Materi statistik 2013 tbi pba.doc

2,254 views
2,057 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
2,254
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
45
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Materi statistik 2013 tbi pba.doc

  1. 1. I. IDENTITAS Mata Kuliah : Statistik Kode Mata Kuliah : TBI.430.2/PBA.429.2 Jurusan/Prodi : Tarbiyah/TBI/PBA Bobot : 2/3 SKS II. TUJUAN Agar mahasiswa memiliki pengertian dasar tentang statistik, baik statistik deskriptif maupun statistik inferensial, serta mampu menerapkan konsep-konsep statistik dalam bidang penelitian pendidikan, evaluasi pendidikan, dan administrasi pendidikan. III. TOPIK INTI 1. Pengertian dan Penggolongan Statistik 2. Fungsi dan Kegunaan Statistik 3. Ciri Khas Statistik 4. Pengertian, Penggolongan dan Sifat-sifat Data Statistik 5. Teknik Pengumpulan dan Instrumen Data Statistik 6. Pengertian dan Macam-macam Teknik Analisa Data Statistik 7. Teknik Analisa Data Statistik dengan Mendasarkan Diri pada Distribusi Frekuensi 8. Pengertian, Penggolongan dan Cara Pembuatan Tabel Distribusi 9. Cara Menghitung Mean, Median dan Modus 10. Cara Mencari Range dan Deviasi 11. Teknik Analisis Korelasi Bivariat 12. Teknik Analisis Komparasi Bivariat
  2. 2. STATISTIK A. Pendahuluan Disadari atau tidak, statistik telah banyak digunakan dalam: 1) Kehidupan sehari-hari misalnya pernyataan-pernyataan seperti tiap bulan habis Rp. 50.000,- untuk keperluan rumah tangga, ada 60% penduduk yang memerlukan perumahan, setiap hari terjadi 13 kecelakaan kendaraan di Palangka Raya dsb. 2) Pemerintahan menggunakan statistik untuk menilai hasil pembangunan masa lalu dan juga untuk membuat rencana masa datang. 3) Pemimpin mengambil manfaat dari kegunaan statistik untuk melakukan tindakantindakan yang perlu dalam menjalankan tugasnya diantaranya, perlukah mengangkat pegawai baru, sudah waktunya untuk membeli mesin baru, bermanfaatkah kalau pegawai ditatar dan lain sebagainya. 4) Penelitian atau riset dimanapun dilakukan bukan saja telah mendapat manfaat yang baik dari statistik tetapi sering harus menggunakan untuk mengetahui apakah cara yang baru ditemukan lebih baik daripada cara lama baik melalui riset yang dilakukan di laboratorium atau di lapangan. Dari uraian diatas hendaknya cukup dapat memberikan gambaran bahwa statistik sebenarnya diperlukan, minimal penggunaan metodenya. Sesungguhnya statistik sangat diperlukan bukan saja dalam penelitian atau riset, tetapi juga dalam bidang pengetahuan lainnya seperti teknik, industri, ekonomi, astronomi, biologi, kedokteran, asuransi, pertanian, perniagaan, psikologi dll. B. Pengertian Statistik Antara lain adalah: 1) Kata statistik untuk menyatakan kumpulan data, bilangan maupun non-bilangan yang disusun dalam tabel atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan. Misalnya: statistik penduduk, statistik kelahiran, statistik pendidikan, statistik produksi, statistik pertanian, statistik kesehatan dll. 2) Kata statistik untuk menyatakan ukuran sebagai wakil dari kumpulan data mengenai sesuatu hal. Misalnya: persentase dan rata-rata. Contoh: Jika kita teliti 20 pegawai dan dicatat gajinya setiap bulan lalu dihitung rata-rata gajinya misalnya Rp. 87.500,- maka rata-rata Rp. 87.500,- ini dinamakan statistik. Demikian pula, jika dari kedua puluh
  3. 3. pegawai itu ada 40% yang gajinya tiap bulan kurang dari Rp. 60.000,- maka nilai 40% ini dinamakan statistik. 3) Statistik mengandung pengertian sebagai “data statistik”, yaitu kumpulan bahan keterangan yang berupa angka atau bilangan, atau dengan istilah lain “statiastik” adalah deretan atau kumpulan angka yang menunjukkan keterangan mengenai cabang kegiatan hidup tertentu. Misalnya; statistik penduduk, statistik kelahiran, statistik pendidikan, statistik produksi, statistik pertanian, statistik kesehatan dll. 4) Statistik mengandung pengertian sebagai “kegiatan statistik” atau “kegiatan perstatistikan”, atau “kegiatan penstastiktikan”. Kegiatan statistik mencakup 4 hal yaitu; 1) pengumpulan data (data collecting atau collection of data), 2) penyusunan data (summarizing), 3) pengumuman dan pelaporan data (tabulation and report). Dan 4) analisa data (data analyzing atau analysis of data). 5) Statistik mengandung pengertian sebagai “metode statistik”, yaitu cara-cara tertentu yang perlu ditempuh dalam rangka mengumpulkan, menyusun atau mengatur, menyajikan, menganalisa dan memberikan interpretasi terhadap sekumpulan bahan keterangan yang berupa angka, sedemikian rupa sehingga kumpulan bahan keterangan yang berupa angka itu “dapat berbicara” atau dapat memberikan pengertian dan makna tertentu. 6) Statistik dewasa ini juga dapat diberi pengertian sebagai “ilmu statistik”. Ilmu statistik tidak lain adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari dan memperkembangkan secara ilmiah tahap-tahap yang ada dalam kegiatan statistik. Dengan ungkapan lain, ilmu statistik adalah ilmu pengetahuan yang membahas (mempelajari) dan memperkembangkan prinsip-prinsip, metode dan prosedur yang perlu ditempuh atau dipergunakan dalam rangka; 1) pengumpulan data angka, 2) penyusunan atau pengaturan data angka, 3) penyajian atau penggambaran atau pelukisan data angka, 4) penganalisaan terhadap data angka, dan 5) penarikan kesimpulan (conclusion), pembuatan perkiraan (estimation), serta penyusunan ramalan (prediction) secara ilmiah (dalam hal ini secara matematik) atas dasar kumpulan data angka tersebut. Jadi, statistik adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisaannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan.
  4. 4. C. Pengertian Statistik Pendidikan Kata “Statistik” dalam istilah “statistik pendidikan’ adalah statistik dalam pengertian sebagai ilmu pengetahuan, yaitu ilmu pengetahuan yang membahas atau mempelajari dan memperkembangkan prinsip-prinsip, metode dan prosedur yang perlu ditempuh atau dipergunakan, dalam rangka pengumpulan, penyusunan, penyajian, penganalisaan bahan keterangan yang berwujud angka mengenai hal-hal yang berkaitan dengan pendidikan (khususnya proses belajar-mengajar) dan penarikan kesimpulan, pembuatan perkiraan serta ramalan secara ilmiah (dalam hal ini secara matematik) atas dasar kumpulan bahan keterangan yang berwujud angka. D. Penggolongan Statistik Statistik sebagai ilmu pengetahuan dapat dibedakan menjadi dua golongan, yaitu: 1) Statistik Deskriptif, yang lazim dikenal pula dengan istilah statistik deduktif, satistik sederhana dan descriptive statistic, adalah statistik yang tingkat pekerjaannya mencakup cara-cara menghimpun, menyusun atau mengatur, mengolah, menyajikan dan menganalisa data angka, agar dapat memberikan gambaran yang teratur, ringkas dan jelas, mengenai suatu gejala, peristiwa atau keadaan. Dengan kata lain, statistik deskriptif adalah statistik yang mempunyai tugas mengorganisasi dan menganalisa data angka, agar dapat memberikan gambaran secara teratur, ringkas dan jelas, mengenai sesuatu gejala, peristiwa atau keadaan, sehingga dapat ditarik pengertian atau makna tertentu. 2) Statistik inferensial, yang lazim dikenal pula dengan istilah statistik induktif, statistik lanjutan, statistik mendalam atau inferensial statistics, adalah statistik yang menyediakan aturan atau cara yang dapat dipergunakan sebagai alat dalam rangka mencoba menarik kesimpulan yang bersifat umum, dari sekumpulan data yang telah disusun dan diolah. Kecuali itu statistik inferensial juga menyediakan aturan tertentu dalam rangka penarikan kesimpulan (conclusion), penyusunan atau pembuatan ramalan (prediction), panaksiran (estimation), dan sebagainya. Dengan demikian statistik inferensial sifatnya lebih mendalam dan merupakan tindaklanjut dari statistik deskriptif. Statistik deskriptif pada dasarnya merupakan fundamen dari ilmu statistik secara keseluruhan ia merupakan dasar dan tulang punggung dari seluruh struktur ilmu statistik. Karena itu untuk dapat mempelajari atau memahami statistik inferensial, seseorang harus lebih dahulu mempelajari statistik deskriptif.
  5. 5. E. Fungsi dan Kegunaan Statistik Fungsi yang dimiliki oleh statistik dalam dunia pendidikan terutama bagi para pendidik (pengajar, guru, dosen dan lain-lain) adalah menjadi alat Bantu. Tidak dapat disangkal lagi bahwa dalam melaksanakan tugasnya, seorang pendidik akan senantiasa terlibat pada masalah penilaian atau evaluasi, yaitu penilaian atau evaluasi terhadap hasil pendidikan setelah anak didik menempuh proses pendidikan selama jangka waktu tertentu. Di dalam kegiatan penilaian hasil pendidikan itu seorang pendidik menggunakan norma tertentu; norma tersebut pada hakikatnya adalah semacam ukuran. Hasil penilaian itu biasanya dinyatakan dalam berbagai macam cara; namun cara yang paling umum dipergunakan adalah dengan menyatakannya dalam bentuk angka (bilangan). Memang hal yang dinilai itu sendiri yaitu kemajuan atau perkembangan anak didik setelah mereka menempuh proses pendidikan dalam jangka waktu tertentu. Hasil penilaian itu, sebenarnya bersifat kualitatif, akan tetapi kemudian diubah menjadi data yang bersifat kuantitatif. Dengan kata lain, terhadap hasil penilaian itu dilakukan kuantifikasi. Alasan kuantifikasi itu sudah barang tentu bermacam-macam, namun alasan yang paling utama ialah, dengan melakukan pengubahan bahan keterangan yang bukan berupa angka menjadi bahan keterangan yang berupa angka, pendidik akan dapat dengan secara lebih jelas dan tegas memperoleh gambaran mengenai kemajuan atau perkembangan yang telah dicapai oleh anak didik, setelah mereka menjalani proses pendidikan. Dalam kegiatan penilaian hasil pendidikan cara yang paling umum adalah dengan menggunakan data kuantitatif, maka tidak perlu diragukan lagi bahwa statistik dalam hal ini akan mempunyai fungsi yang sangat penting sebagai alat bantu, yaitu alat bantu untuk mengolah, menganalisa, dan menyimpulkan hasil yang telah dicapai dalam kegiatan penilaian tersebut. Statistik adalah teori dan metode analisis data kuantitatif yang diperoleh dari sampelsampel observasi, dalam rangka menelaah dan membandingkan sumber-sumber keragaman fenomena, membantu pembuatan keputusan untuk menerima atau menolak relasi yang dihipotesiskan terdapat antara satu fenomena dengan lainnya, dan menolong penyusunan kesimpulan yang andal dari pengamatan-pengamatan empiris. Sedangkan kegunaan statistik antara lain adalah: 1. Meringkas data kuantitatif besar kedalam bentuk yang mudah dipahami dan ditangani. Misalnya, kita mustahil mengingat 100 skor di luar kepala, akan tetapi bila harga tengah atau deviasi standar telah terhitung, skor-skor itu akan mudah dan cepat ditafsirkan oleh orang yang terlatih.
  6. 6. 2. Membantu kita menelaah atau mengkaji populasi dan sampel. 3. Membantu pembuatan keputusan, mislanya seorang psikolog pendidikan perlu mengetahui manakah diantara tiga metode mengajar yang paling membantu proses belajar dengan biaya yang paling rendah, penggunaan statistik akan membantunya mengetahui hal tersebut. 4. Membantu pembuatan inferensial (kesimpulan) yang andal, berdasarkan amatan. Ini erat kaitannya dengan kegunaannya untuk membantu membuat keputusan diantara sejumlah hipotesis. Suatu inferensi adalah proposisi atau generalisasi yang diperoleh melalui penalaran dari proposisi-proposisi lain atau dari petunjuk yang kuat. Dalam pengertian umum inferensi adalah kesimpulan yang dicapai melalui penalaran. Dari keempat kegunaan di atas itu lebih ringkas lagi, dapatlah kita katakan bahwa statistik mempunyai kegunaan tunggal yakni membantu pembuatan inferensi atau kesimpulan dan ini adalah satu dari kegunaan-kegunaan dari rancangan penelitian, metodologi dan statistika. F. Ciri Khas Statistik Pada dasarnya statistik sebagai ilmu pengetahuan, memiliki tiga ciri khusus yaitu: 1. Statistik selalu bekerja dengan angka atau bilangan (dalam hal ini adalah data kuantitatif). Dengan kata lain, untuk dapat melaksanakan tugasnya statistik memerlukan bahan keterangan yang sifatnya kuantitatif. 2. Statistik bersifat objektif. Ini mengandung pengertian bahwa statistik selalu bekerja menurut objeknya, atau bekerja menurut apa adanya. Itulah sebabnya mengapa statistik sering dikatakan sebagai alat penilai kenyataan. 3. Statistik bersifat universal. Ini mengandung pengertian bahwa ruang-lingkup atau ruang gerak dan bidang garapan statistik tidaklah sempit.
  7. 7. DATA STATISTIK A. Pengertian Data Statistik Dalam pembicaraan terdahulu telah dikemukakan bahwa data statistik adalah data yang berwujud angka atau bilangan. Dengan kata lain, bahan mentah bagi statistik adalah angka atau bilangan. Timbul pertanyaan: apakah setiap angka atau bilangan dapat disebut data statistik? Jawabanya secara singkat tentu saja: tidak. Tidak semua angka atau bilangan dapat disebut data statistik, sebab untuk dapat disebut data statistik, angka harus memenuhi persyarat tertentu, yaitu bahwa angka tadi haruslah mrnunjukkan suatu ciri dari suatu penelitian yang bersifat agregatif, serta mencerminkan suatu kegiatan dalam bidang atau lapangan tertentu. Penelitian yang bersifat agregatif artinya: 1. Bahwa penelitian itu boleh hanya mengenai satu individu saja, akan tetapi pencatatan datanya harus dilakukan lebih dari satu kali. Contoh: “A” adalah seorang siswa Madrasah Aliyah (1 orang individu). Terhadap diri si “A” dilakukan pencatatan mengenai nilai hasil belajar Bahasa Inggris/Arab yang berhasil dicapai pada semester I, semester II, semester III, semester IV, semester V dan semester VI. Hasil pencatatan mengenai hal di atas, menunjukkan angka sebagai berikut: I II III IV V VI 5,5 6 6 6,5 7 7 Angka-angka ini telah menunjukkan ciri tentang perkembangan prestasi belajar siswa “A” dalam bahasa inggris/arab dari waktu ke waktu Nampak dengan jelas bahwa sekalipun individunya hanya satu saja, namun penelitian atau pencatatan nilai hasil belajarnya dilakukan secara berulang kali (lebih dari satu kali). 2. Bahwa penelitian atau pencatatan hanya dilakukan satu kali saja, tetapi individu yang diteliti harus lebih dari satu.
