1. 1. SỐ HỮU TỶ
http://toanhocviet.com/toan-lop-7_n58739_g790.aspx
A. Định nghĩa số hữu tỉ, các phép toán về số hữu tỉ.
I. Định nghĩa số hữu tỉ.
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số
b
a
với a, b Z; b 0.
II. Cộng, trừ số hữu tỉ.
1. Quy tắc cộng, trừ.
Viết các số hưu tỉ dưới dạng các phân số cùng mẫu dương rồi thực hiện công, trừ phân số:
Với x=
m
a
; y=
m
b
( a, b, m Z; m 0), ta có:
x+y=
m
a
+
m
b
=
m
ba
; x-y=
m
a
-
m
b
=
m
ba
2. Quy tắc "chuyển vế"
Với mọi x, y, z Q ta có x+ y=z x = z- y.
III. Nhân, chia số hữu tỉ.
1. Nhân số hữu tỉ.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ta có: x. y=
b
a
.
d
c
=
db
ca
.
.
2. Chia số hữu tỉ.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ( y 0) ta có: x:y=
b
a
:
d
c
=
b
a
.
c
d
3. Nªu c«ng thøc x¸c ®Þnh gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè h÷u tØ x.
¸p dông tÝnh 3 ; 5 ; 0 .
- C«ng thøc x¸c ®Þnh gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè h÷u tØ lµ :
x nÕu x 0
x =
- x nÕu x < 0
4. ViÕt c¸c c«ng thøc tÝnh lòy thõa cña mét sè h÷u tØ.
C¸c c«ng thøc tÝnh luü thõa cña mét sè h÷u tØ lµ :
- TÝch cña hai luü thõa cïng c¬ sè : xm . xn = xm + n
- Th-¬ng cña hai luü thõa cïng c¬ sè : xm : xn = xm – n (x ≠
0, m ≥ n)
- Luü thõa cña luü thõa : nmnm
xx
- Luü thõa cña mét tÝch : (x . y)n = xn . yn
2. - Luü thõa cña mét th-¬ng : n
nn
y
x
y
x
(y ≠ 0)
CHƯƠNG II. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số một số dạng toán và phương pháp
giải sau:
I. Các phép toán về số hữu tỉ.
Dạng 1. Phép cộng, trừ số hưu tỉ.
1. Phương pháp.
Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số cùng mẫu dương, thực hiện phép cộng, trừ theo quy tắc
cộng, trừ các phân số.
Công thức như sau: Với x=
m
a
; y=
m
b
( a, b, m Z; m 0), ta có:
x+y=
m
a
+
m
b
=
m
ba
; x-y=
m
a
-
m
b
=
m
ba
Đối với học sinh miền núi, việc thực hiện quy đồng mẫu số là rất khó khăn, trong khi lên
lớp, cùng với thời gian phụ đạo ngoài giờ cần nhắc lại, luyện tập việc thực hiện quy đồng mẫu
số để đưa về phân số cùng mẫu.
Việc trình bày lời giải cần hướng dẫn học sinh viết một dãy các đẳng thức số bằng nhau, biểu
thức sau là kết quả của phép toán trước.
Quá trình lên lớp cần vận dụng linh hoạt phương pháp thực hành giải toán, phù hợp với trình
độ các đốitượng học sinh trong lớp. Nếu cần có thể đưa ra các hướng dẫn, các mức độ bài
toán khác nhau cho từng đối tượng học sinh.
2. Bài tập minh hoạ:
Tính: a, 0, 6+
3
2
; b,
3
1
- (-0, 4); c,
18
8
-
27
15
Giải.
a, 0, 6+
3
2
=
10
6
+
3
2
=
5
3
+
3
2
=
15
9
+
15
10
=
15
1
b,
3
1
- (-0, 4)=
3
1
+0, 4=
3
1
+
10
4
=
3
1
+
5
2
=
15
65
=
15
11
c,
18
8
-
27
15
=
9
4
-
9
5
=-1
Dạng 2. Phép nhân, chia số hưu tỉ.
1. Phương pháp.
Viết số hữu tỉ dưới dạng các phân số, áp dụng quy tắc nhân, chia và các tính chất phép nhân
để thực hiện.
Đối với phép nhân, chia học sinh thực hiện rễ rằng hơn. Trong các bài tập cần chú ý rèn
luyện cho học sinh rút gọn kết quả(nếu cần), khi thực hiện phép chia học sinh hay nhầm lẫn
không nhân với nghịch đảo của số chia.
3. Với x=
b
a
; y=
d
c
, ta có: x. y=
b
a
.
d
c
=
db
ca
.
.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ( y 0) ta có: x:y=
b
a
:
d
c
=
b
a
.
c
d
2. Bài tập minh hoạ:
Thực hiện phép tính. a,
7
2
.
8
21
; b) 0, 24.
4
15
; c, (-2). (-
12
7
); d,
23
5
: (-2)
Giải.
a.
7
2
.
8
21
=
8.7
21.2
=
4.1
3.1
=
4
3
b. 0, 24.
4
15
=
100
24
.
4
15
=
25
6
.
4
15
=
10
9
c, (-2). (-
12
7
)=
1
2
.
2
7
= 7
d,
23
5
: (-2)=
23
5
.
2
1
=
46
5
Dạng 3. Thực hiện phối hợp các phép tính.
1. Phương pháp.
Vận dụng linh hoạt các quy tắc, tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của các phép tính
thực hiện liên tiếp một dãy các phép tính theo thứ tự thực hiện.
Khi trình bày lời giải cần rèn luyện cho học sinh viết các biểu thức bằng nhau liên tiếp, biểu
thức sau là kết quả của phép toán đứng trước, phép toán nào chưa thực hiện thì viết lại.
2. Bài tập minh hoạ: Tính giá trị các biểu thức.
a, A =
2 1 5 3 7 5
6 5 3
3 2 3 2 3 2
; b, B =
4 5 4 16
1 0.5
23 21 23 21
c, C=
1 5 1 5
15 : 25 :
4 7 4 7
; d, D= (
7
3
+
2
1
)2
e, E= -5, 13: (5
28
5
-
8
1
9
. 1, 25 + 1
63
16
)
Giải.
a, Có thể hướng dẫn học sinh giải theo hai cách sau:
Cách 1. Trước hết tính giá trị các biểu thức trong ngoặc.
36 4 3 30 10 9 18 14 15
6 6 6
A
=
35 31 19 15 5 1
2
6 6 6 6 2 2
Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp.
2 1 5 3 7 5
6 5 3
3 2 3 2 3 2
A
2 5 7 1 3 5
6 5 3
3 3 3 2 2 2
=
1 1 1
2 0 2 2
2 2 2
b, B =
4 5 4 16 4 4 5 16
1 0.5 1 0.5 1 1 0.5 2.5
23 21 23 21 23 23 21 21
c, C =
1 5 1 5 1 1 5 7
15 : 25 : 15 25 : ( 10) 14
4 7 4 7 4 4 7 5
4. d, D = (
7
3
+
2
1
)2= (
14
13
)2=
196
169
e, E = -5, 13: (5
28
5
-
9
17
.
4
5
+ 1
63
16
) = -5, 13: (5
28
5
-2
36
13
+ 1
63
16
)
= -5, 13 [(5-2+1)+ (
28
5
+
36
13
+
63
16
)] = - 1, 26
Dạng 4. Tìm x trong đẳng thức.
1. Phương pháp.
Vận dụng quy tắc chuyển vế đưa các số hạng chứa x sang một vế, các số hạng không chứa x
sang một vế rồi thực hiện các phép tính trong các biểu thức.
Quy tắc "chuyển vế": Với mọi x, y, z Q ta có x+ y=z x = z- y.
Học sinh thường mắc sai lầm khi chuyển vế nhưng không đổi dấu, hay chuyển vế các số hạng
không hợp lý. Khi lên lớp cần thường xuyên yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc và vận dụng quy
tắc.
2. Bài tập minh hoạ:
Tìm x, biết:
a, x-
2
1
=
3
2
; b,
7
2
- x = -
4
3
; c, x +
3
1
=
4
3
; d, x -
5
2
=
7
5
Giải.
a, x=
3
2
+
2
1
=
6
34
=
6
1
; b, x=
7
2
+
4
3
=
28
2114
=
28
35
c, x=
4
3
-
3
1
=
12
5
; d, x=
7
5
+
5
2
=
35
39
2. TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
B. Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức.
I. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b
a
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
II. Tính chất
1. Tính chất 1( tính chất cơ bản): Nếu
a c
b d
thì ad = bc
2. Tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a
b
c
d
a
c
b
d
d
b
c
a
d
c
b
a
;;;
3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
ta suy ra db
db
ca
db
ca
d
c
b
a
5. +mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau
f
e
d
c
b
a
ta suy ra ....
fdb
eca
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
4. Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số
532
cba
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c =
2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức,
từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
suy ra
2 2
1 2
1 2
1 2
. ; . . 0 ; ( , 0)
k a k ca c a c a c
k k k k k
b d b d b d k b k d
từ
f
e
d
c
b
a
suy ra
33 3 2
;
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
1. Luỹthừa của mộtthương:
n n
n
x x
y y
Với n N, x 0 và x, y Q.
