и 2
)4()4( xxf  при 24  x ..
Итак, ))(( xgfy  3)4(  xxf при 2x и
 )4())(( xfxgfy 2
)4( x при 2x . Тогда
 





,2если,4
,2если,3
))(( 2
xx
xx
xgf (рис. 2).
2) Функцию ))(( xfgy  найдем следующим образом:
 )(4))(( xfxfg





,2если,4
,2если),1(4
2
xx
xx






,2если,4
,2если,3
2
xx
xx
(рис. 3).
Пример 2.5. Решите уравнение 2
4)4( xxxf  , если функция






.2если,
,2если,1
)( 2
xx
xx
xf
► Функция )4( xf  уже была найдена в предыдущей задаче: y 3)4(  xxf при 2x и
y 2
)4()4( xxf  при 2x . Нужно рассмотреть два уравнения: 2
43 xxx  при 2x и
22
4)4( xxx  при 2x . Первое уравнение имеет корни  2132
1
2,1 x , но только один из
них удовлетворяет условию 2x :  2132
1
x . Второе уравнение имеет корни 2 и 4, из них
подходит только значение 4. Ответ:  2132
1
 ; 4.
Пример 2.6. Найдите функцию, удовлетворяющую условию x
x
x
f 







1
32
для всех 2,1  xx .
► Обозначим
1
32



x
x
t и выразим x :  32xtxt
2
3



t
t
x при 2t . Значит, уравнение можно
переписать в виде: 2,
2
3
)( 


 t
t
t
tf . Переобозначим переменную снова буквой x : 2,
2
3
)( 


 x
x
x
xf .
 Задачи для обсуждения в аудитории
y
x
Рис. 2
2
2
4
4
y
x
Рис. 3
2
2
4
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

12. 12
2.1. Найдите  1f ,  0f ,  2
1f ,  1f ,  5,1f для функции  









.21,
,10,
,02,23
2
xx
xx
xx
xf
2.2. Укажите области определения каждой из функций:
1) 2
1cos)(  xxf ; 2)   xxxf  ][ ; 3)
3
2
arccos)( 2


x
x
xf ;
4)   8 xxxf  ; 5) 4
2
2
1
)3()2(
)(



x
xx
xf .
2.3. Равны ли данные функции? Является ли одна из них сужением другой?
1) xxf )( ; 2
)()( xxg  ; 2) )2ln(ln)(  xxxf ; )2(ln)(  xxxg ;
3) xx
eexf 
)( ; 1)( xg .
2.4. Найдите области определения функций, заданных графически на рисунке 4 (а-г).
2.5. Запишите аналитически функции ))(( xgfy  и ))(( xfgy  и постройте их графики,
если функции f и g заданы формулами:   12
 xxf ;  






.2,
;2,1
xx
x
xg
2.6. Пусть   xxf sgn ;   xxg sin . Постройте графики функций gf  и fg  .
2.7. Известно, что 32)13( 2
 xxf для всех Rx . Найдите )(xfy  .
 Задачи для самостоятельного решения
2.8. Найдите  1f ,  0f ,  2
1f ,  2f ,  f для функции  












].3;(,1
),;3(,1
),0;(,
),;0[,2
Jxx
Jxx
Qxx
Qxx
xf
2.9. Для квадратичной функции )(xfy  известны значения в нескольких точках:
  21 f ,   61 f и   92 f . Восстановите аналитическую запись этой функции.
2.10. Укажите области определения функций:
1) xxf 5logsinlg)(  ; 2) 2
2
arccos)( 2
 xx
x
xf ;
3)
x
x
xf


1
2
arcsin)( ; 4)
1
1
36
3
1
arctg)( 2




x
x
x
xf .
2.11. Равны ли данные функции? Является ли одна из них сужением другой?
1) 1)(  xxf ; 44
)1()(  xxg ;
y
x
а)
1
y
x
Рис. 4
1
y
x1
y
x1
б) в) г)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

13. 13
2) )2ln()1ln()( 22
 xxxxf ; ))2)(1ln(()( 22
 xxxxg ;
3) xxxxf arcsinarcsin)( 2
 ;   2
xxg 
2.12. Запишите области определения функций, заданных графически на рис. 5 (а-г).
2.13. Решите уравнения: 1) 3)( xf ; 2) 2)( xf ; 3) 4)( xf , если






.1если,1
,1если,3
)( 2
xx
xx
xf
2.14. Составьте композиции ))(( xgf и ))(( xfg для заданных функций f и g :
1) xxxf 2)( 2
 , x
xg 2)(  , 2)
1
1
)(


x
xf , xtgxg 2
)(  .
2.15. Заданы функции






1если,1
,1если,3
)( 2
xx
xx
xf и xxg 1)( . Запишите аналитиче-
ски и постройте графики функций ))(( xgfy  и ))(( xfgy  .
2.16. Постройте графики композиций gf  и fg  для функций:
1)  









;0,
;0,2
;0,2
xx
x
x
xf   2
1 xxg  ; 2)   xxf sgn ;   42
 xxg .
2.17. Найдите функцию, удовлетворяющую условию 13
2
2 2








x
x
x
f для всех 1,2  xx .
2.18. Заданы функции






1если,2
,1если,23
)(
xx
xx
xf и 13)( 2
 xxxg . Решите уравне-
ние )2()3( xgxf  .
2.19. Решите неравенство 0)()(4  xgxf , если функции gf , для всех x R удо-
влетворяют системе уравнений





