Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu

Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
B T ð NG TH C
I. LÝ THUY T
1. ð nh nghĩa :
Cho a ; b ∈R. M nh ñ “ a > b” ; “a ≥ b” ; “a < b” ; “ a ≤ b” g i là b t ñ ng th c
2.Tính ch t :
* a b> và b c a c> ⇒ >
* a b a c b c> ⇔ + > +
* a b> và c d a c b d> ⇒ + > +
*
khi 0
khi 0
ac bc c
a b
ac bc c
> >
> ⇒ 
< <
* 0a b a b> ≥ ⇒ >
* 2 2
0a b a b≥ ≥ ⇔ ≥
* 0 n n
a b a b> ≥ ⇒ >
3. B t ñ ng th c v giá tr tuy t ñ i
* | |x a a x a< ⇔ − < < ( V i 0a > )
* | |
x a
x a
x a
>
> ⇔  < −
( V i a > 0)
4. B t ñ ng th c gi a trung bình c ng và trung bình nhân ( Bñt Cauchy)
a) Cho , 0a b ≥ , ta có
2
a b
ab
+
≥ . D u ‘=’ x y ra khi và ch khi a = b
H qu :*. Hai s dương có t ng không ñ i thì tích l n nh t khi 2 s ñó b ng nhau
*. Hai s dương có tích không ñ i thì t ng nh nh t khi 2 s ñó b ng nhau
b) Cho , , 0a b c ≥ , ta có 3
3
a b c
abc
+ +
≥ . D u ‘=’ x y ra khi và ch khi a = b = c
5. Phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c
I. Phương pháp bi n ñ i tương ñương
ð ch ng minh BðT d ng A B≥ ta thư ng dùng các cách sau :
Cách 1 : Ta ch ng minh 0A B− ≥ . ð là ñi u này ta thư ng s d ng các h ng ñ ng
th c ñ phân tích A B− thành t ng ho c tích c a nh ng bi u th c không âm.
Chú ý : M t s k t qu ta thư ng hay s d ng
* 2
0x x≥ ∀ và 2
0 0x x= ⇔ = ; | | 0x x≥ ∀ và | | 0 0x x= ⇔ =
* 2 2 2
0a b c+ + ≥ . ð ng th c x y ra 0a b c⇔ = = = .
Ví d 1 : Cho hai s th c ,a b. Ch ng minh r ng : 2 2
2a b ab+ ≥ .
Gi i : Ta có 2 2 2 2 2
2 ( ) 0 2a b ab a b a b ab+ − = − ≥ ⇒ + ≥ . ð ng th c có a b⇔ = .
Ví d 2 : Cho ba s th c , ,a b c. Ch ng minh r ng : 2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + + (I).
Gi i : Ta có : 2 2 2
( )a b c ab bc ca+ + − + + =
2 2 2 2 2 21 1 1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
2 2 2
a ab b b bc c c ca a= − + + − + + − +

2 2 2 2 2 21
( ) ( ) ( ) 0
2
a b b c c a a b c ab bc ca= − + − + − ≥ ⇒ + + ≥ + +
ð ng th c x y ra a b c⇔ = = .
Ví d 3 : Cho 5 s th c , , , ,a b c d e. Cmr : 2 2 2 2 2
( )a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + .
Gi i :
Ta có : 2 2 2 2 2
( )a b c d e a b c d e+ + + + − + + + =
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4
a a a a
ab b ac c ad d ae e= − + + − + + − + + − +
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2 2 2 2
a a a a
b c d e= − + − + − + − ≥ ⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra
2
a
b c d e⇔ = = = = .
Nh n xét :
1) BðT Ví d 3 cũng ñúng v i n s th c 1 5n≤ ≤ , còn 6n ≥ thì không còn ñúng
n a, t c là BðT 2 2 2
1 2 1 1 1... ( ... ... )n i i i na a a a a a a a− ++ + + ≥ + + + + + ñúng v i n s
th c 5n⇔ ≤ .
2) S d ng hàng ñ ng th c 2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + thì ta có th
vi t BðT (1) dư i các d ng sau :
2 2 2 2
( ) 3( ) (II)
3( ) ( ) (III)
a b c ab bc ca
a b c a b c
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +
.
Các BðT (I), (II), (III) có nhi u ng d ng trong ch ng minh BðT, ta xét các bài toán
sau :
Bài toán 1.2 : Cho ba s th c dương , ,a b c. Ch ng minh BðT sau
3 3 3
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + + (1) (Vô d ch Toán Canaña 2002)
Gi i : BðT (1) 4 4 4
( )a b c abc a b c⇔ + + ≥ + + (2)
Áp d ng (I) hai l n ta có :
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c a b c a b b c c a ab bc ca+ + = + + ≥ + + = + + ≥
. . . ( )ab bc bc ca ca ab abc a b c≥ + + = + + ⇒ ñpcm.
Nh n xét : * N u ta cho 1abc = thì (2) tr thành : 4 4 4
a b c a b c+ + ≥ + + ñây là bài
toán 3 ñ thi HSG t nh ð ng Nai l p 11 năm 2005.
* N u ta cho 1a b c+ + = thì (2) tr thành : 4 4 4
a b c abc+ + ≥
Bài toán 2.2 : Cho các s th c dương , , 0x y z > có t ng b ng 1. Ch ng minh r ng
4 1 4 1 4 1 21x y z+ + + + + ≤ .
Gi i : Áp d ng BðT (III) v i 4 1, 4 1, 4 1a x b y c z= + = = = + ta có
2 2 2
3( ) 3(4 1 4 1 4 1) 21VT a b c a b c x y z= + + ≤ + + = + + + + + =
ð ng th c x y ra
1
3
x y z⇔ = = = .