2. Một số tính chất cơ bản:
*
.
.
a a m
b b m
Với m 0.
*
. .
a c a c
b d b n d n
Với n 0.
*
n n
a c a c
b d b d
Với n N.
II.Có 5 d¹ng bµi tËp.
1. Toán chứng minh đẳng thức
2. Toán tìm x, y, z, ...
3. Toán đố
4. Toán về lập tỷ lệ thức
5. Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức.
A. Loại toán chứng minh đẳng thức.
1)Các phương pháp:
6. Để chứng minh tỷ lệ thức : Ta có các phương pháp sau :
Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng: ad= bc .
Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trước một
tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số
ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng
thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải.
Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng
thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập
Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phương pháp :
Để Chứng minh tỷ lệ thức :
a c
b d
Ta có các phương pháp sau :
Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc.
Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số ;
a c
b d
có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ
lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở
tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng
thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phương pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng
thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
a c
b d
hãy suy ra tỷ lệ thức:
a b c d
a c
.
Giải:
Cách 1: Xét tích
(1)
(2)
a b c ac bc
a c d ac ad
Từ (3)
a c
ad bc
b d
a c
b d
;
a c
b d
7. Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra a b c d
a c
- Cách 2: Đặt ,
a c
k a bk c dk
b d
Ta có:
1 1
(1),( 0)
1 1
(2),( 0)
b ka b bk b k
b
a bk bk k
d kc d dk d k
d
c dk dk k
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c d
a c
- Cách 3: từ
a c b d
b d a c
Ta có: 1 1
a b a b b d c d
a a a a c c
Do đó:
a b c d
a c
- Cách 4:
Từ
a c a b a b
b d c d c d
a a b a b c d
c c d a c
- Cách 5: từ
1 1
a c b d b d
b d a c a c
a b c d
a c
Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức
a c
b d
ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
;
a b c d a b c d
b d a c
(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Bài tập 2: chứng minh rằng nếu 2
a bc thì
a)
2 2
2 2
; ) ,( 0)
a b c a a c c
b b
a b c a b a b
(với a , )b a c
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
- Cách 2: từ 2 a c
a bc
b a
Đặt ,
a c
k a bk c ak
b a
Ta có:
8.
1 1
, 0 (1)
1 1
1 1
0 ,(2)
1 1
b ka b bk b k
b
a b bk b b k k
a kc a ak a k
a
c a ak a a k k
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c a
a b c a
- Cách 3: Ta có
2
2
2
,
, 0
a a ba b a ab bc ab
do a bc
a b a a b a ab bc ab
b c a c a
a b
b c a c a
Do đó:
a b c a
a b c b
Ngược lại từ
a b c a
a b c b
ta cũng suy ra được a2 = bc
Từ đó ta có bài toán cho
a b c a
a b c b
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì từ 3 số a,
b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc
a c a b a b a b
b a c a c a c a
a b c a
a b c a
b)- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc. b + c2b = bc (b +c)
= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc. c= bc ( b+c)
Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c
2 2
2 2
a c c
b a b
- Cách 2: Từ a2 = bc
a c
b a
Đặt
a c
k
b a
suy ra a = bk, c = ak = bk2
Ta có
2 2 22 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2 2 2
2
2
1
, 0
1
b k ka c b k b k
k b
b a b b k b k
c k b
k
b b
Do đó:
2 2
2 2
a c c
b a b
9. - Cách 3: từ a2 = bc a c
b a
2 2 2 2
2 2 2 2
(1)
a c a c
b a b a
Từ
2
2
(2),( 0)
a c a a c c
a
b a b b a b
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
2 2
a c c
b a b
- Cách 4: Ta có
2 2 2
2 2 2
, 0
c b ca c bc c c
b c
b a b bc b b c b
Do đó:
2 2
2 2
a c c
b a b
Bài tập 3: Biết
bz cy cx az ay bx
a b c
Chứng minh rằng
x y z
a b c
Giải: Ta có 2 2 2
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
a b c a b c
2 2 2
0
abz acy bcx bay cay cbx
a b c
2
0 (1)
abz acy y z
abz acy bz cy
a b c
2
0 (2)
bcx baz z x
bcx baz cx az
b c a
Từ (1) và (2) suy ra:
x y z
a b c
Bài tập 1
(Bài 73/SGK-T14) Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: hãy suy ra tỷ lệ thức: .
Giải:
- Cách 1: Xét tích
Từ
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
- Cách 2: Đặt
Ta có:
a c
b d
a b c d
a c
(1)
(2)
a b c ac bc
a c d ac ad
(3)
a c
ad bc
b d
a b c d
a c
,
a c
k a bk c dk
b d
10. Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: từ
Ta có:
Do đó:
- Cách 4: Từ
- Cách 5: từ
Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Bài tập 2: chứng minh rằng nếu thì
a)
(với a
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
- Cách 2: từ
1 1
(1),( 0)
1 1
(2),( 0)
b ka b bk b k
b
a bk bk k
d kc d dk d k
d
c dk dk k
a b c d
a c
a c b d
b d a c
1 1
a b a b b d c d
a a a a c c
a b c d
a c
a c a b a b
b d c d c d
a a b a b c d
c c d a c
1 1
a c b d b d
b d a c a c
a b c d
a c
a c
b d
;
a b c d a b c d
b d a c
2
a bc
2 2
2 2
; ) ,( 0)
a b c a a c c
b b
a b c a b a b
, )b a c
2 a c
a bc
b a
11. Đặt
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: Ta có
Do đó:
Ngược lại từ ta cũng suy ra được a2 = bc
Từ đó ta có bài toán cho chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì từ 3 số a,
b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc
b)
- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)
= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)
Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c
,
a c
k a bk c ak
b a
1 1
, 0 (1)
1 1
b ka b bk b k
b
a b bk b b k k
1 1
0 ,(2)
1 1
a kc a ak a k
a
c a ak a a k k
a b c a
a b c a
2
2
2
,
, 0
a a ba b a ab bc ab
do a bc
a b a a b a ab bc ab
b c a c a
a b
b c a c a
a b c a
a b c b
a b c a
a b c b
a b c a
a b c b
a c a b a b a b
b a c a c a c a
a b c a
a b c a
2 2
2 2
a c c
b a b
12. - Cách 2: Từ a2 = bc
Đặt suy ra a = bk, c = ak = bk2
Ta có:
Do đó:
- Cách 3: từ a2 = bc
Từ
Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 4: Ta có
Do đó:
Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là thoả mãn chứng tỏ
Giải: Từ
Từ (1) và (2) suy ra
a c
b a
a c
k
b a
2 2 22 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2 2 2
1
, 0
1
b k ka c b k b k
k b
b a b b k b k
2
2c k b
k
b b
2 2
2 2
a c c
b a b
a c
b a
2 2 2 2
2 2 2 2
(1)
a c a c
b a b a
2
2
(2),( 0)
a c a a c c
a
b a b b a b
2 2
2 2
a c c
b a b
2 2 2
2 2 2
, 0
c b ca c bc c c
b c
b a b bc b b c b
2 2
2 2
a c c
b a b
1 2 3 4, , ,a a a a 2 3
2 1 3 3 2 4;a a a a a a
3 3 3
1 2 3 1
3 3 3
2 3 4 4
a a a a
a a a a
2 1 2
2 1 3
2 3
3 32
3 2 4
3 4
(1)
(2)
a a
a a a
a a
aa
a a a
a a
33 3
3 3 31 2 1 2 1 2 1
3 3 3
2 3 4 2 3 4 2 3 4 4
(3)
a a aa a a a a a a
a a a a a a a a a a
13. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Từ (3) và (4) suy ra:
Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
Cho chứng minh rằng
Bài tập 4: Biết
Chứng minh rằng
Giải: Ta có
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài tập 5: Cho . Chứng minh rằng
(với và các mẫu đều khác 0)
Lời giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
3 3 3 33 3
3 1 2 31 2
3 3 3 3 3 3
2 3 4 2 3 4
(4)
a a a aa a
a a a a a a
3 3 3
1 2 3 1
3 3 3
2 3 4 4
a a a a
a a a a
1 2 4
2 3 4
a a a
a a a
3
1 2 3 1
2 3 4 4
a a a a
a a a a
bz cy cx az ay bx
a b c
x y z
a b c
2 2 2
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
a b c a b c
2 2 2
0
abz acy bcx bay cay cbx
a b c
2
0 (1)
abz acy y z
abz acy bz cy
a b c
2
0 (2)
bcx baz z x
bcx baz cx az
b c a
x y z
a b c
cba
z
cba
y
cba
x
4422
zyx
c
zyx
b
zyx
a
4422
0abc
)1(
9
2
224442
2
224
2
4422 a
zyx
cbacbacba
zyx
cba
y
cba
z
cba
y
cba
x
)2(
9
2
)44(242
2
42
2
4422 b
zyx
cbacbacba
byx
cba
x
cba
z
cba
y
cba
x
14. Từ (1),(2),(3) suy ra suy ra
Bài 1. Chứng minh rằng : Nếu 1
a c
b d
thì
a b c d
a b c d
với a, b, c, d ≠ 0
Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định bài toán cho ta điều gì? Bắt chứng
minh điều gì?