.0)1(22)12(
,)1()12(
2
xgxxf
xxgxf
 Тест «Проверь себя»
В тесте «Проверь себя» две части: в части А предполагается выбор одного или нескольких вариан-
тов из предложенных; в части В требуется дать ответ в виде числа, функции, графика и т. п.
Часть А
А7. Областью определения функции
12
2
log 2
23
2



xx
xx
y является множество
1)       ;2;01; 2
1 ; 2)      02;1; 2
1
 ; 3)     ;2;1 2
1
; 4)       ;2;00;1 2
1 .
а)
Рис. 5
б) в) г)
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

14. 14
А8. Функции  2
xy  равна функция
1) xy  ; 2)  44
xy  ; 3) 2
xy  ; 4) xy  .
А9. Если   x
xg 24  ,   232
 xxxf , то областью определения композиции
  xfg является множество
1)     ;30; ; 2) ; 3)  3;0 ; 4) R.
А10. Функция xy  является сужением функции
1) xy  ; 2) xy  ; 3) 4 2
xy  ; 4) 2
xy  .
А11. Условию 53
21
1








x
x
x
f удовлетворяет функция
1)
x
x
y
21
1


 2)
12
1



x
x
y ; 3)
12
27



x
x
y ; 4)
12
87



x
x
y .
А12. Даны функции   3 xxf и  






3,1
3,2
xx
xx
xg . Их композицию fg  задает формула
1)   






3,1
3,2
xx
xx
xfg ; 2)   






0,1
0,2
xx
xx
xfg ; 3)     






3,2
3,3 2
xx
xx
xfg ;4)     






0,2
0,3 2
xx
xx
xfg .
Часть B
В5. Приведите пример функции, заданной аналитически, областью определения ко-
торой является множество  3 .
В6. Запишите композицию fgf  , если   xxf  и   xxg  2 .
В7. Функция   962
 xxxh является композицией некоторых двух нетождественных
функций. Запишите эти функции.
В8. Запишите аналитическое выражение функции, являющейся сужением функции
1y на промежуток  ;0 .
Занятие 3
Обратная функция
 Вопросы к обсуждению
Обратимые и необратимые функции. Обратимые сужения необратимой функции. Обратная
функция и ее график.
 Примеры решения задач
Пример 3.1. Функция RRf : задана формулой   2
1 xxf  . Яв-
ляется ли она обратимой? Выберите три множества, на котором
она обратима. Найдите функции, обратные к сужениям заданной
функции на множества  ;0 и ]0;( , и постройте их графики.
► Функция обратима на любом множестве, которое не содержит противо-
положных чисел, то есть чисел вида x и x , 0x . Примером могут слу-
жить множества  0; ;  2;1 ;  ;2;2;1 . Для нахождения обратной функ-
ции к сужению заданной функции на множество  ;0 выразим x через y .
y
x1
1
2
2
f(x)
f–1
(x)
y
x
Рис. 6
1
1
2
2
f(x)
f–1
(x)
а)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

15. 15
Учитывая, что   ;0x , получаем yx  1 , где 1y . Переобозначив переменные, находим функ-
цию   xxf 
11 (рис. 6а). Подобным образом для сужения заданной функции на множество ]0;( по-
лучим   xxf 
11 (рис. 6б).
Пример 3.2. Докажите, что функция






1,13
,1,3
)(
xx
xx
xf обратима. Запишите обрат-
ную для нее функцию )(1
xfy 
 и постройте ее график. Сравните с графиком
исходной функции.
► Докажем, что функция f инъективна. Возьмем две произвольные различные точки Rxx 21, . До-
кажем, что их образы  1xf и  2xf не совпадают. Рассмотрим все возмож-
ные случаи. 1) Пусть  1;, 21 xx . Тогда из условия 21 xx  следует, что
1313 21  xx , то есть    21 xfxf  . 2) Пусть   ;1, 21 xx . Тогда условие
21 xx  влечет 33 21  xx , то есть    21 xfxf  . 3) Пусть  1;1 x ,
  ;12x . Предположим, что    21 xfxf  , то есть 313 21  xx . Так как
11 x , то 123 12  xx , что противоречит условию 12 x . Следовательно,
   21 xfxf  . Таким образом, различным значениям аргумента соответству-
ют различные значения функции, и функция инъективна. Построим график
данной функции. Если 1x , то 43 xy , значит, 3 yx при 4y .
Аналогично, при 1x имеем 413  xy , значит,  13
1
 yx при 4y .
Переобозначив переменные, находим функцию:  
 






.4,1
,4,3
3
1
1
xx
xx
xf Графики исходной и обратной
функций симметричны относительно прямой xy  (рис. 7).
Пример 3.3. При каких значениях a и b функция x
beaxf  совпадает с обратной к себе?
► По определению обратной функции для любых x должно выполняться равенство
xxff 
))((1 . Если функция совпадает со своей обратной функцией, то это равенство прини-
мает вид xxff ))(( . Значит, должно быть xbebeaxa
x
beaxx
 
)( для любых x . При 0x
получаем 0 bab . Значит, либо 0b , либо 1a . Если 0b , то получаем xxa 2
, 1a .
Обе функции xyxy  , действительно совпадают со своими обратными. Если 1a , но
0b , то получаем xbebex
x
bexx
 
, т. е.
x
bexx
ee 
 x
bexx  . При 0x получаем
0b , значит, вариант « 1a , но 0b » невозможен. Ответ: 1a , 0b .
Пример 3.4. Пусть функция f необратима, а функция g обратима. Является ли
композиция fg  обратимой функцией?
► Композиция fg  может быть как обратимой, так и необратимой функ-
цией. Приведем примеры. 1) Пусть 2
)( xxf  – необратимая функция,
xxg )( – обратимая функция. В этом случае композиция 2
))(( xxfgy  –
необратимая функция. 2) Пусть









