1. www.VNMATH.com
CHUYÊN ð DÃY S (BDHSG)
1. KHÁI NI M DÃY S
1) Cho A là m t t p con khác r ng c a t p s nguyên ℤ, hàm s u:A → ℝ
n ֏ u(n) = u n
ñư c g i là m t dãy s , và kí hi u là (u n ) ho c {u n } . Thông thư ng ta hay ch n A sao cho ph n t nh nh t
c a A là 1. Dãy (un) g i là dãy s h u h n (ho c dãy s vô h n) n u A là t p h p g m h u h n (vô h n) ph n t .
S un ñư c g i là s h ng t ng quát c a dãy (un).
2) Dãy s (un) ñư c g i là dãy s tăng (tăng không nghi m ng t, gi m, gi m không nghiêm ng t) n u u n < u n +1
(tương ng u n ≤ u n +1 , u n > u n +1 , u n ≥ u n +1 ) v i m i n ∈ A.
3) Dãy s (un) ñư c g i là tu n hoàn n u t n t i s nguyên dương k sao cho u n + k = u n , ∀n ∈ A. S k nh nh t
tho mãn tính ch t này ñư c g i là chu kì c a dãy tu n hoàn (un). N u k = 1 thì ta ñư c m t dãy h ng (t t c các
s h ng b ng nhau).
4) Dãy s (un) ñư c g i là b ch n trên n u t n t i s th c M sao cho u n ≤ M v i m i n ∈ A. Dãy s (un) ñư c
g i là b ch n dư i n u t n t i s th c m sao cho u n ≥ m v i m i n ∈ A. Dãy s (un) ñư c g i là b ch n (ho c
gi i n i) n u nó v a b ch n trên v a b ch n dư i, t c là t n t i s th c M, m sao cho m ≤ u n ≤ M v i m i
n ∈ A, ho c t n t i s th c C sao cho u n ≤ C, ∀n ∈ A. Dãy s h u h n ho c tu n hoàn thì luôn b ch n.
2. C P S
1) C p s c ng
- Dãy s (un) ñư c g i là c p s c ng n u m i s h ng ñ u tho mãn u n +1 − u n = d (d: h ng s , g i là công sai).
- Công th c truy h i: u n +1 = u n + d. Công th c s h ng t ng quát: u n = u1 + (n − 1)d, ∀n ∈ A. Công th c tính
n n n(n − 1)
t ng n s h ng ñ u tiên: Sn = (u1 + u n ) = (2u1 + (n − 1)d) = nu1 + d. Tính ch t các s h ng:
2 2 2
u k +1 + u k −1 = 2u k .
2) C p s nhân
- Dãy s (un) ñư c g i là c p s nhân n u m i s h ng ñ u tho mãn u n +1 = u n .q (q: h ng s , g i là công b i).
- Công th c truy h i: u n +1 = u n .q. Công th c s h ng t ng quát: u n = u1.q n −1. Công th c tính t ng n s h ng
1 − q n +1 2
ñ u tiên: Sn = nu1 n u q = 1, Sn = u1 n u q ≠ 1. Tính ch t các s h ng: u k +1.u k −1 = u k .
1− q
3) C p s nhân c ng
- Dãy s (un) ñư c g i là c p s nhân c ng n u m i s h ng ñ u tho mãn u n +1 = u n .q + d (q, d là h ng s ).
4) C p s ñi u hoà
2u n −1u n +1
- Dãy s (un) ñư c g i là c p s ñi u hoà n u m i s h ng c a nó ñ u khác 0 và tho mãn u n = ,
u n −1 + u n +1
1 1 1 1
hay = ( + ). (H c sinh t ôn t p các d ng toán v c p s )
u n 2 u n −1 u n +1
3. XÁC ð NH S H NG T NG QUÁT C A DÃY S
3.1. D ðOÁN S H NG T NG QUÁT VÀ CH NG MINH B NG QUI N P
BÀI T P
1) Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s cho b i:
u
a)u1 = 1, u n +1 = n , ∀n = 1, 2,3,... b)u1 = 2, u n +1 = 2 + u n , ∀n = 1, 2,3,...
1+ un
3 2 5 3 −1 3 − 1 + ( 3 + 1)u n
c)u1 = 1, u n +1 = − u n + u n + 1, ∀n = 1, 2,3,... d)u1 = , u n +1 = , ∀n = 1, 2,3,...
2 2 3 +1 3 + 1 − ( 3 − 1)u n
xa.nguyenvan@gmail.com

2. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
1 1
e)u1 = , u n +1 = 2u n − 1, ∀n = 1, 2,3,...
2
f )u1 = , u n +1 = 2u n 1 − u n , ∀n = 1, 2,3,...
2
2 2
3.2. M T S D NG TRUY H I ð C BI T
V i dãy s cho b i công th c truy h i d ng u n +1 = u n + f (n) thì u n = u1 + f (1) + f (2) + ... + f (n − 1).
V i dãy s cho b i công th c truy h i d ng u n +1 = u n .g(n) thì u n = u1.g(1).g(2)...g(n − 1).
BÀI T P
2) Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s cho b i:
(n + 1) 2 u n
a)u1 = 1, u n +1 = u n + n!.n, ∀n = 1, 2,3,... b)u1 = 1, u n +1 = , ∀n = 1, 2,3,...
n(n + 2)
c)u1 = 1, u n +1 = u n + n 3 + 3n 2 − 3n + 1, ∀n = 1, 2,3,... d)u1 = 3, u n +1 = u n + 3n , ∀n = 1, 2,3,...
1
e)u1 = 1, u n +1 = u n + (n + 1).2n , ∀n = 1, 2,3,... f )u1 = 2, u n +1 = 2 − , ∀n = 1, 2,3,...
un
n2 −1 n
g)u1 = 1, u n +1 = u n , ∀n = 1, 2,3,... h)u1 = 0, u n +1 = (1 + u n ), ∀n = 1, 2,3,...
n n +1
3.3. PHƯƠNG TRÌNH ð C TRƯNG
Ta ch xét hai trư ng h p ñơn gi n sau ñây:
a) Xét dãy s (un) cho b i u1, u 2 , u n + 2 = a.u n +1 + b.u n , ∀n ∈ ℕ * (a, b = const). Khi ñó phương trình x 2 − ax − b = 0
ñư c g i là phương trình ñ c trưng c a dãy s ñã cho.
N u phương trình trên có hai nghi m th c phân bi t x1, x 2 thì u n = A.x1 + B.x n . n
2
N u phương trình trên có hai nghi m th c trùng nhau x1 = x 2 thì u n = (A + nB).x1 .
n
N u phương trình trên có ∆ < 0 , g i hai nghi m ph c c a nó là x1 , x 2 , và bi u di n hai s ph c này d ng
lư ng giác x1 = r(cos ϕ + i.sin ϕ), x 2 = r(cos ϕ − i.sin ϕ), v i r, ϕ là các s th c, r là môñun c a x1 và x 2 ,
ϕ ∈ [ 0; 2π ) , i là ñơn v o, thì u n = r n (A.cos nϕ + B.sinnϕ). ( ñó các h ng s A, B ñư c xác ñ nh nh u1, u 2 )
b) Xét dãy s (un) cho b i u1, u 2 , u 3 , u n +3 = a.u n + 2 + b.u n +1 + c.u n , ∀n ∈ ℕ * (a, b, c = const) có phương trình ñ c
trưng x 3 − ax 2 − bx − c = 0.
N u phương trình trên có ba nghi m th c phân bi t x1, x 2 , x 3 thì u n = A.x1 + B.x n + C.x 3 .
n
2
n
N u phương trình trên có ba nghi m th c x1 , x 2 , x 3 mà x1 ≠ x 2 = x 3 thì u n = A.x1 + (B + nC).x 2 .
n n
N u phương trình trên có ba nghi m th c x1 , x 2 , x 3 và x1 = x 2 = x 3 thì u n = (A + nB + n 2C).x1 .
n
N u phương trình trên có ba nghi m x1, x 2 , x 3 trong ñó x1 là nghi m th c, còn hai nghi m
x 2 = r(cos ϕ + i.sin ϕ), x 3 = r(cos ϕ − i.sin ϕ) là hai nghi m ph c (không ph i là s th c) thì
u n = A.x1 + r n (B.cos nϕ + C.sinnϕ). ( ñó các h ng s A, B, C ñư c xác ñ nh nh u1, u 2 , u 3 )
n
VD1. Cho dãy s (u n ) xác ñ nh b i u1 = 1, u 2 = 0, u n + 2 = u n +1 − u n , ∀n ∈ ℕ *. Ch ng minh (u n ) b ch n.
π π
HD. Phương trình ñ c trưng c a dãy s ñã cho là x 2 − x + 1 = 0 có hai nghi m ph c x1 = cos + i.sin ,
3 3
π π nπ nπ
x 2 = cos − i.sin , nên u n = 1n (A.cos + B.sin ), ∀n ∈ ℕ *. Do u1 = 1, u 2 = 0, nên ta có
3 3 3 3
 π π A B 3
1 = A.cos 3 + B.sin 3 (= u1 )  + =1 A = 1
 2 2 
 ⇔ ⇔ 3.
0 = A.cos 2π + B.sin 2π (= u 2 ) − A + B 3 = 0 B =

  2  3
3 3  2
xa.nguyenvan@gmail.com

3. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
nπ 3 nπ nπ 3 nπ 3 2
Suy ra u n = cos + .sin , ∀n ∈ ℕ *. V y u n = cos + .sin ≤ 12 + ( ) 2 = , ∀n ∈ ℕ*, hay
3 3 3 3 3 3 3 3
(u n ) là dãy b ch n.
VD2. Cho (u n ) có u1 = 0, u 2 = 16, u3 = 47, u n +3 = 7u n +2 − 11u n +1 + 5u n , ∀n ∈ ℕ *. Tìm dư khi chia u 2011 cho 2011.
HD. Phương trình ñ c trưng x 3 − 7x 2 + 11x − 5 = 0 có 3 nghi m th c x1 = 5 (nghi m ñơn), x 2 = x 3 = 1 (nghi m
1
kép) do ñó u n = A.5n + (B + nC).1n , ∀n ∈ ℕ *. Vì u1 = 0, u 2 = 16, u 3 = 47 nên A = , B = −13, C = 12. Suy ra
5
n −1
u n = 5 + 12n − 13, ∀n ∈ ℕ *. T ñó u 2011 = 5 2010
+ 12.2011 − 13. Theo ñ nh lí Phécma thì 52010 − 1⋮ 2011 (ñ nh
lí Phécma: N u p là s nguyên t , a là s nguyên và (a, p) = 1, thì a p−1 ≡ 1 (mod p)). V y u 2011 chia cho 2011 dư
−12 (hay dư 1999).
VD3. Cho hai dãy s (x n ), (y n ) tho mãn x1 = y1 = 1, x n +1 = 4x n − 2y n , y n +1 = x n + y n , ∀n ∈ ℕ *. Xác ñ nh công
th c c a x n , y n .
HD. Ta có x n + 2 = 4x n +1 − 2y n +1 = 4x n +1 − 2(x n + y n ) = 4x n +1 − 2x n − 2y n = 4x n +1 − 2x n + x n +1 − 4x n hay
x n + 2 = 5x n +1 − 6x n (∀n ∈ ℕ*). Dãy (u n ) có phương trình ñ c trưng x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ho c x = 3. Suy ra
1
x n = A.2n + B.3n , ∀n ∈ ℕ *. Mà x1 = 1, x 2 = 4x1 − 2y1 = 2, nên A = , B = 0, và ta có x n = 2n −1, ∀n ∈ ℕ *. T
2
n −1 n −1
ñó và x n +1 = 4x n − 2y n ⇒ y n = 2 . V y x n = y n = 2 , ∀n ∈ ℕ *.
3.4. PHƯƠNG PHÁP DÃY S PH
VD4. Cho dãy s (u n ) : u1 = 1, u 2 = 2, u n + 2 = 2.u n +1 − u n + 1, ∀n ∈ ℕ *. ð t v n = u n +1 − u n . Ch ng minh (v n ) là
c p s c ng và tìm u n .
HD. a) Ta có v1 = u 2 − u1 = 1. Và u n +2 = 2.u n +1 − u n + 1, ∀n ∈ ℕ* ⇔ u n + 2 − u n +1 = u n +1 − u n + 1, ∀n ∈ ℕ *
⇔ v n +1 = v n + 1, ∀n ∈ ℕ *. V y (v n ) là c p s c ng v i s h ng ñ u tiên v1 = 1, công sai d = 1.
b) T câu a ta có vn = v1 + (n −1).d = 1+ (n −1).1 = n, hay un+1 − un = n, ∀n ∈ ℕ *. Suy ra un = (un − un−1) + (un−1 − un−2 ) +
(n − 1).n n 2 n
+... + (u 2 − u1 ) + u1 = [(n − 1) + (n − 2) + ... + 2 + 1] + 1 = 1 + = − + 1, ∀n ∈ ℕ *.
2 2 2
2 1
VD5. Cho dãy s (u n ) : u1 = 0, u 2 = 1, u n + 2 = .u n +1 + u n , ∀n ∈ ℕ *. ð t v n = u n +1 − u n . Ch ng minh (v n ) là
3 3
c p s nhân và tìm u n .
2 1
HD. Ta có v1 = u 2 − u1 = 1. Và u n + 2 = .u n +1 + u n , ∀n ∈ ℕ* ⇔ 3u n + 2 = 2u n +1 + u n , ∀n ∈ ℕ* ⇔
3 3
−1
3(u n + 2 − u n +1 ) = −(u n +1 − u n ), ∀n ∈ ℕ * ⇔ v n +1 = v n , ∀n ∈ ℕ *. V y (v n ) là c p s nhân v i s h ng ñ u tiên
3
1
v1 = 1, công b i q = − .
3
1
Ta có vn = v1.qn−1 = (− )n−1, ∀n ∈ℕ *. Suy ra un = (un − un−1) + (un−1 − un−2) ++... + (u2 − u1) + u1 = vn−1 + vn−2 +
3
1
1 − (− ) n −1
1 1 1 3 9
+... + v 2 + v1 + u1 = 0 + 1 + (− ) + (− ) 2 + ... + (− ) n − 2 = 1. 3 = + , ∀n ∈ ℕ *.
3 3 3 1 − (− )
1 4 4.(−3) n
3
VD6. Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ( un ) có u1 = c, un+1 = q.un + an + d , ∀n ∈ ℕ*, ñó a, c, d, q là h ng s .
xa.nguyenvan@gmail.com

4. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
HD. V i q = 1 thì un+1 = un + an + d , ∀n ∈ ℕ * . Ta nh n th y u 2 = u1 + a + d, u 3 = u 2 + 2a + d,...,
un−1 = un −2 + (n − 2)a + d,un = un−1 + (n −1)a + d ⇒ u2 + u3 + ... + un−1 + un = u1 + u2 + ... + un−2 + un−1 +
n(n −1) n(n −1)
+a(1 + 2 + ... + (n − 2) + (n −1)) + (n −1)d ⇒ un = u1 + a + (n −1)d ⇒ un = c + a + (n −1)d, (n ∈ ℕ*).
2 2
Khi q ≠ 1, ta s xét m t dãy ph ( vn ) th a mãn un = vn + bn + e, n ∈ ℕ*, ñó b, e là nh ng h ng s , và ta c
g ng ch n b, e thích h p ñ ( vn ) là c p s nhân. T ñ ng th c truy h i ban ñ u ta có
vn +1 = qvn + (qb + a − b)n + (qe + d − b − e), n ∈ ℕ*, và d th y ñ ( vn ) là c p s nhân thì c n có
qb + a − b = qe + d − b − e = 0 ⇔ b = a , e = d − a − qd ,(q ≠ 1) . Lúc này (v i b, e như trên) do vn +1 = qvn
1− q 2
(q − 1)
nên ( vn ) là c p s nhân có công b i q. Suy ra vn = v1 .q n−1 = (u1 + aq + dq − d ).q n−1 , t ñó ta tính ñư c s h ng
(q − 1)2
aq + dq − d n −1 a.n d −a−qd
t ng quát c a ( un ) là un = (u1 + ).q + + (n ≥ 2).
(q − 1)2 1−q (q −1)2
 n(n − 1)
c + 2 a + (n − 1)d ,

khi q = 1
V y, s h ng t ng quát c a ( un ) ñã cho là : un =  .
 (c +
aq + dq − d n−1 a.n d −a−qd
).q + + , khi q ≠ 1

 (q − 1)2 1−q (q −1)2
BÀI T P
3 + 2u n u −1
3) Cho (u n ) : u1 = 0, u n +1 = , ∀n ∈ ℕ *. ð t v n = n . Ch ng minh (v n ) là c p s nhân và tìm u n .
4 + un un + 3
1 (n + 1)u n u
4) Cho (u n ) : u1 = , u n +1 = , ∀n ∈ ℕ *. ð t v n = n . Ch ng minh (v n ) là c p s nhân và tìm u n .
3 3n n
5) Cho (u n ) : u1 = 1, u n +1 = u n + 2.(1 + 3 ), ∀n ∈ ℕ *. ð t v n = u n − 3n. Ch ng minh dãy s (v n ) là c p s
n
c ng và tìm u n .
6) Nêu cách xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s ( u n) cho b i u1 = c, un+1 = q.un + P (n), ∀n ∈ ℕ * , ñó c, q
là các h ng s , còn P(n) là m t ña th c b c k cho trư c.
3.5. TUY N TÍNH HOÁ M T S DÃY PHI TUY N
px + q
a) V i dãy s (x n ) cho b i x1 = a, x n +1 = n , ∀n ∈ ℕ*, và a, p, q, r, s là các h ng s , ta xét hai dãy (u n ),
rx n + s
u
(v n ) tho mãn u1 = a, v1 = 1, u n +1 = pu n + qv n , v n +1 = ru n + sv n , ∀n ∈ ℕ*, thì x n = n . T ñó tìm ra u n , v n , x n .
vn
x2 + d
b) V i dãy s (x n ) cho b i x1 = a, x n +1 = n , ∀n ∈ ℕ*, và a, d là các h ng s , d ≠ 0, ta xét hai dãy (u n ),
2x n
u
(v n ) tho mãn u1 = a, v1 = 1, u n +1 = u n + dv 2 , v n +1 = 2u n v n , ∀n ∈ ℕ*, thì x n = n . T ñó tìm ra u n , v n , x n .
2
n
vn
xn 1
VD7. Cho dãy (x n ) có x1 = 1, x n +1 = , ∀n ∈ ℕ*, tìm x n và ch ng minh x n < , ∀n ≥ 2.
2 + xn n
u
HD. Xét hai dãy (u n ), (vn ) tho mãn u1 = v1 = 1, u n +1 = u n , v n +1 = u n + 2v n , ∀n ∈ ℕ*, thì x n = n . Ta th y
vn
x n = 1, ∀n ∈ ℕ *. Và vn+1 = 2vn +1, ∀n ∈ ℕ* ⇔ vn+1 +1 = 2(vn +1), ∀n ∈ ℕ*. Suy ra vn +1 = 2.(vn −1 +1) = 22 (vn −2 +1) =
xa.nguyenvan@gmail.com

5. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
u 1
= ... = 2n −1 (v1 + 1) = 2n ⇒ v n = 2n − 1, ∀n ∈ ℕ *. V y x n = n = , ∀n ∈ ℕ *. Ta có 2n = C0 + C1 + ...Cn >
n n
n
n
vn 2 − 1
1 1
> C0 + C1 = 1 + n, ∀n ≥ 2, t c là x n =
n n < , ∀n ≥ 2.
n
2 −1 n
2x n + 1
VD8. Cho dãy (x n ) có x 0 = 2, x n +1 = , ∀n ∈ ℕ, tìm x n và tìm ph n nguyên c a S = x1 + x 2 + ... + x n .
2 + xn
u
HD. Xét hai dãy (u n ), (v n ) tho mãn u 0 = 2, v0 = 1, u n +1 = 2u n + v n , v n +1 = u n + 2v n , ∀n ∈ ℕ, thì x n = n . Ta
vn
có u1 = 2u 0 + v0 = 5, u n + 2 = 2u n +1 + vn +1 = 2u n +1 + u n + 2vn = 2u n +1 + u n + 2(u n +1 − 2u n ) ⇒ u n + 2 = 4u n +1 − 3u n ,
1 3
phương trình x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1, x = 3, nên u n = A + B.3n , ∀n ∈ ℕ. Do u 0 = 2, u1 = 5 nên A = , B = .
2 2
3n +1 + 1 3n +1 − 1 3n +1 + 1
Suy ra un = , ∀n ∈ ℕ. Tính ñư c vn = , ∀n ∈ ℕ. V y xn = , ∀n ∈ ℕ. ð t
2 2 3n +1 − 1
32 + 1 33 + 1 3n + 1 3n +1 + 1 3n +1 + 1 2
S = x1 + x 2 + ... + x n = + + ... + + . Lưu ý x n = = 1+ > 1, ∀n ∈ ℕ. Ta có
2 3 n n −1 n +1 n +1
3 −1 3 −1 3 −1 3 −1 3 −1 3 −1
1
(1 + 2)n +1 = C0 +1 + C1 +1.2 + Cn +1.22 + ... + Cn +1.2n +1 ≥ C0 +1 + C n +1.22 = 1 + (n + 1)n. .4 = 2n(n + 1) + 1, ∀n ∈ ℕ *.
n n
2 n +1
n
2
2
2 1 1 1
D n t i 3n +1 − 1 ≥ 2n(n + 1), ∀n ∈ ℕ* ⇒ x n = 1 + ≤ 1+ = 1+ − , ∀n ∈ ℕ *. Do v y v i
3n +1 − 1 n(n + 1) n n +1
1 1 1 1 1 1 1
∀n ∈ ℕ * thì S = x1 + x 2 + ... + x n ≤ (1 + − ) + (1 + − ) + ... + (1 + − ) = n +1− < n + 1. M t khác
1 2 2 3 n n +1 n +1
S = x1 + x 2 + ... + x n > n, ∀n ∈ ℕ *. Như v y n < S < n + 1, ∀ ∈ ℕ*, nên [S] = n, ∀∈ ℕ *.
4. M T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN T I TÍNH CH T C A DÃY S
VD9. Cho các s dương a1, a 2 ,..., a13 tho mãn a1 + a 2 + ... + a13 ≥ 13. Ch ng minh dãy (un) cho b i
u n = a1 + a n + ... + a13 , ∀n ∈ ℕ*, là dãy tăng không nghiêm ng t.
n
2
n
HD. V i m i s dương a và s nguyên dương n ta có (a n − 1)(a − 1) ≥ 0 nên a n +1 − a n ≥ a − 1. T ñó suy ra
u n +1 − u n = (a1 +1 + a n +1 + ... + a13 1) − (a1 + a n + ... + a13 ) ≥ a1 + a 2 + ... + a13 − 13 ≥ 0, ∀n ∈ℕ*, hay un+1 ≥ un , ∀n ∈ ℕ *.
n
2
n+ n
2
n
V y (un) là dãy s tăng không nghiêm ng t.
−1
VD10. Ch ng minh dãy s (un) cho b i u1 = 1, u n = , ∀n = 2,3, 4... là dãy s gi m và b ch n.
3 + u n −1
−3 + 5 −3 + 5
HD. * Trư c h t ta ch ng minh u n > , ∀n ∈ ℕ *. Th t v y, v i n = 1 thì u1 = 1 > . Gi s
2 2
−3 + 5 3+ 5 1 2 3− 5 −1 −3 + 5
uk > . Khi ñó 3 + u k > ⇒ < = ⇒ u k +1 = > . Theo nguyên lí
2 2 3 + uk 3 + 5 2 3 + uk 2
−3 + 5 −3 + 5
qui n p toán h c, ta có u n > , ∀n ∈ ℕ*, t c là (un) b ch n dư i b i .
2 2
1 u 2 + 3u n + 1 −3 + 5
* Bây gi ta xét hi u u n − u n +1 = u n + = n > 0, ∀n ∈ ℕ*, do u n > , ∀n ∈ ℕ *. V y (un)
3 + un 3 + un 2
là dãy s gi m.
* Vì (un) gi m nên 1 = u1 > u 2 > ... > u n > u n +1 > ... suy ra (un) b ch n trên b i 1. V y (un) là dãy s b ch n.
xa.nguyenvan@gmail.com

6. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
−a
Nh n xét. Ta có k t lu n tương t ñ i v i dãy s (un) cho b i u1 = α , u n = , ∀n = 2,3, 4... , v i a, b, c
b + cu n −1
−b + b 2 − 4ac
dương, b 2 − 4ac > 0, α > .
2c
1 a
VD11. Xét tính ñơn ñi u và b ch n c a dãy s (un) có x1 > 0, x n +1 = (x n + ), ∀n ∈ ℕ*, ñó a > 0 là h ng s .
2 xn
1 a
HD. Do x1 > 0, a > 0 và x n +1 = (x n + ), ∀n ∈ ℕ*, nên b ng qui n p ta ch ng minh ñư c x n > 0, ∀n ∈ ℕ*,
2 xn
1 a x
t c là dãy (un) b ch n dư i. Áp d ng b t ñ ng th c Côsi ta có x n = (x n −1 + ) ≥ a , ∀n ≥ 2. Do ñó n +1 =
2 x n −1 xn
1 a 1 a
= + ≤ + = 1, ∀n ≥ 2. Suy ra (un) là dãy gi m không nghi m ng t, k t s h ng th 2 tr ñi. D th y
2 2x 2 2 2a
n
(un) b ch n trên. V y (un) là dãy b ch n.
BÀI T P.
7) Cho dãy (x n ) : x1 = 7, x 2 = 50, x n + 2 = 4x n +1 + 5x n − 1975, ∀n ∈ ℕ *. Ch ng minh x1996 ⋮1997.
8) Cho dãy các s nguyên (x n ) : x1 = 15, x 2 = 35, x 3 = 405, x n + 3 = 6x n + 2 + 13x n +1 − 42x n , ∀n ∈ ℕ *. Tìm nh ng
s h ng c a dãy mà ch s t n cùng c a s h ng ñó là s 0.
5. GI I H N C A DÃY S
Chúng tôi lưu ý kí hi u n là m t bi n s nguyên dương, còn n0 là m t h ng s nguyên dương (tr trư ng h p
có chú thích c th ).
M t dãy s có gi i h n h u h n ñư c g i là dãy s h i t , n u nó có gi i h n vô c c ho c không có gi i h n
thì ta nói nó phân kì.
Khi xét gi i h n c a dãy s (un) ta có th ch xét các s h ng c a dãy k t s h ng th n0 tr ñi, t c là vi c
thay ñ i h u h n s h ng ñ u tiên c a dãy s không làm nh hư ng ñ n tính h i t , và không làm nh hư ng ñ n
gi i h n (n u có) c a dãy s ñó.
Gi i h n c a dãy s (n u có) là duy nh t. T c là n u limun = u thì limun+k = limun-k = u, v i k là s nguyên
dương tùy ý.
limun = 0 ⇔ lim|un| = 0.
limun = u ⇔ lim|un – u| = 0.
limun = u ⇔ limu2n = limu2n+1 = u .
1 1
N u limun = u thì lim|un| = |u| và lim u k = uk (k nguyên dương), lim
n = (u ≠ 0) .
un u
N u un < un+1 < M (∀n ≥ n0) thì (un) h i t , limun = u ≤ M, và un < u (∀n ≥ n0).
N u un ≤ un+1 ≤ M (∀n ≥ n0) thì (un) h i t , limun = u ≤ M, và un ≤ u (∀n ≥ n0).
N u un ≤ un+1(∀n ≥ n0) và (un) không b ch n trên thì limun = + ∞.
N u un > un+1 > m (∀n ≥ n0) thì (un) h i t , limun = u ≥ m, và un > u (∀n ≥ n0).
N u un ≥ un+1 ≥ m (∀n ≥ n0) thì (un) h i t , limun = u ≥ m, và un ≥ u (∀n ≥ n0).
N u un ≥ un+1(∀n ≥ n0) và (un) không b ch n dư i thì limun = – ∞.
M t dãy s h i t thì b ch n.
N u xn ≤ yn ≤ zn (ho c xn < yn < zn ) v i ∀n ≥ n0, ñ ng th i limxn = limzn = a thì limyn = a (nguyên lí gi i h n
k p).
N u un ≥ 0 (ho c un > 0) v i ∀n ≥ n0, và limun = u thì u ≥ 0 và lim u n = u .
xa.nguyenvan@gmail.com

7. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
Gi s un ≤ vn (ho c un < vn) v i ∀n ≥ n0. Khi ñó:
• N u limun = u, limvn = v thì u ≤ v.
• N u limun = + ∞ thì limvn = + ∞.
• N u limvn = – ∞ thì limun = – ∞.
n un
 1  1 
Ta có lim 1 +  = e. N u limun = + ∞ ho c limun = – ∞ thì lim 1 +  = e.
 n  un 
N u (un) b ch n và limvn = 0 thì lim(unvn) = 0.
2a n −1.a n +1
VD12. Cho dãy s (an) th a mãn a n = , ∀ n > 1. Tìm lim an.
a n −1 + a n +1
2a k .a k + 2 2a .a
HD. N u t n t i s nguyên dương k sao cho ak = 0 thì a k+1 = = 0 , suy ra a k+2 = k+1 k +3 = 0 , và
a k + a k +2 a k+1 + a k +3
2a k .a k + 2 1
d n t i a k+1 = không có nghĩa. Do v y an ≠ 0, ∀ n ∈ N *. Bây gi ta ñ t un = (∀ n ∈ N *), thì un
a k + a k +2 an
1
≠ 0 (∀ n ∈ N *), thay vào ñ ng th c ñ bài ta ñư c un = (un-1+ un+1), ∀n >1, suy ra (un) là c p s c ng có công
2
a1
sai d, và s h ng t ng quát un = u1 + (n – 1)d ≠ 0, v i m i n ∈ N *. Như v y a n = (∀ n ∈ N *).
1 + (n − 1)da1
N u d = 0 (⇔ u1 = u2 = …⇔ a1 = a2 = …) thì an = a1(∀ n ∈ N *) và lim an = a1. N u d ≠ 0 (⇔ các s h ng c a
a1
dãy (un) phân bi t ⇔ các s h ng c a dãy (an) phân bi t) thì lim a n = lim = 0.
1 + ( n − 1) d a 1
V y, n u các s h ng c a (an) b ng nhau thì lim an = a1, n u các s h ng c a dãy (an) phân bi t thì lim an = 0.
 0, khi q < 1

 1, khi q = 1
n
VD13. Ch ng minh r ng limq =  + ∞, khi q > 1 .

không tô`n tai, khi q ≤ −1
.

HD. N u q = 1 thì có ngay limqn = 1. Và n u q = 0 thì cũng có ngay limqn = 0.
1 1
N u 0 <|q| < 1 thì = 1 + a (a > 0)⇒ n = (1 + a)n = C0 + a.C1 + ... + a n .Cn ≥1 + na > 0, v i ∀ n ∈ N *.
n n
n
q q
n 1 1
Do ñó 0 < q ≤ , v i ∀ n ∈ N *. Vì a > 0 nên lim = 0. Theo nguyên lí gi i h n k p thì lim|q|n = 0,
1 + na 1 + na
hay limqn = 0.
1 1
N u q > 1 thì 0 < < 1 nên theo ch ng minh trên lim n
= 0. Ta ñi ñ n limqn = + ∞.
q q
N u q = –1 thì limq2n = 1 còn limq2n+1 = –1 nên không t n t i limqn.
N u q < – 1 thì q2 > 1 nên limq2n = lim(q2)n = + ∞, và limq2n+1 = lim[q.(q2)n] = – ∞, vì th không t n t i limqn.
VD14. Cho dãy s (an) th a mãn an ≤ an+1 – a 2 +1 , ∀n ∈ ℕ * . Tìm gi i h n liman.
n
xa.nguyenvan@gmail.com

8. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
1
, ∀n ∈ℕ * . T c là (an) là dãy b ch n trên và không
HD. T an ≤ an+1 – a 2 +1 , ∀n ∈ ℕ * , suy ra an ≤ an+1 và an ≤
n
4
gi m. Do ñó (an) có gi i h n h u h n liman = a. L y gi i h n h n hai v b t ñ ng th c ñ bài cho, ñư c a ≤ a – a2,
hay a = 0. V y liman = 0.
VD15. Cho dãy s (xn) th a mãn x1 = 3, x n+1 − 3x n +1 = 2 + x n , ∀ n ∈ N *. Tìm gi i h n lim xn.
3
HD. Ta th y x1 = 3 > 2. Gi s xk > 2, lúc này x 3 − 3x k +1 = 2 + x k >
k+1 2 + 2 = 2 nên
x 3 − 3x k +1 − 2 > 0 ⇔ (xk+1 + 1)2(xk+1 – 2) > 0 ⇔ xk+1 > 2. T c là xn > 2, ∀ n ∈ N *. Xét hàm s f(t) = t3 – 3t,
k+1
có f ’(t) = 3t2 – 3 = 3(t + 1)(t – 1) > 0, ∀ t > 2, suy ra f(t) ñ ng bi n trên kho ng (2; + ∞). Ki m tra th y
x1 − 3x1 = 18
3
> x 3 − 3x 2 = 5 ⇒
2
f(x1) > f(x2) ⇒ x1 > x2. Gi s xk > xk+1 ⇒ 2 + x k >
> 2 + x k+1 ⇒ x k+1 − 3x k +1 > x 3 − 3x k + 2 ⇒ f(xk+1) > f(x k +2) ⇒ xk+1 > xk+2. Do ñó xn > xn+1 v i ∀ n ∈ N *. Dãy
3
k+2
(xn) gi m và b ch n dư i b i 2 nên t n t i gi i h n h u h n lim xn = x ≥ 2. L y gi i h n hai v ñ ng th c ñ bài
ta ñư c x3 – 3x = 2 + x ⇔ x6 – 6x4 + 9x2 = x + 2 (vì x ≥ 2 nên x3 – 3x > 0) ⇔ x6 – 6x4 + 9x2 – x –2=0⇔
5 4 3 2 2 3 3
(x – 2).(x + 2x – 2x – 4x + x + 1) = 0 ⇔ (x – 2).(x (x – 4) + 2x (x – 1) + x + 1) = 0 ⇔ x = 2 (do x ≥ 2). V y
limxn = 2.
VD16. Tính gi i h n:
[(2+ 3) n ]
a) lim , trong ñó [x] là ph n nguyên c a s th c x, t c là s nguyên l n nh t không vư t quá x.
(2+ 3) n
c
1 3 5 2n − 1 n 1
b) lim( + 2 + 3 + ... + n
). c) lim n (a > 1, c > 0). d)lim n n . e) lim n .
2 2 2 2 a n!
(2 + 3) + (2 − 3)
n n
HD. a) ð t a n = , nh công th c khai tri n nh th c Niuton ta th y ngay an là s nguyên
2
dương. M t khác – 1< – (2 − 3) < 0 nên có [(2+ 3) n ] = [2an – (2 − 3) ] = 2an +[– (2 − 3)n ] = 2an – 1.
n n
[(2+ 3) n ] 2a n − 1 (2 + 3)n + (2 − 3) n − 1 1 1
V y lim = lim = lim = lim(1 + − ) = 1.
(2+ 3) n (2+ 3) n (2+ 3)n (7 + 4 3) n (2+ 3) n
Nh n xét. V i x, y, n, r nguyên dương, r không là s chính phương thì t n t i hai dãy s nguyên dương (an) và
(bn) sao cho (x +y r )n = an + bn r ; (x - y r )n = an - bn r ; v i
(x + y r)n + (x − y r)n (x + y r)n − (x − y r)n
an = , bn = .
2 2
1 3 5 2n − 1 3 5 2n − 1
b) Ta ñ t xn = + 2 + 3 + ... + n ⇒ 2xn = 1 + + 2 + ... + n-1 . Ta có xn = 2xn – xn =
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 − 2n 1 1 n 1 1
=2+ + 2 + ... + n −2 + n = 3 – n − 2 + n – n −1 . D th y lim n − 2 = lim n = 0. V i m i n > 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
n−1 n 2 − 3n + 2
ta có 2n −1 = Cn−1 + Cn−1 + Cn−1 + ... + Cn−1 ≥ C 2 −1 = > 0. T ñó suy ra 0 < n < 2n
0 1 2
n , ∀ n > 2.
n −1
2 2 n − 3n + 2
2
2n n
Mà lim = 0 nên lim n −1 = 0. V y lim xn = 3.
n 2 − 3n + 2 2
xa.nguyenvan@gmail.com

9. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
c

c c 1
n  n =  n  ñó b = a c – 1 > 0. Nh n th y v i m i n ≥ 2 thì
c) V i hai s a > 1 và c > 0 ta bi n ñ i n = n
a    (1+b) n 
 c
  
a

(n 2 − n)b 2 n 2
(1 + b) = Cn + bCn + b Cn + ... + b Cn ≥ b Cn =
n 0 1 2 2 n n 2 2
> 0 suy ra 0 < < , ∀ n ∈ N *.
2 (1+b) (n − 1)b 2
n
c
2 n nc  n 
T ñây và do lim = 0 nên lim = 0, d n t i lim n = lim   = 0.
(n − 1)b 2 (1+b)n a  (1+b)n 
n
 1  C1 C2 C3 Cn n − 1 n 2 − 3n + 2
d) V i m i n ≥ 9 ta có 1+  = C0 + n + n + n + ... + n ≥ 1 + n +
n + =
 n n n n n nn 2 6 n
1 1 n n n 1 n n n n n n n( n − 3) 1
= + n+ + + > + =n+ − =n+ ≥ n . D n ñ n 1 < n n < 1+ v i
2 2 2 6 3 n 2 6 6 2 6 n
1
m i n ≥ 9. Mà lim (1 + ) = 1 nên suy ra lim n n = 1.
n
log a n
Nh n xét. V i a >0, a ≠ 1, thì lim = 0.
n
1 1
e) Trư c h t ta có n! = 1.2.3…n ≤ nn ⇒ ≤ , ∀ n ∈ N *. M t khác ∀k = 1, n ta luôn có
n n n!
(n − k)(k − 1) ≥ 0 ⇒ k(n − k + 1) ≥ n , cho k ch y t 1 ñ n n ta thu ñư c n b t ñ ng th c mà hai v ñ u dương, nhân
1 1
n b t ñ ng th c này, v v i v tương ng, ta ñư c (n!)2 ≥ nn hay
n
≤ , ∀n ∈ ℕ* . T
n! n
1 1 1 1 1 1
≤n ≤ , ∀n ∈ ℕ* , và lim = lim = 0 suy ra lim
n
= 0.
n n! n n n n!
un
VD17. Cho dãy s (un) th a mãn u1 = – 2, un+1 = , ∀ n ∈ N *.
1 − un
a. Ch ng minh un < 0, ∀ n ∈ N *.
1+ u n
b. ð t vn = , ∀ n ∈ N *. Ch ng minh (vn) là c p s c ng.
un
c. Tìm công th c s h ng t ng quát c a (un), (vn), và tính các gi i h n limun, limvn.
HD. a) Ta ch ng minh un < 0 (∀ n ∈ N *) b ng phương pháp quy n p toán h c. Rõ ràng u1 = – 2 < 0. Bây gi gi
uk
s uk < 0 ⇒ 1 – uk > 0. D n t i uk+1 = < 0. V y un < 0 (∀ n ∈ N *).
1 − uk
1+ u n 1 1− 2 1 un
b) ð t vn = thì vn ≠ 1 và un = . Ta có v1 = = . T un+1 = ta có
un vn − 1 −2 2 1− un
1 1 1 1
= : (1 − ) hay vn+1 = vn – 1 (∀ n ∈ N *). V y (vn) là c p s c ng có s h ng ñ u tiên v1= ,
v n+1 − 1 v n − 1 vn − 1 2
công sai d = –1.
xa.nguyenvan@gmail.com

10. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
3 1 1 2
c) T câu b ta có ngay vn = – n, và un = = hay un = (∀ n ∈ N *). Như v y limun = 0,
2 vn − 1 3 − n − 1 1 − 2n
2
limvn = – ∞.
1
VD18. Cho dãy s (un) th a mãn 0 < un < 1 và un+1 < 1 – 1 v i m i n ∈ N *. Ch ng minh un > , ∀ n ∈ N *.
4u n 2
1 1
HD. T 0 < un < 1 và un+1 < 1 – suy ra un(1 – un+1) > (∀ n ∈ N *). Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho hai s
4u n 4
un và 1 – un+1 ta có un + (1 – un+1) ≥ 2 u n (1 − u n+1 ) > 2. 1 = 1 hay u n + 1 − u n+1 > 1 hay u n > u n+1 (∀ n ∈ N *).
4
Dãy (un) gi m và b ch n nên có gi i h n h u h n lim u n = u ∈ [0; 1] . L y gi i h n hai v c a b t ñ ng th c
1 1 1 1
un(1 – un+1) > ta ñư c u(1 – u) > ⇔ u = . T c là limun = .
4 4 2 2
1
Bây gi ta ñi ch ng minh un > (∀ n ∈ N *) b ng phương pháp ph n ch ng. Gi s t n t i s nguyên dương k
2
1 1 1
sao cho uk ≤ 1 . Lúc này ≥ uk > uk+1 > … > un+k > … , ∀ n ∈ N *. Suy ra ≥ uk > uk+1≥ lim un + k = .
2 2 2 n→+∞ 2
1
ði u này vô lí. V y un > (∀ n ∈ N *).
2
BÀI T P
9) Tính gi i h n:
13 33 53 (2n − 1)3 13 + 23 + ... + n 3
1) lim( 3 + 3 + 3 + ... + ). 2) lim .
n n n n3 n4
1 1 1 1 3 2n − 1
3) lim( + + ... + ). 4) lim( . ... ).
1.2 2.3 n(n + 1) 2 4 2n
1 1 1 1 1
5) lim(cos + a.sin )n. 6) lim( + + ... + ).
n n n2 +1 n2 + n n2 + n
11 + 22 + ... + n n an
7) lim . 8) lim (v i a > 0).
nn n!
1 1 1
9) lim 1 + 2n + ... + 2010n .
n n
10) lim( 1 + + + ... + ).
2 3 n
10) Dãy s (xn) có x1 = a >0, x 2 − x n = a (∀ n ∈ N *). Tìm limxn.
n+1
11) Dãy s (an) có 0 < an < 1 và an+1 = an(2 – an) v i m i n ∈ N *. Tìm limxn.
6. DÃY S SINH B I PHƯƠNG TRÌNH
VD19. Cho s nguyên dương n. Ch ng minh r ng phương trình xn+1 = x + 1 có m t nghi m dương duy nh t, kí
hi u là xn. Tìm limxn.
HD. Trư c h t n u x > 0 thì x + 1 > 1, t phương trình xn+1 = x + 1 ⇒ xn+1> 1 ⇒ x > 1. Do ñó n u phương trình
xn+1 = x + 1 có nghi m dương thì nghi m ñó s l n hơn 1. Ta xét hàm s fn(x) = xn+1 – x – 1 v i x > 1, có ñ o hàm
fn’(x) = (n + 1)xn –1 > (n + 1) – 1 = n > 0 v i m i x > 1. Suy ra fn(x) ñ ng bi n trên kho ng (1; + ∞). T ñây, và
tính liên t c c a fn(x), và fn(1) = – 1< 0, lim f n (x) = +∞ , ta k t lu n phương trình xn+1 = x + 1 có nghi m
x→+∞
dương duy nh t xn. T t nhiên xn > 1. Do fn+1(x) liên t c, fn+1(1) = – 1< 0, fn+1(xn) = x n+2 − x n − 1 > x n − x n − 1 =
n
n+1
xa.nguyenvan@gmail.com

11. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
= fn(xn) = 0, nên phương trình xn+2 = x + 1 có nghi m dương duy nh t xn+1 và 1 < xn+1< xn. Dãy (xn) gi m và b
ch n dư i b i 1 nên có gi i h n h u h n limxn = a ≥ 1. Do xn là nghi m dương c a phương trình xn+1 = x + 1 nên
1 1
− 1 = 0 ⇒ x n = (1 + x n ) n +1 ⇒ limx n = lim(1 + x n ) n +1 = (1 + a ) = 1.
0
x n+1 − x n
n
VD20. Cho n là m t s nguyên dương > 1. Ch ng minh r ng phương trình xn = x + 1 có m t nghi m dương duy
nh t, ký hi u là xn. Ch ng minh r ng xn d n v 1 khi n d n ñ n vô cùng và tìm lim n( x n − 1) .
n→ ∞
HD. Rõ ràng xn > 1. ð t fn(x) = xn – x – 1. Khi ñó fn+1(1) = - 1 < 0 và fn+1(xn) = xnn+1 – xn – 1 > xnn – xn – 1=
=fn(xn) = 0. T ñó ta suy ra 1 < xn+1 < xn . Suy ra dãy {xn} có gi i h n h u h n a. Ta ch ng minh a = 1. Th t v y,
gi s a > 1. Khi ñó xn ≥ a v i m i n và ta tìm ñư c n ñ l n sao cho: xnn ≥ an > 3 và xn + 1 < 3, mâu thu n vì
fn(xn) = 0. ð gi i ph n cu i c a bài toán, ta ñ t xn = 1 + yn v i lim yn = 0. Thay vào phương trình fn(xn) = 0, ta
ñư c (1+yn)n = 2 + yn. L y logarith hai v , ta ñư c nln(1+yn) = ln(2+yn). T ñó suy ra lim nln(1+yn) = ln2.
Nhưng lim ln(1+yn)/yn = 1 nên t ñây ta suy ra lim nyn = ln2, t c là lim n( xn − 1) = ln 2.
n →∞
1 1 1
VD21. Ký hi u xn là nghi m c a phương trình: + + ... + = 0 thu c kho ng (0, 1)
x x −1 x−n
a) Ch ng minh dãy {xn} h i t
b) Hãy tìm gi i h n ñó.
HD. Rõ ràng xn ñư c xác ñ nh 1 cách duy nh t, 0 < xn < 1. Ta có fn+1(xn) = fn(xn) + 1/(xn-n-1) = 1/(xn-n-1) < 0,
trong khi ñó fn+1(0+) > 0. Theo tính ch t c a hàm liên t c, trên kho ng (0, xn) có ít nh t 1 nghi m c a fn+1(x).
Nghi m ñó chính là xn+1. Như th ta ñã ch ng minh ñư c xn+1 < xn. T c là dãy s {xn} gi m. Do dãy này b ch n
dư i b i 0 nên dãy s có gi i h n. Ta s ch ng minh gi i h n nói trên b ng 0. ð ch ng minh ñi u này, ta c n
ñ n k t qu quen thu c sau: 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln(n) (Có th ch ng minh d dàng b ng cách s d ng ñánh
giá ln(1+1/n) < 1/n). Th t v y, gi s lim xn = a > 0. Khi ñó, do dãy s gi m nên ta có xn ≥ a v i m i n. Do 1 +
1/2 + 1/3 + … + 1/n +∞ khi n + ∞ nên t n t i N sao cho v i m i n ≥ N ta có 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > 1/a.
Khi ñó v i n ≥ N ta có 0 = 1 + 1 + ... + 1 < 1 + 1 + 1 + ... + 1 < 1 − 1 = 0 . Mâu thu n. V y ta
xn xn − 1 xn − n xn −1 −2 −n a a
ph i có lim xn = 0.
VD22. (VMO 2007) Cho s th c a > 2 và fn(x) = a10xn+10 + xn + …+x + 1.
a) Ch ng minh v i m i s nguyên dương n, phương trình fn(x) = a luôn có ñúng m t nghi m dương duy nh t.
b) G i nghi m ñó là xn, ch ng minh r ng dãy {xn} có gi i h n h u h n khi n d n ñ n vô cùng.
HD. K t qu c a câu a) là hi n nhiên vì hàm fn(x) tăng trên (0, +∞). D dàng nh n th y 0 < xn < 1. Ta s ch ng
minh dãy xn tăng, t c là xn+1 > xn. Tương t như nh ng l i gi i trên, ta xét
fn+1(xn) = a10xnn+11 + xnn+1 + xnn + … + x + 1 = xnfn(xn) + 1 = axn + 1.
10
Vì ta ñã có fn+1(1) = a + n + 1 > a nên ta ch c n ch ng minh axn + 1 < a là s suy ra xn < xn+1 < 1. Như v y, c n
ch ng minh xn < (a-1)/a. Th t v y, n u xn ≥ (a-1)/a thì
n +1
 a −1 
n +10 1−   n n
 a −1   a −1   a −1 
+ 
a 
fn (xn ) ≥ a10   = (a −1)10   + a − (a −1)   >a
 a  a −1  a   a 
1−
a
(do a – 1 > 1). V y dãy s tăng {xn} tăng và b ch n b i 1 nên h i t .
1 1 1 1
VD23. (VMO 2002) Cho n là m t s nguyên dương. Ch ng minh r ng phương trình + + ... + 2 =
x − 1 4x − 1 n x −1 2
có m t nghi m duy nh t xn > 1. Ch ng minh r ng khi n d n ñ n vô cùng, xn d n ñ n 4.
HD. ð t fn(x) như trên và g i xn là nghi m > 1 duy nh t c a phương trình fn(x) = 0. Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
fn (4) = + + ... + 2 − = + + ... + − =  − + − + ... + − − =−
4 −1 16 −1 4n −1 2 1.3 3.5 (2n −1)(2n +1) 2 2  1 3 3 5 2n −1 2n  2 4n
xa.nguyenvan@gmail.com

12. www.VNMATH.com
TÂM SÁNG – CHÍ B N
Áp d ng ñ nh lý Lagrange, ta có : 1/4n = |fn(xn) – f(4)| = |f’(c)||xn-4| v i c thu c kho ng (xn, 4). Nhưng do
1 4 1
| f n '(c) |= + + ... > n ên t ñây |xn – 4| < 9/4n, suy ra lim xn = 4.
(c − 1) 2
(4c − 1) 2 9
VD24. Cho n là m t s nguyên dương > 1. Ch ng minh r ng phương trình xn = x2 + x + 1 có m t nghi m dương
duy nh t, ký hi u là xn. Hãy tìm s th c a sao cho gi i h n lim n ( x n − x n +1 ) t n t i, h u h n và khác 0.
a
n→∞
HD. ð t Pn(x) = xn – x2 – x – 1. Ta có Pn+1(x) = xn+1 – x2 – x – 1 = xn+1 – xn + Pn(x) = xn(x-1) + Pn(x).
T ñó Pn+1(xn) = xnn(xn-1) + Pn(xn) = (xn2+xn+1)(xn-1) = xn3 – 1.
Áp d ng ñ nh lý Lagrange, ta có: (xn2+xn+1)(xn – 1) = Pn+1(xn) – Pn+1(xn+1) = (xn – xn+1)Pn+1’(c)
v i c thu c (xn+1, xn), Pn+1’(x) = (n+1)xn – 2x – 1. T ñó
(n+1)(xn+1+1+1/xn+1) – 2xn+1 – 1 = Pn+1’(xn+1) < Pn+1’(c) < Pn+1’(xn)= (n+1)(xn2+xn+1) – 2xn – 1.
T ñây, v i lưu ý lim xn = 1, ta suy ra : lim Pn +1 '(c ) = 3 .Ti p t c s d ng lim n(xn – 1) = 3, ta suy ra:
n →∞ n
lim nPn +1 (c)( xn − xn +1 ) = lim n( xn + xn + 1)( xn − 1) = 3ln(3)
' 2
n →∞ n →∞
Pn' +1 (c) P ' (c )
⇔ lim n 2 ( xn − xn +1 ). = 3ln(3) ⇔ lim n 2 ( xn − xn +1 ) lim n +1 = 3ln(3)
n →∞ n n →∞ n →∞ n
⇔ lim n 2 ( xn − xn +1 )3 = 3ln(3) ⇔ lim n 2 ( xn − xn +1 ) = ln(3)
n →∞ n →∞
V y v i c = 2 thì gi i h n ñã cho t n t i, h u h n và khác 0. D th y v i c > 2 thì gi i h n ñã cho b ng vô cùng
và n i c < 2 thì gi i h n ñã cho b ng 0. V y c = 2 là ñáp s duy nh t c a bài toán.
BÀI T P
12) V i m i s nguyên dương n phương trình x = n
x + 1 có m t nghi m dương duy nh t, kí hi u là xn. Tìm
lim(n(xn – 1)).
xa.nguyenvan@gmail.com