Giải: Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: 1 1
a c a c a b c d
b d b d b d
a b b
c d d
(1)
a c a b c d a b b
b d b d c d d
(2)
Từ (1) và (2) =>
a b a b a b c d
c d c d a b c d
(ĐPCM)
Bài 2: Nếu
a c
b d
thì:
a,
5 3 5 3
5 3 5 3
a b c d
a b c d
b,
2 2
2 2 2 2
7 3 7 3
11 8 11 8
a ab c cd
a b c d
Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh?
- Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
- Bài 1 gợi ý gì cho giải bài 2?
a. Từ
5 3 5 5 5 3 5 3
5 3 3 3 5 3 5 3
a c a b a b a c a b c d
b d c d c d b d a b c d
(đpcm)
b.
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
7 8 3 11
7 8 3 11
a c a b a b ab a b ab a
b d c d c d cd c d cd c
)3(
9
44
44)448(484
44
448
4
484
4
4422
c
zyx
cbacbacba
zyx
cba
y
cba
x
cba
z
cba
y
cba
x
c
byx
b
zyx
a
zyx
9
44
9
2
9
2
zyx
c
zyx
b
zyx
a
4422
15. 2 2 2
2 2 2
7 3 11 8
7 3 11 8
a ab a b
c cd c d
(đpcm)
Bài 3: CMR: Nếu 2
a bc thì
a b c a
a b c a
điều đảo lại có đúng hay không?
Giải: + Ta có: 2 a b a b a b a b c a
a bc
c a c a c a a b c a
+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
Ta có:
2 2
2
2
2
a b c a
a b c a a b c a
a b c a
ac a bc ab ac a bc ab
bc a
a bc
Bài 4: Cho
a c
b d
CMR
2 2
2 2
ac a c
bd b d
Giải:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a c ac a c a c ac a c
b d bd b d b d bd b d
(đpcm)
Bài 5: CMR: Nếu
a c
b d
thì
4 4 4
4 4
a b a b
c d c d
Giải:
Ta có:
44
4
1
a c a b a b a a b
b d c d c d c c d
Từ
4 4 4 4
4 4 4 4
2
a b a b a b
c d c d c d
Từ (1) và (2)
4 4 4
4 4
a b a b
c d c d
(đpcm)
16. Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thì a c
b d
Giải:
Ta có: 2 2 3a c b a c d bd
Từ (3) và (2) c b d a c d
cb cd ad cd
a c
b d
(đpcm)
Bài 7: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện:
2 2
;b ac c bd và 3 3 3
0b c d
CM:
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
Giải: + Ta có 2
1
a b
b ac
b c
+ Ta có 2
2
b c
c bd
c d
+ Từ (1) và (2) ta có
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
3
a b c a b c a b c
b c d b c d b c d
Mặt khác:
3
3
4
a b c a a b c a
b c d b b c d d
Từ (3) và (4)
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1)
Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì:
y z z x x y
a b c b c a c a b
17. Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các các số của (1) cho abc ta có:
a y+z y+z
2
b z x c x y z x x y
abc abc abc bc ac ab
? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac
? Ta sẽ biến đổi như thế nào?
Từ (2)
y+z x y z x y z x y z x y z
bc ab ac bc ab ac bc
y-z z-x x-y
a b c b c a c a b
(đpcm)
Bài 9: Cho
bz-cy cx-az ay-bx
1
a b c
CMR:
x y z
a b c
Giải: Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c
Từ (1) ta có:
2 2 2 2 2 2
bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx
0
a a b c a b c
x y
bz-cy = 0 bz = cy = 2
c b
ay-bx = 0 ay = bx 3
x y
a b
Từ (2) và (3)
x y z
a b c
(đpcm)
Bài 10. Biết
'
'
a
1
a
b
b
và
'
'
b
1
c
b c
CMR: abc + a’b’c’ = 0
18. Giải: Từ
'
'
a
1 ' ' 1 1
a
b
ab a b
b
Nhân cả hai vế của (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3)
Ta có:
'
'
b
1 ' ' ' (2)
c
bc b c b c
b c
Nhân cả hai vế của (2) với a’ ta có:
a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4)
Cộng cả hai vế của (3) và (4) ta có:
abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c
=> abc + a’b’c = 0 (đpcm)
B. Toán tìm x, y, z
1.Tìm mộtsố hạng chưa biết
a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm
trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
* Lưu ý: Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như
sau :
a)
. . .
. . ; ;
a c b c a d a d
a d b c a b c
b d d c b
. 9,36 0.52.16,38
0,52.16,38
0,91
9,36
x
x
1 2 3 2
: 1 :
3 3 4 5
x
19. b)
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13)
Giải :
Suy ra x = 30 hoặc x =-30
* Lưu ý: Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta
đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
;
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
Cách 1: ta có:
Cách 2: từ
Áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
1 2
0,2:1 : 6 7
5 3
x
60
15
x
x
2
2 2
60
15
. 15 . 60
900
30
x
x
x x
x
x
1 60
15 1
x
x
1 9
7 1
x
x
3 5
5 7
x
x
3 5
3 .7 5 .5 7 21 25 5
5 7
5
12 46 3
6
x
x x x x
x
x x
3 5 3 5
5 7 5 7
x x x
x
3 5 3 5 2 1
5 7 5 7 12 6
3 1
6 3 5
5 6
5 5
3 3
6 6
x x x x
x
x
x x
20. Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến
đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết
a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
(1) và x +y + z =d (2)
( trong đó a, b, c, a+b+c và a, b, c, d là các số cho trước)
Cách giải:
- Cách 1: đặt thay vào (2)
Ta có k.a + k.b + k.c = d
Từ đó tìm được
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
2 2
2 4
1 7
2 7 4 1
7 2 14 4 4
5 14 3 4
5 3 4 14 2 10 5
x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
x y z
a b c
0
. ; . ; .
x y z
k
a b c
x k a y k b z k c
d
k a b c d k
a b c
.
; ;
a d bd cd
x y z
a b c a b c a b c
21. b)Khai thác.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
*
*
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
+Thay đổi cả hai điều kiện
c)Bài tập
Bàitập 1 : Tìm hai số x và y biết
x y
2 3
và x + y = 20.
Cách 1: Đặt ẩn phụ
Đặt
x y
k
2 3
, suy ra: x = 2k, y = 3k
Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = 4
Do đó: x = 8 và y = 12
Cách2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
. . .
; ;
x y z x y z d
a b c a b c a b c
a d b d c d
x y z
a b c a b c a b c
1 2 3k x k y k z e
2 2 2
1 2 3k x k y k z f
1 2 3 4
;
x y y z
a a a a
2 1 4 3;a x a y a y a z
1 2 3b x b y b z
1 3 3 22 1b x b z b z b yb y b x
a b c
3 31 2 2
1 2 3
z bx b y b
a a a
22. x y x y 20
4
2 3 2 3 5
Do đó: x = 8 và y = 12
Cách3: Phương pháp thế
x y 2y
x
2 3 3
mà x + y = 20 suy ra 5y/3 = 20 nên y = 12
Do đó:x = 8
Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết và x +y + z = 27
Giải:
- Cách 1.
Đặt
Từ x + y + z = 27 ta suy ra
Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 3: Tìm 3 số x,y,z biết và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: - Cách 1: Đặt =k
- Cách 2: Từ suy ra
Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 3 4
x y z
2 , 3 , 4
2 3 4
x y z
k x k y k z k
2 3 4 27 9 27 3k k k k k
27
3
2 3 4 2 3 4 9
2.3 6; 3.3 9; 4.3 12
x y z x y z
x y z
2 3 4
x y z
2 3 4
x y z
2 3 4
x y z
2 3 5
4 9 20
x y z
23. Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết và
Giải: - Cách 1: Đặt =k
- Cách 2: từ
suy ra
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Suy ra
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
Bài tập 5: Tìm 3 số x, y, z biết và x.y.z = 648
Giải:
- Cách 1: Đặt = k
- Cách 2: Từ
2 3 5 2 3 5 21
3
4 9 20 4 9 20 7
6; 9; 12
x y z x y z
x y z
2 3 4
x y z
2 2 2
2 3 5 405x y z
2 3 4
x y z
2 3 4
x y z
2 2 2
2 2 2
4 9 16
2 3 5
8 27 90
x y z
x y z
2 2 2 2 2 2
2 3 5 2 3 5 405
9
8 27 90 8 27 90 45
x y z x y z
2
2
2
2
2
2
9 36 6
4
9 81 9
9
9 144 12
16
x
x x
y
y y
z
z z
2 3 4
x y z
2 3 4
x y z
2 3 4
x y z
24. Từ đó tìm được y = 9; z = 12.
Bài tập 6. Tìm x,y, z biết và x +y +z = 27
Giải: từ
Từ suy ra
Sau đó ta giải tiếp như bài tập 2.
