1. Phương trình ư ng th ng trong không gian
91
PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ C TRƯNG C A Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN:
1. Véctơ ( )1 2 3; ;a a a a= là véc tơ ch phương (VTCP) c a (∆) ⇔ (∆) // giá c a a
2. Nh n xét: N u a là m t VTCP c a (∆) thì ka (k ≠ 0) cũng là VTCP c a (∆)
t c là (∆) có vô s VTCP.
II. PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN
1. Phương trình tham s : Phương trình ư ng th ng (∆) i qua M0(x0, y0, z0)
và có VTCP ( )1 2 3; ;a a a a= : ( )
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t t
z z a t
= +

= + ∈

= +
»
2. Phương trình chính t c: Phương trình ư ng th ng (∆) i qua M0(x0, y0, z0)
và có VTCP ( )1 2 3; ;a a a a= : 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
3. Phương trình t ng quát: Phương trình ư ng th ng (∆) t ng quát là giao
tuy n c a hai m t ph ng
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =

+ + + =
v i 1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C≠
4. Phương trình ư ng th ng (∆) i qua 2 i m M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2):
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
5. Chuy n d ng phương trình t ng quát sang d ng tham s , chính t c:
Cho (∆):
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
 α + + + =

β + + + =
( 1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C≠ )
⇒VTPT c a hai m t ph ng là
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
, ,
, ,
n A B C
n A B C
 =


=
⇒ VTCP 1 2,a n n=   
Tìm i m M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= = .
t t s này b ng t suy ra d ng tham s .

2. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
92
III. V TRÍ TƯƠNG I C A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN
1. V trí tương i c a 2 ư ng th ng:
Cho (∆1) i qua M1(x1; y1, z1) v i VTCP ( )1 2 3, ,u a a a= ,
(∆2) i qua M2(x2; y2, z2) v i VTCP là ( )1 2 3, ,v b b b=
N u [ ] 1 2, 0u v M M⋅ ≠ thì ( ) ( )1 2,∆ ∆ chéo nhau.
N u [ ] 1 2, 0u v M M⋅ = và 1 2 3 1 2 3: : : :a a a b b b≠ thì (∆1), (∆2) c t nhau.
N u
[ ] 1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b
 ⋅ =

 =
và h phương trình c a
( )
( )
1
2
 ∆


∆
vô nghi m
thì (∆1), (∆2) song song nhau.
N u
[ ] 1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b
 ⋅ =

 =
và h phương trình c a
( )
( )
1
2
 ∆


∆
có nghi m
thì (∆1), (∆2) trùng nhau.
2. V trí tương i c a ư ng th ng và m t ph ng:
Cho (∆) i qua M0(x0; y0, z0) v i VTCP ( ), ,u a b c= và mp(α):
0Ax By Cz D+ + + = v i VTPT ( ), ,n A B C=
N u 0n u⋅ ≠ 0Aa Bb Cc⇔ + + ≠ thì (∆) c t (α).
N u //n u : : : :a b c A B C⇔ = thì (∆) ⊥ (α).
N u
( )0
0n u
M
⋅ =

∉ α
⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =

+ + + ≠
thì (∆) // (α).
N u
( )0
0n u
M
⋅ =

∈ α
⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =

+ + + =
thì (∆) ⊂ (α).