Bài toán 3.2: G i p là chu vi tam giác ABC. Cmr :
3p a p b p c p− + − + − ≤ .
Gi i : Áp d ng BðT (III) ta có :
3( ) 3VT p a p b p c p≤ − + − + − = ñpcm. ð ng th c có khi ABC∆ ñ u.
Ví d 4 : Cho , 0a b ≥ . Ch ng minh r ng : 3 3 2 2
a b a b b a+ ≥ + .
Gi i : Ta có :
3 3 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0a b a b b a a a b b b a a b a b a b a b+ − − = − + − = − − = − + ≥
3 3 2 2
a b a b b a⇒ + ≥ + . ð ng th c x y ra khi a b= .
Nh n xét : * Qua ch ng minh trên ta th y ch c n ñi u ki n 0a b+ ≥ thì BðT luôn
ñúng và ta còn có k t qu t ng quát như sau : m n m n m n n m
a b a b a b+ +
+ ≥ + .
* S d ng k t qu bài toán trên ta có th gi i quy t ñư c m t s bài toán sau :
Bài toán 1.4 : Cho , , 0a b c ≥ . Ch ng minh r ng :
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
+ + ≤
+ + + + + +
.
Gi i :
Theo bài toán trên ta có : 3 3 2 2
( )a b a b b a ab a b+ ≥ + = +
3 3
3 3
1 1
( )
( ) ( )
c
a b abc ab a b c
ab a b c abc a b ca b abc
⇒ + + ≥ + + ⇒ ≤ =
+ + + ++ +
Tương t : 3 3 3 3
1 1
;
( ) ( )
a b
abc a b c abc a b cb c abc c a abc
≤ ≤
+ + + ++ + + +
C ng ba BðT trên l i v i nhau ta có ñpcm.
Sau ñây ta xét bài toán ñư c gi i thi u trong kì thi IMO năm 1995.
Bài toán 2.4 : Cho , , 0a b c ≥ và 1abc = . Ch ng minh r ng :
5 5 5 5 5 5
1
ab bc ca
a b ab b c bc c a ac
+ + ≤
+ + + + + +
.
Gi i : Ta có : 5 5 3 2 3 2 2 2 5 5
( )
a b c
a b a b b a a b a b a b ab ab
c
+ +
+ ≥ + = + ⇒ + + ≥
5 5
ab ab c
a b c a b ca b ab ab
c
⇒ ≤ =
+ + + ++ +
.
Tương t : 5 5 5 5
;
bc a ca b
a b c a b cb c bc c a ac
≤ ≤
+ + + ++ + + +
C ng ba BðT này l i v i nhau ta có ñpcm.
Bài toán 3.4 : Cho 0a b+ ≥ . Ch ng minh :
2 2 2
m n m n m m n n
a b a b a b+ +
+ + +
≥
Gi i :
Ta có BðT 2( ) ( )( )m n m n m m n n m n m n m n n m
a b a b a b a b a b a b+ + + +
⇔ + ≥ + + ⇔ + ≥ +
ðây chính là BðT trong nh n xét trên.

Bài toán 4.4 : Cho các s th c a,b. Ch ng minh r ng :
2 2 8 8 10 10 20 20
( )( )( ) 4( )a b a b a b a b+ + + ≤ + .
Gi i : ð t 2 2
, , 0x a y b x y= = ⇒ ≥ và BðT tr thành :
4 4 5 5 10 10
( )( )( ) 4( )x y x y x y x y+ + + ≤ +
Áp d ng bài toán 3 ta có :
4 4 5 5 5 5 5 5 10 10
2 2 2 2 2 2
x y x y x y x y x y x y+ + + + + +
≤ ≤ ⇒ ñpcm.
Bài toán 5.4 : Cho 0a b+ ≥ .Ch ng minh r ng : ( )
2 2
n n
na b a b+ +
≥ .
Gi i : Áp d ng k t qu bài toán 3 ta có :
2 2 1 1
1
. ... . ... ...
2 2 2 2 2 2 2 2 2
n n n n
n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b− −
−
+ + + + + + + + +
≤ ≤ ≤ ≤
laàn laàn
( )
2 2
n n
na b a b+ +
⇒ ≤ ñpcm.
Ví d 5 : Cho 1ab ≥ . Ch ng minh r ng : 2 2
1 1 2
11 1 aba b
+ ≥
++ +
.
Gi i : Ta có 2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 2
( ) ( )
1 1 11 1 1 1ab ab aba b a b
+ − = − + −
+ + ++ + + +
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) .
1 1( 1)(1 ) ( 1)(1 ) 1 1 (1 )(1 )
ab a ab b a b b a a b b a a b b a
ab aba ab b ab b a b a
− − − − − + −
= + = − =
+ ++ + + + + + + +
2
2 2 2 2
( )( 1) ( ) ( 1)
0
1 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
a b a b ab a b ab
ab b a ab b a
− − − − −
= = ≥
+ + + + + +
(Do 1)ab ≥ .
Nh n xét : N u 1 1ab− < ≤ thì BðT có chi u ngư c l i : 2 2
1 1 2
11 1 aba b
+ ≤
++ +
.
Ví d 6 : Cho hai s th c x,y. Ch ng minh : 2
3( 1) 1 3x y xy+ + + ≥ .
Gi i : Vì ta có : 21
( )
4
xy x y≤ + nên ta ch ng minh : 2 23
3( 1) 1 ( )
4
x y x y+ + + ≥ +
Th t v y : 2 2
(*) 12( ) 24( ) 16 3( )x y x y x y⇔ + + + + ≥ +
2 2
9( ) 24( ) 16 0 (3 3 4) 0x y x y x y⇔ + + + + ≥ ⇔ + + ≥ ñpcm
ð ng th c xay ra khi :
2
3
x y= = − .