Bài tập 7. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
Giải: Từ
Từ
Suy ra sau đó giải như bài tập 2
Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z
Sau đó giải tiếp như bài tập 3
Bài tập 9: Tìm x, y, z biết và 2x +3y -5z = -21
Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
3
3
3
648
27
2 2 3 4 24 24
27 216 6
8
x x y z xyz
x
x x
;
6 9 2
x y z
x
6 9 2 3
x y x y
2 2 4
z x z
x
2 3 4
x y z
3 2
2 3
x y
x y
4 2
2 4
x z
x z
2 3 4
x y z
6 4 3
12 12 12 2 3 4
x y z x y z
6 3 4 6 3 4
5 7 9
x z y x z y
25. Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 8
Bài tập 10: Tìm x,y,z biết
và x +y +z =27
Giải:
- Cách 1: Đặt =k
- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
Vậy x = 6; y= 9; z = 12
Bài 11. Tìm x, y, z biết:
15 20 28
x y z
và 2 3 2 186x y
Giải: Giả thiết cho 2 3 2 186x y
Làm như thế nào để sử dụng hiệu quả giả thiết trên?
Từ
2 3 2 3 186
3
15 20 28 30 60 28 30 60 28 62
x y z x y z x y z
x = 3.15 = 45
y= 3.20 = 60
z = 3.28 = 84
6 3 4 3 3 6 6 3 4 3 3 6
0
5 7 9 5 7 9
6 3 ;4 3 ;3 6
x z y z z x x z y z z x
x z y z z x
4 6 8
2 3 4
x y z
4 6 8
2 3 4
x y z
4 6 8
2 3 4
x y z
4 6 8 18 27 18
1
2 3 4 9 9
4
1 6
2
6
1 9
3
8
1 12
4
x y z x y z
x
x
y
y
z
z
26. Bài 12. Tìm x, y, z cho:
3 4
x y
và
5 7
y z
và 2 3 372x y z
Giải: Nhận xét bài này và bài trên có gì giống nhau?
Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào? Đưa tử số có cùng số chia
Ta có:
3 4 15 20
x y x y
(chia cả hai vế cho 5)
5 7 20 28
y z y z
(chia cả hai vế cho 4)
15 20 28
x y z
Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168
Bài 13. Tìm x, y, z biết
2 3
x y
và
5 7
y z
và x + y + z = 98
Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?)
Học sinh nên tự giải (tương tự bài nào em gặp)
ĐS: x = 20; y = 30; z = 42
Bài 14. Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*)
Cách 1: Từ 2x = 3y
3 2
x y
3y = 5z
5 3
y z
Đưa về cách giải giống ba bài trên: cách này dài dòng
Cách 2: + Nếu có tỷ lệ của x, y, z tương ứng ta sẽ giải được (*)
+ Làm thế nào để (1) cho ta (*)
+ chia cả hai vế của (1) cho BCNN (2;3;5) = 30
2x = 3y = 5z
2 3 5 95
5
30 30 30 15 10 6 15 10 6 19
x y z x y z x y z
27. => x = 75, y = 50, z = 30
Bài 15. Tìm x, y, z biết:
1 2 3
1
2 3 4
x y z và x – y = 15
Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự bài 11)
BCNN(1 ;2 ;3) = 6
Chia các vế của (1) cho 6 ta có
15
5
12 9 8 12 9 3
x y z x y
=> x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40
Bài 16. Tìm x, y, z biết:
a.
1 2 3
1
2 3 4
x y z
và 2x + 3y –z = 50
b.
2 2 4
2
3 4 5
x y z
và x + y +z = 49
Giải:
a. Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự bài nào? (bài 11)
Từ (1) ta có:
2 1 3 2 3 2 2 3 6 3
4 9 4 4 9 4
2 3 2 6 3 50 5
5
9 9
x y z x y z
x y z
1
5 11
2
x
x
2
5 17
3
y
x
3
5 23
4
z
x
b. ? Nêu cách giải phần b? (tương tự bài 15)
28. Chia các vế cho BCNN (2;3;4) = 12
2 3 4 2 3 4
3 4 5 3.12 4.12 5.12
49
1
18 10 15 18 16 15 49
x y z x y z
x y z x y z
=> x = 18; y = 16; z = 15
Bài 17. Tìm x; y; z biết rằng:
a.
2 3
x y
và xy = 54 (2)
b.
5 3
x y
và 2 2
4x y (x, y > 0)
Giải: ? Làm như thế nào để xuất hiện xy mà sử dụng giả thiết.
a.
2
2 2 22
54
1 . . 9
2 3 2 2 3 2 4 6 6
4.9 2.3 6 6 6
x y x x y x x xy
x x
Thay vào (2) ta có:
54
6 9
6
x y
54
6 9
6
x y
b.
2 2 2 2
2
4 1
5 3 25 9 25 9 16 4
25 5
4 2
x y x y x y
x x
2 9 3
4 2
y x
Bài 18. Tìm các số a1, a2, …a9 biết:
91 2 a 9a 1 a 2
...
9 8 1
và 1 2 9a a ... a 90
Giải :
1 2 91
a a ... a 1 2 ... 9a 1 90 45
1
9 9 8 ... 1 45
29. Từ đó dễ dàng suy ra a1; a2; …
Bài 19. Tìm x; y; z biết:
a.
1 2 3 1
1
y z x z x y
x y z x y z
Giải: Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có từ (1)
21 1 2 3 x y zy z y z x z x y
x x y z x y z
Nếu a + y + z ≠ 0 :
1
2 0,5
1
2 1 2 1 2
1
1,5 3
2
2
2 2 3
5
2,5 3
6
3
2 3 3
5 5
3
2 6
x y z
x y z
y z
y z x x y z x x
x
x x
x z
x y z y
y
y y
x y
x y z z
z
z z
b. Tương tự các em tự giải phần b
Tìm x, y, z biết:
1 1 2
x y z
x y z
y z x z x y
Nếu x + y + z ≠ 0 => x + y + z = 0,5
ĐS :
1 1 1
; ;
2 2 2
x y z
Nếu x + y + z = 0 => x = y = z = 0
Bài 20. Tìm x biết rằng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
30. Giải:
1 4 1 2 1 6 2 8 1 4 2 8
24 18 6 18 6 24 18 6
1 4 24 1 4 24 1
24 18 6 2 1 4 18 6 2
18 6 24.2
6 3 6.4.2
3 8 5
y y y y y y
x x x
y y
x y x
x
x
x x
Bài 21. Tìm x, y,z biết rằng:
2 3 5
x y z
và xyz = 810
Giải:
3 3
33 3 3
2 3 5 2 2 2 2 3 5 30
810
27 27
2 10 8
8.27 2 .3 2.3
6
x y z x x x x y z xyz
x x
x
x
mà
3.6
9
2 3 2
15
x y
y
z
Bài 22. Tìm các số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng:
11 2
1 2 1
n n
n n
x xx x
a a a a
và 1 2 nx x x c
( 1 1 20,..., 0; ... 0n na a a a a )
Giải:
1 1 21 2
1 2 1 1 2 1 2
1 2
...
... ...
.
...
n n n
n n n n
i
i
n
x x x x xx x c
a a a a a a a a a a
c a
x
a a a
31. trong đó: i = 1, 2,…, n
Bài 23. Tìm các số x; y; z ЄQ biết rằng: : 5 : : 9 3:1:2:5x y z y z y
Giải: Ta có:
5 9
(1)
3 1 2 5
5 9 4
3 1 2 5 1
x y z y z y
k
x y z y z y x y
4
4
3
4 3 4 2 2
x y k
k x y
x y k
k k k k
Từ (1)
5 5 5 2 3
9 5 5 9 10 9 1
3 3 6 1 5
5
1
3
z k z k
y k y k
x y k x k y
x
y
z
Bài 24. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỷ số giữa số thứ 1 và số thứ 2 là
2
3
;
giữa số thứ 1 và số thứ 3 là
4
9
. Tìm 3 số đó?
Giải:
Ta có:
3 3 3
3 3 33 3 3 3 3 3 3
3
1009
2
3 2 3 4 6
1
9 4 9 4 6 9
4 , 6 , 9
4 6 9 64 216 729 1009 1009
1 1
1.4 4
1.6 6
1.9 9
x y z
x x y x y
y
x x z x y z
z
x k y k z k
x y z k k k k k k k
k k
x
y
z
32. Bài 25. Tìm x, y biết :
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1. Tìm một số hạng chưa biết
c) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu
. . .
. . ; ;
a c b c a d a d
a d b c a b c
b d d c b
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm
trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
- 0, 52 : x = - 9, 36 : 16, 38
. 9,36 0.52.16,38
0,52.16,38
0,91
9,36
x
x
Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như
sau :
a)
1 2 3 2
: 1 :
3 3 4 5
x
' b)
1 2
0,2:1 : 6 7
5 3
x
có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
60
15
x
x
Giải : từ
2
2 2
60
15
. 15 . 60
900
30
x
x
x x
x
x
Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đưa về
luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
1 60
15 1
x
x
;
1 9
7 1
x
x
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
3 5
5 7
x
x
Giải:
Cách 1: từ
33.