,0,1
,0,
1
1
)(
xx
x
xxf (рис. 8). Эта функция
необратима (например, в точках
2
1x и 1x она принимает значение
2
1 ). Пусть xxg )( , тогда композиция )(xfy  определена только в
тех точках, в которых функция )(xfy  не отрицательна, т. е. на проме-
жутке ]1;(  . Но сужение функции )(xfy  на это множество является
обратимой функцией, поэтому композиция ))(( xfgy  обратима.
y
x
Рис. 8
1
1
2
2
f(x)
f–1
(x)
y
x
Рис. 7
2
2
4
4
б)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

16. 16
Пример 3.5. Известно, что функция f с областью определения RDf  обратима. Взяли
функцию 1) )(xfy  ; 2) )(tg xfy  ; 3) ))(sgn( xfy  . Является ли она обратимой?
► 1) Функция )(xfy  может быть как обратимой, так и необратимой. Приведем примеры. Пусть
xxf )( (обратимая функция), для нее функция xxfy  )( необратима. Пусть x
exf )( (обра-
тимая функция), при этом функция x
exfy  )( также обратима. 2) Функция )(tg xfy  может
быть как обратимой, так и необратимой. Приведем примеры. Пусть xxf )( (обратимая функция),
тогда функция xxfy tg)(tg  необратима. Пусть xxf arctg)(  (обратимая функция,  22
; 
fE ),
тогда функция xxxfy  )tg(arctg)(tg ,  22
; 
x обратима. Итак, композиция получается обра-
тимой, если внешняя функция обратима на множестве значений внутренней функции. 3) Функция
))(sgn( xfy  всегда необратима. Действительно, функция xy sgn обратима только на множе-
ствах, состоящих не более чем из трех точек: положительной, отрицательной и нуля. Но не суще-
ствует обратимой функции, определенной на всей числовой прямой, с таким множеством значений.
 Задачи для обсуждения в аудитории
3.1. Отображение задано графиком (рис. 9). На каком множестве
оно определено, какие значения принимает? Является ли оно
обратимым, и, если да, на каком множестве определено
обратное отображение и какие значения оно принимает?
3.2. Какие из заданных функций являются обратимыми на своей
области определения (ответ обоснуйте, пользуясь определением
обратимости): 1) 5
xy  ; 2) )(xDy  ; 3) xy  ; 4)
1
1


x
y ?
3.3. Докажите, что функции
2
)(
xx
ee
xf


 и )1ln()( 2
xxxg  взаимно обратны.
3.4. Функция RRf : задана формулой   342
 xxxf .
1) Выберите три множества, на которых она обратима, и три множества, на
которых она необратима.
2) Найдите функции, обратные к сужениям функции f на множества  2; и
 ;2 , и постройте их графики.
3.5. Докажите, что функция  







.1,22
;1,
3
1
3
xx
x
x
xf обратима. Запишите аналитически
и постройте график обратной к ней функции.
3.6. Для функции xy sin ,   5,3;5,2x . Найдите аналитическое выражение
обратной функции и постройте ее график.
3.7. Приведите примеры нескольких функций, для которых    xfxf 1
 для всех
x из области определения.
 Задачи для самостоятельного решения
3.8. Известно, что функция f обратима и     .3;14;2 f Может ли быть 1)2(1

f ?
3.9. Докажите, что взаимно обратны функции )0;(,1)( 2
 xxxf и
,1)(  xxg );1( x .
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Рис. 9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

17. 17
y
x1
1
y
x1
1
y
x1
1
y
x1
1
3.10. При каких значениях a и b функция baxxf )( совпадает со своей обратной?
3.11. Для функции   322
 xxxf , выберите множества, на которых она
обратима. Запишите аналитические выражения и постройте графики обратных
функций для указанных сужений.
3.12. Обоснуйте обратимость, запишите аналитические выражения и постройте
графики обратных для функций: 1) xy tg ,  22
3
; 
x ; 2)






.0,1
;0,12
xx
xx
y
3.13. Опишите множества, на которых обратима функция Дирихле.
3.14. Верно ли, что сумма двух обратимых функций является обратимой функцией?
3.15. Верно ли, что композиция обратимых функций обратима?
3.16. На рисунке задан график функции )(xfy  (рис. 10).
Подберите функцию )(xgy  в аналитической форме,
такую, что композиция ))(( xfgy  является обратимой.
3.17. Известно, что функция )(xfy  не обратима. Сформулируйте
возможно более общее условие на функцию g , достаточное для
того, чтобы функция ))(( xfgy  была обратимой.
3.18. Известно, что функция )(xfy  , RDf  обратима. Взяли функцию 1) )(2
xfy  ;
2) )(sin xfy  ; 3) ))(( xfDy  . Является ли она обратимой? Сформулируйте
возможно более общее условие на функцию g , достаточное для того, чтобы
функция ))(( xfg была обратимой.
3.19. Об обратимой функции известно, что она отображает любое положительное число
в положительное. Обладает ли этим свойством обратная к ней функция?
3.20. Об обратимой функции известно, что она отображает любое натуральное число
в натуральное. Обладает ли этим свойством обратная к ней функция?
 Тест «Проверь себя»
В тесте «Проверь себя» две части: в части А предполагается выбор одного или нескольких вариан-
тов из предложенных; в части В требуется дать ответ в виде числа, функции, графика и т. п.
Часть А
А13. На всей своей области определения обратимы функции:
1) 5
xy  ; 2) xxy sgn ; 3)  xDy  ; 4) xy arctg .
А14. Отображение Νf:Ζ  задано формулой   2
xxf  . Данное отображение не
обратимо на множестве
1)  3;1;5  ; 2)  3;1;3  ; 3)  5;1 ; 4)    4;21  .
А15. Функция   12
 xxf задана на отрезке  2;1 . Обратная к ней функция показана на графике
1) 2) 3) 4)
y
x
Рис. 10
1
1
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