Cách 2 : Xu t phát t m t BðT ñúng ta bi n ñ i ñ n BðT c n ch ng minh
ð i v i cách này thư ng cho l i gi i không ñư c t nhiên và ta thư ng s d ng khi
các bi n có nh ng ràng bu c ñ c bi t
Ví d 1 : Cho a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác. Ch ng minh r ng :
2 2 2
2( )a b c ab bc ca+ + < + + .
Gi i : Vì a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác nên ta có :
2
a b c ac bc c+ > ⇒ + > . Tương t
2 2
;bc ba b ca cb c+ > + > c ng ba BðT này l i v i nhau ta có ñpcm
Nh n xét : * trong bài toán trên ta ñã xu t phát t BðT ñúng ñó là tính ch t v ñ
dài ba c nh c a tam giác. Sau ñó vì c n xu t hi n bình phương nên ta nhân hai v c a
BðT v i c. Tương t thì xu t phát t BðT | |a b c− < r i bình phương hai v ta cũng
có ñư c k t qu .
* N u gi thi t các bi n ( 1;1)a∈ − thì ta có : (1 ), (1 ) 0a a− + > …
Ví d 2 : Cho , , [0;1]a b c∈ . Ch ng minh : 2 2 2 2 2 2
1a b c a b b c c a+ + ≤ + + +
Gi i : Vì 2 2 2
, , [0;1] (1 )(1 )(1 ) 0a b c a b c∈ ⇒ − − − ≥
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 a b b c c a a b c a b c⇔ + + + − ≥ + + (*)
Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0;a b c a b b c c a a b b c c a≥ + + ≤ + + nên t (*) ta suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1a b c a b b c c a a b b c c a+ + ≤ + + + ≤ + + + ñpcm.
Ví d 3 : Cho các s th c a,b,c th a mãn : 2 2 2
1a b c+ + = . Ch ng minh :
2(1 ) 0a b c ab bc ca abc+ + + + + + + ≥ .
Gi i : Vì 2 2 2
1 , , [ 1;1]a b c a b c+ + = ⇒ ∈ − nên ta có :
(1 )(1 )(1 ) 0 1 0a b c a b c ab bc ca abc+ + + ≥ ⇔ + + + + + + + ≥ (*)
M t khác :
2
(1 )
0 1 0
2
a b c
a b c ab bc ca
+ + +
≥ ⇔ + + + + + + ≥ (**)
C ng (*) và (**) ta có ñpcm.
Bài t p : Ch ng minh các bñt sau:
1) 2
( )( ) ( )ax by bx ay a b xy+ + ≥ + ( v i , 0; ,a b x y R> ∈ )
2) 2 2 7 7 10 10
( )( )( ) 4( )a b a b a b a b+ + + ≤ + v i 0a b+ ≥
3) 1 1n n n n
a b a b+ +
+ ≤ + v i a+b 2≥
8)
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )( )y x z x z
x z y x z
+ + + ≤ + − v i 0z y x≥ ≥ ≥
9)
2 2 2 2
c a c b
c a c b
+ +
≥
+ +
v i 0;a b c ab> > >
10) 4
2 2
a b c b
a b c b
+ +
+ ≥
− −
v i , , 0a b c > và
1 1 2
a c b
+ =

11) 2 2 2
5a b c+ + ≤ v i [ ], , 0;2 ; 3a b c a b c∈ + + =
12) 3 2 2 3 2 2 3 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b c b c a c a b− + − + − <
13) 2 2 2 3 3 3
( ) ( ) ( )a b c b c a c a b a b c− + − + − > + +
14) 2 2 2 2 2 2
4 3 ( ) ( ) ( )a b c S a b b c c a+ + ≥ + − + − + − trong ñó a,b,c là ñ dài 3
c nh tam giác,S là di n tích.
15*) Cho 0x y z≥ ≥ ≥ . Ch ng minh:
2 2 2
2 2 2x y y z z x
x y z
z x y
+ + ≥ + + .

Phương pháp s d ng các B t ñ ng th c c ñi n
I. B t ñ ng th c Côsi
Trư c h t ta nh c l i BðT Côsi cho hai s :
ð nh lí 1: V i hai s th c không âm x,y ta có:
(1)
2
x y
xy
+
≥ .ð ng th c x y ra⇔ x=y.
Vi c ch ng minh (1) r t ñơn gi n nên tôi không ch ng minh. (1) còn có nhi u cách
bi u di n khác nhau như:
2 2
2
2 2
2
2
( )
2
( )
2
x y xy
x y
x y
x y
xy
+ ≥
+
+ ≥
+
≤
BðT Côsi cho 3 s không âm.
ð nh lí 2: V i 3 s th c không âm x, y, z ta có:
3 (2)
3
x y z
xyz
+ +
≥ . ð ng th c x y ra x y z⇔ = = .
Ch ng minh:
C1: ð t 33 3, ,x a y b z c= = = . Khi ñó (2) tr thành: 3 3 3
3a b c abc+ + ≥ (∗).
Ta có: 3 3 3 2 2 2
3 ( ) 0 , , 0a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c + + − = + + + + − − − ≥ ∀ ≥ 
C2: Vì (2) là BðT thu n nh t nên ta ch c n ch ng minh (2) v i 1x y z+ + = . Khi ñó
(2)
1
27
xyz⇔ ≤ (**)
Áp d ng BðT Côsi cho hai s ta có:
2
2 (1 )
( )
2 4
x y z
xy
+ −
≤ =
2 3 2
( 2 1) 2 ( )
4 4 4
z z z z z z f z
xyz
− + − +
⇒ ≤ = =
Ta có:
3 2 2
27 54 27 (3 1) (3 4) 4 4
( )
27 27 27
z z z z z
f z
− + − − +
= = ≤ (vì z ∈(0;1))
1
( )
27
xyz⇒ ≤ ⇒ ∗∗ ñúng ⇒ñpcm.
ð nh lí 3: Cho n s th c không âm 1 2, ,... nx x x .Ta có: 1 2
1
...
...n n
n
a a a
a a
n
+ +
≥ (3).
ð ng th c x y ra 1 2 ... na a a⇔ = = = .
M t s chú ý khi s d ng b t ñ ng th c côsi:
*Khi áp d ng bñt côsi thì các s ph i là nh ng s không âm
*BðT côsi thư ng ñư c áp d ng khi trong bñt c n ch ng minh có t ng và tích
*ði u ki n x y ra d u ‘=’ là các s b ng nhau