3 5
3 .7 5 .5
5 7
7 21 25 5
12 46
5
3
6
x
x x
x
x x
x
x
Cách 2: từ
3 5 3 5
5 7 5 7
x x x
x
áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
3 5 3 5 2 1
5 7 5 7 12 6
3 1
6 3 5
5 6
5 5
3 3
6 6
x x x x
x
x
x x
Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
2 2
2 4
1 7
2 7 4 1
7 2 14 4 4
5 14 3 4
5 3 4 14 2 10 5
x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến
đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau
2. Tìm nhiều số hạng chưa biết
a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
a b c
(1) và x +y + z =d (2)
( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trước)
Cách giải:
- Cách 1: đặt
. ; . ; .
x y z
k
a b c
x k a y k b z k c
thay vào (2)
Ta có k. a + k. b + k. c = d
d
k a b c d k
a b c
Từ đó tìm được
.
; ;
a d bd cd
x y z
a b c a b c a b c
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
. . .
; ;
x y z x y z d
a b c a b c a b c
a d b d c d
x y z
a b c a b c a b c
b). Hướng khai thác từ bài trên như sau.
34. +Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
* 1 2 3k x k y k z e
* 2 2 2
1 2 3k x k y k z f
*x. y. z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
- 1 2 3 4
;
x y y z
a a a a
- 2 1 4 3;a x a y a y a z
- 1 2 3b x b y b z
- 1 3 3 22 1b x b z b z b yb y b x
a b c
- 3 31 2 2
1 2 3
z bx b y b
a a a
+Thay đổi cả hai điều kiện
c). Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
và x +y + z = 27
Giải: Cách 1.
Đặt 2 , 3 , 4
2 3 4
x y z
k x k y k z k
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2 3 4 27 9 27 3k k k k k
Khi đó x = 2. 3 = 6; y = 3. 3 = 9; z = 4. 3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.
27
3
2 3 4 2 3 4 9
2.3 6; 3.3 9; 4.3 12
x y z x y z
x y z
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
và 2x + 3y – 5z = -21
Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
=k
- Cách 2: Từ
2 3 4
x y z
suy ra
2 3 5
4 9 20
x y z
áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 3 5 2 3 5 21
3
4 9 20 4 9 20 7
6; 9; 12
x y z x y z
x y z
C./ LẬP TỈ LỆ THỨC
35. Bài 26. Cho 5 6
( 5, 6)
5 6
a b
a b
a b
tìm ?
a
b
Bài 27. Cho a
a
4
a b c
e d f
và e - 3d + 2f 0
Tìm
3 2
3 2
a b c
d e f
D./ TOÁN ĐỐ
Toán chia tỉ lệ
1. Phương pháp giải
Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4:Kết luận.
2. Bài tập
Bài tập 1. (Bài 76 SBT-T14): Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và
các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có :
Suy ra
0
542
cba
2
11
22
542542
cbacba
42
4
42
2
b
b
a
a
36. Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng
3.Khi đó ta có được: c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với
các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp
7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được.
Lời giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương)
Theo bài ra ta có
Suy ra 27
3
a
a
357
5
287
4
c
c
b
b
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó.
Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có và
Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9
102
5
c
c
7
17
119
5166
42
516
4
6
2
542
cbacbacba
3
2
9
4
2 4
;
3 9
a a
b c
3 3 3
1009a b c
37. Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi số thóc ở kho I, số thóc ở
kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có
bao nhiêu tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a, b, c>0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là
Số thóc của kho II sau khi chuyển là
Số thóc của kho III sau khi chuyển là
theo bài ra ta có và a+b+c=710
từ
Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912
đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính
số học sinh của mỗi khối.
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dương)
Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b
1
5
1
6
1
11
1 4
5 5
a a a
1 5
6 6
b b b
1 10
11 11
c c c
4 5 10
5 6 11
a b c
4 5 10 4 5 10
5 6 11 5.20 6.20 11.20
a b c a b
c
710
10
25 24 22 25 24 22 71
a b c a b c
3
m
3 3 3
1,2 ;1,4 ;1,6m m m
38. Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c
Theo bài rat a có
Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Bài 28. Có 3 đội A; B; C có tất cả 130 người đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi người đội A; B;
C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây. Biết số cây mỗi đội trồng được như nhau. Hỏi mỗi đội
có bao nhiêu người đi trồng cây?
Giải:
+ Gọi số người đi trồng cây của đội A; B; C lần lượt là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN*
+ Theo bài ra ta có:
x.2 = y.3 = 4.z (1) và x + y+ z =130
BCNN (2;3;4) = 12
.2 .3 4. 130
10
12 12 12 6 4 3 6 4 3 13
60; 10; 30
x y z x y z x y z
x y z
Trả lời: Đội A; B; C có số người đi trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30
ĐS: 60; 40; 30
Bài 29. Trường có 3 lớp 7, biết
2
3
có số học sinh lớp 7A bằng
3
4
số học sinh 7B và bằng
4
5
số
học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia là 57 bạn. Tính số học
sinh mỗi lớp?
Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt là x; y; z (em), x; y; z ≠0
Theo bài ra ta có:
;
1 3 4 5
a b b c
39.
2 3 4
1
3 4 5
x y z và x + y + z = 57
Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12
57
18 16 15 18 16 15 19
x y z x y z
=> x = 54; y = 18; z =45
Trả lời: số học sinh các lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là: 54; 18; 45
ĐS: 54; 18; 45
Bài 30. Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số số thứ nhất với số thứ
2 là
5
9
, của số thứ nhất với số thứ ba là
10
7
.
Giải: Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z
Theo bài ra ta có: BCNN (x;y;z) = 3150
2
5 10
; ;
9 7 5 9 10 7
10 18 7
10 2.5.
18. 3 .2.
7.
x x x y x z
y z
x y z
k
x k k
y k k
z k
BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7
k = 5
x=50; y = 90; z = 35
Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1. Phương pháp giải
Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4:Kết luận.
40. 2. Bài tập
Bài tập 1: Trong một đợt lao động ba khối 7, 8, 9 chuyển được 912 3
m
đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được 3 3 3
1,2 ;1,4 ;1,6m m m
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính
số học sinh của mỗi khối.
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c(h/s)(a, b, c là số nguyên dương)
Số đất khối 7 chuyển được là 1, 2a
Số đất khối 8 chuyển được là 1, 4b
Số đất khối 9 chuyển được là 1, 6c
Theo bài rat a có ;
1 3 4 5
a b b c
Và 1, 2a +1, 4b + 1, 6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lượt là 80 h/s, 240h/s, 300h/s
Bài tập 2:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c (cm, a, b, c 0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
542
cba
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có
2
11
22
542542
cbacba
Suy ra
102
5
42
4
42
2
c
c
b
b
a
a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm, 8cm, 10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng
3. Khi đó ta có được: c-a=3
Bài tập 3:
Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây, số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với các số
2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là
119 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được.
Lời giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, b, c (cây, a, b, c nguyên dương)
Theo bài ra ta có 7
17
119
5166
42
516
4
6
2
542
cbacbacba
41. Suy ra
357
5
287
4
217
3
c
c
b
b
a
a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 21cây, 28cây, 35cây
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi
1
5
số thóc ở kho I,
1
6
số thóc ở
kho II và
1
11
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có
bao nhiêu tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I, II, III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a, b, c>0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là
1 4
5 5
a a a
Số thóc của kho II sau khi chuyển là
1 5
6 6
b b b
Số thóc của kho III sau khi chuyển là
1 10
11 11
c c c
theo bài ra ta có
4 5 10
5 6 11
a b c và a+b+c=710
từ
4 5 10 4 5 10
5 6 11 5.20 6.20 11.20
a b c a b
c
710
10
25 24 22 25 24 22 71
a b c a b c
Suy ra a=25. 10=250; b=24. 10=240 ; c=22. 10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn, 240 tấn, 220 tấn.
Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1) Sai lầm khi áp dụng tương tự
H/s áp dụng
.
.
x y x y
a b a b
hay
. .
. .
x y z x y z
a b c a b c
Bài tập 1: (Bài 62 – SGKT31) tìm 2 số x, y biết rằng
2 5
x y
và x. y=10
H/s sai lầm như sau :
. 10
1
2 5 2.5 10
x y x y
suy ra x=2, y=5
Bài làm đúng như sau:
Từ
2
2. . 10
4 2
2 5 2 5 2 5
x y x x x y x
x x từ đó suy ra 5y
42. vậy x= 2, y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ
2 2
2 210
. 1 4 2
2 5 4 2 5 4 10
x y x x y x
x x
hoặc đặt 2 , 5
2 5
x y
x x x y x vì xy=10 nên 2x. 5x=10 2
1 1x x
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện số chia khác 0
Khi rút gọn h/s thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm
Bài tập 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
a b c
b c c a a b
.