18. 18
А16. Отображение RRf : задано формулой  






5,82
5,3
xx
xx
xf . Тогда обратное
к нему отображение можно записать в виде
1)  








5,
2
8
5,3
x
x
xx
xf ; 2)  








2,
2
8
2,3
x
x
xx
xf ; 3)  






2,82
2,3
xx
xx
xf ; 4)  








5,
2
8
5,3
x
x
xx
xf .
А17. Обратной к функции   xx
xx
ee
ee
xg 



 является функция
1)   xx
xx
ee
ee
xf 



 ; 2)   xx
xx
ee
ee
xf 



 ; 3)  
x
x
xf



1
1
ln2
1 ; 4)  
x
x
xf



1
1
ln2
1 .
А18. Обратной к сужению функции xy sin на промежуток  2
3
2
;  является функция
1) xy arcsin ; 2) xy arcsin ; 3)   xy arcsin ; 4) 2
arcsin 
 xy .
Часть B
В9. Приведите пример функции, определенной на R и обратимой на любом подмно-
жестве ее области определения.
В10. Приведите пример нелинейной функции, совпадающей со своей обратной.
В11. При каких значениях параметров будет обратимой функция cbxaxy  2
?
В12. Приведите пример определенных на R функций f и g , таких, что f необра-
тима, а композиция gf  обратима.
Занятие 4
Свойство ограниченности функции
 Вопросы к обсуждению
Ограниченные и неограниченные функции. Ограниченность функции на множестве.
 Примеры решения задач
Пример 4.1. Какие из функций 1)
x
y 2
cos
1
 , 2)
x
y


1
1
, 3)
34
1
2


xx
y ограни-
чены сверху, ограничены снизу, ограничены?
► 1) Так как 0
cos
1
2

x
для всех x из yD , то функция ограничена снизу. Докажем, что она не огра-
ничена сверху:    



 M
x
DxM y 20
cos
1
0 . Для произвольного 0M рассмотрим неравенство
M
xM
x
1
cos
cos
1
2
 . Если 10  M , то неравенство выполняется в любой точке yDx 0
. Если
1M , то в точке
M
x
2
1
arccos0  имеем MM
x
 2
cos
1
2
и функция не ограничена сверху.
2) Функция
x
y


1
1 ограничена и снизу, и сверху, так как 1
1
1
0 


x
для всех Rx  .
3) Докажем, что функция не ограничена сверху:    





 M
xx
DxM y
34
1
0 20
. Решая неравен-
ство M
xx

 34
1
2
на луче  ;3 , получаем Mx 1123  . Пусть Mx 21120  . Тогда
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

19. 19
  MMxy  20 и функция не ограничена сверху. Покажем, что она также не ограничена снизу:
   





 M
xx
DxM y
34
1
0 20
. Решая неравенство M
xx

 34
1
2
на интервале  3;1 , получаем
3112  xM . Пусть Mx 21120  . Тогда   MMxy  20 и функция не ограничена снизу.
Пример 4.2. Покажите, что функция 5cos3  xy ограничена. Укажите такое 0C ,
что неравенство Cx  5cos3 выполняется для любого Rx .
► Пользуясь свойствами числовых неравенств, выполним на R равносильные преобразования:
25cos383cos331cos1  xxx . Значит, все значения выражения 5cos3 x
содержатся в промежутке ]2;8[  , а значит, и в более «широком» промежутке ]8;8[ . Следова-
тельно, для любого 8C выполняется неравенство Cx  5cos3 для всех Rx  .
Пример 4.3. Покажите, что функция
x
xf
1
)(  не ограничена, то есть для нее выпол-
няется условие неограниченности      CxfDxC f  0 .
► Для произвольного значения 0C возьмем
C
x
2
1
 . Тогда   С
C
fxf 2
2
1






 и CC
C
f 





2
2
1 .
Таким образом, для любого 0C нашлось значение
C
x
2
1
 , при котором Cxf )( .
Пример 4.4. Докажите, что если функция f ограничена на множестве fDX  , то
она ограничена и на любом подмножестве множества X.
► Функция f ограничена на X:      СxfXxС  0 . Любое подмножество XX 1 , а значит,
неравенство   Сxf  выполняется в любой точке множества 1X , и функция ограничена на нем.
Пример 4.5. Докажите, что если ограничены функции f и g, то ограничена и функция gf  .
► Функции f и g ограничены, т. е.      11 0 СxfDxС f  и      22 0 СxfDxС g  .
Пусть 21 CCM  . Возьмем произвольное gfgf DDDx  
. Тогда        xgxfxgf )(
    MCCxgxf  21
, что и означает ограниченность функции gf  .
Пример 4.6. Дана ограниченная функция f и неограниченная функция g . Являются
ли функции gf  и fg  ограниченными? Сформулируйте условие на функцию
g , необходимое и достаточное для того, чтобы функция fg  была ограниченной.
► Функция gf  всегда ограничена. Так как функция f ограничена, то существует число С та-
кое, что для всех fDx выполняется неравенство Cxf )( . Тогда для всех gfDx  выполня-
ется неравенство Cxgf ))(( . Функция fg  может быть как ограниченной, так и неограничен-
ной. Приведем примеры. Пусть xxf sin)(  – ограниченная функция,
x
xg
1
)(  – неограниченная
функция. При этом
x
xfg
sin
1
))((  – неограниченная функция. Пусть xxf 2
sin1)(  – ограничен-
ная функция,
x
xg
1
)(  – неограниченная функция. При этом  1;
sin1
1
))(( 2
1
2



x
xfg – ограни-
ченная функция. Чтобы функция fg  была ограниченной, необходимо и достаточно, чтобы
функция g была ограничена на области значений функции f .
Пример 4.7. Дана ограниченная функция f и неограниченная функция g , причем
их области определения совпадают. Докажите, что их сумма является неогра-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