3. Phương trình ư ng th ng trong không gian
93
IV. GÓC GI A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc gi a 2 ư ng th ng:
Cho (∆1) i qua M1(x1; y1, z1) v i VTCP ( )1 2 3, ,u a a a= ,
(∆2) i qua M2(x2; y2, z2) v i VTCP là ( )1 2 3, ,v b b b=
Góc gi a ( ) ( )( ) [ ]1 2, 0,90∆ ∆ = ϕ∈ ° xác nh b i:
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos
a b a b a bu v
u v a a a b b b
+ +⋅
ϕ = =
⋅ + + + +
2. Góc gi a ư ng th ng và m t ph ng:
Cho (∆) i qua M0(x0; y0, z0) v i VTCP ( ), ,u a b c= và mp(α):
0Ax By Cz D+ + + = v i VTPT ( ), ,n A B C=
Góc gi a ( ) ( )( ) [ ], 0,90∆ α = ϕ∈ ° xác nh b i:
2 2 2 2 2 2
sin
u n aA bB cC
u n a b c A B C
⋅ + +
ϕ = =
⋅ + + + +
3. Góc gi a hai m t ph ng:
Góc gi a 2 m t ph ng (α1): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = và (α2):
2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
.
cos
n n A A B B C C
n n A B C A B C
+ +
ϕ= =
+ + + +
v i 1 2,n n là 2 VTPT c a (α1), (α2).
V. KHO NG CÁCH
1. Kho ng cách t 1 i m n 1 ư ng th ng:
Cho (∆) i qua M0(x0; y0, z0) v i VTCP ( ), ,u a b c= . Kho ng cách t i m
M1(x1; y1, z1) n ư ng th ng (∆) là: ( )( ) 0 1
1,
u M M
d M
u
 ⋅ 
∆ =
2. Kho ng cách gi a 2 ư ng th ng chéo nhau:
Cho (∆1) i qua M1(x1; y1, z1) v i VTCP ( )1 2 3, ,u a a a= ,
(∆2) i qua M2(x2; y2, z2) v i VTCP là ( )1 2 3, ,v b b b=
Gi s ( ) ( )1 2,∆ ∆ chéo nhau, khi ó ( )
[ ]
[ ]
1 2
1 2
,
( ),( )
,
u v M M
d
u v
⋅
∆ ∆ =

4. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
94
3. Kho ng cách t 1 i m n 1 m t ph ng:
Kho ng cách t M0(x0, y0, z0) n m t ph ng (α): 0Ax By Cz D+ + + = là:
( ) 0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +
VI. CÁC D NG BÀI T P
1. D ng 1: Xác nh v trí tương i c a các ư ng th ng và m t ph ng
Phương pháp: Gi i h PT t o b i
( )
( )
1
2
 ∆


∆
;
( )
( )
 ∆

α
ho c s d ng d u hi u nh n
bi t qua h th c c a các véctơ
Bài 1. Xét v trí tương i b ng 2 cách khác nhau:
( ) ( )1 2
9
2 3 3 9 0
: 5 :
2 3 0
3
x t
x y z
y t
x y z
z t
=
 − − − = 
∆ = ∆ 
− + + = 
= − +
;
( ) ( )1 2
2 3 0 2 8 0
: :
2 3 0 8 0
x y y z
x y x z
− + = + − =  
∆ ∆ 
+ = + − =  
Bài 2. Xác nh giao i m c a ư ng th ng ( ) ( )
1 2
: 1
1
x t
y t t
z t
= +

∆ = − ∈

= +
» v i m t
ph ng ( ):2 2 0x y zα + − − =
Bài 3. Xác nh giao i m c a ư ng th ng ( )
2 0
:
2 1 0
x y z
x y z
+ + − =
∆ 
+ − − =
v i m t
ph ng ( ): 2 1 0x y zα + + − =
Bài 4. Cho 3 ư ng th ng:
( ) ( ) ( )1 2 3
3
3 3 021 2: 1 , : , :
1 4 3 2 1 05
x t
x y zyx zy t
x y zz t
= − + − =+ − −∆ = − ∆ = = ∆ 
− + + = = +
a. Xét v trí tương i c a các c p 2 ư ng th ng v i nhau.
b. Vi t phương trình ư ng th ng (∆) song song v i (∆1), c t (∆2) và (∆3)