Ví d 1: Cho hai s th c không âm a,b. Ch ng minh: ( )(1 ) 4a b ab ab+ + ≥ .
Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c không âm ta có:
2
(1 )(1 ) 2 .2 4
1 2
a b ab
b ab ab ab ab
ab ab
+ ≥ 
⇒ + + ≥ =
+ ≥ 
ñpcm.
ð ng th c x y ra 1a b⇔ = = .
Ví d 2: Cho , 0a b > . Ch ng minh:
1 1
( )( ) 4a b
a b
+ + ≥ .
2
1 1 1
( )( ) 2 .2 41 1 1
2
a b ab
a b ab
a b ab
a b ab
+ ≥

⇒ + + ≥ =
+ ≥ 

ñpcm.
ð ng th c x y ra a b⇔ = .
Nh n xét: BðT trên còn ñư c vi t l i như sau:
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
(I) . BðT này có
nhi u ng d ng trong ch ng minh BðT. Ta xét m t s bài toán sau:
Bài toán 2.1: Cho a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác, p là chu vi. Ch ng minh r ng:
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − −
.
Gi i: áp d ng Bñt (I) ta có:
1 1 4 4
p a p b p a p b c
+ ≥ =
− − − + −
. Tương t ta cũng có :
1 1 4 1 1 4
;
p b p c a p c p a b
+ ≥ + ≥
− − − −
. C ng ba BðT này ta có ñpcm.
Bài toán 2.2: Cho , 0a b > và 1a b+ = . Ch ng minh:
2 2
1
1 1 3
a b
a b
+ ≥
+ +
.
Gi i: Ta có:
2 2
1 1 1 1 1 1
VT 1
1 1 1 1 1 1
a b
a a b b a b
− −
= + + + = − + +
+ + + + + +
M t khác áp d ng BðT (I) ta có:
1 1 4 4
1 1 2 3a b a b
+ ≥ =
+ + + +
Do ñó:
4 1
VT 1
3 3
≥ − + = ñpcm. ð ng th c x y ra
1
2
a b⇔ = = .
Bài toán 2.3: Cho , , 0x y z > . Ch ng minh BðT sau:
1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 2 2 4x y z x y z x y z x y z
+ + ≤ + +
+ + + + + +
.
Gi i: Áp d ng BðT (I’) ta có:

1 1 1 1 1 1 2 1 1
( ) ( )
2 ( ) ( ) 4 16x y z x y x z x y x z x y z
= ≤ + ≤ + +
+ + + + + + +
Tương t :
1 1 1 2 1 1 1 1 1 2
( ); ( )
2 16 2 16x y z x y z x y z x y z
≤ + + ≤ + +
+ + + +
C ng ba BðT trên ta có ñư c ñpcm. ð ng th c x y ra x y z⇔ = = .
Bài toán 2.4: Cho các s th c dương , ,a b c. Ch ng minh r ng:
1 1 1 1 1 1
3 3 3 2 2 2a b b c c a a b c a b c a b c
+ + ≥ + +
+ + + + + + + + +
.
Gi i: Áp d ng BðT (I) ta có:
1 1 4 2
3 2 2 4 2 2a b a b c a b c a b c
+ ≥ =
+ + + + + + +
. Tương t
1 1 2 1 1 2
;
3 2 2 3 2 2b c a b c a b c c a a b c a b c
+ ≥ + ≥
+ + + + + + + + + +
C ng ba BðT trên ta có ñpcm. ð ng th c x y ra a b c⇔ = = .
Ví d 3: Cho , 0a b > . Ch ng minh: 1
(1 ) (1 ) 2n n na b
b a
+
+ + + ≥ v i *n∈ℕ .
1 2 (1 ) 2 ( )
(1 ) (1 ) 2
1 2 (1 ) 2 ( )
n n n
n n
n n n
n n n
a a a a
a b a bb b b b
b a b ab b b b
a a a a

+ ≥ ⇒ + ≥        ⇒ + + + ≥ +   
      + ≥ ⇒ + ≥ 
mà 2
n n
a b
b a
   
+ ≥   
   
nên suy ra 1
(1 ) (1 ) 2n n na b
b a
+
+ + + ≥ pcm
ð ng th c x y ra a b⇔ = .
Ví d 4: Cho , , 0x y z > . Cmr: 3 2 3 2 3 2 2 2 2
22 2 1 1 1yx z
x y y z z x x y z
+ + ≤ + +
+ + +
.
Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c dương ta có:
3 2
3 2
2 2 1
2
2
x x
x y xy x
xyxy xx y
+ ≥ ⇒ ≤ =
+
.
Tương t : 3 2 3 2
2 1 2 1 1 1 1
; VT
y z
yz zx xy yz zxy z z x
≤ ≤ ⇒ ≤ + +
+ +
.
M t khác: 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c ab bc ca
xy yz zx x y z
+ + ≥ + + ⇒ + + ≤ + +
V y : 2 2 2
1 1 1
VT
x y z
≤ + + ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra 1x y z⇔ = = = .