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có
a b c
b c c a a b
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
2
a b c a b c a b c
b c c a a b b c c a a b a b c
Học sinh thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
1
2
ta phải làm như sau
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
nên mỗi tỉ số ; ;
a b c
b c c a a b
đều bằng -1
+ Nếu a+b+c 0 khi đó
1
2 2
a b c a b c
b c c a a b a b c
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
Bài tập 3: Cho biểu thức
x y y z z t t x
P
z t t x x y z y
Tính giá trị của P biết rằng (1)
x y z t
y z t z t x t x y x y z
Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
3( )
x y z t x y z t
y z t z t x t x y x y z x y z t
Cách 2:Từ (1) suy ra 1 1 1 1
x y z t
x z t z t x t x y x y z
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x y t x y z
ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng như sau :
Nếu x+y+z+t 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x). Khi đó P=-4
43. ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau. Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1, bài tập 4 nên
dùng cách 2
Bài tập tương tự :
1)Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện a b c b c a c a b
c a b
Hãy tính giá trị của biểu thức 1 1 1
b a c
B
a c b
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
2 2 2 2a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
Tìm giá trị của biểu thức M biết :
a b b c c d d a
M
c d d a a b b c
Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng khác 0)
thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại, nếu các số hạng dưới bằng nhau thì các số hạng
trên bằng nhau.
3. Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thường sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B
Bài tập 4:Tìm x biết
1 60
15 1
x
x
Giải:
1 60
15 1
x
x
2 2
1 15 . 60 1 900x x
Học sinh thường sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
phải suy ra 2 trường hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29
E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ
a
b
và
c
d
với b> 0; d >0.
CM:
a c
ad bc
b d
Giải:
+ Có
db cd
bd db
0; 0
a c
ad bcb d
b d
+ Có:
ad bc
0; 0 bd db
ad bc a c
b d b d
Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ
a c a a c c
b d b b d d
44. (Bài 5/33 GK Đ7)
Giải:
+ (1)
0; 0
a c
ad bcb d
b d
thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:
2
ad ab bc ab
a a c
a b d c b d
b b d
+ Thêm vào hai vế của (1) dc ta có:
1
3
ad dc bc dc
d a c c b d
a c c
b d d
+ Từ (2) và (3) ta có:
Từ
a c a a c c
b d b b d d
(đpcm)
Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên
a, Nếu 1
a
b
thì
a a c
b b c
b, Nếu 1
a
b
thì
a a c
b b c
Bài 31. Cho a; b; c; d > 0.
CMR: 1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
Giải:
+ Từ 1
a
a b c
theo tính chất (3) ta có:
45. 1
a d a
a b c d a b c
(do d>0)
Mặt khác: 2
a a
a b c a b c d
+ Từ (1) và (2) ta có: 3
a a a d
a b c d a b c a b c d
Tương tự ta có:
4
b b b a
a b c d b c d a b c d
5
c c c b
a b c d c d a c d a b
6
d+a+b+c
d d d c
d a b a b c d
Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:
1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
(đpcm)
Bài 32. Cho
a c
b d
và ; 0b d CMR: 2 2
a ab cd c
b b d d
Giải:
Ta có
a c
b d
và ; 0b d nên 2 2
. .
. d.d
a b c d ab cd
bb b d
Theo tính chất (2) ta có: 2 2 2 2 2 2
ab ab cd cd a ab cd c
b b d d b b d d
(đpcm)
Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
2) Sai lầm khi áp dụng tương tự
H/s áp dụng hay
.
.
x y x y
a b a b
. .
. .
x y z x y z
a b c a b c
46. Bài tập 1: (Bài 62 - SGK/T31) tìm 2 số x,y biết rằng và x.y=10
H/s sai lầm như sau : suy ra x=2,y=5
Bài làm đúng như sau:
Từ từ đó suy ra
vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ
hoặc đặt vì xy=10 nên 2x.5x=10
Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng
và x.y.z= 648
H/s sai lầm như sau
Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn HS thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm
Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là .
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
h/s thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng ta phải làm như sau
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
nên mỗi tỉ số đều bằng -1
+ Nếu a+b+c 0 khi đó
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
Bài tập 4: Cho biểu thức
2 5
x y
. 10
1
2 5 2.5 10
x y x y
2
2. . 10
4 2
2 5 2 5 2 5
x y x x x y x
x x 5y
2 2
2 210
. 1 4 2
2 5 4 2 5 4 10
x y x x y x
x x
2 , 5
2 5
x y
x x x y x 2
1 1x x
2 3 4
x y z
. . 648
27
2 3 4 2.3.4 24
x y z x y z
a b c
b c c a a b
a b c
b c c a a b
2
a b c a b c a b c
b c c a a b b c c a a b a b c
1
2
; ;
a b c
b c c a a b
1
2 2
a b c a b c
b c c a a b a b c
x y y z z t t x
P
z t t x x y z y
47. Tính giá trị của P biết rằng
Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
Cách 2:Từ (1) suy ra
Ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
Ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng như sau :
Nếu x+y+z+t suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau. Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4 nên
dùng cách 2
Bài tập tương tự :
1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
.Hãy tính giá trị của biểu thức
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
Tìm giá trị của biểu thức M biết :
Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng khác 0)
thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng dưới bằng nhau thì các số hạng
trên bằng nhau.
(1)
x y z t
y z t z t x t x y x y z
3( )
x y z t x y z t
y z t z t x t x y x y z x y z t
1 1 1 1
x y z t
x z t z t x t x y x y z
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x y t x y z
0
a b c b c a c a b
c a b
1 1 1
b a c
B
a c b
2 2 2 2a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
a b b c c d d a
M
c d d a a b b c
48. Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lời giải bài toán “
Tìm x.ybiết: ” như sau:
Ta có: (1)
Từ hai tỷ số đầu ta có: (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra (3)
6x = 12 x = 2
Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3
Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm
Lời giải :Học sinh trên sai như sau
Từ (3) phải xét hai trường hợp
TH 1 : 2x+3y-1 .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp như trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có
Suy ra 2-3y =3y-2 =0 . Từ đó tìm tiếp
Bài tập 6: Tìm x,y biết :
Giải tương tự như bài tập 5 nhưng bài này chỉ có một trường hợp
3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thường sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B
Bài tập 7:Tìm x biết
Giải:
h/s thường sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
2 1 3 2 2 3 1
5 7 12
x y x y
2 3 1
6
x y
x
2 3 1
12
x y
0
1 3 1 1 3 1 3 2
0
5 5 7
y y y
2
3
y
1
2
x
1 2 1 4 1 6
(1)
18 24 6
y y y
x
1 60
15 1
x
x
1 60
15 1
x
x
2 2
1 15 . 60 1 900x x
49. phải suy ra 2 trường hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29
Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng :
và
Lời giải:
Đặt =k suy ra x=2k, y=3k, z=4k
Từ suy ra
Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra
4. PHẦN HÌNH HỌC
1. Hai gãc ®èi ®Ønh lµ hai gãc mµ mçi c¹nh cña gãc nµy lµ tia
®èi cña mét c¹nh cña gãc kia.
- Hai gãc ®èi ®Ønh th× b»ng nhau.
2. Hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc lµ hai ®-êng th¼ng c¾t nhau t¹o
thµnh bèn gãc vu«ng.
3. §-êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng lµ ®-êng th¼ng ®i qua
trung ®iÓm vµ vu«ng gãc víi ®o¹n th¼ng ®ã.
4. Hai ®-êng th¼ng song song lµ hai ®-êng th¼ng kh«ng cã ®iÓm
chung.
*TÝnh chÊt cña hai ®-êng th¼ng song song
- NÕu ®-êng th¼ng c c¾t hai ®-êng th¼ng a, b vµ trong c¸c
gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau th× :
+ Hai gãc so le trong cßn l¹i b»ng nhau
+ Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau
+ Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.
*DÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®-êng th¼ng song song
- NÕu ®-êng th¼ng c c¾t hai ®-êng th¼ng a, b vµ trong c¸c
gãc t¹o thµnh cã :
+ Mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau
+ HoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau
+ HoÆc hai gãc trong cïng phÝa bï nhau
th× a vµ b song song víi nhau
2 3 4
x y z
2 2 2
2 3 5 405x y z
2 3 4
x y z
2 2 2
2 3 5 405x y z
2 2 2
2. 2 3 3 5 4 405k k k
2 2 2
2
2
8 27 80 405
45 405
9
k k k
k
k
3k
55. Hệ số 3: 8.
Em hãy tìm điểm trung bình môn Toán học kì I của bạn Cường (làm tròn đến chữ số thập phân
thứ nhất).
Bài giải:
Điểm trung bình môn Toán học kì I của bạn Cường Là:
7+8+6+10+2(7+6+5+9)+3.8157+8+6+10+2(7+6+5+9)+3.815 = 31+54+241531+54+2415 = 10
91510915 = 7,2(6) ≈≈ 7,3
Bài 75 trang 37 SGK đại số 7
Trong thực tế, khi đếm hay đo các đại lượng, ta thường chỉ được các số gần đúng. Để có thể thu
được kết quả có nhiều khả năng sát số đúng nhất, ta thường phải đếm hay đo nhiều lần rồi tính
trung bình cộng của các số gần đúng tìm được.