5. Phương trình ư ng th ng trong không gian
95
2. D ng 2: Xác nh hình chi u vuông góc c a 1 i m M lên m t ph ng (αααα)
Phương pháp:
Vi t phương trình tham s c a ư ng th ng (∆) qua M và (∆) ⊥(α)
Giao i m H c a (∆) và (α) là hình chi u vuông góc c a M lên (α)
Bài 1. Tìm hình chi u vuông góc c a M(1; 2;−3) lên ( ): 3 5 0x y zα + − + =
3. D ng 3: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua m t ph ng (αααα)
Phương pháp: Tìm hình chi u vuông góc H c a M lên (α).
Gi s M(x1, y1, z1), H(x0, y0, z0), khi ó i m M’ i x ng M qua (α) là
( )0 1 0 1 0 12 ,2 ,2M x x y y z z′ − − −
Bài 1. Xác nh i m i x ng v i i m M(13; 2; 3) qua m t ph ng (α):
x + y – 3z + 5 = 0
4. D ng 4: Xác nh hình chi u vuông góc c a 1 i m M lên ư ng th ng (∆∆∆∆)
Phương pháp 1: Vi t PT m t ph ng (α) qua M và (α) ⊥ (∆).
Giao i m H c a (∆) và (α) là hình chi u vuông góc c a M lên (∆)
Phương pháp 2: Vi t PT tham s c a (∆) ⇒ T a H theo tham s t.
MH u⊥ là véctơ ch phương c a (∆). GPT 0MH u⋅ = ⇒ tham s t ⇒ T a H
Bài 1. Xác nh hình chi u vuông góc c a M(−1; −1; 1) lên ư ng th ng (∆):
{ }1 ; 2 ; 3 3x t y t z t= + = + = − −
5. D ng 5: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua ư ng th ng (∆∆∆∆)
Phương pháp: Tìm hình chi u vuông góc H c a M lên (∆)
Gi s M(x1, y1, z1), H(x0, y0, z0), khi ó i m M’ i x ng M qua (∆) là
( )0 1 0 1 0 12 ,2 ,2M x x y y z z′ − − −
Bài 1. Xác nh i m i x ng v i i m M(0; 2; −1) lên ư ng th ng (∆):
{ }1 ; 2 ; 3 3x t y t z t= + = + = −
6. D ng 6:
Xác nh hình chi u vuông góc c a ư ng th ng (∆∆∆∆) lên m t ph ng (αααα)
Phương pháp:
TH1: (∆) ⊥ (α) ⇒ Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là i m H≡ (∆) ∩ (α)

6. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
96
TH2: (∆) ⊂ (α) ⇒ Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là ư ng th ng (∆)
TH3: (∆) không vuông góc v i (α), (∆) ⊄ (α):
C1: Vi t phương trình m t ph ng (β) ch a (∆) và (β) ⊥ (α).
Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là ư ng th ng (∆’) = (β) ∩ (α).
C2: L y 2 i m A, B phân bi t thu c (∆).
Xác nh hình chi u vuông góc c a A, B lên (α) là H1, H2.
Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là ư ng th ng (∆’) ≡ H1H2
C3: N u (∆) c t (α): Xác nh A ≡ (∆) ∩ (α). L y M b t kì ∉ (∆) và M ≠ A.
Xác nh hình chi u vuông góc H c a M lên (α).
Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là (∆’) ≡ AH
Bài 1. Xác nh hình chi u vuông góc c a (∆):
5 4 2 5 0
2 2 0
x y z
x z
− − − =

+ − =
lên m t ph ng (α): 2x – y + z – 1 = 0
7. D ng 7: Xác nh hình chi u song song c a ư ng th ng (∆∆∆∆1) lên (αααα)
theo phương (∆∆∆∆2) c t (αααα)
Phương pháp:
TH1: (∆1) // (∆2) ⇒ Hình chi u song song c a (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là
i m H≡ (∆1) ∩ (α)
TH2: (∆1) và (∆2) không song song:
Vi t phương trình m t ph ng (β) ch a (∆1) và // (∆2)
Hình chi u song song c a (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α)
Bài 1. Xác nh hình chi u song song c a t (∆1):
7 1 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − − =

+ + + =
lên (α):
2 2 3 0x y z− + − = theo phương (∆2):
11 2
2 1 3
yx z+− += =
8. D ng 8: VPT ư ng th ng (∆∆∆∆) qua M và c t (∆∆∆∆1), (∆∆∆∆2) v i (∆∆∆∆1), (∆∆∆∆2) chéo
nhau và không i qua M
Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α) qua M ch a (∆1)
N u cho (∆1) dư i d ng t ng quát thì nên vi t phương trình (α) dư i d ng chùm
N u (∆1) d ng tham s thì l y 2 i m A, B ∈ (∆1)