  8. 8. Contoh: Hasil pencatatan mengenai nilai tes formatif dalam bidang studi Bahasa Inggris/Arab dari sejumlah 10 orang siswa Madrasah Aliyah, menunjukkan angka sebagai berikut: No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nama Arifin Badriyah Cicik S. Dudung Emy R. Farid Giyono Hasan Ismail Juwariyah Nilai 7 6 5 9 4 7 6 5 8 6 Angka-angka seperti yang telah dikemukakan pada contoh di atas dapat kita sebut data statistik, sebab di samping angka itu telah mencerminkan suatu kegiatan penelitian (pencatatan) yang bersifat agregatif, juga angka (yang melambangkan nilai hasil belajar siswa) itu telah mencerminkan suatu kegiatan dalam bidang tertentu (dalam hal ini kegiatan dalam bidang pendidikan). B. Penggolongan Data Statistik Sebagai kumpulan bahan keterangan yang berwujud angka, data statistik dapat dibedakan dalam beberapa golongan; tergantung dari segi mana perbedaan itu dilakukan. 1. Penggolongan data statistik berdasarkan sifatnya Ditinjau dari segi sifat angkanya, data statistik dapat dibedakan menjadi dua golongan, yaitu: data kontinyu dan data diskrit. Data Kontinyu ialah data statistik yang angka-angkanya merupakan deretan angka yang sambung-menyambung. Dengan kata lain, data kontinyu ialah data yang deretan angkanya merupakan suatu kontinum. Contoh: a. Data statistik mengenai tinggi badan (dalam ukuran sentimeter): 150; 150,1; 150,2; 150,3; 150,4; 150,5; 150,6; 150,7 dan seterusnya. b. Data statistik mengenai berat badan (dalam ukuran kilogram): 40; 40,1; 40,2; 40,3; 40,4; 40,5; 40,6; 40,7 dan seterusnya.
  9. 9. Data Diskrit ialah data statistik yang tidak mungkin berbentuk pecahan. Contoh: a. Data statistik tentang jumlah anggota keluarga (dalam satuan orang): 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 dan sebagainya. b. Data statistik tentang jumlah buku-buku masalah bahasa di perpustakaan: (dalam satuan eksemplar): 10; 15; 25; 60; 100 dsb. Di sini jelas bahwa tidak mungkin jumlah anggota keluarga = 1,25 atau 3,50 dsb; demikian pula tidak mungkin jumlah buku = 10,75 atau 25,33 dsb. 2. Penggolongan data statistik berdasarkan cara menyusun angkanya Ditinjau dari segi cara menyusun angkanya, data statistik dapat dibedakan menjadi tiga macam; Yaitu: data nominal, data ordinal dan data interval. Data nominal ialah data statistik yang cara menyusun angkanya didasarkan atas penggolongan atau klasifikasi tertentu. Contoh: Data statistik tentang jumlah siswa MIN dalam Tahun Ajaran 2007/2008, ditilik dari segi tingkat (kelas) dan jenis kelaminnya, seperti tertera pada Tabel 1. Tabel 1. Jumlah Siswa MIN dalam Tahun Ajaran 2012/2013, menurut Tingkat Kelas dan Jenis Kelaminnya. Kelas III II I Jumlah Jenis Kelamin Pria Wanita 50 34 48 44 2 52 100 130 Jumlah 84 92 54 230 Dalam tabel 1, angka 50, 34, 48, 44 dan seterusnya adalah data nominal, sebab angka itu disusun berdasarkan penggolongan atau klasifikasi, baik menurut tingkat studi maupun jenis kelaminnya. Data nominal juga sering disebut data hitungan. Dikatakan demikian karena data angka itu diperoleh dengan cara menghitung (dalam hal ini menghitung jumlah siswa, baik menurut tingkat studi maupun jenis kelaminnya). Data ordinal juga sering disebut Data Urutan, yaitu data statistik yang cara menyusun angkanya didasarkan atas urutan kedudukan (ranking).
  10. 10. Contoh: Dari sejumlah 5 orang finalis dalam lomba baca puisi bahasa inggris/arab diperoleh sekor hasil penilaian dewan juri, sebagaimana tertera pada Tabel I.2. Angka 1, 2, 3, 4 dan 5 yang tercantum pada kolom terakhir kita sebut data ordinal (urutan 1 = Juara Pertama, urutan 2 = Juara Kedua, urutan 3 = Juara Ketiga, urutan 4 = Juara Harapan I, dan urutan 5 = Juara Harapan II). Tabel I.2. Sekor Hasil Penilaian Dewan Juri Terhadap Lima Orang Finalis Lomba Baca Puisi. No. Urut No. Undian Nama 1 2 3 4 5 031 115 083 024 056 Suprapto Gunawan Prabowo Kurniawan Martono Seko r 451 497 427 568 485 Urutan Kedudukan 4 2 5 1 3 Data interval ialah data statistik di mana terdapat jarak yang sama di antara hal-hal yang sedang diselidiki atau dipersoalkan. Sebagai contoh, periksalah kembali Tabel 2. Angka 1, 2, 3, 4 dan 5 adalah data ordinal; sedangkan angka 568, 497, 485, 451 dan 427 itulah yang kita sebut data interval. Dari tabel 2. itu kita dapat mengetahui bahwa sekalipun ke lima finalis itu mempunyai perbedaan urutan kedudukan yang sama (yaitu masing-masing selisih perbedaannya = 1), namun dengan perbedaan urutan kedudukan yang sama itu tidak mesti menunjukkan perbedaan sekor yang sama. Misalkan: perbedaan sekor antara juara I dengan juara II adalah 568 – 497 = 71; perbedaan sekor juara II dengan juara III adalah 497 – 485 = 12; perbedaan sekor antara juara III dengan juara IV adalah 485 – 451 = 34, dan perbedaan sekor antara juara IV dengan juara V adalah 451 – 427 = 24. Jadi dengan mengetahui data interval, informasi yang diperoleh dari data ordinal akan menjadi lebih jelas dan lengkap. 3. Penggolongan data statistik berdasarkan bentuk angkanya Ditinjau dari segi bentuk angkanya, data statistik dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu: data tunggal (un grouped data) dan data kelompok atau data bergolong (grouped data). Data tunggal ialah data statistik yang masing-masing angkanya merupakan satu unit (satu kesatuan) dengan kata lain data tunggal adalah data statistik yang angka-angkanya tidak dikelompok-kelompokkan.
  11. 11. Contoh: Data berupa nilai hasil ulangan harian dari 40 orang siswa MAN dalam bidang studi bahasa inggris/arab adalah sebagai berikut: 40 71 54 67 59 84 46 51 60 75 82 55 65 45 63 74 58 44 76 53 73 46 73 58 61 80 59 84 57 45 30 57 62 68 48 35 39 55 48 60 Data 40, 71, 54, 67, 59 dan seterusnya itu masing-masing angkanya merupakan satu unit atau satu kesatuan; masing-masing angka tersebut berdiri sendiri dan tidak dikelompok-kelompokkan. Data angka yang demikian kita sebut data tunggal. Data kelompokkan ialah data statistik yang tiap-tiap unitnya terdiri dari sekelompok angka. Contoh: Data berupa nilai hasil ulangan harian dari 40 orang siswa MAN seperti tersebut diatas, tetapi angka-angkanya dikelompok-kelompokkan; misalnya: Nilai: 80 – 84 75 – 79 70 – 74 65 – 69 dan seterusnya. Dalam kelompok nilai 80 – 84 terkandung nilai 80; 81; 82; 83 dan 84; dalam kelompok nilai 65 – 69 terkandung nilai 65; 66; 67; 68 dan 69; jadi tiap unit angka terdiri dari sekelompok angka. 4. Penggolongan Data Statistik Berdasarkan Sumbernya Ditinjau dari segi sumbernya (sumber dari mana data angka itu diperoleh), data statistik dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu: data primer dan data sekunder. Data primer adalah data statistik yang diperoleh atau bersumber dari tangan pertama (first hand data). Contoh: Data tentang alumni STAIN yang diperoleh atau bersumber dari Bagian Kemahasiswaan dan Alumni STAIN. Data sekunder adalah data statistik yang diperoleh atau bersumber dari tangan kedua (second hand data)
  12. 12. Contoh: Data tentang alumni STAIN yang diperoleh atau bersumber dari surat kabar Palangka Post, Banjarmasin Post dan sebagainya. 5. Penggolongan Data Statistik Berdasarkan Waktu Pengumpulannya. Ditinjau dari segi waktu pengumpulannya, data statisik dapat dibedakan menjadi dua golongan, yaitu: Data seketika (cross section data) ialah data statistik yang mencerminkan keadaan pada satu waktu saja (at a point of time) Contoh: Data statistik tentang jumlah tenaga pengajar di sebuah SMU dalam tahun ajaran 2012/2013 (hanya 1 tahun ajaran saja) Data urutan waktu (time series data) ialah data statistik yang mencerminkan keadaan atau perkembangan mengenai sesuatu hal, dari satu waktu ke waktu yang lain secara berurutan. Data urutan waktu juga sering dikenal dengan istilah: Historical Data. Contoh: Data statistik tentang jumlah tenaga pengajar di sebuah SMU mulai tahun ajaran 2008/2009 sampai dengan tahun ajaran 2012/2013. C. Sifat Data Statistik Berulang kali telah dikemukakan bahwa data statistik adalah data yang berwujud angka. Sebagai data angka, data statistik memiliki beberapa sifat tertentu, antara lain adalah : 1. Data statistik memiliki Nilai Relatif (Relative Value) atau Nilai semu. Nilai Relatif dari sesuatu angka atau bilangan adalah nilai yang ditunjukkan oleh angka atau bilangan itu sendiri. Contoh: Nilai relatif dari bilangan 5 adalah bilangan 5 itu sendiri. Nilai relatif dari bilangan 72 adalah bilangan 72 itu sendiri. 2. Data statistik memiliki Nilai Nyata (True Value) atau Nilai Sebenarnya. Nilai Nyata dari sesuatu angka adalah daerah tertentu dalam suatu deretan angka, yang diwakili oleh Nilai Relatif. Contoh: a. Nilai nyata dari angka 5 adalah daerah antara (5 – 0,5) sampai dengan (5 + 0,5). Jadi nilai nyata dari angka 5 adalah daerah antara (4,5 – 5,5) b. Nilai nyata dari 17,5 adalah daerah antara (17,5 – 0,05) sampai dengan (17,5 + 0,05). Jadi nilai nyata dari 17,5 adalah daerah antara (17,45 – 17,55) c. Nilai nyata dari 17,58 adalah daerah antara (17,58 – 0,005) sampai dengan (17,58 + 0,005). Jadi nilai nyata dari 17,58 adalah daerah antara (17,575 – 17,585).
  13. 13. 3. Data statistik memiliki Batas Bawah Relatif, Batas Atas Relatif, Batas Bawah Nyata, dan Batas Atas Nyata. Contoh: a. Kita memiliki bilangan: 40 – 44 Bilangan 40 disebut Batas Bawah Relatif, bilangan 44 disebut Batas Atas Relatif. Sedangkan Batas Bawah Nyatanya adalah 40 – 0,5 = 39,5; dan Batas Atas Nyatanya adalah 44 + 0,5 = 44,5. selanjutnya, bilangan 40 – 44 itu kita sebut Nilai Relatif, sedang 39,5 – 44,5 kita sebut Nilai Nyata. Kalau kita buat bagannya adalah sebagai berikut: Nilai Relatif Batas Bawah Relatif Batas Bawah Nyata 40 0,5 = 39,5 - 44 Batas Atas Relatif + 0,5 = Batas Atas Nyata 44,5 Nilai Nyata Batas Bawah Nyata sering dikenal dengan istilah lower limit yang biasa dilambangkan dengan huruf l (L kecil). Sedangkan Batas Atas Nyata sering dikenal dengan istilah upper limit lambangnya u (huruf U kecil). b. Kita memiliki bilangan 50 Bilangan 50 ini Batas bawah Nyatanya (lower limit) 50 – 0,5 = 49,5; Batas Atas Nyatanya (upper limit) 50 + 0,5 = 50,5; Nilai Nyatanya (true value) adalah 49,5 – 50,5. 4. Data statistik yang berbentuk data kelompokkan, memiliki Nilai Tengah atau Titik Tengah (Midpoint). Yang dimaksud dengan Nilai Tengah dari sederetan bilangan adalah bilangan yang terletak di tengah-tengah deretan bilangan tersebut. Contoh: a. Deretan bilangan 5; 6; 7; 8; 9 nilai tengahnya adalah 7, sebab bilangan 7 tersebut merupakan bilangan yang berada di tengah-tengah deretan bilangan itu. b. Data kelompok 50 – 54 nilai tengahnya = (50 + 54) : 2 = 52, sebab bilangan 52 adalah bilangan yang terletak di tengah-tengah deretan bilangan 50; 51; 52; 53; 54.
  14. 14. c. Data kelompokkan 75 – 80 nilai tengahnya = (75 + 80) : 2 = 77,5; untuk menjelaskan hal ini periksalah deretan bilangan-bilangan di bawah ini. 75 76 77 78 79 80 77 + 78 2 77,5 (Nilai Tengah) 5. Data statistik sebagai data angka, dalam proses perhitungan tidak menggunakan sistem pecahan, melainkan menggunakan sistem desimal (sistem perpuluhan). Contoh: a. Pecahan ½ harus diubah menjadi 0,5 b. Pecahan 3/8 harus diubah menjadi 0,375 c. Pecahan 15/72 harus diubah menjadi 0,2083333 d. Pecahan 1/6 harus diubah menjadi 0,1666666 6. Data statistik sebagai data angka, dalam proses perhitungannya menggunakan sistem pembulatan angka tertentu. Dalam hubungan ini, perlu dikemukakan bahwa walaupun dalam pembulatan angka yang terletak di belakang tanda desimal tidak selalu sama, namun pada dasarnya pembulatan tersebut dilakukan sampai dengan tiga buah angka di belakang tanda desimal, dengan catatan: a. Jika setelah tiga angka di belakang tanda desimal (tanda koma) terdapat bilangan yang besarnya 50 atau kurang dari 50, maka bilangan 50 atau bilangan yang besarnya kurang dari 50 itu dianggap = 0, dan bilangan 0 itu ditambahkan kepada bilangan nomor tiga yang terletak di belakang tanda desimal. Contoh: 1) 0,1134892 dibulatkan menjadi 0,113 2) 0,8105071 dibulatkan menjadi 0,810 atau 0,81 dan seterusnya. b. Jika setelah tiga angka di belakang tanda desimal terdapat bilangan yang besarnya51 atau lebih dari 51, maka bilangan 51 atau bilangan yang besarnya lebih dari 51 itu dianggap = 1 dan bilangan 1 itu ditambahkan kepada bilangan nomor 3 yang terletak di belakang tanda desimal. Contoh: 1) 0,2915167 dibulatkan menjadi 0,292 2) 0,5109865 dibulatkan menjadi 0,511 dan seterusnya.