Hãy tìm giá trị có nhiều khả năng sát số đúng nhất của số đo chiều dài lớp học của em sau khi
đo năm lần chiều dài ấy.
Trả lời: Đề bài gần như đã trình bày cách giải, các bạn chỉ cần đo đạc, tính toán rồi đưa ra kết
quả thôi!
Bài 76 trang 37 SGK đại số 7
Kết quả cuộc Tổng điều tra dân số ở nước ta tính đến 0 giờ ngày 1/4/1999 cho biết: Dân số
nước ta là 76 324 753 người trong đó có 3695 cụ từ 100 tuổi trở lên.
Em hãy làm tròn các số 76 324 753 và 3695 đến hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn.
Bài giải:
- Làm tròn số 76 324 753:
đến hàng chục là 76 324 750 (số bỏ đi là 3 < 5)
đến hàng trăm là 76 324 800 (số bỏ đi là 5 = 5)
đến hàng nghìn là 76 325 000 (số bỏ đi là 7 > 5)
- Làm tròn số 3695:
đến hàng chục là 3600 (số bỏ đi là 5 = 5)
đến hàng trăm là 3700 (số bỏ đi là 9 > 5)
đến hàng nghìn là 4000 (số bỏ đi là 6 > 5)
Bài 77 trang 37 SGK đại số 7
57. * L-u ý ! Kh«ng ®-îc viÕt 16 = - 4.
Kiến thức cơ bản
1. Số vô tỉ
Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I.
2. Khái niệm về căn bậc hai
a) Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho
b) Tính chất: Với hai số dương bất kì a và b.
Nếu a=b thì ;
Nếu a < b thì .
Bài Tập
Bài 82,83,84trang 41 sgk toán 7 - tập 1
Bài 82. Theo mẫu:
Vì nên hãy hoàn thành bài tập sau:
a) Vì nên
b) Vì nên ;
c) Vì nên
d) Vì nên
Hướng dẫn giải:
a) Vì nên
b) Vì nên ;
c) Vì nên
d) Vì nên .
Bài 83. Ta có
Theo mẫu trên, hãy tính:
a) ;
b) ;
c)
d)
e)
Hướng dẫn giải:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e)
Bài 84. Nếu thì bằng:
A) 2;
58. B) 4;
C) 8;
D) 16.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Do đó
Vậy chọn D) 16.
Bài 85,86 trang 42 sgk toán 7 - tập 1
Bài 85. Điền số thích hợp vào ô trống
Hướng dẫn giải:
Các số được điền vào là các số có khoang tròn trong bảng dưới đây:
Bài 86. Sử dụng máy tính bỏ túi.
Nút dấu căn bậc hai:
Dùng máy tính bỏ túi để tính:
Hướng dẫn giải:
59. Chú ý: Trong các kết quả trên, hai kết quả đầu là căn bậc hai đúng, hai kết quả cuối
là căn bậc hai gần đúng chính xác đến 6 chữ số thập phân (được làm tròn đến chữ
số thập phân thứ sáu)
Căn bậc hai số học
–o0o–
1. Định nghĩa :
Căn bậc hai số học của a là số dương x sao cho x2 = a.
Với số dương a, số được gọi là Căn bậc hai số học của a.
Ta viết :
x2 = a và x ≥ 0
2. Định lí :
Với hai số không âm a và b ta có :
0 ≤ a < b
===============================================
Bài tập SGK
bài 1/t6 :tìm Căn bậc hai số học của : 121, 225, 361
Giải .
ta có : 11 ≥ 0 và 112 = 121 vậy = 11
ta có : 15 ≥ 0 và 152 = 225 vậy = 15
ta có : 19 ≥ 0 và 192 = 361 vậy = 19
Nhận xét :
ta nhẩm xem một số bình phương bằng 121.
ta nhẩm được hai số : 11 và -11.
kết hợp điều kiện ta chọn 11.
bài 2/t6 : so sánh :2 và ; 7 và
Giải.
Ta có : 2 = ; =
Ta được : 0 ≤ 3 < 4 = > < hay < 2
Ta có : 7 = ; =
Ta được : 0 ≤ 47 < 49 = > < hay < 7
PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI SỐ CĂN :
Bước 1 : Tìm hai số dưới dấu căn . Ta đưa các số vào bên trong căn.
Bước 2 : so sánh hai số dưới dấu căn. Dùng định lí so sánh, so sánh hai căn.
60. Bước 3 : Trả về số ban đầu. Kết luận.
———————————————————————————–
bài 4b/7 sgk : tìm số x không âm, biết : 2
giải :
ta được :
ta có : 7> 0 nên : x =72 = 49
vậy : x = 49
Bài tập bổ sung :
1. Dạng giải phương trình căn :
bài 1 :
<=>
<=> x = 36 (vì 6 > 0)
Vậy : S = {36}
Bài 2 :
<=>
vì -2 < 0 : phương trình vô nghiệm.
vậy : S = Ø.
2. Dạng giải bất phương trình căn :
Bài 1 :
<=>
<=>0 ≤ x < 16 (định lí)
Bài 2 :
<=>
<=> 0 ≤ 9 < x (định lí)
<=> x > 9
4. SỐ THỰC
10. Sè thùc lµ g× ? Cho vÝ dô.
- Sè h÷u tØ vµ sè v« tØ ®-îc gäi chung lµ sè thùc
+ VD : 3 ;
7
2
; - 0,135 ; 2 .... lµ nh÷ng sè thùc.
Kiến thức cơ bản.
1. Số thực:
Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.
Tập hợp các số thực được kí hiệu là R: R=Q U I.
2. Trục số thực
- Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.
- Ngược lại mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.
Chỉ có tập hợp số thực mới lấp đầy trục số.
Chú ý: Các phép toán trong tập hợp các số thực cũng có các tính chất tương tự như
các phép toán trong tập hợp số hữu tỉ.
Ta có .
61. Bài Tập
Bài 87,88 trang 44 sgk toán 7 - tập 1
Bài 87. Điền các dấu thích hợp vào ô vuông:
3 Q; 3 R; 3 I;
-2,53 Q; 0,2(35) I;
N Z; I R.
Hướng dẫn giải:
3 Q; 3 I; 3 I
-2,53 Q; 0,2(35) I;
N Z; I R.
Bài 88. Điền vào chỗ trống (...) trong các phát biểu sau:
a) Nếu a là số thực thì a là số ... hoặc số ...
b) Nếu b là số vô tỉ thì b viết được dưới dạng ...
Hướng dẫn giải:
a) Nếu a là số thực thì a là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ.
b) Nếu b là số vô tỉ thì b viết được dưới dạng tuần hoàn.
Bài 89 ->95 trang 45 sgk toán7 - tập 1
Bài 89. Trong các câu sau đây, câu nào đúng, câu nào sai ?
a) Nếu a là số nguyên tố thì a cũng là số thực;
b) Chỉ có số 0 không là số hữu tỉ dương và cũng không là số hữu tỉ âm;
c) Nếu a là số tự nhiên thì a không phải là số vô tỉ.
Hướng dẫn giải:
a) Đúng , vì .
b) Sai, vì còncác số vô tỉ cũng không là số hữu tỉ dương và cũng không là số hữu tỉ
âm.
c) Đúng, vì
Bài 90. Thực hiện các phép tính :
a)
b)
Hướng dẫn giải:
a)
b)
Bài 91. Điền chữ số thích hợp vào ô vuông:
a)
62. b)
c)
d)
Hướng dẫn giải:
a) -3,02 < -3, 1;
b) -7,5 8 > -7,513;
c) -0,4 854 < -0,49826;
d) -1, 0765 < -1,892.
Bài 92. Sắp xếp các số thực:
-3,2; 1; ; 7,4; 0; -1,5.
a) Theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
b) Theo thứ tự từ nhỏ đến lớn của các giá trị tuyệt đốicủa chúng.
Hướng dẫn giải:
a)
b)
Bài 93. Tìmx, biết:
a)
b)
Hướng dẫn giải:
a)
b)
Bài 94. Hãy tìm các tập hợp:
a) ;
b)
Hướng dẫn giải:
a) ;
b)
Bài 95. Tính giá trị biểu thức:
Hướng dẫn giải:
.
63. 5.TOÁN TỶ LỆ THUẬN TỶ LỆ NGHỊCH
. ThÕ nµo lµ hai ®¹i l-îng tØ lÖ thuËn, tØ lÖ nghÞch ? Nªu c¸c
tÝnh chÊt cña tõng ®¹i l-îng.
*§¹i l-îng tØ lÖ thuËn
- §Þnh nghÜa : NÕu ®¹i l-îng y liªn hÖ víi ®¹i l-îng x theo
c«ng thøc : y = kx (víi k lµ h»ng sè kh¸c 0) th× ta nãi y tØ lÖ
thuËn víi x theo hÖ sè tØ lÖ k.
- TÝnh chÊt : NÕu hai ®¹i l-îng tØ lÖ thuËn víi nhau th× :
+ TØ sè hai gi¸ trÞ t-¬ng øng cña chóng lu«n kh«ng ®æi.
....
3
3
2
2
1
1
x
y
x
y
x
y
+ TØ sè hai gi¸ trÞ bÊt k× cña ®¹i l-îng nµy b»ng tØ sè
hai gi¸ trÞ t-¬ng øng cña ®¹i l-îng kia.
2
1
2
1
y
y
x
x
; .,.........
3
1
3
1
y
y
x
x
*§¹i l-îng tØ lÖ nghÞch
- §Þnh nghÜa : NÕu ®¹i l-îng y liªn hÖ víi ®¹i l-îng x theo
c«ng thøc : y =
x
a
hay xy = a (a lµ mét h»ng sè kh¸c 0) th× ta
nãi y tØ lÖ nghÞch víi x theo hÖ sè tØ lÖ a.
- TÝnh chÊt : NÕu hai ®¹i l-îng tØ lÖ nghÞch víi nhau th× :
+ TÝch hai gi¸ trÞ t-¬ng øng cña chóng lu«n kh«ng ®æi
(b»ng hÖ sè tØ lÖ a)
x1y1 = x2y2 = x3 y3 = .......
+ TØ sè hai gi¸ trÞ bÊt k× cña ®¹i l-îng nµy b»ng
nghÞch ®¶o cña tØ sè hai gi¸ trÞ t-¬ng øng cña ®¹i l-îng kia.
1
2
2
1
y
y
x
x
; .,.........
1
3
3
1
y
y
x
x
Định nghĩa :
Hai đại lượng gọi tỉ lệ thuận, Nếu giá trị của đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần
thì giá trị của đại lượng kia cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.
Bài tập mẫu :
Hôm qua, mẹ mua cho An 12 quyển tập hết 90 000 đồng. Hỏi nếu hôm nay, mẹ mua 4 quyển
tập thì mẹ cần bao nhiêu tiền ?
Tóm tắt : quyển tập và số tiền là hai đại lượng tỉ lệ thuận
12 quyển tập : 90 000 đồng.
4 quyển tập : ? đồng.
Cách1 : Phương pháp rút về một
đơn vị.
Cách2 : Phương pháp Lập tỉ lệ.
Tỉ lệ 4 quyển tập và 12 quyển tập
64. Số tiền mua 1 quyển tập là :
90 000 : 12 = 7 500 (đồng)
Số tiền mua 4 quyển tập là :
7 500 x 4 = 30 000 (đồng)
Đáp số : 30 000 (đồng)
là :
4 : 12 = 1/3
Số tiền mua 4 quyển tập là :
90 000 x 1/3 = 30 000 (đồng)
Đáp số : 30 000 (đồng)
Dạng toán tỉ lệ nghịch
Định nghĩa :
Hai đại lượng gọi tỉ lệ nghịch, Nếugiá trị của đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu
lần thì giá trị của đại lượng kia cũng giảm (hoặc tăng ) bấy nhiêu lần.
Bài tập mẫu :
10 người làm xong một công việc phải hết 7 ngày. Nay muốn làm xong công việc đó trong
5 ngày thì cầnbao nhiêu người? (Mức làm của mỗi người như nhau)
Tóm tắt : số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
10 người : 7 ngày
? người : 5 ngày
Cách1 : Phương pháp rút về một đơn vị.
Số ngày làm xong một công việc của một người là :
10 x 7 = 70 (ngày)
Số người làm xong một công việc trong 5 ngày là :
70 : 5 = 14 (người)
Đáp số : 14 người.
Cách2 : Phương pháp Lập tỉ lệ.
Tỉ lệ 5 ngày và 7 ngày là :
5 : 7 = 5/7
Số người làm xong một công việc trong 5 ngày là :
10 : 5/7 = 14 (người)
Đáp số : 14 người.
Phương pháp tổng quát hai đại lượng tỉ lệ nghịch : Nhân ngang – chia chéo.
Tóm tắt : số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
10 người : 7 ngày
? người : 5 ngày
Số người làm xong một công việc trong 5 ngày là :
10 x 7 : 5 = 14 (người)
Đáp số : 14 người.
65. Dạng toán tỉ lệ 3 đại lượng
Bài tập mẫu :
Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150 000 đồng. Hỏi nếu 15
người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền? (Biết rằng giá trị giờ
công của mỗi người là như nhau).
Tóm tắt :
5 người : 6 giờ : 150 000 đồng.
15 người : 3 giờ : ? đồng.
Ta có :
5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150 000 đồng.
15 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận : 150 000 x 15 : 5 = 450 000 đồng.
15 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận : 450 000 x 3 : 6 = 225 000 đồng.
Đáp số : 225 000 đồng.
Phương pháp giải toán 3 đại lượng tỉ lệ : Phương pháp 3 dòng.
+ Dòng 1 : giả định bài toán cho.
+ Dòng 2 :cố định đại lượng thứ hai.
+ Dòng 3 : cố định đại lượng thứ nhất.
Bài 1:
ĐẠI LƯỢNG TỈ TỆ THUẬN
BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ TỆ THUẬN
–o0o–
1. Định nghĩa :
Nếu một đại lượng y liên hệ với một đại lượng x theo công thức : y = k.x (k hằng số khác 0) thì
ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.
hay :
Nếu giá trị của đại lượng y tăng thì giá trị của đại lượng x tăng,hoặc giá trị của đại lượng
y giảm thì giá trị của đại lượng x giảm ,ta gọiy tỉ lệ thuận với x.
1. Tính chất :
Nếu hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận :
Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi.
Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng Tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.
=================
BÀI TẬP SGK
BÀI 1 TRANG 53 :
hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau khi x = 6 thì y = 4.
a) Tìmhệ số tỉ lệ k.
b) Hãy biểu diễn y theo x.
c) Tínhgiá trị của y khi x = 9 và x = 15
GIẢI.
a) đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau nên :
k =
66. b) => y = x
c) Khi x = 9 => y = 9 = 6
Khi x = 15 => y = 15 = 10
BÀI 2 TRANG 54 :
Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau. Điền số thích hợp vào ô trống :
x -3 -1 1 2 5
y -4
hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận, ta có :
=>
=>
=>
=>
x -3 -1 1 2 5
y 6 2 -2 -4 -10
BÀI 8 TRANG 56 :
Gọi x là số cây xanh của lớp 7A.
y là số cây xanh của lớp 7B
z là số cây xanh của lớp 7C
theo đề bài ta có 24 cây xanh : x + y +z = 24 (cây)
số cây xanh và số học sinh tỉ lệ nhau :
theo tính chất dãy tỉ lệ thức :
=> x =
=> y =
=> z =
vậy : số cây xanh của lớp 7A, 7B, 7C là 8, 6, 12 cây xanh.
——————————————————————–
BÀI 9 TRANG 56 :
Gọi x là khối lượng niken
y là khối lượng kẽm
z là khối lượng đồng
khối lượng bạch kim : x + y + z = 150 (kg)
theo đề bài : x : y : z = 3; 4 ; 13 hay
theo tính chất dãy tỉ lệ thức :
=> x = 7,5.3 = 22,5
=> y = 7,5.4 = 30
=> x = 7,5.13 = 97,5
Vậy :khối lượng niken, kẽm, đồng lần lược là : 22,5kg; 30 kg; 97,5 kg
———————————————————-
BÀI 10 TRANG 56 :
67. Gọi a, b, c lần lược là ba cạnh của một tam giác
Chu vi của tam giác : a + b + c = 45cm
theo đề bài : a : b : c = 2; 3; 4 hay
theo tính chất dãy tỉ lệ thức :
=> a = 5.2 = 10
=> b = 5.3 = 15
=> c = 5.4 = 20
Vậy : ba cạnh của một tam giác lần lược là : 10cm; 15 cm; 20cm.
ĐẠI LƯỢNG TỈ TỆ NGHỊCH
BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ TỆ NGHỊCH
–o0o–
1. Định nghĩa :
Nếu một đại lượng y liên hệ với một đại lượng x theo công thức : x.y = a (a hằng số khác 0) thì
ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.
1. Tính chất :
Nếu hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch :
Tíchhai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi.
x1.y1 = x2.y2 = …
Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của đại
lượng kia.
=================
BÀI TẬP SGK
BÀI 12 TRANG 58 :
hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau khi x = 8 thì y = 10.
a) Tìmhệ số tỉ lệ a.
b) Hãy biểu diễn y theo x.
c) Tínhgiá trị của y khi x = 9 và x = 15
GIẢI.
a) đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau nên :
a = x.y = 8.15 =120
b) => y =
c) Khi x = 9 => y =
Khi x = 10 => y = = 12
BÀI 18 TRANG 61 :
Cho biết 3 người làm cỏ một cánh đồng hết 6 giờ. Hỏi 12 người (cùng năng suất như thế )làm
cỏ một cánh đồng hết bao nhiêu giờ ?
GIẢI.
Gọi x là thời gian 12 người làm cỏ một cánh đồng.
Do cùng năng suất, thời gian và số người tỉ lệ nghịch với nhau :
Ta có : 3.6 = 12 .x
=> x = 18/12 = 3/2 = 1 giờ 30 phút.