20. 20
ниченной функцией. Покажите на примере, что условие gf DD  существенно:
без него утверждение уже не будет верным.
► Рассмотрим функцию gfh  , gfh DDD  . Тогда fhg  . Предположим, что h
ограничена. Тогда неограниченная функция g является суммой ограниченных функций h и
f , что невозможно. Значит, функция h неограниченная. Если gf DD  , то утверждение не-
верно. Приведем пример. Пусть ]1;1[,arcsin)(  fDxxf – ограниченная функция, RDxxg g  ,)( –
неограниченная функция. Рассмотрим функцию xxxh  arcsin)( , ]1;1[hD . Эта функция являет-
ся ограниченной. Действительно, для любого ]1;1[x выполняется неравенство
22
1arcsin1 
 xx .
Заметим, что функция xxxfh arcsinarcsin  не совпадает с функцией xxg )( , у них разные
области определения.
 Задачи для обсуждения в аудитории
4.1. Какие из приведенных функций ограничены сверху, ограничены снизу,
ограничены: 1) 2
xy  ; 2) 3
xy  ; 3) xy  ; 4)  xDy  ; 5) xy tg ; 6) 2
1
x
y  .
4.2. Покажите, что функция 5sgn  xy ограничена, и для нее укажите значение
0C , для которого Cx  5sgn для всех Rx .
4.3. Покажите, что функция 75)(  xxf не ограничена.
4.4. Докажите, что если функция ограничена на подмножествах 1X и 2X области
определения, то она ограничена и на их объединении.
4.5. Дана ограниченная функция f , причем BxfA  )( для всех fDx . Определите,
какие из приведенных функций ограничены сверху, ограничены снизу, ограничены,
и укажите соответствующие границы:
1) )(xfy  ; 2) )(2
xfy  ; 3)
)(
1
xf
y  ; 4)
)(1
1
2
xf
y

 .
4.6. На каких из множеств 1) 1;0 ; 2) 2;1 ; 3) Znn 
,3
; 4)   0,2
Znn
 
ограничена функция xy tg ?
4.7. Нарисуйте эскиз графика функции:
1) ограниченной на  1; , но не ограниченной снизу на  0;1 и не ограни-
ченной сверху на  ;0 ;
2) ограниченной на ZR ; не ограниченной на R;
3) ограниченной на  NnR n
, 1 ; не ограниченной на R.
4.8. Приведите пример функции, определенной на отрезке  2;0 и не ограниченной на нем.
4.9. Приведите пример функции, которая удовлетворяет данному условию, и пример
функции, которая ему не удовлетворяет (если такие функции существуют):
1)      BxfDxB f  ; 2)      BxfDxB f  ;
3)      BxfDxB f  ; 4)      BxfDxB f  .
4.10. Что нужно потребовать от обратимой функции, чтобы обратная к ней функция
была ограничена?
 Задачи для самостоятельного решения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

21. 21
4.11. Какие из приведенных функций ограничены сверху, ограничены снизу, ограничены:
1) 2
1 xy  ; 2)
x
y
sin3
1

 ; 3)
x
y
sin3
1

 ; 4)
 xD
y


3
1
; 5)
x
y 2
tg1
1

 .
4.12. Дана ограниченная функция f , причем BxfA  )( для всех fDx . Определите,
какие из приведенных функций ограничены сверху, ограничены снизу, ограничены,
и укажите соответствующие границы:
1) 5)(3  xfy ; 2)  xfy  ; 3) )(sgn xfy  ; 4)   12
)(1

 xfy .
4.13. Покажите, что функция   5 xDy ограничена, и для нее укажите значение
0C , для которого   CxD  5 для всех Rx .
4.14. Покажите, что функция 73)(  xxf не ограничена. Укажите значение 0C ,
для которого   Cxf  для всех Rx .
4.15. Покажите, что сумма двух неограниченных функций может быть как
ограниченной, так и неограниченной.
4.16. На каких множествах 1) 1; , 2)  ;1 , 3)Z , 4) Nnn
 ,3 1 ограничена
функция
3
1


x
y ?
4.17. Нарисуйте эскиз графика функции, ограниченной на  3; ,   ;1 и не
ограниченной ни сверху, ни снизу на R.
4.18. Приведите пример функции, которая удовлетворяет данному условию, и
пример функции, которая ему не удовлетворяет (если такие функции
существуют): 1)    CxfDxC f  )( ; 2)   CxfCDx f  )()0( .
4.19. Приведите пример функции, не ограниченной ни на каком отрезке длины 1.
4.20. Даны неограниченные функции f и g , определенные на R. Является ли функция