Ví d 5 : Cho , , 0a b c > . Ch ng minh :
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + + ≥ (II).
Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho ba s th c dương ta có :
3
3
3
3
3
1 1 1 1
( )( ) 3 .3 91 1 1 1
3
a b c abc
a b c abc
a b c abc
a b c abc
+ + ≥

⇒ + + + + ≥ =
+ + ≥ 

ñpcm.
Nh n xét : * BðT trên còn ñư c vi t l i như sau :
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
(II)
* Tương t ta có BðT t ng quát c a (I) và (II) như sau :
Cho n s th c dương 1 2, ,..., na a a khi ñó :
2
1 2 1 2
1 1 1
...
...n n
n
a a a a a a
+ + + ≥
+ + +
(III).
ð ng th c x y ra 1 2 ... na a a⇔ = = = .
Các BðT (I), (II), (III) ñư c s d ng nhi u trong các bài toán BðT. Ta xét các bài
toán sau
Bài toán 5.1 : Cho ba s th c dương , ,a b c. Cmr :
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
.
Gi i : C ng hai v c a BðT v i 3 thì BðT c n ch ng minh tr thành
9 1 1 1 9
( 1) ( 1) ( 1) ( )( )
2 2
a b c
a b c
b c c a a b a b b c c a
+ + + + + ≥ ⇔ + + + + ≥
+ + + + + +
Áp d ng BðT (II) ta có :
1 1 1 9 9
2( )a b b c c a a b b c c a a b c
+ + ≥ =
+ + + + + + + + + +
1 1 1 9 9
( )( ) ( ).
2( ) 2
a b c a b c
a b b c c a a b c
⇒ + + + + ≥ + + =
+ + + + +
ñpcm.
Nh n xét : BðT trên có tên là BðT Nesbit cho ba s . Có nhi u cách ñ ch ng minh
BðT trên sau ñây ta xét m t cách ch ng minh cho BðT trên
ð t ; ;
a b c b c a c a b
A B C
b c c a a b b c c a a b b c c a a b
= + + = + + = + +
+ + + + + + + + +
Khi ñó : 3B C+ = và
3 3
2 6
3 2
A B
A B C A
A C
+ ≥
⇒ + + ≥ ⇒ ≥
+ ≥
.
ðây là l i gi i có l là hay nh t cho bài toán này. Tuy nhiên vi c tìm ñư c l i gi i như
v y không ph i là vi c ñơn gi n.
Bài toán 5.2 : Cho , , 0a b c > và 1a b c+ + = . Cmr :
3
1 1 1 4
a b c
a b c
+ + ≤
+ + +
.
Gi i : Ta có BðT
1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 4
a b c
a b c
+ − + − + −
⇔ + + ≤
+ + +

1 1 1 3 1 1 1 9
3 ( )
1 1 1 4 1 1 1 4a b c a b c
⇔ − + + ≤ ⇔ + + ≥
+ + + + + +
.
1 1 1 9 9
1 1 1 3 4a b c a b c
+ + ≥ =
+ + + + + +
ñpcm.
ð ng th c x y ra
1
3
a b c⇔ = = = .
Bài toán 5.3 : Cho , , 0a b c > và 2 2 2
3a b c+ + = . Ch ng minh r ng
1 1 1 3
1 1 1 2ab bc ca
+ + ≥
+ + +
.
Gi i : Ta có 2 2 2
3ab bc ca a b c+ + ≤ + + = .
1 1 1 9 3
1 1 1 3 2ab bc ca ab bc ca
+ + ≥ ≥
+ + + + + +
ñpcm.
ð ng th c có
1
3
a b c⇔ = = =
Bài toán 5.4 : Cho , , 0a b c > và 1a b c+ + = . Ch ng minh r ng
2 2 2
1 1 1 1
30
ab bc caa b c
+ + + ≥
+ +
.
Gi i : Áp d ng BðT (II) ta có :
1 1 1 9
ab bc ca ab bc ca
+ + ≥
+ +
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 9
ab bc ca ab bc caa b c a b c
⇒ + + + ≥ +
+ ++ + + +
2 2 2
1 1 1 7
ab bc ca ab bc ca ab bc caa b c
= + + +
+ + + + + ++ +
M t khác : 21 1 7
( ) 21
3 3
ab bc ca a b c
ab bc ca
+ + ≤ + + = ⇒ ≥
+ +
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
9
2( )ab bc ca ab bc caa b c a b c ab bc ca
+ + ≥ =
+ + + ++ + + + + + +
Suy ra : 2 2 2
1 1 1 1
9 21 30
ab bc caa b c
+ + + ≥ + =
+ +
ñpcm.
ð ng th c x y ra
1
3
a b c⇔ = = = .
Bài toán 5.4 : Cho , , 0x y z > . CMR:
1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 2 2 4x y z x y z x y z x y z
+ + ≤ + +
+ + + + + +
.
HD: Áp d ng (III) v i n=4 ta có:
2
1 1 1 1 4 16
2 2x x y z x y z x y z
+ + + ≥ =
+ + + +
2 1 1 16
2x y z z y z
⇒ + + ≥
+ +
.

Tương t :
2 1 1 16
2y z x x y z
+ + ≥
+ +
và
2 1 1 16
2z x y x y z
+ + ≥
+ +
C ng 3 BðT trên ta có ñpcm. ð ng th c x y ra x y z⇔ = = .
Bài toán 5.5 : Cho n s th c dương 1 2, ,..., na a a có t ng b ng 1. Ch ng minh r ng :
1 2
1 2
1 2
1 2
a) ...
2 2 2 2 1
b) ...
1 1 1 1
n
n
n
n
aa a n
a a a n
aa a n
a a a n
+ + + ≥
− − − −
+ + + ≤
+ + + +
Gi i :
a) BðT 1 2
1 2
( 1) ( 1) ... ( 1)
2 2 2 2 1
n
n
aa a n
n
a a a n
⇔ + + + + + + ≥ +
− − − −
2
1 2
1 1 1
...
2 2 2 2 1n
n
a a a n
⇔ + + + ≥
− − − −
(*)
Áp d ng BðT (III) ta có :
2 2
1 2
VT(*)
2 ( ... ) 2 1n
n n
n a a a n
≥ =
− + + + −
ñpcm.
ð ng th c x y ra 1 2
1
... na a a
n
⇔ = = = = .
b) BðT 1 2
1 2
( 1) ( 1) ... ( 1)
1 1 1 1
n
n
aa a n
n
a a a n
⇔ − + − + + − ≤ −
+ + + +
2
1 2
1 1 1
...
1 1 1 1n
n
a a a n
⇔ + + + ≥
+ + + +
(**)
Áp d ng BðT (III) ta có :
2 2
1 2
VT(**)
( ... ) 1n
n n
n a a a n
≥ =
+ + + + +
ñpcm.
ð ng th c x y ra 1 2
1
... na a a
n
⇔ = = = = .
Ví d 6 : Cho , , 0a b c > . Cmr :
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
.
Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c dương ta có :
2 2
2 .
4 4
a b c a b c
a
b c b c
+ +
+ ≥ =
+ +
. Tương t :
2 2
;
4 4
b c a c a b
b c
c a a b
+ +
+ ≥ + ≥
+ +
.
C ng ba BðT này l i v i nhau ta ñươc :
2 2 2 2 2 2
2 2
a b c a b c a b c a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + +
+ + + ≥ + + ⇒ + + ≥
+ + + + + +
Nh n xét :* Phương pháp mà chúng ta làm trong bài toán trên ngư i ta thương g i
là phương pháp tách gép c p trong BðT Côsi.