  15. 15. D. Pengumpulan Data Statistik Pekerjaan menghimpun data statistik termasuk bagian awal dari kegiatan di bidang statistik. Dalam menghimpun data statistik, statistik sebagai ilmu pengetahuan telah mengembangkan prinsip, cara dan alat yang perlu atau dapat dipergunakan, sebagaimana akan dikemukakan pada pembicaraan berikut ini: 1. Prinsip pengumpulan data statistik Prinsip umum yang harus dipegang oleh siapa saja yang bermaksud menghimpun data statistik ialah: “dengan waktu, tenaga, biaya dan alat sehemat mungkin, dapat dihimpun data yang lengkap, tepat dan dapat dipercaya”. a. Lengkapnya data Prinsip pertama yang harus dipegang ialah, dalam pengumpulan data statistik kita harus berupaya semaksimal mungkin untuk dapat menghimpun data yang selengkaplengkapnya, dan bukan data yang sebanyak-banyaknya, sebab data yang banyak belum merupakan jaminan bahwa data tersebut cukup lengkap. Kata “lengkap” di sini mengandung pengertian bahwa volume data sebagaimana yang direncanakan, dapat dicapai dengan sebaik-baiknya; tidak ada data yang tercecer atau terlupakan untuk dihimpun sehingga mengakibatkan kesulitan dalam penganalisaannya. Sudah barang tentu, agar hal tersebut di atas dapat dicapai dengan sebaik-baiknya, diperlukan adanya perencanaan yang tuntas. b. Tepatnya data Prinsip kedua ialah, data yang dihimpun hendaknya merupakan data yang tepat, yakni tepat dalam hal: 1) Jenis atau macam datanya; 2) Waktu pengumpulannya; 3) Kegunaan atau relevansinya, sesuai dengan tujuan pengumpulan data atau tujuan penelitian; maupun 4) Alat atau instrumen yang dipergunakan untuk menghimpun data.
  16. 16. c. Kebenaran data yang dihimpun Prinsip ketiga ialah, data yang dihimpun hendaklah merupakan data yang benarbenar dapat dipercaya atau dapat dijamin akan kesahihannya. Ini mengandung pengertian bahwa di samping data itu merupakan data yang benar (bukan data palsu atau data yang dipalsukan), juga merupakan data yang bersumber dari pihak yang memang berkompeten untuk dimintai datanya. Jika tidak, kesimpulan yang akan ditarik dengan mendasarkan diri pada data tersebut, akan menjadi jauh menyimpang dari keadaan yang sebenarnya atau kurang sesuai dengan kenyataan yang ada. 2. Cara Mengumpulkan Data Statistik Ditilik dari segi luasnya elemen yang menjadi objek penelitian, pengumpulan data statistik dapat dilakukan dengan dua macam cara, yaitu: sensus dan sampling. a. Sensus Sensus ialah cara mengumpulkan data dengan jalan mencatat atau meneliti seluruh elemen yang menjadi objek penelitian. Dengan kata lain, sensus adalah pencatatan data secara menyeluruh (complete enumeration) terhadap elemen yang menjadi objek penelitian, tanpa perkecualian. Kumpulan dari seluruh elemen itu lazim disebut populasi atau universe. Jadi pengumpulan data dengan mempergunakan cara sensus, objek penelitiannya adalah populasi. Keuntungan menggunakan, hasil yang diperoleh merupakan nilai karakteristik yang sebenarnya (true value), karena sasaran penelitian mencakup keseluruhan objek yang berada dalam populasi. Adapun kelemahannya ialah, sensus merupakan cara pengumpulan data yang banyak memakan waktu, tenaga, biaya, dan peralatan. b. Sampling Sampling ialah cara mengumpulkan data dengan jalan mencatat atau meneliti sebagian kecil saja dari seluruh elemen yang menjadi objek penelitian. Dengan kata lain, sampling adalah cara mengumpulkan data dengan mencatat atau meneliti sampelnya saja. Dengan cara sampling ini, hasil yang diperoleh adalah nilai karakteristik perkiraan (estimate value) saja, dan atas dasar nilai karakteristik perkiraan yang diperoleh dari sampel itu, kita dapat memperkirakan nilai sesungguhnya dari populasi yang sedang kita teliti. Sudah barang tentu untuk mendapatkan nilai perkiraan yang baik, sampel yang kita ambil haruslah bersifat representatif (dapat dijamin mencerminkan atau mewakili populasi).
  17. 17. Kebaikan sampling ialah, pekerjaan pengumpulan data akan dapat dilaksanakan dengan waktu, tenaga, biaya dan alat yang relatif lebih kecil jika dibandingkan dengan sensus. Namun segi kelemahannya ialah jika sampel tersebut tidak bersifat representatif, maka kesimpulan yang dikenakan terhadap populasi akan tidak sesuai dengan kenyataan yang terdapat pada populasi. Cara menghimpun data statistik dengan jalan sampling itu juga dikenal dengan istilah Sampel Survey Method. Ditilik dari segi bentuk pelaksanaan kegiatan pengumpulan datanya, pengumpulan data statistik dapat berbentuk: a. Pengamatan mendalam (systematic observation), yaitu pengamatan terhadap objek yang akan dicatat datanya, dengan persiapan yang matang, dilengkapi dengan instrumen tertentu. b. Wawancara mendalam (systematic interview), yaitu pengumpulan data berbentuk pengajuan pertanyaan secara lisan, dan pertanyaan yang diajukan dalam wawancara itu telah dipersiapkan secara tuntas, dilengkapi dengan istrumennya. c. Angket, yaitu cara pengumpulan data berbentuk pengajuan pertanyaan tertulis melalui sebuah daftar pertanyaan yang sudah dipersiapkan sebelumnya. d. Pemeriksaan dokumentasi (studi dokumenter), dilakukan dengan meneliti bahan dokumentasi yang ada dan mempunyai relevansi dengan tujuan penelitian. e. Tes, seperti: tes kepribadian, tes kecerdasan, tes minat dan perhatian, dan lain sebagainya. 3. Instrumen/Alat Pengumpulan Data Statistik Di antara alat yang biasa dipergunakan dalam pekerjaan pengumpulan data statistik, dapat dikemukakan di sini misalnya: a. Daftar atau Daftar Check (Check List); b. Sekala Bertingkat (Rating Scale); c. Pedoman Wawancara (Interview Guide); d. Questionnaire (Daftar pertanyaan yang setiap pertanyaannya sudah disediakan jawabannya untuk dipilih, atau disediakan tempat untuk mengisikan jawabannya). Tentang bagaimana wujud fisik instrumen atau alat pengumpulan data statistik yang telah disebutkan di atas tidak kita bahas di sini, tetapi dapat dipelajari dalam mata kuliah metodologi penelitian.
  18. 18. E. Jawablah Pertanyaan-pertanyaan dibawah ini dengan teliti, baik dan benar! 1. Ada beberapa pengertian tentang Statistik, pengertian itu berbeda satu dengan yang lain. Terangkan pengertian tersebut, dengan mengemukakan contoh jika dirasa perlu! 2. Manfaat apakah yang dapat dipetik oleh mahasiswa selaku calon sarjana, dengan mempelajari Statistik? Jelaskan jawaban saudara! 3. Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh sekumpulan angka atau bilangan, sehingga ia dapat disebut Data Statistik? 4. Jelaskan tentang perbedaan antara Data Kontinyu dan Data Diskrit? 5. Jelaskan pula tentang perbedaan antara Data Interval dan Data Ordinal? 6. Berikan contoh sedemikian rupa sehingga menjadi cukup jelas apa yang dimaksud dengan data primer dan data sekunder? 7. Data; Usia Ahmad saat ini mencapai 8 tahun; Usia Badrun pada saat yang sama mencapai 15 tahun. Soal: a. Berapa Nilai Nyata usia Ahmad? b. Sebutkan Batas Bawah Nyata (lower limit) usia Badrun; sebutkan pula Batas Atas Nyata (upper limit) usia Badrun itu? 8. a. Interval 40 – 49; tentukan Midpointnya! b. Interval 37 – 40; berapa Nilai Relatifnya? c. Interval 59 – 78; berapakah Nilai Nyatanya? d. Interval 35 – 40; berapakah lower limitnya? e. Interval 71 – 75; berapakah upper limitnya? 9. Bulatkan sampai dengan tiga angka di belakang tanda desimal: a. 0,11150789; c. 0,78550699; e. 1,70051895 b. 0,00063087; d. 9,91178650; f. 5,55550067 10. Sebutkan tiga prinsip yang harus dipegang dalam rangka pengumpulan data statistik! 11. Jelaskan mengenai cara yang dapat ditempuh dan alat yang dapat dipergunakan, dalam rangka menghimpun data statistik! 12. Ubahlah ke dalam sistem desimal: a. 1/7 ; b. 5/39; c. 135/411 13. Kuadratkan, kemudian bulatkan sampai dengan tiga angka di belakang tanda desimal: a. 0,9971; b. 123,567; c. 596,116
  19. 19. TEKNIK ANALISIS DATA STATISTIK Setiap kali kita melakukan kegiatan pengumpulan data statistik, maka pada umumnya kegiatan tersebut akan menghasilkan data angka yang keadaannya tidak teratur, berserak dan masih merupakan bahan keterangan yang sifatnya kasar dan mentah. Dikatakan “kasar” dan “mentah” sebab kumpulan angka dengan kondisi seperti yang disebutkan di atas belum dapat memberikan informasi secara ringkas dan jelas mengenai ciri atau sifat yang dimiliki oleh kumpulan angka tersebut. Oleh karena itu, agar data angka yang telah berhasil dihimpun itu “dapat berbicara” dan dapat memberikan informasi yang berarti, diperlukan adanya tindak lanjut atau langkah tertentu. Yaitu tugas kita sebagai peneliti adalah menganalisis data statistik tersebut. Macam-macam teknik analisis data statistik yang akan kita pelajari antara lain adalah: A. Teknik Analisis Data Statistik dengan Mendasarkan Diri pada Distribusi Frekuensi. B. Teknik Analisis Data Statistik dengan Mempergunakan Ukuran-ukuran Tendensi Pusat Data (Mean, Median dan Modus). C. Teknik Analisis Data Statistik dengan Menggunakan Ukuran-ukuran Variabelitas Data (Range, Deviasi Rata-rata, dan Deviasi Standar). D. Teknik Analisis Data Statistik dengan Menggunakan Teknik Analisis Korelasional Bivariat (Teknik Korelasi Product Moment). E. Teknik Analisis Data Statistik dengan Menggunakan Teknik Analisis Komparasional Bivariat (“t” test dan Chi Square Test). Macam-macam Analisis tersebut di atas akan dijelaskan lebih lanjut sebagai berikut:
  20. 20. TEKNIK ANALISA DATA STATISTIK DENGAN MENDASARKAN DIRI PADA DISTRIBUSI FREKUENSI A. Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi Yang dimaksud dengan “tabel” adalah alat penyajian data statistik yang berbentuk (dituangkan dalam bentuk) kolom dan lajur. Dengan demikian tabel distribusi frekuensi dapat kita beri pengertian sebagai alat penyajian data statistik yang berbentuk kolom dan lajur, yang didalamnya dimuat angka yang dapat melukiskan atau menggambarkan pencaran atau pembagian frekuensi dari variabel yang sedang menjadi objek penelitian. Dalam suatu tabel distribusi frekuensi terdapat istilah-istilah antara lain: 1. Variabel Kata “variabel” berasal dari bahasa Inggris “variable” dengan arti: “ubahan”, “faktor tak tetap”, atau “gejala yang dapat diubah-ubah”. Variabel pada dasarnya bersifat kualitatif namun dilambangkan dengan angka. Contoh: a. “Usia” adalah gejala kualitatif, akan tetapi gejala yang bersifat kualitatif itu dilambangkan denga angka; misalnya: 17 tahun, 25 tahun, 50 tahun dan sebagainya. b. ”Nilai rupiah” pada dasarnya adalah gejala kualitatif yang dilambangkan dengan angka, seperti: 10.000,-; 20.000,-; 600.000,- ; 1.000.000,- dan sebagainya. 2. Frekuensi Kata “frekuensi” yang dalam bahasa Inggrisnya adalah “frequency” berarti: “kekerapan”, “keseringan”, atau “jarang-kerapnya”. Dalam Statistik, “frekuensi” mengandung pengertian: Angka (bilangan) yang menunjukkan seberapa kali suatu variabel (yang dilambangka dengan angka-angka itu) berulang dalam deretan angka tersebut; atau berapa kalikah suatu variabel (yang dilambangkan dengan angka itu) muncul dalam deretan angka tersebut. Contoh: Nilai yang berhasil dicapai oleh 10 orang siswa SMA dalam test hasil belajar bidang studi Ilmu Pengetahuan Alam adalah sebagai berikut: 60, 50, 75, 60, 80, 40, 60, 70, 100, dan 75. Jika kita amati, maka: nilai 60 muncul sebanyak 3 kali/diperoleh oleh 3 orang maka di sini dapat kita katakan bahwa nilai 60 itu berfrekuensi 3.
  21. 21. 3. Distribusi Frekuensi “Distribusi” (distribution dalam bahasa Inggris) berarti “penyaluran”, “pembagian” atau “pencaran”. Jadi “distribusi frekuensi” dapat diberi arti “penyaluran frekuensi”, “pembagian frekuensi”, atau “pencaran frekuensi”. Dalam statistik, “distribusi frekuensi” kurang lebih mengandung pengertian: “suatu keadaan yang menggambarkan bagaimana frekuensi dari gejala atau variabel yang dilambangkan dengan angka itu, telah tersalur, terbagi atau terpencar”. Contoh: Jika data yang berupa nilai hasil tes dalam bidang studi IPA dari 10 orang siswa SMA kita sajikan dalam bentuk tabel, maka pembagian atau pencaran frekuensi dari nilai hasil tes itu akan nampak dengan nyata: Nilai 100 80 75 70 60 50 40 Total Banyaknya(orang) 1 1 2 1 3 1 1 10 Istilah “tabel distribusi frekuensi” itu acapkali disingkat menjadi “tabel frekuensi” Jumlah frekuensi B. Macam-macam dan Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Dalam dunia statistik kita mengenal berbagai macam tabel distribusi frekuensi antara lain: 1. Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal adalah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi dari data angka, angka yang ada itu tidak dikelompokkelompokkan (ungrouped data) Tabel distribusi frekuensi data tunggal itu ada dua macam yaitu: 1. Tabel distribusi frekuensi data tunggal yang semua sekornya berfrekuensi 1 (satu) Misal: Dari 10 orang mahasiswa yang menempuh ujian lisan dalam mata kuliah statistik diperoleh nilai sebagai berikut: NO 1 2 3 NAMA Syamsudin Margono Abdul Wahid NILAI 65 30 60
  22. 22. 4 Dimyati 45 5 Sulistiyani 75 6 Fathonah 40 7 Nur Khalis 70 8 Hamdani 55 9 Listiorini 80 10 Pramono 50 Apabila kita perhatikan data di atas, maka dari 10 orang mahasiswa yang menempuh ujian lisan tersebut yang berhasil mencapai nilai 80 sebanyak 1 orang, yang memperoleh 75 adalah 1 orang, demikian pula yang memperoleh nilai 70, 65, 60, 55, 50, 45, 40 dan 30 masing-masing sebanyak 1 orang. Kalau demikian maka kita dapat mengatakan bahwa semua sekor atau semua nilai yang sedang kita hadapi itu masing-masing berfrekuensi 1. Jika data di atas kita tuangkan penyajiannya dalam bentuk tabel distribusi frekuensi data tunggal, wujudnya adalah seperti pada tabel di bawah ini Tabel II.1. Distribusi Frekuensi Nilai Hasil Ujian Lisan dalam Mata Kuliah Statistik yang Diikuti 10 Orang Mahasiswa. NILAI (X) 80 75 70 65 60 55 50 45 40 30 Total F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N= 10 b. Tabel distribusi frekuensi data tunggal yang sebagian atau keseluruhan sekornya berfrekuensi lebih dari 1. Misal: Dari sejumlah 40 orang murid MI yang menempuh ulangan harian dalam mata pelajaran matematika di peroleh nilai hasil ulangan sebagai berikut: 5 8 6 4 6 7 9 6 4 5 3 5 8 6 5 4 6 7 7 10 4 6 5 7 8 9 3 5 6 8 10 4 9 5 3 6 8 6 7 6
  23. 23. Apabila data tersebut akan kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, maka langkah yang perlu ditempuh adalah sebagai berikut: 1) Mencari nilai tertinggi (sekor paling tinggi/Highest score (H)) dan nilai terendah (sekor paling rendah/lowest score (l)) 2) Menghitung frekuensi masing-masing nilai yang ada dengan bantuan jari-jari (tallies) hasilnya dimasukkan dalam kolom 2 dari tabel distribusi frekuensi yang kita siapkan. 3) Mengubah jari-jari menjadi angka biasa dituliskan pada kolom 3 setelah selesai keseluruhan angka yang menunjukkan frekuensi masing-masing nilai yang ada itu lalu kita jumlahkan, sehingga diperoleh jumlah frekuensi (∑ f) atau number of cases (N). Tabel.II.2. Distribusi Frekuensi Nilai Ulangan Harian Mata Pelajaran Matematika dari 40 Orang Murid MI. NILAI 10 9 8 7 6 5 4 3 Jari-jari Frekuensi 2 3 5 5 10 7 5 3 N= 40 c. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Data Tunggal Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif adalah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi yang dihitung terus meningkat atau selalu ditambahtambahkan baik dari bawah ke atas maupun dari atas ke bawah.
  24. 24. Tabel.II.3. Distribusi Frekuensi Kumulatif Nilai Ulangan Harian Mata Pelajaran Matematika dari 40 Orang Murid MI. NILAI Frekuensi 3 4 5 6 7 8 9 10 3 5 7 10 5 5 3 2 N= 40 fka 40 37 32 25 15 10 5 2 fkb 3 8 15 25 30 35 38 40 d. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Data Tunggal Tabel Distribusi Frekuensi Relatif juga dinamakan Tabel Persentase. Dikatakan “frekuensi relatif” sebab frekuensi yang disajikan di sini bukanlah frekuensi yang sebenarnya, melainkan frekuensi yang dituangkan dalam bentuk angka persenan. Rumus persentase yang digunakan: P = f / N x 100% Dimana: P = angka persentase; F = frekuensi yang sedang dicari persentasenya N = Number of cases (jumlah frekuensi/banyaknya individu). Jika data yang disajikan pada Tabel II.2. kita sajikan kembali dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Relatif atau tabel persentase, maka keadaannya adalah sebagai berikut: Tabel.II.4. Distribusi Frekuensi Relatif (Tabel Persentase) Nilai Ulangan Harian Mata Pelajaran Matematika dari 40 Orang Murid MI. NILAI Frekuensi 10 9 8 7 6 5 4 3 2 3 5 5 10 7 5 3 N= 40 e. Tabel Persentase Kumulatif Data Tunggal Persentase 5,00 7,50 12,50 12,50 25,00 17,50 12,50 7,50 ΣP = 100,00
  25. 25. Seperti halnya Tabel Distribusi Frekuensi, Tabel Persentase atau Tabel Distribusi Frekuensi Relatif pun dapat diubah ke dalam bentuk Tabel Persentase Kumulatif (Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif). Jika data yang disajikan pada Tabel II.4. kita ubah ke dalam bentuk Tabel Persentase Kumulatif, hasilnya adalah sebagai berikut: Tabel.II.5. Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif (Tabel Persentase Kumulatif) Nilai Ulangan Harian Mata Pelajaran Matematika dari 40 Orang Murid MI. NILAI 10 9 8 7 6 5 4 3 Persentase 5,00 7,50 12,50 12,50 25,00 17,50 12,50 7,50 ΣP = 100,00 Pkb 100,00 95,00 87,50 75,00 62,50 37,50 20,00 7,50 Pka 5,00 12,50 25,00 37,50 62,50 80,00 92,50 100,00 2. Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan Adalah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data angka, dimana angka-angka tersebut dikelompok-kelompokkan (dalam tiap unit terdapat sekelompok angka). Contoh: Misalkan dari sejumlah 80 orang siswa kelas III MAN Jurusan IPA diperoleh nilai hasil ujian akhir dalam bidang studi Biologi, sebagaiberikut: 65 54 68 70 57 61 58 62 58 60 59 67 47 63 57 60 77 55 71 55 57 60 73 58 65 57 52 66 57 66 78 55 60 54 62 75 51 60 64 62 54 61 51 59 61 60 63 59 50 60 65 61 53 59 56 60 48 56 45 58 65 65 69 50 55 65 67 52 74 56 59 60 61 49 62 64 53 72 70 80 Agar data yang berupa deretan angka yang nenunjukkan nilai hasil ujian akhir bidang studi biologi itu dapat disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi yang baik (teratur, ringkas dan jelas), maka perlu ditempuh cara dan langkah-langkah sebagai berikut:
  26. 26. a. Mencari Highest scors (H=80) dan Lowest scors (L=45) b. Menetapkan luas penyebaran nilai yang ada, atau mencari banyaknya nilai, mulai dari nilai terendah sampai dengan nilai tertinggi, yang biasa disebut total range atau sering disingkat dengan Range saja dan diberi lambang dengan huruf R dengan menggunakan rumus: R = H – L + 1 = 80 – 45 + 1 R= 36 Dimana: R = Total Range; H = Highest Score (nilai tertinggi); L = Lowest Score (nilai terendah); dan 1 = Bilangan Konstanta c. Menetapkan besar atau luasnya pengelompokkan data untuk masing-masing kelompok data yang dimaksud disini ialah; karena data berupa nilai hasil ujian akhir itu akan disajikan dalam bentuk data kelompokkan, maka perlu kita tetapkan dulu masing-masing kelompokan data (masing-masing interval) akan terdiri dari berapa nilai. Untuk menetapkan besar atau luas dari masing-masing interval nilai yang akan kita sajikan dalam tabel distribusi frekuensi dengan menggunakan pedoman yang dapat digunakan adalah sebagai berikut: R/i sebaiknya menghasilkan bilangan yang besarnya 10 sampai dengan 20 Dimana: R = Total Range i = Interval class yaitu luasnya pengelompokkan data yang dicari atau kelas interval. 10 s/d 20, maksudnya disini ialah bahwa jumlah kelompokkan data yang akan disajikan dalam tabel distribusi frekuensi itu sebaiknya tidak kurang dari 10 dan tidak lebih dari 20. d. Menetapkan bilangan dasar masing-masing interval yang akan dibuat dalam tabel. Bilangan dasar interval ialah bilangan yang merupakan batas antara interval yang satu dengan interval yang lain. Dalam menetapkan bilangan dasar masing-masing interval itu, para ahli statistik mengemukakan pedoman sebagai berikut: 1) Bilangan dasar interval itu sebaiknya adalah bilangan yang merupakan kelipatan dari i. Dengan kata lain; bilangan dasar interval itu sebaiknya dipilihkan bilangan yang dapat habis jika dibagi dengan i.
  27. 27. 2) Dalam menetapkan bilangan dasar interval itu harus diperhatikan sedemikian rupa, sehingga dalam interval yang tertinggi (interval paling atas) harus terkandung nilai tertinggi (Highest Score) dan dalam interval yang terendah (interval paling bawah) harus terkandung nilai terendah (Lowest Score). e. Mempersiapkan tabel distribusi frekuensi yang terdiri dari tiga kolom, kolom 1 diisi dengan interval nilai, kolom 2 adalah kolom untuk membubuhkan “tandatanda” atau “jari-jari” sebagai pertolongan menghitung frekuensi, sedang kolom 3 berisi frekuensi. f. Menghitung frekuensi dari tiap-tiap nilai yang ada, dengan bantuan “tanda-tanda” atau “jari-jari”. Selanjutnya “tanda-tanda” itu diubah menjadi angka biasa. Akhirnya semua frekuensi yang telah dituliskan pada kolom 3 itu dijumlahkan sehingga diperoleh f atau N. Catatan: Para ahli statistik sangat menganjurkan agar dalam menetapkan besarnya interval class (i) sebaiknya dipilih bilangan gasal (bukan bilangan genap), seperti 3; 5; 7; 9; 11; 13 dst. Anjuran ini mengandung maksud, agar apabila pada langkah analisis data statistik selanjutnya akan berjalan lebih cepat dan mudah jika dibandingkan apabila kita menggunakan interval class berupa bilangan genap. Contoh: interval 50 – 54 kelas intervalnya adalah 5, maka midpoint atau nilai tengahnya dari interval 50 – 54 adalah (50 + 54) : 2 = 52 (bilangan bulat). Sedangkan: interval 50 – 55 kelas intervalnya adalah 6 maka midpoint atau nilai tengahnya adalah (50 + 55) : 2 = 52,5 (bilangan pecahan). Jelas sekarang bahwa setiap kali kita menetapkan i dengan menggunakan bilangan genap (seperti: 2; 4; 6; 8; 10 …), maka midpointnya akan selalu berupa bilangan pecahan. Sedangkan apabila I yang kita tetapkan atau kita pilih bilangan gasal (seperti: 3; 5; 7; 9; …), maka midpointnya akan selalu berupa bilangan bulat. Menghitung bilangan bulat adalah jauh lebih mudah jika dibandingkan dengan bilangan pecahan dan resiko kesalahannya pun lebih kecil. Tabel.II.6. Distribusi Frekuensi Nilai Hasil Ujian Akhir Bidang Studi Biologi dari Sejumlah 80 Orang Siswa Kelas III MAN Jurusan IPA. Interval Nilai Jari-jari Frekuensi
  28. 28. 78 – 80 75 – 77 72 – 74 69 – 71 66 – 68 63 – 65 60 – 62 57 – 59 54 – 56 51 – 53 48 – 50 45 – 47 I I I II II I Total 3. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Data Kelompokan 2 2 3 4 5 10 18 14 10 6 4 2 N = 80 Adalah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi yang dihitung terus meningkat atau selalu ditambah-tambahkan baik dari bawah ke atas maupun dari atas ke bawah. Tabel.II.7. Distribusi Frekuensi Kumulatif Nilai Hasil Ujian Akhir Bidang Studi Biologi dari Sejumlah 80 Orang Siswa Kelas III MAN Jurusan IPA. Interval nilai 78 – 80 75 – 77 72 – 74 69 – 71 66 – 68 63 – 65 60 – 62 57 – 59 54 – 56 51 – 53 48 – 50 45 – 47 frekuensi 2 2 3 4 5 10 18 14 10 6 4 2 N = 80 4. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Data Kelompokan fkb fka 80 78 76 73 69 64 54 36 22 12 6 2 2 4 7 11 16 26 44 58 68 74 78 80
  29. 29. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif juga dinamakan Tabel Persentase. Dikatakan “frekuensi relatif” sebab frekuensi yang disajikan di sini bukanlah frekuensi yang sebenarnya, melainkan frekuensi yang dituangkan dalam bentuk angka persenan. Rumus persenan yang digunakan: P = f / N x 100% Dimana: P = angka persentase; f = frekuensi yang sedang dicari persentasenya N = Number of cases (jumlah frekuensi/banyaknya individu). Contoh: Jika data yang disajikan pada Tabel II.6. kita sajikan kembali dalam bentuk Tabel Distribusi frekuensi relatif atau tabel persentase, maka keadaannya adalah sebagai berikut: Tabel.II.8. Distribusi Frekuensi Relatif (Tabel Presentase) Nilai Hasil Ujian Akhir Bidang Studi Biologi dari Sejumlah 80 Orang Siswa Kelas III MAN Jurusan IPA. Interval nilai 78 – 80 75 – 77 72 – 74 69 – 71 66 – 68 63 – 65 60 – 62 57 – 59 54 – 56 51 – 53 48 – 50 45 – 47 Frekuensi 2 2 3 4 5 10 18 14 10 6 4 2 N = 80 Presentase 2,50 2,50 3,75 5,00 6,25 12,50 22,50 17,50 12,50 7,50 5,00 2,50 100,00 5. Tabel Persentase Kumulatif Data Kelompok Seperti halnya Tabel Distribusi Frekuensi, Tabel Persentase atau Tabel Distribusi Frekuensi Relatif pun dapat diubah ke dalam bentuk Tabel Persentase Kumulatif (Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif). Jika data yang disajikan pada Tabel II.8. kita ubah ke dalam bentuk Tabel Persentase Kumulatif, hasilnya adalah sebagai berikut: Tabel.II.9. Distribusi Frekuensi Relatif (Tabel Presentase) Nilai Hasil Ujian Akhir Bidang Studi Biologi dari Sejumlah 80 Orang Siswa Kelas III MAN Jurusan IPA.
  30. 30. Interval nilai Presentase PKb PKa 78 – 80 75 – 77 72 – 74 69 – 71 66 – 68 63 – 65 60 – 62 57 – 59 54 – 56 51 – 53 48 – 50 45 – 47 2,50 2,50 3,75 5,00 6,25 12,50 22,50 17,50 12,50 7,50 5,00 2,50 100,00 100,00 97,50 95,00 91,25 86,25 80,00 67,50 45,00 27,50 15,00 7,50 2,50 2,50 5,00 8,75 13,75 20,00 32,50 55,00 72,50 85,00 92,50 97,50 100,00 C. Grafik sebagai Alat Penggambaran Distribusi Frekuensi Selain tabel distribusi frekuensi sebagai alat penyajian data angka, statistik menyediakan cara yang lain dalam rangka penyajian data angka, yaitu dengan jalan membuat grafik atau diagram. Dibandingkan dengan tabel distribusi frekuensi grafik memiliki keunggulan tertentu, antara lain: 1. Penyajian data statistik melalui grafik nampak lebih menarik daripada melalui tabel distribusi frekuensi. 2. Grafik dapat dengan secara lebih cepat memperlihatkan gambaran umum dan menyeluruh tentang sesuatu perkembangan, perubahan maupun perbandingan. 3. Grafik yang dibuat menurut aturan yang tepat dan benar, akan terasa lebih jelas dan lebih dimengerti orang. Namun demikian grafik itu sendiri tidak dapat terhindar dari kekurangan atau kelemahan. Diantara kelemahan yang dimiliki oleh grafik dapat disebutkan disini misalnya: 1. Membuat grafik jauh lebih sukar dan memakan waktu biaya serta alat, tidak demikian halnya dengan tabel. 2. Data yang dapat disajikan atau dituangkan dalam bentuk grafik amatlah terbatas, sebab apabila datanya banyak sekali (bermacam-macam) maka lukisan grafiknya akan menjadi terlalu ruwet dan memusingkan.
  31. 31. 3. Grafik pada kebanyakan bersifat kurang teliti. Dalam tabel dapat dimuat angka sampai pada tingkat ketelitian yang setinggi-tingginya (misalnya: 6,343; 7001; 0,126 dan sebagainya dapat dimuat dalam tabel, namun tidak mungkin dilakukan pada grafik). 1. Pengertian Grafik Grafik adalah alat penyajian data statistik yang tertuang dalam bentuk lukisan, baik lukisan garis, gambar, maupun lambang. Jadi dalam penyajian data angka melalui grafik, angka itu dilukiskan dalam bentuk lukisan garis, gambar atau lambang tertentu; dengan kata lain: angka itu divisualisasikan. 2. Bagian-bagian Utama Grafik Sebuah grafik yang lengkap pada umumnya terdiri dari 13 bagian, adalah: a. Nomor grafik b. Judul grafik c. Sub judul grafik d. Unit skala grafik e. Angka skala grafik f. Tanda skala grafik g. Ordinat atau ordinal atau sumbu vertikal h. Koordinat (garis-garis pertolongan = garis kisi-kisi) i. Absis (sumbu horisontal = sumbu mendatar = garis nol = garis awal = garis mula). j. Titik nol (titik awal) k. Lukisan grafik (gambar grafik) l. Kunci grafik (keterangan grafik) m. Sumber grafik (sumber data) 3. Macam-macam Grafik Macam-macam atau jenis grafik, seperti: a. Grafik balok atau grafik batang atau barchart. b. Grafik lingkaran atau diagram pastel. c. Grafik gambar. d. Grafik peta e. Grafik bidang
  32. 32. f. Grafik volume g. Grafik garis atau grafik poligon h. Grafik ruang atau grafik histogram. 4. Cara melukiskan Distribusi Frekuensi dalam Bentuk Grafik Poligon (Polygon Frequency) dan Grafik Histogram a. Contoh cara melukiskan distribusi frekuensi dalam bentuk grafik poligon data tunggal. Misalnya: data yang berupa nilai hasil ulangan harian dalam bidang studi matematika yang diikuti oleh 40 orang murid MI seperti tertera pada tabel dibawah ini: Tabel III.1. Distribusi Frekuensi Nilai Hasil Ulangan Harian dalam Mata Pelajaran Matematika yang diikuti oleh 40 orang murid MI. Nilai (X) 10 9 8 7 6 5 4 3 Total F 2 3 5 5 10 7 5 3 40 = N Maka langkah yang perlu dilakukan berturut-turut adalah sebagai berikut: 1) Membuat sumbu horisontal (absis), lambangnya X 2) Membuat sumbu vertikal (ordinal), lambangnya Y 3) Menetapkan titik nol, yaitu perpotongan X dengan Y 4) Menetapkan nilai hasil ulangan umum bidang studi matematika pada absis X berturut-turut dari kiri ke kanan, mulai dari nilai terendah sampai dengan nilai tertinggi. 5) Menetapkan frekuensi pada ordinal Y 6) Melukiskan grafik poligonnya. Grafik 1. Poligon Frekuensi Nilai Ulangan Harian Mata Pelajaran Matematika dari 40 Orang Murid MI Y
  33. 33. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X Nilai b. Contoh cara melukiskan distribusi frekuensi dalam bentuk grafik histogram data tunggal Kita ambil kembali data yang berupa nilai hasil ulangan harian dalam bidang studi matematika, yang diikuti oleh 40 orang siswa MI seperti tertera pada tabel III.1., maka langkah yang perlu ditempuh adalah sebagai berikut: 1) Menyiapkan sumbu horisontal atau absis (X) 2) Menyiapkan sumbu vertikal atau ordinal (Y) 3) Menetapkan titik nol (perpotongan X dan Y) 4) Menetapkan atau menghitung nilai nyata (true value) tiap-tiap nilai yang tertera pada tabel di bawah ini. Tabel III.2. Perhitungan Nilai Nyata untuk Masing-masing Sekor (Nilai) Data yang Tertera pada Tabel III.1. Nilai (X) 10 9 8 7 6 5 4 3 Total F 2 3 5 5 10 7 5 3 40 N Nilai Nyata 9,5 – 10,5 8,5 – 9,5 7,5 – 8,5 6,5 – 7.5 5,5 – 6,5 4,5 – 5,5 3,5 – 4,5 2,5 – 3,5 5) Menetapkan nilai nyata masing-masing sekor (nilai) yang ada pada absis (X). 6) Menetapkan frekuensi tiap-tiap sekor (nilai) yang ada pada ordinal (Y) 7) Membuat garis pertolongan (koordinat)
  34. 34. 8) Melukiskan Grafik Histogramnya. c. Contoh cara melukiskan distribusi frekuensi dalam bentuk grafik poligon data kelompokkan Misalkan data tentang nilai hasil ujian akhir dalam bidang studi biologi dari sejumlah 80 orang siswa kelas III jurusan IPA, akan kita sajikan dalam bentuk poligon frekuensi, maka langkah yang perlu dilakukan secara berturut-turut adalah sbb: 1) Menyiapkan sumbu horisontal atau absis (X) 2) Menyiapkan sumbu vertikal atau ordinal (Y) 3) Menetapkan titik nol (perpotongan X dengan Y) 4) Menetapkan atau mencari nilai tengah (midpoint) masing-masing interval. Tabel III.3. Perhitungan Nilai Tengah untuk Masing-masing Interval dari Data yang ada. Interval F Midpoint (X)
  35. 35. 78 – 80 2 79 75 – 77 2 76 72 – 74 3 73 69 – 71 4 70 66 – 68 5 67 63 – 65 10 64 60 – 62 17 61 57 – 59 14 58 54 – 56 11 55 51 – 53 6 52 48 – 50 4 49 45 – 47 2 46 Total 80 N 5) Menetapkan nilai tengah dari masing-masing interval pada absis (X) 6) Menetapkan frekuensi dari masing-masing interval, pada ordinal (Y) 7) Membuat garis pertolongan (koordinat) 8) Melukiskan grafik poligonnya. 0 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 x d. Contoh cara melukiskan distribusi frekuensi dalam bentuk grafik histogram data kelompokkan. Kita ambil kembali data nilai hasil ujian akhir dalam bidang studi biologi, yang diikuti oleh sejumlah 80 orang siswa kelas III SMA Jurusan IPA seperti tertera pada tabel III.3., maka langkah kerja sebagai berikut: 1) Menyiapkan sumbu horisontal atau absis (X) 2) Menyiapkan sumbu vertikal atau ordinal (Y)
  36. 36. 3) Menetapkan titik nol (perpotongan X dengan Y) 4) Menetapkan atau mencari nilai nyata dari masing-masing interval yang terdapat pada Tabel III.4. Tabel III.4. Perhitungan Nilai Nayata Masing-masing Interval untuk Data yang tertera pada Tabel III.3. Interval F Nilai Nyata (X) 78 – 80 2 77,5 – 80,5 75 – 77 2 74,5 – 77,5 72 – 74 3 71,5 – 74,5 69 – 71 4 68,5 – 71,5 66 – 68 5 65,5 – 68,5 63 – 65 10 62,5 – 65,5 60 – 62 18 59,5 – 62,5 57 – 59 14 56,5 – 59,5 54 – 56 10 53,5 – 56,5 51 – 53 6 50,5 – 53,5 48 – 50 4 47,5 – 50,5 45 – 47 2 44,5 – 47,5 Total 80 N 5) Menetapkan nilai nyata masing-masing interval pada absis (X) 6) Menetapkan frekuensi dari masing-masing interval, pada sumbu vertikal (Y) 7) Membuat garis pertolongan (koordinat) 8) Melukiskan grafik histogramnya. 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 44,5 47,5 50,5 Nilai Nyata D. Jawablah Pertanyaan-pertanyaan dibawah ini dengan teliti, baik dan benar!
  37. 37. 1. Data I.A.: Nilai Hasil Ulangan Harian dari sejumlah 60 orang siswa Madrasah Aliyah dalam bidang studi Akidah Akhlak adalah sebagai berikut: 7 5 8 3 6 4 6 7 5 9 4 6 8 6 8 5 7 5 9 7 3 4 6 5 5 4 8 6 5 6 9 7 5 8 6 4 6 7 8 10 7 6 3 9 5 7 6 3 8 7 10 8 7 6 6 5 7 7 6 6 Soal: Aturlah (susunlah) dan kemudian sajikanlah data tersebut di atas dalam bentuk: a. Tabel Distribusi Frekuensi, dengan mengindahkan persyaratan tertentu sehingga dapat disebut Tabel Distribusi Frekuensi yang Baik! b. Tabel Persentase! c. Tabel Presentase Kumulatif! 2. Lukiskan Data No. I.A. di atas dalam bentuk Grafik Histogram Frekuensi! 3. Sejumlah 75 orang calon, menempuh tes seleksi dalam bidang studi Bahasa Inggris. Setelah tes berakhir, diperoleh sekor hasil tes seperti pada Data I.B. 57 53 57 60 54 57 56 61 57 54 61 59 53 60 57 57 58 54 57 55 56 59 62 59 55 56 60 56 56 60 53 57 62 60 56 57 54 63 57 56 58 63 58 59 57 58 56 58 56 58 59 54 57 58 59 55 60 58 57 57 55 58 59 55 56 58 57 61 55 61 62 55 62 61 59 Soal: susunlah/aturlah dan kemudian sajikanlah data No.I.B. di atas, dalam bentuk: a. Tabel Distribusi Frekuensi. b. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif. c. Grafik Polygon Frekuensi. 4. Data I.C. 59 48 53 47 57 64 62 62 65 57 57 81 83 65 76 53 61 60 37 51 51 63 81 60 77 48 71 57 82 66 54 47 61 76 50 57 58 52 57 40 53 66 71 61 61 55 73 50 70 59 50 59 69 67 66 47 56 60 43 54 47 81 76 69 50 Soal: Sajikanlah data No.I.C. itu dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi yang memenuhi persyaratan yang baik. 5. Sajikanlah Data No.I.C. itu dalam bentuk Grafik Histogram Frekuensi, dengan catatan bahwa interval classnya (i) ditetapkan sebesar 5. UKURAN TENDENSI PUSAT (CARA MENGHITUNG MEAN, MEDIAN DAN MODUS) A. Mean (Nilai Rata-rata Hitung)
  38. 38. Nilai rata-rata hitung dikenal dengan istilah Arithmetic Mean, atau sering disingkat dengan Mean saja. Sebagai salah satu ukuran tendensi pusat, Mean dikenal sebagai ukuran yang menduduki tempat terpenting jika dibandingkan dengan ukuran tendensi pusat lainnya. Dalam kegiatan penelitian ilmiah, yang mempergunakan statistik sebagai metode analisa data, mean dapat dikatakan hampir selalu dipergunakan atau dihitung. Dalam kehidupan sehari-haripun, dengan sadar atau tidak, sebenarnya kebanykan orang telah menggunakannya sebagai salah satu ukuran. 1. Pengertian Mean Secara singkat pengertian mean dapat dikemukakan sebagai berikut: Mean dari sekelompok (sederetan) angka (bilangan) adalah jumlah dari keseluruhan angka (bilangan) yang ada, dibagi dengan banyaknya angka (bilangan) tersebut. Contoh: seorang siswa MA memiliki nilai hasil ulangan dalam bidang studi Agama Islam, PPKN, Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, IPS dan IPA berturut-turut: 8; 9; 7; 4; 6; dan 5. Untuk memperoleh mean nilai hasil ulangan tersebut, keenam butir nilai yang ada itu kita jumlahkan, lalu kita bagi dengan banyaknya nilai tersebut; yaitu (8 + 9 + 7 + 4 + 6 + 5) : 6 = 6,50 Jika ke enam bilangan tersebut kita lambangkan dengan, X1; X2; X3; X4; X5 dan X6; sedangkan banyaknya nilai itu kita lambangkan dengan N, maka Mean dari ke enam butir nilai tersebut adalah: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Mx = N Apabila kita rumuskan secara umum, maka: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 …Xn Mx = N Atau dapat disingkat menjadi: ∑X Mx = N Inilah rumus umum atau rumus dasar untuk mencari atau menghitung Mean. 2. Cara Mencari/Menghitung Mean Mencari Mean dapat dilakukan dengan berbagai macam cara, tergantung dari data yang akan dicari Mean-nya itu. Apakah data tunggal atau data kelompokan. a. Cara Mencari Mean untuk Data Tunggal
  39. 39. Ada dua macam cara yang dapat dipergunakan untuk mencari Mean dari data tunggal, yaitu: 1) Cara mencari Mean data tunggal, yang seluruh sekornya berfrekuensi satu Rumus yang dipergunakan ∑X Mx = N Dimana: ∑X = Jumlah dari sekor-sekor (nilai-nilai) yang ada; Mx = Mean yang dicari; dan N = Number of Cases (banyaknya sekor-sekor itu sendiri) Contoh: Jika nilai hasil ulangan dari siswa MAN di atas kita hitung Mean-nya dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi, maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut: Tabel IV.1. Perhitungan Mean Nilai Hasil Ulangan Harian dalam Bidang Studi Agama Islam, PPKN, Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, IPS dan IPA seorang siswa MAN. X 9 8 7 6 5 4 F 1 1 1 1 1 1 39 N=6 Dari tabel IV.1. telah kita peroleh: ∑X = 39 , sedangkan N = 6 . Dengan demikian: ∑X Mx = N 39 Mx = --------6 Mx = 6,5 2) Cara mencari Mean data tunggal yang sebagian atau seluruh sekornya berfrekuensi lebih dari satu Karena data tunggal yang akan dihitung Mean-nya baik sebagian atau seluruh sekornya berfrekuensi lebih dari satu, maka rumus untuk mencari Mean seperti yang telah dikemukakan di atas perlu dimodifikasi, yaitu dengan jalan
  40. 40. memasukkan atau mengikutsertakan frekuensi sekor yang ada ke dalam rumus. Dengan demikian rumus di atas berubah menjadi: ∑fX Mx = N Dimana: ∑fX = Jumlah dari hasil perkalian antara masing-masing sekor dengan frekuensinya; Mx = Mean yang kita cari; dan N = Number of Cases Contoh: Dalam ujian akhir semester bidang studi bidang studi aqidah akhlak, yang diikuti 50 orang siswa kelas III MAN diperoleh nilai hasil ujian akhir semester sebagaimana tertera pada Tabel IV.2. dibawah ini: Tabel IV.2. Nilai Hasil Ujian Akhir Semester Bidang Studi Aqidah Akhlak, dari Sejumlah 50 Orang Siswa Kelas III MAN Nilai (X) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 Total Frekuensi (f) 1 1 2 10 17 11 5 2 1 50 = N Di sini kita lihat bahwa sebagian terbesar nilai hasil ujian akhir semester itu berfrekuensi lebih dari satu. Untuk memperoleh Mean dari data semacam itu, tiaptiap sekor atau nilai yang ada terlebih dahulu harus diperkalikan dengan frekuensinya masing-masing; setelah itu dijumlahkan, dan akhirnya dibagi dengan N. Dengan demikian kita perlu menyiapkan tabel perhitungannya, yang terdiri dari tiga kolom. Pada kolom 1 kita muat nilai hasil ujian akhir semester yang akan kita cari Mean-nya, kolom 2 memuat frekuensi masing-masing nilai hasil ujian akhir semester tersebut, sedangkan pada kolom 3 kita muat hasil perkalian tiap-tiap sekor (nilai) yang ada, dengan frekuensinya masing-masing. Tabel IV. 3. Tabel Perhitungan untuk Mencari Mean Nilai Hasil Ujian Akhir Semester Bidang Studi Aqidah Akhlak, yang Diikuti Oleh 50 Orang Siswa Kelas III MAN X 10 f 1 fX 10
  41. 41. 9 8 7 6 5 4 3 2 Total 1 2 10 17 11 5 2 1 50 = N 9 16 70 102 55 20 6 2 ∑fX = 290 Dari Tabel IV.3. telah berhasil kita peroleh: ∑fX =290 kita ketahui =50 , sedangkan N telah . Dengan demikian Mean dapat kita peroleh dengan mudah, dengan mempergunakan rumus : ∑fX Mx = 290 maka: N Mx = ------------50 Mx = 5.8 b. Cara Mencari Mean untuk Data Kelompokan Untuk data kelompokan Mean dapat diperoleh dengan menggunakan dua metode, yaitu Metode Panjang dan Metode Singkat. 1) Mencari Mean data kelompokan dengan menggunakan Metode Panjang Pada perhitungan Mean yang mempergunakan metode panjang, semua kelompokan data (interval) yang ada terlebih dahulu dicari Nilai Tengah atau Midpointnya. Setelah itu, tiap Midpoint diperkalikan dengan frekuensi yang dimiliki oleh masing-masing interval yang bersangkutan. Rumus Mean dengan Metode Panjang adalah sebagai berikut: ∑fX Mx = N Contoh: Dalam tes seleksi penerimaan siswa baru SMA Swasta yang diikuti 400 orang calon, diperoleh nilai hasil tes bidang studi bahasa Inggris sebagai berikut:
  42. 42. Tabel IV.4. Nilai Hasil Tes Seleksi Bidang Studi Bahasa Inggris dari Sejumlah 400 Orang Calon yang Mengikuti Tes Seleksi Penerimaan Calon Siswa Baru pada Sebuah SMA Swasta. Interval Nilai 75 – 79 70 – 74 65 – 69 60 – 64 55 – 59 50 – 54 45 – 49 40 – 44 35 – 39 30 – 34 Total f 4 8 16 80 120 88 44 20 16 4 400 = N Langkah yang harus ditempuh dalam mencari Mean dari data kelompokan dengan menggunakan Metode Panjang, adalah sebagai berikut: a) Menetapkan (menghitung) Nilai Tengah (Midpoint) masing-masing interval, diberi lambang X. b) Memperkalikan frekuensi masing-masing interval, dengan Midpoint-nya, atau f dikalikan dengan X, sehingga diperoleh fX. c) Menjumlahkan fX, sehingga diperoleh ∑fX. d) Menghitung Mean-nya. Tabel IV.5. Tabel Perhitungan untuk Mencari Mean Nilai Hasil Tes Seleksi Bidang Studi Bahasa Inggris dari Sejumlah 400 Orang Calon yang Mengikuti Tes Seleksi Penerimaan Calon Siswa Baru pada Sebuah SMA Swasta. Interval Nilai f 75 – 79 4 70 – 74 8 65 – 69 16 60 – 64 80 55 – 59 120 50 – 54 88 45 – 49 44 40 – 44 20 35 – 39 16 30 – 34 4 Total 400 = N X 77 72 67 62 57 52 47 42 37 32 fX 308 576 1072 4960 6840 4576 2068 840 592 128 ∑fX = 21960
  43. 43. Dari Tabel III.5. telah berhasil kita peroleh ∑fX = 21960, dan N = 400 . Dengan demikian: ∑fX 21960 Mx = Mx = ----------Mx = 54,9 N 400 Disini dapat kita amati dan rasakan, dalam proses perhitungan untuk mencari Mean data kelompokan dengan metode panjang, kita bekerja dengan bilangan yang cukup besar. Karena itu jika dalam perhitungan kita tidak dibantu oleh mesin hitung atau kalkulator, maka disamping sangat diperlukan ketelitian, resiko kesalahan yang kita hadapi pun cukup besar. Itulah sebabnya para ahli statistik mengemukakan cara lain yang lebih praktis, dalam arti perhitungan dapat dilakukan dengan lebih cepat dan mudah, dengan resiko kesalahan yang kecil. 2) Mencari Mean data kelompokan dengan menggunakan Metode Singkat Jika dalam perhitungan Mean dipergunakan Metode Singkat, maka rumus yang dipergunakan adalah sebagai berikut: ∑fx1 Mx = M1 + i N Dimana: Mx = Mean; M1 = Mean terkaan atau Mean taksiran; i = interval class (besar/luasnya pengelompokan data); ∑fx1 = Jumlah dari hasil perkalian antara titik tengah buatan sendiri dengan frekuensi dari masing-masing interval; dan N = Number of Cases. Contoh: Misalnya data yang disajikan pada Tabel IV.4. kita cari Mean-nya dengan menggunakan Metode Singkat. Maka proses perhitungan dan langkah perhitungan adalah sebagai berikut: a) Mencari Mean Terkaan Sendiri atau Mean Taksiran Sendiri (yaitu M1) Dalam menetapkan M1 dapat kita tempuh cara:
  44. 44. (1) Memilih satu Midpoint diantara midpoint yang ada dalam Tabel Distribusi Frekuensi, yaitu midpoint dari interval nilai yang memiliki frekuensi tertinggi (terbesar). (2) Cara lainnya ialah, dengan memilih satu diantara midpoint yang ada pada tabel distribusi frekuensi, yang terletak di tengah-tengah deretan interval nilai dalam tabel distribusi frekuensi tersebut. b) Menetapkan x1 (titik tengah buatan kita sendiri) Caranya adalah sebagai berikut: disebelah kanan M1 yang telah kita pilih atau kita tetapkan itu, kita cantumkan angka 0. Selanjutnya secara berturutturut di atas 0 kita tuliskan: +1, +2, +3, dan +4; sedangkan di bawah 0, secara berturut-turut kita tuliskan: -1, -2, -3, -4, dan -5. c) Memperkalikan frekuensi dari masing-masing interval, dengan x1 (jadi f dikalikan dengan x1 = fx1). Setelah perkalian dapat diselesaikan, lalu dijumlahkan. Tabel IV.5. Perhitungan Mean Data yang Disajikan pada Tabel. IV.4. dengan menggunakan Metode Singkat. Interval Nilai 75 – 79 70 – 74 65 – 69 60 – 64 55 – 59 50 – 54 45 – 49 40 – 44 35 – 39 30 – 34 Total 152-320=-168 f 4 8 16 80 120 88 44 20 16 4 400 = N X 77 72 67 62 (57)M1 52 47 42 37 32 - x1 +4 +3 +2 +1 0 -2 -3 -4 -5 c) Menghitung Mean-nya, dengan mempergunakan rumus: ∑fx1 Mx = M1 + i N fx1 16 24 32 80 0 - 88 - 88 - 60 - 64 - 20 1 ∑fx = - 168
  45. 45. Karena M1, i, fx1 dan N telah kita ketahui (yaitu: M1 = 57 , i = 5 , ∑fx1 = - 168 , dan N = 400 ), maka dengan mensubtansikannya ke dalam rumus di atas, dapat kita peroleh Mean-nya: ∑fx1 Mx = M1 + i N Dengan rumus atau metode singkat ternyata Mean yang kita peroleh adalah persis sama dengan Mean yang kita peroleh dengan menggunakan metode panjang, yaitu Mx = Dapat kita amati dan kita rasakan bahwa dengan menggunakan metode singkat, perhitungan dapat berjalan dengan cepat, resiko kesalahan hitung dapat ditekan sampai seminimal mungkin (sebab di sini kita tidak berhadapan dengan bilangan yang besar), sedangkan hasilnya persis sama. 3. Penggunaan Mean Sebagai salah satu ukuran rata-rata, Mean kita pergunakan apabila kita berhadapan dengan kenyataan seperti: a. Bahwa data statistik yang kita hadapi merupakan data yang distribusi frekuensinya bersifat normal atau simetris; setidak-tidaknya mendekati normal. Jadi apabila data statistik yang kita hadapi bersifat a-symetris, maka untuk mencari nilai ratarata data yang demikian itu hendaknya jangan dipergunakan Mean, sebab nilai rata-rata yang diperoleh nantinya akan terlalu jauh menyimpang dari kenyataan yang sebenarnya. b. Bahwa dalam kegiatan analisa data, kita menghendaki kadar kemantapan atau kadar kepercayaan yang setinggi mungkin. Seperti dapat kita amati pada perhitungan Mean yang telah dikemukakan contohnya di muka, maka Mean yang kita peroleh adalah hasil dari perhitungan yang dilakukan terhadap semua angka, tanpa kecuali; karena itu, sebagai ukuran rata-rata, Mean cukup dapat diandalkan, atau memiliki reliabilitas yang tinggi. c. Bahwa dalam penganalisaan data selanjutnya, terhadap data yang sedang kita hadapi atau kita teliti itu, akan kita kenai ukuran-ukuran statistik selain Mean, misalnya: deviasi rata-rata, deviasi standar, korelasi dan sebagainya. 4. Kelemahan Mean
  46. 46. Seperti telah dikemukakan pada awal pembicaraan tentang Mean, maka dalam dunia statistik, Mean dikenal sebagai ukuran rata-rata yang menduduki tempat paling penting jika dibandingkan dengan ukuran rata-rata lainnya. Namun demikian hal itu bukanlah berarti bahwa Mean tidak memiliki kelemahan. Sebagai ukuran rata-rata, Mean menyandang kelemahan sebagai berikut: a. Kerena Mean itu diperoleh atau berasal dari hasil perhitungan terhadap seluruh angka yang ada, maka jika dibandingkan dengan ukuran rata-rata lainnya perhitungan relatif lebih sukar. b. Dalam menghitung Mean, sangat diperlukan ketelitian dan kesabaran, lebih-lebih apabila kita dihadapkan kepada bilangan yang cukup besar, sedangkan kita tidak memiliki alat bantu perhitungan. c. Sebagai salah-satu ukuran rata-rata, Mean kadang-kadang sangat dipengaruhi oleh angka atau nilai ekstrimnya, sehingga hasil yang dperoleh kadang-kadang terlalu jauh dari kenyataan yang ada. B. Nilai Rata-rata Pertengahan (Median) Nilai rata-rata pertengahan atau nilai rata-rata letak atau nilai posisi tengah, biasa diberi lambang: Mdn, Me, atau Mn. Dalam hal ini lambang yang akan kita gunakan adalah Mdn. 1. Pengertian Nilai Rata-rata Pertengahan (Median) Yang dimaksud dengan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median ialah suatu nilai atau suatu angka yang membagi suatu distribusi data ke dalam dua bagian yang sama besar. Dengan kata lain, Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median adalah nilai atau angka yang di atas nilai atau angka tersebut terdapat ½N dan di bawahnya juga terdapat ½N. Itulah sebabnya Nilai Rata-rata ini dikenal sebagai Nilai Pertengahan atau Nilai Posisi Tengah, yaitu nilai yang menunjukkan pertengahan dari suatu distribusi data. 2. Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan Ada beberapa cara untuk mencari Nilai Rata-rata Pertengahan, antara lain: a. Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal. Dalam mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal ini ada dua kemungkinan yaitu: 1) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal yang seluruh sekornya berfrekuensi 1
  47. 47. Di sini pun kita berhadapan dengan dua kemungkinan, yaitu: a) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal yang Seluruh Sekornya berfrekuensi 1, dan Number of Casesnya berupa bilangan gasal (ganjil). Untuk Data Tunggal yang seluruh sekornya berfrekuensi 1 dan Number of Casesnya berupa bilangan gasal (yaitu: N = 2n + 1), maka Median data yang demikian itu terletak pada bilangan yang ke (n + 1). Contoh: Sejumlah 9 orang mahasiswa menempuh ujian lisan dalam mata kuliah Evaluasi Pendidikan. Nilai mereka adalah sebagai berikut: 65, 75, 60, 70, 55, 50, 80, 40, dan 30. Untuk mengetahui nilai berapakah yang merupakan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median dari kumpulan nilai hasil ujian tersebut, maka pertama-tama deretan itu kita atur dari nilai terendah sampai tertinggi: 30 40 50 55 60 65 70 75 80 Karena N = 9, sedang rumus bilangan gasal adalah: N = 2n + 1, maka dengan demikian nilai yang merupakan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median dari hasil ujian lisan tersebut, adalah nilai (bilangan) yang ke ( + 1) atau bilangan ke , yaitu nilai Mdn = . b) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk data tunggal yang seluruh sekornya berfrekuensi 1 dan Number of Casesnya berupa bilangan Genap. Untuk data tunggal yang seluruh sekornya berfrekuensi 1 dan Number of Casesnya merupakan bilangan genap (yaitu: N = 2n), maka Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan data yang demikian itu terletak antara bilangan yang ke (n) dan ke (n + 1). Contoh: Tinggi badan 10 orang calon yang mengikuti seleksi penerimaan calon penerbang, menunjukkan angka sebagai berikut: 168, 162, 169, 170, 164, 167, 161, 166, 163, dan 165 cm. Cara mencari Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median-nya, sama seperti di atas, yaitu pertama-tama deretan angka itu terlebih dahulu kita atur berderet, mulai dari nilai terendah sampai dengan nilai yang tertinggi. 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
  48. 48. Karena N = 10 (merupakan bilangan bulat), sedang rumus untuk bilangan genap adalah N = 2n, maka Jadi Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan dari tinggi badan 10 orang peserta tes seleksi calon penerbang itu, terletak antara bilangan ke ( ke ( + 1), atau antara bilangan keangka di atas, bilangan ke- adalah dan ke- ) dan . Dalam deretan angka- , sedangkan bilangan ke- adalah . Jadi Mdn = Jika kedua data yang telah dijadikan contoh di atas kita tuang dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi dan kemudian kita cari mediannya, keadaannya adalah sebagai berikut: Median Nilai Hasil Ujian Lisan Dari 9 orang mahasiswa. X 80----75----70----65----(60)--55----50----40----30----Total F 1------1------1------1------1------1------1------1------1------9=N Median Tinggi Badan 10 orang Calon yang mengikuti tes calon Penerbang. X F Bil. Ke-10-170 1 Bil. Ke-9-169 1 Bil. Ke-8-168 1 Bil. Ke-7-167 1 Bil. Ke-6-166 1 Bil. Ke-5-165 1 Bil. Ke-4-164 1 Bil. Ke-3-163 1 Bil. Ke-2-162 1 Bil. Ke-1-161 1 Total 10 = N - Bil. Ke-9 -Bil. Ke-8 -Bil. Ke-7 -Bil. Ke-6 - --Median -Bil. Ke-4 -Bil. Ke-3 -Bil. Ke-2 -Bil. Ke-1 165 + 166 Mdn = = 165,5 2 2) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal yang sebagian atau seluruh sekornya berfrekuensi lebih dari satu. Apabila Data Tunggal yang akan kita cari Nilai Rata-rata Pertengahan atau Mediannya, sebagian atau seluruh sekornya berfrekuensi lebih dari satu, maka kita
  49. 49. sebaiknya tidak menggunakan cara seperti yang telah dikemukakan di atas, melainkan kita pergunakan rumus sebagai berikut: ½N – fkb ½N – fka Mdn = l + atau Mdn = u – fi fi Dimana: Mdn = Median yang dicari l = lower limit (batas bawah nyata dari sekor yang mengandung Median) fkb = frekuensi kumulatif yang terletak di bawah sekor yang mengandung median fi = frekuensi asli (frekuensi dari sekor yang mengandung median). N = Number of Cases u = upper limit (batas atas nyata dari sekor yang mengandung median). fka = frekuensi kumulatif yang terletak di atas sekor yang mengandung median. Contoh: Skor berikut ini menunjukkan usia sejumlah 50 orang guru Agama Islam yang bertugas pada Sekolah Dasar Negeri di suatu Kecamatan: 26 28 27 24 31 27 25 28 26 30 29 27 26 30 25 23 31 28 26 27 31 24 27 29 27 30 28 26 29 25 23 29 27 26 28 25 27 28 30 25 24 29 31 27 26 28 27 26 27 27 Untuk mencari median dari data di atas, terlebih dahulu kita siapkan Tabel Distribusi Frekuensinya: Tabel III.6. Tabel Distribusi Frekuensi untuk Mencari Median (Nilai Rata-rata Pertengahan) Usia dari Sejumlah 50 Orang Guru Agama Islam. Usia (X) 31 30 29 28 (27)Mdn 26 25 Tanda/Jari-jari F 4 4 5 7 12 8 5 fkb 50 46 42 37 30 18 10 fka 4 8 13 20 32 40 45
  50. 50. 24 23 Total 3 5 2 2 N=50 48 50 Setelah Tabel Distribusi Frekuensi dapat kita selesaikan pembuatannya, maka langkah berikutnya secara berturut-turut adalah: a) Pertama-tama data kita bagi menjadi dua bagian yang sama besar, yaitu masing-masing sebesar ½N; pada pertengahan distribusi data itulah terletak Median yang akan kita cari. Karena N = 50, maka ½N = ½ X 50 = ( _______ orang guru Agama Islam). Kita lihat Tabel, titik pertengahan data sebesar ____ itu adalah terkandung pada frekuensi kumulatif ______. Dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa Nilai Pertengahan Usia Guru Agama Islam itu terletak pada sekor _______, atau: bahwa sekor yang mengandung Median adalah sekor _______. b) Karena sekor yang mengandung median adalah sekor ______, maka dengan mudah dan cepat dapat kita ketahui: (1) Lower limitnya, yaitu l = (2) Frekuensi aslinya (fi) = (3) Frekuensi kumulatif yang terletak di bawah sekor yang mengandung median (fkb) yaitu = c) Dengan diketahuinya l, fi, dan fkb maka dengan mensubtitusikannya ke dalam rumus pertama, dapat kita peroleh Mediannya: ½N – fkb Mdn = l + fi Selanjutnya kita pergunakan rumus yang kedua untuk mencari Median dari data di atas: a) Titik pertengahan data adalah terletak pada ½N yaitu ½ X 50 = 25. Dalam frekuensi kumulatif yang dihitung dari atas (fka), titik pertengahan data sebesar 25 itu terkandung pada fkb sebesar _____. Dengan demikian dapat kita ketahui sekor yang mengandung Median, yaitu _______.
  51. 51. b) Karena sekor yang mengandung median adalah sekor _____, maka dengan mudah dapat kita ketahui: (1) Batas Atas Nyata dari sekor yang mengandung Median, yaitu u = (2) Frekuensi aslinya, atau frekuensi dari sekor yang mengandung Median adalah fi = (3) Frekuensi kumulatif yang terletak di atas sekor yang mengandung median (fka) adalah = c) Dengan telah diketahuinya u, fi, dan fka, maka dengan mensubtitusikannya ke dalam rumus kedua, dapat kita peroleh Mediannya: ½N – fka Mdn = u fi b. Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Kelompokkan Cara menghitung atau mencari Nilai Rata-rata Pertengahan dari data kelompokan adalah sama saja dengan apa yang telah dikemukakan di atas. Letak perbedaannya adalah, jika pada data tunggal kita tidak perlu memperhitungkan interval class (i), sedangkan pada data kelompokan kelas interval (i), itu harus ikut serta diperhitungkan, sehingga rumus diatas berubah menjadi: ½N – fkb Mdn = l + ½N – fka Xi fi atau: Mdn = u – Xi fi Dimana: Mdn = Median yang dicari l = lower limit (batas bawah nyata dari interval yang mengandung Median) fkb = frekuensi kumulatif yang terletak di bawah interval yang mengandung median fi = frekuensi asli (frekuensi dari interval yang mengandung median). N = Number of Cases u = upper limit (batas atas nyata dari interval yang mengandung median). fka = frekuensi kumulatif yang terletak di atas interval yang mengandung median. i = Interval Class Contoh: Misalkan sejumlah 100 orang siswa Madrasah Tsanawiyah menempuh ujian Akhir dalam bidang studi Bahasa Arab. Distribusi Frekuensi nilai mereka
  52. 52. adalah sebagaimana tertera pada Tabel.III.8. Jika kita ingin mencari Mediannya dengan menggunakan dua buah rumus yang telah dikemukakan di atas, maka kita perlu menyiapkan table perhitungan sebagai berikut: Tabel.III.7. Tabel Perhitungan untuk Mencari Median Nilai Hasil Ujian Akhir dalam Bahasa Arab yang Diikuti Oleh Sejumlah 100 Orang Siswa Madrasah Tsanawiyah. Interval/Nilai 65 – 69 60 – 64 (55 – 59)Mdn 50 – 54 45 – 49 40 – 44 35 – 39 30 – 34 25 – 29 20 – 24 Total F 6 24 25 15 10 6 5 4 3 2 100 = N fkb 100 94 70 45 30 20 14 9 5 2 fka 6 30 55 70 80 86 91 95 98 100 X fX 1) Perhitungan Median data kelompokan dengan rumus pertama: Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: Mencari letak pertengahan distribusi data, yaitu ½N; karena N = 100, maka ½N =______. Perhatikan table di atas, pada kolom 3 letak pertengahan data adalah pada frekuensi kumulatif sebesar ______. Dengan demikian, interval nilai yang mengandung median adalah interval nilai ______. Karena interval nilai yang mengandung median adalah _______, maka dengan cepat dapat kita ketahui: l = ______; fi = ______; sedangkan fkb = _______. Adapun interval classnya (sebagaimana dapat diamati dari Tabel.III.7.) adalah = ______. Karena ½N sudah kita ketahui, demikian juga l, f i, fkb, dan i pun telah kita
  53. 53. ketahui, maka dengan mensubtitusikannya kedalam rumus pertama, dapat diperoleh Mediannya: ½N – fkb Mdn = l + Xi fi 2) Perhitungan Median untuk data kelompokan dengan rumus kedua: Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: Mencari letak pertengahan distribusi data, yaitu ½N; karena N = 100, maka ½N = 50. Perhatikan table di atas, pada kolom 4 letak pertengahan data adalah pada frekuensi kumulatif sebesar ______. Dengan demikian, interval nilai yang mengandung median adalah interval nilai _____. Karena interval nilai yang mengandung median adalah ______, maka dengan mudah dapat kita ketahui: u = _____; fi = _____; sedangkan fka = ______ , sedangkan i = 5. kita subtitusikannya kedalam rumus kedua, dapat diperoleh Mediannya: ½N – fkb Mdn = u - Xi fi 3. Penggunaan Nilai Rata-rata Pertengahan (Median) Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median kita cari atau kita hitung, apabila kita berhadapan dengan kenyataan sebagai berikut: a. Kita tidak memiliki waktu yang cukup luas atau longgar untuk menghitung Nilai Rata-rata Hitung (Mean-nya) b. Kita tidak ingin memperoleh nilai rata-rata dengan tingkat ketelitian yang tinggi, melainkan hanya sekedar ingin mengetahui, sekor atau nilai yang merupakan nilai pertengahan dari data yang sedang kita teliti. c. Distribusi frekuensi data yang sedang kita hadapi itu bersifat a-simetris (tidak normal) d. Data yang sedang kita teliti itu tidak akan dianalisa secara lebih dalam lagi dengan mempergunakan ukuran statistik lainnya.
  54. 54. 4. Kebaikan dan Kelemahan Median Kebaikan yang dimiliki oleh Median sebagai ukuran rata-rata ialah, Mediannya dapat diperoleh dalam waktu yang singkat, karena proses perhitungannya sederhana dan mudah. Adapun kelemahannya ialah, Median sebagai ukuran rata-rata sifatnya kurang teliti. C. Modus (Mode) 1. Pegertian Modus Modus atau Mode, umumnya dilambangkan dengan Mo. Modus tidak lain adalah suatu sekor atau nilai yang mempunyai frekuensi paling banyak; dengan kata lain; sekor atau nilai yang memiliki frekuensi maksimal dalam suatu distribusi data. 2. Cara Mencari Modus a. Cara mencari modus untuk data tunggal Mencari modus untuk data tunggal dapat dilakukan dengan mudah dan cepat sekali, yaitu hanya dengan memeriksa (mencari) mana di antara sekor yang ada, yang memiliki frekuensi paling banyak. Sekor atau nilai yang memiliki frekuensi paling banyak itulah yang kita sebut modus. Contoh: Data tentang usia sejumlah 50 orang guru Agama Islam yang tercantum pada Tabel.III.6. dapat kita cari Modusnya sebagai berikut: Tabel.III.8. Tabel Distribusi Frekuensi untuk Mencari Modus dari Data yang Tertera pada Tabel.III.6 Usia (X) 31 30 29 28 f 4 4 5 7
  55. 55. 27 26 25 24 23 Total 12 8 5 3 2 50 = N Modus untuk data tersebut di atas adalah usia __27____ tahun. b. Cara Mencari Modus untuk Data Kelompokan Untuk mencari modus dari data kelompokan, dipergunakan rumus sebagai berikut: fa Mo = 1 + fb Xi fa + f b atau: Mo = u - Xi fa + f b Dimana: Mo = Modus; l = lower limit (batas bawah nyata dari interval yang mengandung Modus); fa = frekuensi yang terletak di atas interval yang mengandung Modus; fb = frekuensi yang terletak di bawah interval yang mengandung modus; u = upper limit (batas atas dari interval yang mengandung modus); dan i = interval class (kelas interval) Contoh: Nilai yang berhasil dicapai oleh sejumlah 40 orang mahasiswa dalam mata kuliah Perbandingan Agama adalah sebagai berikut: Tabel.III.9. Nilai Hasil Ujian Semester Mata Kuliah Perbandingan Agama dari sejumlah 40 orang Mahasiswa
  56. 56. Interva Nilai 85 – 89 80 – 84 75 – 79 70 – 74 65 – 69 (60 – 64)Mo 55 – 59 50 – 54 45 – 49 40 – 44 35 – 39 Total f 1 2 3 4 5 fa 10 f. Mak 5 fb 4 3 2 1 40 = N fkb X 87 82 77 72 67 62 57 52 47 42 37 fX Dari Tabel.III.9. dapat kita ketahui, interval nilai yang mengandung Modus adalah interval _______, karena interval nilai tersebutlah yang memiliki frekuensi paling banyak. Dengan diketahuinya interval yang mengandung Modus, maka berturut-turut dapat kita ketahui: lower limit (l) = _______; upper limitnya (u) = ______; fa = ______; dan fb = _____; adapun i = ______. Dengan mensubtitusikan ke dalam rumus pertama dan rumus kedua, maka dengan mudah dapat kita ketahui Modus dari data tersebut: Rumus pertama: fa Mo = 1 + Xi fa + f b Rumus kedua: fa Mo = u - Xi fa + f b
  57. 57. 3. Penggunaan Modus Mencari Modus kita lakukan apabila kita berhadapan dengan kenyataan sebagai berikut: a. Kita ingin memperoleh nilai yang menunjukkan ukuran rata-rata dalam waktu yang relatif singkat. b. Dalam mencari nilai yang menunjukkan ukuran rata-rata itu kita meniadakan faktor ketelitian; artinya ukuran rata-rata itu kita kehendaki hanya bersifat kasar saja. c. Dari data yang sedang kita teliti (kita cari Modusnya) kita hanya ingin mengetahui ciri-khasnya saja. 4. Kebaikan dan kelemahan Modus Seperti dapat dipahami dari uraian di atas, kebaikan Modus ialah dapat menolong diri kita dalam waktu yang paling singkat memperoleh ukuran rata-rata yang merupakan ciri khas dari data yang kita hadapi. Adapun kelemahannya ialah kurang teliti, karena Modus terlalu mudah atau terlalu gampang diperoleh (dicapai). D. Tugas Dalam sebuah penelitian terkumpulah data sebagai berikut: 50 54 70 40 65 42 66 42 67 69 30 60 61 53 61 64 54 44 63 43 60 50 62 51 44 64 54 63 45 55 45 56 53 46 57 47 74 40 41 53 53 34 35 54