0),(
0),(
)(
xxg
xxf
xh ограниченной? Сформулируйте условие на функции f и g ,
необходимое и достаточное для того, чтобы функция h была ограниченной.
4.21. Дана ограниченная функция f . Является ли функция f1 ограниченной?
Сформулируйте условие на функцию f , необходимое и достаточное для того,
чтобы функция f1 была ограниченной.
4.22. Докажите, что если функция f принимает все значения из некоторого интервала
 CС; , где 0C , то функция f1 не ограничена.
4.23. Функция f неограниченная. Будут ли ограниченными функции 1) }0),(max{)( xfxg  ;
2) }0),(min{)( xfxh  ? Сформулируйте условия на функцию f , необходимые и
достаточные для того, чтобы эти функции была ограниченными.
4.24. Существует ли функция, ограниченная на множестве  10...,,1,0R и не
ограниченная на R?
 Тест «Проверь себя»
В тесте «Проверь себя» две части: в части А предполагается выбор одного или нескольких вариан-
тов из предложенных; в части В требуется дать ответ в виде числа, функции, графика и т. п.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

22. 22
Часть А
А19. Ограниченными сверху на множестве R являются функции
1) 322
 xxy ; 2)
x
y 2
sin
1
 ; 3) x
y 
 2 ; 4)
x
y
sgn2
1

 .
А20. Функция  1log 2  xy ограничена на множестве
1)  3;1 ; 2)  4;2 ; 3)  ;5 ; 4) ZR .
А21. Для функции x
y  выполняется следующее условие
1)      BxfDxB f  ; 3)      BxfDxB f  ;
2)      BxfDxB f  ; 4)      BxfDxB f  .
А22. Чтобы была ограничена на R функция   xgf , где   2
xxf  , функция  xg должна быть
1) ограниченной; 2) обратимой; 3) постоянной; 4) всюду определенной.
А23. Функции  xf и  xg ограничены на R. Тогда будут ограничены и функции
1)   xgf  ; 2)  xfg ; 3)   xgf ; 4)    xgxf .
А24. Для функции
  







,,11
,,
2
1 ZRx
Zxx
y x
график которой
изображен на рисунке, из утверждений будут верными
1) функция не ограничена на R; 3) функция ограничена на Z ;
2) функция ограничена на NR ; 4) функция не ограничена на ZR .
Часть B
В13. Приведите пример множества, на котором любая определенная на нем функция
является ограниченной.
В14. Приведите пример неограниченной функции f и ограниченной функции g ,
сумма которых ограничена.
В15. Приведите пример функции, не ограниченной ни на каком интервале,
содержащем точку .
В16. Нарисуйте эскиз графика функции, ограниченной на  2;1R и не ограниченной на R.
Занятие 5
Свойство монотонности функции
 Вопросы к обсуждению
Монотонная на промежутке функция. Возрастающие и убывающие на промежутке функции.
График монотонной функции.
 Примеры решения задач
Пример 5.1. Функция f убывает на R. Решите неравенство    xfxf  22
.
► Так как функция f убывает, то из заданного неравенства следует соотношение аргументов
xx  22
. Решая это неравенство, получаем ответ:  2;1x .
Пример 5.2. Докажите по определению, что функция 34)( 2
 xxxf является
убывающей на промежутке ]2;( и немонотонной на промежутке  5;2 .
y
x1
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

23. 23
► 1) Возьмем произвольные точки 21, xx ]2;( такие, что 21 xx  , и покажем, что
   21 xfxf  . Составим разность      21
xfxf 34 1
2
1  xx 34 2
2
2  xx 2
1x  )(4 21
2
2 xxx
)4)(( 2121  xxxx . Так как 21, xx ]2;( , то 221  xx , значит, 421  xx . Поэтому
0421  xx и, по условию, 021  xx , отсюда    21 xfxf  .
2) Подберем точки 321 ,, xxx ]5;2[ такие, что 321 xxx  и при этом    21 xfxf  и
   32 xfxf  , что противоречит определениям и невозрастающей, и неубывающий функций.
Например, можно взять ;21 x 22 x ; 43 x . При этом   151 xf ;   12 xf ;   33 xf .
Пример 5.3. Функция f возрастает на каждом из промежутков  2;1 и  5;2 . Верно
ли, что она возрастает и на промежутке  5;1 ?
► Пусть  5;1, 21 xx и 21 xx  . Если при этом  2;1, 21 xx , то неравенство    21 xfxf  вы-
полняется в силу возрастания функции на этом промежутке. Аналогично, если  5;2, 21 xx , то
   21 xfxf  . Если же  2;11 x , а  5;22 x , то для возрастающей функции f выполняются
одновременно оба неравенства    21 fxf  и    22 xff  , а значит, и неравенство    21 xfxf  .
Следовательно, для любых  5;1, 21 xx , 21 xx  выполняется неравенство    21 xfxf  и
функция f возрастает на промежутке  5;1 .
Пример 5.4. Докажите, что сумма двух убывающих на одном и том же промежутке
функций есть функция убывающая.
► Пусть на некотором промежутке функции f и g убывают. Это означает, что для любых
21 xx  из этого промежутка выполняются неравенства    21 xfxf  и    21 xgxg  , а значит, и
неравенство        2211 xgxfxgxf  , которое в силу определения суммы функций равно-
сильно неравенству      21 xgfxgf  , что и означает убывание суммы gf  .
Пример 5.5. Пусть f – возрастающая на R функция. Докажите, что уравнения
  xxf  и    xxff  равносильны.
► Очевидно, что если   xxf  , то    xxff  . Предположим, что   xxf  . Тогда либо   xxf  ,
что в силу возрастания функции f влечет      xxfxff  , то есть    xxff  , либо   xxf  ,
что влечет      xxfxff  , и так же    xxff  . Итак, все корни уравнения   xxf  являются
и корнями уравнения    xxff  и ни одно число, не являющееся корнем уравнения   xxf  , не
является и корнем уравнения    xxff  , следовательно, уравнения равносильны.
 Задачи для обсуждения в аудитории
5.1. Функция f возрастает на R. Решите неравенство    652
fxxf  .
5.2. Докажите по определению, что
1)   342
 xxxf возрастает на  ;2 ;
2)   162
 xxxf убывает на  3; ;
3)  
3
1


x
xf убывает на  3; .
5.3. Пусть f и g – возрастающие положительные функции. Докажите, что gf  –
возрастающая функция. Покажите, что произведение двух произвольных воз-
растающих функций не обязано быть возрастающей функцией.
5.4. Приведите примеры двух возрастающих функций, разность которых
1) возрастает, 2) убывает, 3) немонотонна.
5.5. Приведите пример (можно графически) функции
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