7. Phương trình ư ng th ng trong không gian
97
⇒ Phương trình (α) qua 3 i m A, B, M.
N u (α) // (∆2) thì bài toán vô nghi m. N u (α) c t (∆2) thì tìm N = (∆2) ∩ (α)
N u MN // (∆1) thì bài toán vô nghi m, n u MN c t (∆1) suy ra ư ng th ng
c n tìm là (∆) ≡ MN.
Phương pháp 2: Vi t phương trình m t ph ng (α) qua M ch a (∆1),
m t ph ng (β) qua M ch a (∆2)
Xét (∆) = (α) ∩ (β). N u (∆) c t (∆1) và (∆2) thì ư ng th ng (∆) là ư ng
th ng c n tìm. N u (∆) // (∆1) ho c (∆2) thì bài toán vô nghi m.
Bài 1. VPT T (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) c t (∆1):
2 0
2 5 0
y
x z
− =

− − =
,
(∆2): { }1 2 , 3 , 4x t y t z t= + = − = +
9. D ng 9: VPT ư ng th ng (∆∆∆∆) c t (∆∆∆∆1), (∆∆∆∆2) và song song v i (∆∆∆∆3)
Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α) ch a (∆1) và // (∆3),
m t ph ng (β) ch a (∆2) và // (∆3)
N u (α) // (β) thì bài toán vô nghi m. N u (α) c t (β) thì xét (∆) = (α) ∩ (β).
N u (∆) c t (∆1) và (∆2) thì ư ng th ng (∆) là ư ng th ng c n tìm.
N u (∆) // (∆1) ho c (∆2) thì bài toán vô nghi m.
Phương pháp 2: Vi t phương trình tham s c a (∆1) theo t1, c a (∆2) theo t2.
L y M ∉ (∆1), N ∉(∆2) ⇒ T a M, N theo t1, t2. ⇒ MN theo t1, t2.
Xác nh t1, t2 sao cho MN // (∆3) ⇒ ư ng th ng (∆) c t (∆1), (∆2) và song
song v i (∆3) là (∆) ≡ MN
Phương pháp 3: G i M(x0, y0, z0) là giao i m c a (∆) và (∆1).
(∆) nh n VTCP c a (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham s c a (∆) theo x0, y0, z0.
(∆) c t (∆2) suy ra h
( )
( )2
 ∆

∆
có nghi m ⇒ x0, y0, z0. ⇒ Phương trình (∆)
Bài 1. VPT ư ng th ng (∆) c t (∆1):
2 0
2 5 0
y
x z
− =

− − =
, (∆2):
{ }1 2 , 3 , 4x t y t z t= + = − = + và // v i tr c Oz.

8. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
98
Bài 2. VPT T (∆) c t (∆1):
22 1
3 4 1
yx z+− −= = , (∆2):
37 9
1 2 1
yx z−− −= =
và // (∆3):
31 2
3 2 1
yx z++ −= =
−
10. D ng 10: VPT ư ng th ng (∆∆∆∆) qua M và vuông góc (∆∆∆∆1), c t (∆∆∆∆2) trong
ó M ∉∉∉∉ (∆∆∆∆1), (∆∆∆∆2)
Phương pháp: Vi t phương trình m t ph ng (α) qua M và ⊥ (∆1), m t ph ng
(β) qua M ch a (∆2)
N u (α) // (β) thì bài toán vô nghi m. N u (α) c t (β) thì xét (∆) = (α) ∩ (β).
N u (∆) c t (∆2) thì ư ng th ng (∆) là ư ng th ng c n tìm.
N u (∆) // (∆2) thì bài toán vô nghi m.
Bài 1. VPT ư ng th ng (∆) qua M(1; 2; 0) và ⊥ (∆1):
11 2
2 2 1
yx z+− += = ,
c t (∆2):
7 1 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − − =

+ + + =
11. D ng 11: VPT ư ng vuông góc chung c a 2 ư ng th ng (∆∆∆∆1), (∆∆∆∆2)
chéo nhau
a. TH c bi t: (∆∆∆∆1) ⊥⊥⊥⊥ (∆∆∆∆2):
Vi t phương trình m t ph ng (α) ch a (∆1) và (α) ⊥ (∆2)
Tìm ( ) ( )2M = ∆ α∩ , H là hình chi u vuông góc c a M lên (∆1)
⇒ MH là ư ng vuông góc chung c a (∆1), (∆2)
b. Phương pháp 1: Vi t phương trình (∆1), (∆2) dư i d ng tham s
L y M∈(∆1), N∈(∆2) ⇒ T a M, N theo 1 2,t t ⇒ MN theo 1 2,t t .
MN là ư ng vuông góc chung c a (∆1), (∆2)
⇒ ( ) ( )1 2,MN MN⊥ ∆ ⊥ ∆ ⇒ 1 2,t t ⇒ MN.
c. Phương pháp 2: G i 1 2,a a là VTCP c a (∆1) và (∆2)
⇒ ư ng vuông góc chung (∆) có VTCP 1 2,a a a=   
Vi t phương trình m t ph ng (α) ch a (∆1) và // (∆), m t ph ng (β) ch a (∆2)
và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β).

9. Phương trình ư ng th ng trong không gian
99
Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8).
Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a SB, OA.
Bài 2. Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a
( )1
3 0
:
1 0
x y z
y z
+ + − =
∆ 
+ − =
và ( )2
2 2 9 0
:
1 0
x y z
y z
− − + =
∆ 
− + =
Bài 3. Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a
( )
1
1 1
1
1 2
: 2
3 3
x t
y t
z t
= +

∆ = +
 = − +
và ( )
2
2 2
2
2
: 3 2
1 3
x t
y t
z t
= +

∆ = − +
 = +
Bài 4. VPT ư ng vuông góc chung c a
( )1
3 2 8 0
:
5 2 12 0
x y
x z
− − =
∆ 
+ − =
và ( ) { }2 : 1 3 ; 3 2 ; 2x t y t z t∆ = − + = − − = −
Bài 5. Cho ( )1
2
: 1
2
x t
y t
z t
= +

∆ = −
 =
và ( )2
2 2 0
:
3 0
x z
y
+ − =
∆ 
− =
.
Vi t phương trình m t ph ng cách u (∆1) và (∆2).
12. D ng 12: Các bài toán v kho ng cách
12.1. Tính kho ng cách:
Bài 1. Tính kho ng cách t M(1; 2; 3) n ( ) 11 1:
2 1 3
yx z+− −∆ = =
Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1). Tính kho ng cách t A n BC.
Bài 3. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng
( ) ( ) { }1 2
0
: : 1 3 ; ; 2
4 0
x y
x t y t z t
x y z
+ =
∆ ∆ = + = − = +
− + − =
Bài 4. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng
( ) ( )1 2
2 021 3: , :
1 2 3 2 3 5 0
x y zyx z
x y z
+ − =−− −∆ = = ∆ 
− + − =
Bài 5. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng
( ) ( )1 2
8 23 0 2 3 0
: , :
4 10 0 2 2 0
x z x z
y z y z
+ + = − − = 
∆ ∆ 
− + = + + = 
Bài 6. Tính kho ng cách gi a 2 m t ph ng (α): 2x + y + z – 1 = 0
và (β):2x + y + z + 10 = 0.

10. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
100
Bài 7. Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4).
Tính kho ng cách t D(−1; 5; 0) n (ABC)
12.2. Tìm i m bi t kho ng cách cho trư c:
Bài 1. Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0.
Tìm M∈Oy sao cho kho ng cách t M n (α) b ng 4.
Bài 2. Cho A(1;−2; 0). Tìm M∈Oz sao cho kho ng cách t M n
(α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 b ng MA.
Bài 3. Cho (α): x + y + z + 5 = 0.
Tìm M∈(∆):
2 1 0
2 3 0
x y z
x y z
+ + − =