Vì sao chúng ta l i gép
2
4
a b c
b c
+
+
+
? M c ñích c a vi c làm này là làm m t các
bi n m u do v ph i c a BðT là m t bi u th c không có bi n m u. Vì sao ta l i
gép
4
b c+
mà không ph i là b c+ hay
2
b c+
… ñi u này xu t phát t ñi u ki n ñ
ñ ng th c x y ra. Vì BðT ñã cho là m t BðT ñ i x ng (T c là khi ñ i v trí hai bi n
b t kì cho nhau thì BðT không thay ñ i) nên ñ ng th c thư ng x y ra khi các bi n
b ng nhau và khi ñó
2
2
a a
b c
=
+
nên ta ph i gép v i
4
b c+
.
* N u 1abc = thì ta có : 3a b c+ + ≥ nên :
2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
.
* Phương pháp trên ñư c s d ng nhi u trong ch ng minh BðT
Ví d 7 : Cho , , 0a b c > và 1abc = . Ch ng minh r ng :
3 3 3
3
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4
a b c
a b c b a c
+ + ≥
+ + + + + +
.
Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho ba s th c dương ta có:
3 3
3
1 1 1 1 3
3
( 1)( 1) 8 8 ( 1)( 1) 8 8 4
a a b a a b
a
a b a b
+ + + +
+ + ≥ =
+ + + +
.
Tương t :
3 3
1 1 3 1 1 3
;
( 1)( 1) 8 8 4 ( 1)( 1) 8 8 4
b c b c c a
b c
c b c a
+ + + +
+ + ≥ + + ≥
+ + + +
C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c:
3
3 3 2( ) 3 2.3 3 3
VT ( ) VT
4 4 4 4 4
a b c a b c abc
a b c
+ + + + + − −
+ ≥ + + ⇒ ≥ ≥ = .
ð ng th c x y ra 1a b c⇔ = = = .
Ví d 8 : Cho , , 0a b c > . Ch ng minh r ng :
4 4 4
2 2 2 2( ) ( ) ( )
a b c a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + ≥
+ + +
.
Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho b n s th c dương ta có :
4 4
4
2 2
4. . . . 2
2 2 4 2 2 4( ) ( )
a b b c a a b b c a
a
b c a b c a
+ +
+ + + ≥ =
+ +
4
2
2
4( )
a c a
b a
b c a
+
⇒ + + ≥
+
. Tương t cũng có :
4 4
2 2
2 ; 2
4 4( ) ( )
b a b c b c
c b a c
c a b a b c
+ +
+ + ≥ + + ≥
+ +
C ng ba BðT trên l i v i nhau ta có ñpcm. ð ng th c có a b c⇔ = = .

Ví d 9 : Cho , , 0a b c > và n là m t s t nhiên dương. Ch ng minh
1 1 1
2
n n n n n n
a b c a b c
b c c a a b
− − −
+ +
+ + ≥
+ + +
.
Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho n-1 s
n
a
b c+
và 1 s
1
( )
2
n
n
b c −
+
ta có :
1
( 1) 1( ) 1
( 1) .
22 2
n n
n n nn
n n
a b c n
n n a a
b c
−
− −+
− + ≥ =
+
. Tương t :
1 1
1 1( ) ( )
( 1) ; ( 1)
2 22 2
n n n n
n n
n n
b c a n c a b n
n b n c
c a a b
− −
− −+ +
− + ≥ − + ≥
+ +
C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c :
1 1 1 1 1 11
( 1).VT [( ) ( ) ( ) ] ( )
2 2 2 2 2
n n n n n na b b c c a n
n a b c− − − − − −+ + +
− + + + ≥ + +
M t khác ta l i có :
1 1 1 1 1 1
1 1 1
( ) ; ( ) ; ( )
2 2 2 2 2 2
n n n n n n
n n na b a b b c b c c a c a− − − − − −
− − −+ + + + + +
≥ ≥ ≥
1 1 1
1 1 11
[( ) ( ) ( ) ]
2 2 2 2 2
n n n
n n na b c a b b c c a− − −
− − −+ + + + +
⇒ ≥ + +
Do ñó :
1 1 1 1 1 1
( 1)VT ( 1) VT
2 2
n n n n n n
a b c a b c
n n
− − − − − −
+ + + +
− ≥ − ⇒ ≥ ñpcm
Ví d 10 : Cho , , 0x y z ≥ và 1xyz = . Ch ng minh r ng :
3 3 3
x y z x y z+ + ≥ + + .
Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho ba s th c không âm ta có :
33 3 3
1 1 3 .1.1 3 2 3x x x x x+ + ≥ = ⇔ + ≥ .Tương t : 3 3
2 3 ; 2 3y y z y+ ≥ + ≥
C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c : 3 3 3
6 3( )x y z x y z+ + + ≥ + +
M t khác : 33 3 2( ) 6x y z xyz x y z+ + ≥ = ⇒ + + ≥ .
3 3 3 3 3 3
6 ( ) 2( )x y z x y z x y z x y z x y z⇒ + + + ≥ + + + + + ⇒ + + ≥ + + ñpcm.
ð ng th c x y ra 1x y z⇔ = = = .
Nh n xét : * Xu t phát t 3 3
x x= nên ta áp d ng BðT Côsi cho ba s có d ng
3
x a a+ + . Do ñ ng th c x y ra khi 1 1x y z a= = = ⇒ = .
* Tương t ta có bài toán t ng quát như sau :
Ví d 11 : Cho s th c không âm có tích b ng 1 1 2 3, , ,..., ka a a a . Ch ng minh
1 2 1 2... ...m m m n n n
k ka a a a a a+ + + ≥ + + + v i m n∀ ≥ .
Gi i :Áp d ng BðT Côsi cho m s , g m n s m
ia và ( )m n− s 1 ta có :