24. 24
1) возрастающей на каждом промежутке  1; nn , Zn и немонотонной ни на
каком промежутке длины больше 1;
2) возрастающей на множестве Z и убывающей на множестве ZR ;
3) определенной на R и немонотонной ни на каком промежутке.
5.6. Сформулируйтеусловие,прикоторомфункциянемонотоннананекотороммножестве X .
5.7. Приведите пример (можно графически) функции, удовлетворяющей условиям:
1) не является постоянной и  1x  12 xx      12 xfxf  ;
2) не является монотонной и  fDx  1  12 xx      12 xfxf  ;
3)  1x  12 xx   13 xx        213 xfxfxf  ;
4)  1x  12 xx    213 ; xxx            2313 xfxfxfxf  ;
5)  1x  12 xx    213 ; xxx        321 xfxfxf  .
 Задачи для самостоятельного решения
5.8. Докажите по определению монотонность функций на заданных промежутках:
1) 542
 xxy на   ;2 ; 2)
2
1


x
y на  ;2 ; 3) 3
xy  на R.
5.9. Верно ли, что функция f возрастает на R, если она удовлетворяет условию:
1) для любого Rx 1 существует точка Rx 2 такая, что 21 xx  и    21 xfxf  ;
2) для любых Rxx 21,  21 xx  существует точка  213 ; xxx  такая, что
     231 xfxfxf  ;
3) существует точка Rx 0 такая, что для всех 01 xx  и для всех 02 xx 
   21 xfxf  .
5.10. Докажите, что композиция монотонных функций является монотонной функцией.
5.11. Функция f возрастает на каждом из промежутков  ba; и  cb;  cba  .
Следует ли отсюда, что она возрастает на отрезке  ca; ?
5.12. Докажите, что функция, определенная и монотонная на отрезке, является на нем
ограниченной. Покажите, что для интервала аналогичное утверждение неверно.
5.13. Пусть f – монотонная на R функция. Может ли для любого Rx выполняться
равенство    xxff  ?
5.14. Пусть функция f строго монотонна на R. Найдите все пары  yx; , являющиеся
решениями системы уравнений:
   




.
,1
yfxf
xy
5.15. Функция f :    1;01;0  является монотонной. Докажите, что существует
точка  1;0c такая, что   ccf  .
5.16. Последовательность состоит из двух возрастающих подпоследовательностей.
Является ли она возрастающей?
 Тест «Проверь себя»
В тесте «Проверь себя» две части: в части А предполагается выбор одного или нескольких вариан-
тов из предложенных; в части В требуется дать ответ в виде числа, функции, графика и т. п.
Часть А
А25. На всей области определения монотонны функции
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

25. 25
1) xxy  3
; 2)
1
1


x
y ; 3) xy x
331
 
; 4)  xy  .
А26. Функция xy ctg не является монотонной на промежутке
1)  3;2 ; 2)  4;3 ; 3)  19;18 ; 4)  20;19 .
А27. Функция  xfy 2
 является возрастающей на области определения, если  xf равна
1) xxf )( ; 2) xxf )( ; 3) xxf 1)(  ; 4) 3
)( xxf  .
А28. Функция 12
 bxaxy возрастает на промежутке  1;  при
1) 2;1  ba ; 2) 2;1  ba ; 3) 2;1  ba ; 4) 2;1  ba .
А29. Функция  a , ставящая в соответствие вектору с координатами  2
; aa его
длину, возрастает, если a принимает значения из множества
1)   ; ; 2)  0; ; 3)  ;0 ; 4) N .
А30. Для функции
x
xy
12
 справедливы следующие утверждения:
1) функция монотонна на N ; 3) функция монотонна на Z ;
2) функция немонотонна на 
R ; 4) функция немонотонна.
Часть B
В17. Приведите пример неограниченной функции, возрастающей на каждом из про-
межутков  1; nn , где Zn , и немонотонной на множестве Z .
В18. Приведите пример двух аналитически заданных немонотонных функций, сум-
ма которых является монотонной функцией.
В19. Приведите пример функции, заданной графиком, удовлетворяющей условию
 1x  12 xx   13 xx            1312 xfxfxfxf  .
В20. Приведите пример обратимой, но немонотонной функции.
Занятие 6
Четные и нечетные функции
 Вопросы к обсуждению
Четные и нечетные функции. Продолжение функции «по четности» и «по нечетности». Разло-
жение функции с симметричной областью определения в сумму четной и нечетной функций.
 Примеры решения задач
Пример 6.1. Определите, какие из заданных функций являются четными или нечетными:
1) 2
xxxy  ; 2) xxy  ; 3) 22
)1()1( xxy  ; 4)
x
x
y  ; 5) 11  xxy .
► 1) RDy  – симметричное относительно нуля множество. Найдем значения функции в
симметричных точках, например в –1 и 1: 2)1( y , 0)1( y . Эти числа и не равны и не яв-
ляются противоположными. Это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.
2) Область определения );0[ yD – множество, не симметричное относительно начала
координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. 3) RDy  , заменяя x на
x , получаем )()1()1()( 22
xfxxxf  . Функция является четной. 4) }0{)( RfD  –
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

26. 26
множество, симметричное относительно нуля. Заменяя x на x , получаем




x
x
xf )( )(xf
x
x
 . Функция является нечетной.
Пример 6.2. При 0x задана функция xxxf 3)( 2
 . Какой формулой нужно до-
определить функцию )(xf при 0x , чтобы полученная функция была 1) не-
четной, 2) четной? Постройте графики полученных функций.
► 1) При 0x должно выполняться равенство    xfxf  ))(3)(( 2
xx  xx 32
 (рис.
11а). 2) При 0x должно выполняться равенство    xfxf  xxxx 33)( 22
 . (рис. 11б).
Пример 6.3. При каких значениях a будет
нечетной функция
2
1
2
1




axx
y ?
► Область определения этой функции







a
RfD
2
;2)( при 0a и }2{)(  RfD при
0a . Мы видим, что необходимая симметрия
области определения будет только при 1a . Подставим это значение:
2
1
2
1
)(




xx
xf ,
2
1
2
1
)(




xx
xf )(xf . Ответ: 1a .
Пример 6.4. Докажите, что функция, одновременно четная и нечетная, имеет область
определения, симметричную относительно 0, и тождественно равна нулю на ней.
► Пусть f – функция четная и нечетная одновременно. Тогда ее область определения симметрична
относительно 0. При этом для любых fDx одновременно выполняются равенства )()( xfxf 
(условие четности) и )()( xfxf  (условие нечетности). Сложив правые и левые части этих ра-
венств, получим, что для всех fDx  0)(0)(2  xfxf , что и требовалось доказать.
Пример 6.5. Пусть f – функция с областью определения, симметричной относи-
тельно начала координат. Проверьте, что функция       xfxfx  2
1 четная, а
функция       xfxfx  2
1 нечетная. Докажите, что функцию f можно пред-
ставить единственным образом в виде суммы четной и нечетной функций с той
же областью определения.
► Очевидно, fDDD  
. В произвольной точке fDx имеем       )(
2
x
xfxf
x 

 , что
означает, что  – четная функция. Аналогично,      
2
xfxf
x


   
)(
2
x
xfxf


 , что
означает, что  – нечетная функция. При этом      
2
)(
xfxf
xx


   
2
xfxf 
 )(xf для
всех fDx . Остается доказать, что данное представление единственно. Пусть f можно
представить в виде суммы других четной и нечетной функций: четной функции 1 и нечет-
ной функции 1 с той же областью определения. Тогда 11  , значит,
11  . Так как разность двух четных функций – четная функция, а двух нечетных –
нечетная, то функция 11  – одновременно четная и нечетная, следовательно, рав-
на нулю, отсюда 11,  , и единственность разложения доказана.
 Задачи для обсуждения в аудитории
а) б)
y
x
Рис. 11
1
1
2
2
y
x1
1
2
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

27. 27
6.1. Определите, какие из следующих функций являются четными или нечетными:
1)  
2
22 xx
xf


 ; 2) 2
2
2
1
1
log
x
x
y


 ; 3)
13
13


 x
x
y ; 4)   3 xxf .
6.2. Представьте в виде суммы четной и нечетной функций следующие функции:
1)    xxxxf cossin  , 2)    12
 xxxxf , 3)   32  xxf .
6.3. Продолжите функцию   xxf  ,  3;2x четным образом на множество R.
Постройте график заданной и полученной функций.
6.4. Продолжите функцию   xxf  ,  1;2 x нечетным образом на множество R.
Постройте графики заданной и полученной функций.
6.5. При каких значениях параметра функция  
1
22



a
xf
xax
является нечетной?
6.6. Докажите, что на общей части областей определения произведение четной и
нечетной функций – нечетная функция.
6.7. Докажите, что четная функция обратима тогда и только тогда, когда ее область
определения состоит из единственной точки 0.
 Задачи для самостоятельного решения
6.8. Какие из перечисленных функций являются четными, нечетными:
1) xxxxy 22 22
 ; 2) xxxy  32
; 3)
2
3
2
3






x
x
x
x
y ;
4) 2
3
3




x
x
y ; 5)  
1
1
ln



x
x
xf ; 6)   xxxf ctg2
 ;
7)   )1sin(  xxf ; 8)   1cos2 4
 xxxf ; 9)    1log 2
 xxxf a ?
6.9. Представьте в виде суммы четной и нечетной функций функции:
1)   32 23
 xxxxf , 2)   x
xf 3 , 3)   x
xf 3sin .
6.10. Продолжите функцию xxf )( на R так, чтобы полученная функция была
1) нечетной, 2) четной? Постройте графики полученных функций.
6.11. Продолжите функцию   2
xxf  с областью определения  0;2fD на
промежуток ]2;0( 1) четным, 2) нечетным образом. Постройте графики
заданной и полученных функций.
6.12. При 0x задана функция 34)( 2
 xxxf . Какой формулой нужно
доопределить функцию )(xf при 0x , чтобы полученная функция была
1) нечетной, 2) четной? Постройте графики полученных функций.
6.13. Докажите, что композиция четных функций – четная функция. Является ли
четной или нечетной композиция 1) двух нечетных функций; 2) четной и
нечетной функции?
6.14. Может ли четная функция быть монотонной? Строго монотонной?
6.15. При каких значениях параметров функции   baxxf  ,   cbxaxxf  2
,
 
dcx
bax
xf


 являются четными (нечетными)?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»