+ + + =
sao cho ( )( ), 3d M α = .
Bài 4. Cho (α): 12x – 16y + 15z + 1 = 0 và (β): 2x + 2y – z – 1 = 0.
Tìm M∈Ox cách u (α) và (β)
12.3. Các bài toán v t ng, hi u kho ng cách l n nh t, nh nh t:
a. D ng 1: Cho 2 i m ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , ; , ,A x y z B x y z .
Tìm M∈(P): 0ax by cz d+ + + = (MA + MB) min.
Phương pháp: Xác nh v trí tương i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng
cách tính các i lư ng: 1 1 1 2 2 2;A Bt ax by cz d t ax by cz d= + + + = + + +
N u 0A Bt t < ⇔ A, B khác phía i v i (P). G i M0 ≡ (AB)∩ (P), khi ó
MA + MB ≥ AB = M0A + M0B.
N u 0A Bt t > ⇔ A, B cùng phía i v i (P). L y A1 i x ng A qua (P).
G i M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi ó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B = M0A1 + M0B.
b. D ng 2: Cho 2 i m ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , ; , ,A x y z B x y z .
Tìm M∈(P): 0ax by cz d+ + + = |MA – MB| max.
Phương pháp: Xác nh v trí tương i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng
cách tính các i lư ng: 1 1 1 2 2 2;A Bt ax by cz d t ax by cz d= + + + = + + +
N u 0A Bt t > ⇔ A, B cùng phía i v i (P). G i M0 ≡ (AB)∩ (P), khi ó
|MA – MB| ≤ AB = | M0A – M0B|.
N u 0A Bt t < ⇔ A, B khác phía i v i (P) L y A1 i x ng A qua (P).
G i M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi ó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B|

11. Phương trình ư ng th ng trong không gian
101
b. D ng 3: Cho 2 i m ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , ; , ,A x y z B x y z .
Tìm M∈(∆) cho trư c sao cho (MA + MB) min.
Phương pháp: Xác nh t a các i m A’, B’ là hình chi u tương ng c a
các i m A, B lên (∆). G i M0 là i m chia o n A’B’ theo t s
0
0
' '
' '
M A AA
k
M B BB
= = − . Ta ch ng minh MA + MB ≥ M0A + M0B
Th t v y, g i A1∈(P) = ((∆), B) sao cho A1 khác phía B so v i (∆) và th a mãn
( )
1
1
' '
'
A A AA
A A
=

⊥ ∆
⇒ 01
1 0
M AA A
B B M B
′′
=
′ ′
⇒ A1, M0 ,B th ng hàng
⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B = M0A1 + M0B = M0A + M0B
Bài 1. Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3).
Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 (MA + MB) min;|MA – MB| max.
Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5).
Tìm M∈ m t ph ng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max.
Bài 3. Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3).
Tìm M∈ ( ): 2 4 0P x y z− + − = (MA + MB) min; |MA – MB| max.
Bài 4. Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4).
Tìm M∈ ( ): 2 2 9 0P x y z− + − = (MA + MB) min; |MA – MB| max.
Bài 5. Cho A(1; 2;−1), ( )2 2;2; 3B − − .
Tìm M∈ ( )
3 0
:
5 0
x y z
y z
+ + − =
∆ 
+ − =
sao cho (MA + MB) min.
Bài 6. Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4).
Tìm M∈ ( ) 11 2:
1 1 2
yx z−+ +∆ = =
−
sao cho (MA + MB) min.
Bài 7. Cho
( )
( )
1;2; 1
7; 2;3
A
B
 −

−
Tìm M∈ ( ) 21 2:
3 2 2
yx z−+ −∆ = =
−
sao cho (MA + MB) min.
Bài 8. Cho A(2; 3; 0) và ( )0; 2;0B − .
Tìm M∈ ( )
2 0
:
2 0
x y z
x y z
+ + − =
∆ 
− + − =
sao cho (MA + MB) min.

12. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
102
13. D ng 13: Các bài toán v góc
Bài 1. Xác nh góc gi a 2 m t ph ng ( ) ( )1 2: 2 4 0, :2 1 0P x y z P x y z+ + + = + + + =
Bài 2. Cho t di n ABCD v i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1).
Tính góc c a m i c p c nh i c a ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)).
Bài 3. Cho ( )1 :3 2 0P x y z− − + = , ( )2 : 2 3 0P x y z+ + − = ,
( )3 : 3 2 1 0P x y z− + − + = . G i (∆) là giao tuy n c a (P1) và (P2).
Tính góc gi a (∆) v i giao tuy n c a (P1), (P3) và v i m t ph ng (P3).
Bài 4. Cho ( )1
3 1 0
:
3 5 0
x y
z y
− − =
∆ 
− − =
và ( )2
2
: 1
1
x t
y
z mt
= +

∆ = −
 = +
. Tìm m :
a. Góc gi a (∆1) và (∆2) b ng 45° b. Góc gi a (∆1) và (∆2) b ng 60°.
Khi ó tính góc gi a (P) v i (∆2) bi t r ng (P) ⊥ (∆1).
Bài 5. Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), ( )1D ; 1;0
2
− − .
a. Tính góc gi a ((ABC); (ABD))
b. Tính góc và kho ng cách gi a 2 ư ng th ng (AD) và (BC).
14. Bài m u. Trong h Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( ) 21:
1 1 2
yx zd
+− = =
−
1. Tìm t a i m M thu c ư ng th ng (d) sao cho:
a) MA MB+ nh nh t; b) 2 2
MA MB+ nh nh t;
c) MA MB+ nh nh t d) Di n tích tam giác AMB nh nh t
2. VPT m t ph ng (P) ch a (d) sao cho kho ng cách t A n (P) là l n nh t.
3. VPT m t ph ng (Q) ch a (d) và t o v i m t ph ng (xOy) m t góc nh nh t.
4. VPT m t ph ng (R) ch a ư ng th ng (d) và t o v i tr c Oy góc l n nh t.
5. Trong s các ư ng th ng i qua A và c t ư ng th ng (d), vi t phương
trình các ư ng th ng sao cho kho ng cách t B n nó là l n nh t? nh nh t?
Gi i
1. ( )1 ; 2 ; 2M t t t d− − + ∈ ⇒ ( ) ( ); 6 ; 2 2 , 2 ;4 ; 4 2MA t t t MB t t t= − − = − + − −
a. ( )2 2 ; 10 2 ; 6 4MA MB t t t+ = − + − − . Suy ra ( )2
24 2 44MA MB t+ = − +
Do ó MA MB+ nh nh t khi t = 2 và lúc ó ( )1; 0; 4M −

13. Phương trình ư ng th ng trong không gian
103
b. Ta có 2 2
MA MB+ = ( )22
12 48 76 12 2 28t t t− + = − +
V y 2 2
MA MB+ nh nh t khi 2t = và khi ó ( )1; 0; 4M −
c. Ta s xác nh hình chi u 1 1,A B c a hai i m A, B lên ư ng th ng (d)
( ) ( )2 2
1
5 102 12 3 10 20 min ; ;
3 3 3 3
MA t t t M A= − + ⇔ = ⇔ ≡ − − v i ( )1AA d⊥
( ) ( )2 2
1
7 4 1 142 3 14 18 min ; ;
3 3 3 3
MB t t t M B= − + ⇔ = ⇔ ≡ − v i ( )1BB d⊥
1 1
1 1210 ; 30
3 3
AA BB= = . i m M c n tìm là i m chia o n 1 1A B theo t
s
1
1
7
AA
k
BB
= − = − nên t a c a M là
( )
( ) ( )
2 1 2 7 10 14 71; ;
33 1 7 3 1 7
 − + −
−  + + 
d. ( ) ( ) ( ); 6 ; 2 2 ; 2; 2; 2 ; ; 6 16; 2 4; 4 12AM t t t AB AM AB t t t − − + − + − − = − − + − 
( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1; 6 16 2 4 4 12 56 304 416
2 2 2AMBS AM AB t t t t t = = − + − + + − = − + 
D th y AMBS nh nh t khi 304 19
112 7
t = = , khi ó ( )5 3812 ; ;
7 7 7
M − .
2. PT t ng quát c a (d) là
1 0
2 4 0
x y
y z
+ + =

− + =
. Vì m t ph ng (P) ch a ư ng th ng
(d) nên (P) có phương trình ( ) ( )1 2 4 0a x y b y z+ + + − + = v i 2 2
0a b+ ≠
• N u 0a = thì (P): 2 4 0y z− + = . Khi ó ( )( )
( )22
2.4 2 4 10; 2 5
52 1
d A P
− +
= = =
+ −
• N u 0a ≠ thì có th gi s 1a = . Khi ó ( ) ( ): 1 2 1 4 0P x b y bz b+ + − + + = .
Suy ra ( )( )
2
2 5 3
;
5 4 2
b
d A P
b b
+
=
+ +
. Xét hàm s ( ) ( )2
2
5 3
5 4 2
b
f b
b b
+
=
+ +
.
Ta có ( )
( )
2
22
50 10 24 340
5 55 4 2
b bf b b b
b b
− + +′ = = ⇔ = ∨ = −
+ +
Do ( ) ( ) ( )35 34 ; 0 ; lim 5
5 6 5 b
f f f b
→∞
= − = = nên ( )( );d A P l n nh t b ng 352
6
.
K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta có ( )( ) 35Max ; 2
6
d A P = khi 4
5
b = , lúc ó
phương trình (P) có d ng 13 4 21 0
5 5 5
x y z+ − + = , hay ( ):5 13 4 21 0P x y z+ − + =
3. Do (Q) ch a (d) nên PT (Q): ( ) ( )1 2 4 0a x y b y z+ + + − + = v i 2 2
0a b+ ≠ .
M t ph ng (xOy) có phương trình 0z =

14. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
104
• N u 0a = thì (Q): 2 4 0y z− + = và khi ó 1cos
5
α = .
• N u 0a ≠ ta có th gi s 1a = . Khi ó (Q): ( )1 2 1 4 0x b y bz b+ + − + + = .
T ó
2
cos
5 4 2
b
b b
α =
+ +
. Xét hàm s ( )
2
2
2
cos
5 4 2
bg b
b b
= = α
+ +
.
Ta có ( )
( )
2
22
4 4 0 0 1
5 4 2
b bg b b b
b b
+′ = = ⇔ = ∨ = −
+ +
Do ( ) ( ) ( )1 10 0; 1 ; lim
3 5b
g g g b
→∞
= − = = nên cosα l n nh t b ng 1
3
khi 1b = −
K t lu n: So sánh hai trư ng h p trên ta th y cosα l n nh t hay (Q) t o v i
m t ph ng (xOy) góc nh nh t khi 1b = − . Lúc ó (Q) 3 0x y z− + − =
4. PT (R): ( ) ( )1 2 4 0a x y b y z+ + + − + = . Tr c Oz có VTCP là ( )0; 1; 0v
N u 0a = thì (R): 2 4 0y z− + = thì β = ((Q), Oy) th a mãn 2sin
5
β = .
N u 0a ≠ ta có th gi s 1a = . Khi ó (R): ( )1 2 1 4 0x b y bz b+ + − + + =
Khi ó
2
1 2
sin
5 4 2
b
b b
+
β =
+ +
. Xét hàm s ( )
2
2
2
4 4 1 sin
5 4 2
b bh b
b b
+ += = β
+ +
.
Ta có ( )
( )
2
22
4 6 4 10 2
25 4 2
b bh b b b
b b
− + +′ = = ⇔ = ∨ = −
+ +
.
Do ( ) ( ) ( )5 1 42 ; 0 ; lim
6 2 5b
h h h b
→±∞
= − = = nên sinβ l n nh t b ng 5
6
, khi 2b = .
K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta th y sinβ l n nh t khi 2b = . Khi ó m t
ph ng (R) có phương trình 5 2 9 0x y z+ − + = .
5. Gi s 2d là ư ng th ng b t kì i qua A và c t d t i ( )1 ; 2 ; 2M t t t− − + .
Khi ó ( )
2 2
2 22
; 56 304 416 28 152 208;
3 10 206 20 40
AM AB t t t td B d
t tAM t t
   − + − += = =
− +− +
Xét ( )
2
2
28 152 208
3 10 20
t tu t
t t
− +=
− +
. Ta có ( )
( )
( )
2
22
16 11 8 60
0 2
3 10 20
t t
u t t
t t
− −′ = = ⇔ = −
− +
; 30
11
t = .
Do ( ) ( ) ( )30 2842 48; ; lim
11 35 3b
u u u t
→∞
− = = = nên kho ng cách t B n 2d l n
nh t b ng 48 khi 2t = − và nh nh t b ng 4
35
khi 30
11
t = . Khi ó 2d tương ng
có phương trình là 2
41 2:
1 4 3
yx zd
−− −= =
− −
và 2
41 2:
15 18 19
yx zd
−− −= =
−