  58. 58. 43 36 38 39 55 48 52 48 50 58 52 49 57 58 45 59 59 57 49 46 Selesaikanlah pertanyaan-pertanyaan dibawah ini dengan baik dan benar! a. Susunlah data diatas kedalam Tabel Distribusi Frekuensi dengan Interval 5! b. Hitunglah Mean (Rata-rata Hitungnya), Median dan Modus-nya! MASALAH PENYEBARAN DATA A. Pengertian Ukuran Penyebaran Data Ukuran penyebaran data, adalah berbagai macam ukuran statistik yang dapat dipergunakan untuk mengetahui; luas penyebaran data, atau variasi data, atau homogenitas data, atau stabilitas data. B. Macam-macam Ukuran Penyebaran Data
  59. 59. Dalam dunia statistik, dikenal beberapa macam ukuran penyebaran data, dari ukuran yang paling sederhana (kasar) sampai dengan ukuran yang dipandang memiliki kadar ketelitian yang tinggi, yaitu: (1) Range; (2) Deviasi; (3) Variance; dan (4) Ukuran Penyebaran Relatif. Ditilik dari segi relevansinya, maka dalam hal ini yang akan dikemukakan dua jenis ukuran saja, yaitu: (1) Range dan (2) Deviasi. 1. Range Range dalam dunia statistik dikenal sebagai ukuran penyebaran data yang paling sederhan, yang karena itu juga sering disebut sebagai ukuran penyebaran data yang paling kasar. a. Pengertian Range Range, yang biasa diberi lambang R adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukkan jarak penyebaran antara sekor (nilai) yang terendah (Lowest Score) sampai sekor (nilai) yang tertinggi (Highest Score). Dengan singkat dapat dirumuskan: R = H – L Dimana: R = Range yang kita cari; H = Sekor atau nilai yang tertinggi (Highest Score); dan L = Sekor atau nilai yang terendah (Lowest Score) b. Cara Mencari Range Contoh: Tabel.IV.1. Perhitungan Range Nilai Hasil Tes untuk 5 Macam Bidang Studi, yang Diikuti oleh 3 Orang Calon yang Mengikuti Tes Seleksi Penerimaan Calon Mahasiswa Baru pada STAIN Palangka Raya. Nilai yang dicapai Peng. Bhs Bhs Bhs H Agama Ind Arab Ingg A 85 55 75 45 65 85 B 58 65 72 60 70 72 C 65 65 65 65 65 65 Tabel IV.1. Menunjukkan bahwa makin kecil No Nama Ujian PPKN 1. 2. 3. L R= H-L Jumlah Nilai: Mean: 45 40 325 65 58 14 325 65 65 0 325 65 jarak penyebaran nilai dari nilai terendah sampai nilai tertinggi, akan makin homogen distribusi nilai tersebut. Sebaliknya, makin besar range-nya, akan makin berserakan (makin bervariasi)-lah nilai-nilai yang ada dalam distribusi nilai tersebut. Selain itu, berdasarkan pada range kita juga dapat mengatakan bahwa kian kecil range dari suatu distribusi data, kian cenderung bagi diri kita untuk menganggap bahwa Mean yang kita peroleh merupakan wakil yang presentatif data yang
  60. 60. bersangkutan; sebaliknya kian besar range-nya, kita akan lebih cenderung untuk menganggap bahwa Mean yang kita peroleh itu sifatnya meragukan. c. Penggunaan Range Range kita pergunakan sebagai ukuran, apabila di dalam waktu yang sangat singkat kita ingin memperoleh gambaran tentang penyebaran data yang sedang kita selidiki, dengan mengabaikan faktor ketelitian atau kecermatan. d. Kebaikan dan Kelemahan Range Kebaikan range sebagai salah satu ukuran penyebaran data ialah bahwa dengan menggunakan range dalam waktu singkat dapat diperoleh gambaran umum mengenai luas penyebaran data yang sedang kita hadapi. Adapun kelemahannya ialah: 1) Range akan sangat tergantung kepada nilai-nilai ekstrimnya. Dengan kata lain, besar-kecilnya range akan sangat ditentukan oleh Nilai Terendah dan Nilai Tertinggi yang terdapat dalam distribusi data, sehingga dengan demikian range sifatnya sangat labil dan kurang teliti. Contoh: Data X : H = 80, L = 30 R = 80 – 30 = 50 Data Y : H = 95, L = 45 R = 95 – 45 = 50 Data Z : H = 88, L = 38 R = 88 – 38 = 50 2) Range sebagai ukuran penyebaran data, tidak memeprhatikan distribusi yang terdapat di dalam range itu sendiri. Contoh: nilai tertinggi dan nilai terendah yang berhasil dicapai oleh 8 orang mahasiswa masing-masing adalah 80 dan 40, sehingga rangenya = 80 – 40 = 40. Dengan range sebesar 40 itu ada kemungkinan distribusi nilai itu adalah 40, 47, 52, 59, 64, 67, 70 dan 80; mungkin juga: 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40 dan 80; mungkin juga : 40, 40, 50, 50, 60, 60, 80, 80, atau berbentuk distribusi lainnya. Yang jelas, dengan hanya mengetahui rangenya saja, kita belum tahu secara pasti bagaimana sebenarya bentuk distribusi data yang kita hadapi mulai dari nilai terendah sampai nilai tertinggi. Karena kelemahan itulah maka sebagai salah-satu ukuran penyebaran data, range sangat jarang dipergunakan dalam pekerjaan analisa statistik. 2. Deviasi (Deviation) a. Pengertian Deviasi
  61. 61. Dalam statistik, yang dimaksud dengan deviasi ialah selisih atau simpangan dari masing-masing sekor atau interval, dari nilai rata-rata hitungannya (deviation from the Mean). Deviasi merupakan salah-satu ukuran variabelitas data yang biasa dilambangkan dengan huruf kecil dari huruf yang dipergunakan bagi lambang sekornya. Jadi apabila sekornya diberi lambang X maka deviasinya berlambang x; jika sekornya Y maka lambang deviasinya y; jika sekornya Z maka lambang deviasinya z. Karena deviasi merupakan simpangan atau selisih dari masing-masing sekor terhadap Mean grupnya, maka sudah barang tentu akan terdapat dua jenis deviasi, yaitu: (1) deviasi yang berada di atas Mean, dan (2) deviasi yang berada di bawah Mean. Deviasi yang berada di atas Mean dapat diartikan sebagai “selisih lebih”, karenanya deviasi semacam ini akan bertanda plus (+), dan lazim dikenal dengan istilah deviasi positif. Adapun deviasi yang berada di bawah Mean dapat diartikan sebagai “selisih kurang” dan karena itu selalu bertanda minus ( - ), dan lazim dikenal dengan istilah deviasi negatif. Maka perlu diingat bahwa semua deviasi baik yang bertanda plus maupun yang bertanda minus apabila kita jumlahkan, hasilnya pasti sama dengan nol (= 0). Contoh: Sekor (X) 8 7 6 5 4 30 = ∑X Banyaknya (f) 1 1 1 1 1 5=N Deviasi (x = X – Mx) 8 – 6 = +2 7 – 6 = +1 6–6=0 5 – 6 = -1 4 – 6 = -2 0 = ∑x Mx = ∑X/N = 30/5 = 6 Deviasi Positif Deviasi Positif Deviasi Negatif Deviasi Negatif Jumlah deviasi pasti = 0 b. Deviasi Standar Di atas telah diketahui bahwa ada deviasi plus dan deviasi minus, untuk mengatasi hal tersebut Karl Pearson, salah seorang ahli statistik yang sangat populer memberikan jalan keluar sebagai berikut: 1) Semua deviasi, baik yang bertanda “plus” maupun yang bertanda “minus” hendaknya dikuadratkan lebih dahulu. Dengan cara demikian, maka deviasi yang bertanda “plus” tetap akan bertanda “plus”, sedangkan deviasi yang
  62. 62. bertanda “minus” dengan sendirinya (karena dikuadratkan itu) akan berubah menjadi “plus”. 2) Setelah semua deviasi dikuadratkan dan bertanda “plus” lalu dijumlahkan, dicari rata-ratanya dan dicari akarnya. c. Rumus Deviasi Standar Deviasi Standar (Standard Deviation), umumnya diberi lambang SD, dan dalam dunia analisa statistik deviasi standar mempunyai kedudukan yang amat penting. Rumus umum Deviasi Standar atau SD ialah sebagai berikut: SD = √ ∑x2 / N Dimana: SD = Deviasi Standar; ∑x 2 = Jumlah semua deviasi, setelah mengalami Proses pengkuadratan terlebih dahulu; dan N = Number of Cases. d. Cara Mencari Deviasi Standar 1) Cara Mencari Deviasi Standar untuk Data Tunggal yang Semua Sekornya Berfrekuensi Satu. Rumus yang digunakan untuk mencari deviasi standar data tunggal yang semua sekornya berfrekuensi satu adalah SD = √ ∑x2 / N Contoh 1: Nilai hasil studi tingkat Sarjana yang berhasil dicapai Taufiq dalam 7 mata kuliah yang diujikan pada semester terakhir tingkat Doktoral sbb. Nilai (X) F 73 1 78 1 60 1 70 1 62 1 80 1 67 1 490 = ∑X 7=N Maka proses/langkah perhitungannya berturut-turut, sebagai berikut: a) Mencari rata-rata hitungnya dengan rumus Mx = ∑X/N, maka Mx = b) Mencari deviasi x dengan rumus x = X – Mx c) Mengkuadratkan x sehingga diperoleh x2, setelah itu dijumlahkan, sehingga diperoleh ∑x2. Tabel. IV.2. Perhitungan SD dari Data Nilai Hasil Studi Tingkat Sarjana yang Berhasil Dicapai Taufiq dalam 7 Mata Kuliah yang Diujikan pada Semester Terakhir Tingkat Doktoral
  63. 63. Nilai (X) 80 78 73 70 67 62 60 490 = ∑X f 1 1 1 1 1 1 1 7=N x 10 8 3 0 -3 -8 -10 x2 100 64 9 0 9 64 100 346 = ∑x2 490/7=70 d) Mencari deviasi standarnya, dengan rumus: SDx = √ ∑x2 / N Contoh 2: Nilai hasil studi tingkat Sarjana yang berhasil dicapai Tarmudzi dalam 7 mata kuliah yang diujikan pada semester terakhir tingkat Doktoral. Nilai (Y) 73 69 72 70 71 67 68 490 = ∑X f 1 1 1 1 1 1 1 7=N Maka proses/langkah perhitungannya berturut-turut, sebagai berikut: a) Mencari rata-rata hitungnya dengan rumus My = ∑Y/N b) Mencari deviasi y dengan rumus y = Y – My c) Mengkuadratkan y sehingga diperoleh y2, setelah itu dijumlahkan, sehingga diperoleh ∑y2. Tabel. IV.3. Perhitungan SD dari Data Nilai Hasil Studi Tingkat Sarjana yang Berhasil Dicapai Tarmudzi dalam 7 Mata Kuliah yang Diujikan pada Semester Terakhir Tingkat Doktoral Nilai (Y) 73 72 71 70 69 68 f 1 1 1 1 1 1 y 3 2 1 0 -1 -2 y2 9 4 1 0 1 4
  64. 64. 67 490 = ∑Y 1 7=N -3 9 28 490/7=70 d) Mencari deviasi standarnya, dengan rumus: SDy = √ ∑y2 / N Amatilah dengan seksama, ternyata Mean-nya sama tetapi standar deviasinya berbeda. 2) Cara Mencari Deviasi Standar untuk Data Tunggal yang sebagian atau seluruh sekornya Berfrekuensi lebih dari Satu Rumus deviasi standar adalah: SD = √ ∑fx2 / N Dimana: SD = Deviasi Standar; ∑fx2 = Jumlah hasil perkalian antara frekuensi masing-masing sekor, dengan deviasi sekor yang telah dikuadratkan; dan N = Number of Cases Contoh: Usia sejumlah 50 Orang Guru Agama Islam yang bertugas pada SDN di suatu Kecamatan sebagai berikut. Usia (X) 31 30 29 28 27 26 25 24 23 Total f 4 4 5 7 12 8 5 3 2 50 = N Maka langkah yang perlu ditempuh untuk menghitung deviasi standarnya adalah: a) Mencari Mean-nya dengan rumus: Mx = ∑fX/N
  65. 65. b) Mencari deviasi tiap-tiap sekor yang ada dengan rumus x = X – Mx c) Mengkuadratkan semua deviasi yang ada. d) Memperkalikan frekuensi dengan x2, sehingga diperoleh ∑fx2; setelah itu lalu dijumlahkan, diperoleh ∑fx2 = Tabel.IV.4. Perhitungan Deviasi Standar dari Usia Sejumlah 50 Orang Guru Agama Islam yang Bertugas pada SDN di Suatu Kecamatan. Usia (X) f fX x x2 fx2 31 4 124 30 4 120 29 5 145 28 7 196 27 12 324 26 8 208 25 5 125 24 3 72 23 2 46 Total 50 = N 1360 e) Mencari SD-nya dengan rumus: SD = √ ∑fx2/N 3) Cara Mencari Deviasi Standar untuk Data Kelompokan Untuk data kelompokan, deviasi standar dapat dicari dengan menggunakan dua buah rumus, yaitu rumus panjang dan rumus singkat. Rumus panjang kita pakai bila kita memiliki alat bantu penghitung seperti kalkulator dan sebagainya, karena memerlukan tingkat ketelitian dan kecermatan yang setinggi mungkin. a) Cara Mencari Deviasi Standar untuk Data Kelompokan, dengan menggunakan Rumus Panjang. Misal: Nilai hasil ujian akhir bidang studi Bahasa Arab dari sejumlah 80 orang siswa MAN Jurusan Bahasa, sebagai berikut: Interval Nilai 70 – 74 65 – 69 60 – 64 55 – 59 50 – 54 45 – 49 40 – 44 35 – 39 30 – 34 25 – 29 f 3 5 6 7 7 17 15 7 6 5
  66. 66. 20 – 24 Total 2 80 = N Untuk mencari deviasi standarnya diperlukan table perhitungan sbb: Tabel.IV.5. Perhitungan Deviasi Standar Nilai Hasil Ujian Akhir Bidang Studi Bahasa Arab dari Sejumlah 80 Orang Siswa MAN Jurusan Bahasa. Interval 70 – 74 65 – 69 60 – 64 55 – 59 50 – 54 45 – 49 40 – 44 35 – 39 30 – 34 25 – 29 20 – 24 Total f 3 5 6 7 7 17 15 7 6 5 2 80 = N X fX x x2 fx2 Dari Tabel.IV.5. telah kita peroleh Σfx2 = ______; sedangkan N = _____. Dengan demikian dapat kita ketahui SD-nya: SD = √∑fx2/N b) Cara Mencari Deviasi Standar untuk Data Kelompokan, dengan menggunakan Rumus Singkat. Seperti dapat kita amati dan kita rasakan bersama, perhitungan untuk mencari Deviasi Standar dengan menggunakan rumus panjang cukup berat, dalam arti: kita banyak dihadapkan pada bilangan yang cukup besar, diperlukan ketelitian dan kecermatan, dan resiko kesalahannya besar sekali. Karena itu, apabila kita tidak memiliki alat bantu penghitung (seperti kalkulator dan sebagainya), sebaiknya kita tidak mempergunakan rumus pertama itu. Untuk memperkecil resiko kesalahan dan mempercepat perhitungan, maka Karl Pearson kemudian mengemukakan rumus lain, yang selanjutnya dikenal dengan istilah Rumus Singkat. Rumus singkat untuk mencari SD itu adalah sebagai berikut: SD = i √ ∑fx’2 – ∑fx’ 2

×