( )m mn nm
i i ina m n m a ma+ − ≥ = Cho i=1,2,…,k r i l y t ng hai v ta ñư c:
1 2 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ... ) ( )( ... )m m m n n n n n n
k k kn a a a k m n n a a a m n a a a+ + + + − ≥ + + + + − + + +
Mà: 1 2 1 2 1 2... ... ( )( ... ) ( )n n n n n n n n nk
k k ka a a k a a a k m n a a a m n k+ + + ≥ = ⇒ − + + + ≥ −
1 2 1 2( ... ) ( ... )m m m n n n
k kn a a a n a a a⇒ + + + ≥ + + +
1 2 1 2... ...m m m n n n
k ka a a a a a⇔ + + + ≥ + + + ñpcm.
ð ng th c x y ra 1 2 ... 1ka a a⇔ = = = = .
Ví d 11 : Cho , , 0 & 1x y z x y z> + + = . Ch ng minh r ng :
4 4 41 1 1
(1 ) (1 ) (1 ) 768
x y z
+ + + + + ≥ .
Gi i : ð t
1 1 1
1 ; 1 ; 1 12a b c a b c
x y z
= + = + = + ⇒ + + ≥
Ta có : 44 4 4 4 12 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 3.4 4 .a a a a a+ + + ≥ = ⇔ + ≥ Tương t
4 4 4 4 4 4
3.4 4 ; 3.4 4b b c c+ ≥ + ≥ c ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
9.4 4 ( ) 12.4 3.4 768a b c a b c a b c+ + + ≥ + + ≥ ⇒ + + ≥ = ñpcm
ð ng th c x y ra
1
4
3
a b c x y z⇔ = = = ⇔ = = = .
Chú ý : Ta có bài toán t ng quát sau : Cho
1
, 0, 0 1,.. ; 1
n
i i
i
a b x i n x
=
> > ∀ = =∑ . Cmr:
( )
1 2
...
mm m
m
n
b b b
a a a n a nb
x x x
    
+ + + + + + ≥ +    
     
v i m > 0.
Ví d 12 : Cho , , 0a b c > và 1a b c+ + = .Ch ng minh r ng:
4 4 4 2 2 2
9( )a b c a b c+ + ≥ + + .
Gi i: Áp d ng BðT Côsi ta có:
4 21 2
81 9
a a+ ≥ ; 4 21 2
81 9
b b+ ≥ ; 4 21 2
81 9
c b+ ≥ c ng ba BðT l i v i nhau
2 2 2 2 2 2
4 4 4 1
27 9 9
a b c a b c
a b c
+ + + +
⇒ + + + ≥ + .
M t khác: 2 2 2 21 1
( )
3 3
a b c a b c+ + ≥ + + = 4 4 4 2 2 2
9( )a b c a b c⇒ + + ≥ + + ñpcm.
ð ng th c x y ra
1
3
a b c⇔ = = = .
Nh n xét : 1) Tương t ta có BðT t ng quát c a bài toán trên như sau:
"Cho k s th c không âm 1,..., ka a th a mãn 1 2 ... 1ka a a+ + + = . Ch ng minh
1 2 1... ...
"
n n n m m
k k
m n
a a a a a
n m
k k
+ + + + +
≥ ∀ ≥ .

2) T BðT t ng quát trên ta có các h qu sau
Hq1 : Cho k s th c không âm 1,..., ka a th a mãn 1 2 ... 1ka a a+ + + = . Ch ng minh
1 2 1
1
...n n n
k n
a a a
k −
+ + + ≥ .
Ch ng minh : Áp d ng BðT t ng quá trên v i 1m = ta có ñpcm
Hq2: Cho k s th c 1 2, ,..., 0ka a a > .Ch ng minh r ng:
1 1... ...
( )
n n
nk ka a a a
k k
+ + + +
≥ v i *
n N∈
Ch ng minh: ð t
1 2 ...
i
i
k
a
b
a a a
=
+ + +
v i i=1,2,3,…,k 1 2 ... 1kb b b⇒ + + + = và
BðT tr thành: 1 2 1
1
...n n n
k n
b b b
k −
+ + + ≥ ñây chính là h qu 1.
Ví d 13 : Cho , , 0a b c > . Ch ng minh r ng : ( )( )( )a b c b c a c a b abc+ − + − + − ≤ .
Gi i : Không m t tính t ng quát ta gi s a b c≥ ≥ 0a b c⇒ + − > và 0c a b+ − >
* N u 0b c a+ − < ⇒ BðT c n ch ng minh luôn ñúng.
* N u 0b c a+ − > áp d ng BðT Côsi ta có :
2 2
( )( ) ( )
2
a b c b c a
a b c b c a b
+ − + + −
+ − + − ≤ = . Tương t ta cũng có :
2 2
( )( ) ; ( )( )b c a c a b c c a b a b c a+ − + − ≤ + − + − ≤ .
Nhân ba BðT trên l i v i nhau ta có ñpcm. ð ng th c có a b c⇔ = = .
Nh n xét : S d ng bài toán trên ta có th gi i ñư c các bài toán sau ñây
Bài toán 13.1 : Cho , , 0a b c > và 1abc = . Ch ng minh r ng :
1 1 1
( 1)( 1)( 1) 1a b c
b c a
+ − + − + − ≤ .
Gi i : Vì 1abc = ⇒ t n t i các s th c , , 0x y z > sao cho : ; ;
x y z
a b c
y z x
= = =
Khi ñó BðT c n chúng minh tr thành : ( )( )( )x y z y z x z x y xyz+ − + − + − ≤
ðây chính là k t qu bài toán trên.
Bài toán 13.2 : Cho a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác. Ch ng minh r ng :
3
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ − + − + −
.
Gi i : Theo k t qu bài toán trên ta có : 1
( )( )( )
abc
a b c b c a c a b
≥
+ − + − + −
.
Áp d ng BðT Côsi cho ba s ta có :
33 3
( )( )( )
a b c abc
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
+ + ≥ ≥
+ − + − + − + − + − + −
ñpcm.

