2. Vektor adalah obyek geometri yang
memiliki besar dan arah. Vektor jika
digambar dilambangkan dengan tanda
panah (→).
3. Definisi-1
Ruang vektor adalah suatu himpunan
objek yang dapat dijumlahkan satu
sama lain dan dikalikan dengan suatu
bilangan, yang masing-masing
menghasilkan anggota lain dalam
himpunan itu.
4. Definisi-2
Syarat agar V disebut sebagai ruang
vektor :
Jika vektor – vektor u , v ∈ V , maka
vektor u + v ∈ V
2) u + v = v + u , v,u ∈ V
3) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
4) Ada 0 ∈ V sehingga 0 + u = u + 0 = u
,untuk semua u ∈ V , 0: vektor nol
1)
5)
Untuk setiap u ∈ V terdapat – u ∈ V
sehingga u + (– u ) = 0
5. 6) Untuk sembarang skalar k , jika
u ∈ V maka ku ∈ V
7) k ( u + v ) = k u + k v , k
sembarang skalar
8) (k + l) u = k u + l u , k dan l
skalar
9) k( l u ) = ( kl ) u
10)1 u = u
6. =
Contoh 1 : Ruang Vektor matriks 2x2
Pada contoh ini , kita akan mengetahui
mudahnya membuktikan aksiomaaksioma dengan urutan sebagai
berikut: 1,6,2,3,7,8,9,4,5,dan 10.
Misalakan:
u=
dan v=
7. Contoh 2:
Anggap V = R2, didefinisikan operasi
penjumlahan dan perkalian skalar
sebagai berikut:
Jika u = (u1,u2) dan v = (v1,v2) , maka:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
k (u) = (ku1,0)
karena (0,0) R2 maka V ≠ Ø
8. Contoh 3:
Diberikan V = R2 dengan aturan
sebagai berikut:
(x,y) + (x’,y’) = (x + x’ + 1, y + y’ + 1) dan
k (x,y) = (kx,ky)
Selidiki apakah V = R2 memenuhi 10
aksioma!
9. Teorema 5.1.1. anggap V adalah
suatu ruang vektor, u suatu vektor
dalam V, dan k suatu skalar; maka :
a) 0u = 0
b) K0 = 0
c) (-1)u = -u
d) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0