Ví d 14 : Cho , , 0a b c > và 1a b c+ + = . Ch ng minh r ng :
(1 )(1 )(1 ) 8(1 )(1 )(1 )a b c a b c+ + + ≥ − − − .
Gi i : Áp d ng BðT Côsi ta có :
2
2 22 ( ) 2 (1 ) (1 )
(1 )(1 ) ( ) ( )
2 2 4
a b c c
a b
− + − − +
− − ≤ = = . Tương t
2 2
(1 ) (1 )
(1 )(1 ) ; (1 )(1 )
4 4
a b
b c c a
+ +
− − ≤ − − ≤ Nhân ba BðT l i v i nhau ta có
ñpcm. ð ng th c x y ra
1
3
a b c⇔ = = = .
Ví d 15 : Cho , , 0a b c > và a b c abc+ + = . Ch ng minh r ng :
3 3 3
1
a b c
b c a
+ + ≥ .
Gi i : BðT c n ch ng minh tương ñương v i:
2 2 2
2 2 2
a c b a c b
a b c
b c a
+ + ≥ + + (*)
Áp d ng BðT Côsi ta có :
2 2 2 2
3
2 2 2 2
3. . . 3
a c b a a c b a
c c a
b c b c
+ + ≥ =
Tương t :
2 2 2 2
2 2 2 2
3 ; 3
b a c b c b a c
a b b c
c a a b
+ + ≥ + + ≥ . C ng ba BðT trên ta có ñư c
BðT (*) ⇒ñpcm. ð ng th c x y ra
1
3
a b c⇔ = = = .
Ví d 16 : Cho các s th c dương , ,x y z . Ch ng minh r ng :
2 2 2
1
8 8 8
x y z
x yz y zx z xy
+ + ≥
+ + +
.
Gi i : ð t ; ;
x y z
a b c
x y z x y z x y z
= = = ⇒
+ + + + + +
1a b c+ + = và BðT ñã cho
tr thành :
2 2 2
1
8 8 8
a b c
P
a bc b ca c ab
= + + ≥
+ + +
Áp d ng BðT Côsi ta có :
2 2
2 2 2
2
( 8 ) 3 ( 8 ) 3
8 8 8
a a a
a a bc a a a bc a
a bc a bc a bc
+ + + ≥ ⇔ + + ≥
+ + +
.
Tương t : 2 2
2 2
2 2
( 8 ) 3 ; ( 8 ) 3
8 8
b c
b b ca b c c ab c
b ca c ab
+ + ≥ + + ≥
+ +
C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c : 3 3 3
2 24 3P a b c abc+ + + + ≥
M t khác ta l i có :
3 3 3 3 3 3 3
1 ( ) 3( )( )( ) 24a b c a b c a b b c c a a b c abc= + + = + + + + + + ≥ + + + .
3 3 3
2 3 ( 24 ) 3 1 2 1P a b c abc P⇒ ≥ − + + + ≥ − = ⇒ ≥ ñpcm.

ð ng th c x y ra
1
.
3
a b c x y z⇔ = = = ⇔ = =
Nh n xét : 1) BðT trên có nhi u cách ch ng minh, ngoài cách ch ng minh trên còn
có nh ng cách ch ng minh khác cũng dùng BðT Côsi.
C2 : ð t 2 2 2
; ; 1
yz zx xy
a b c xyz
x y z
= = = ⇒ = và BðT c n ch ng minh tr thành :
1 1 1
1
1 8 1 8 1 8a b c
+ + ≥ ⇔
+ + +
(1 8 )(1 8 ) (1 8 )(1 8 ) (1 8 )(1 8 ) (1 8 )(1 8 )(1 8 )a b b c c a a b c+ + + + + + + + ≥ + + +
Bình phương hai v và rút g n ta ñư c :
8( ) 2 (1 8 )(1 8 )(1 8 )( 1 8 1 8 1 8 ) 510a b c a b c a b c+ + + + + + + + + + + ≥ (*)
Ta có : 3
3 3a b c abc+ + ≥ = và 3ab bc ca+ + ≥
(1 8 )(1 8 )(1 8 ) 1 8( ) 64( ) 512 729a b c a b c ab bc ca⇒ + + + = + + + + + + + ≥
61 8 1 8 1 8 3 (1 8 )(1 8 )(1 8 ) 9a b c a b c⇒ + + + + + ≥ + + + ≥
(*) 8.3 2.27.9 510 (*)VT⇒ ≥ + = ⇒ ñúng ⇒ñpcm.
ð ng th c x y ra 1a b c x y z⇔ = = = ⇔ = = .
2) T cách gi i trên ta có th t ng quát bài toán trên như sau :
" Cho các s th c dương , ,x y z và s th c 8λ ≥ . Ch ng minh r ng :
2 2 2
3
1
x y z
x yz y zx z xy λλ λ λ
+ + ≥
++ + +
. "

Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu

Similar to Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu (20)

More from Tam Vu Minh

More from Tam Vu Minh (20)

Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu