Makalah ini membahas mengenai induksi matematika. Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian yang digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat. Terdapat beberapa prinsip dan tahapan dalam induksi matematika, yaitu basis induksi untuk menunjukkan kebenaran pernyataan untuk kasus terkecil, langkah induksi untuk mengasumsikan kebenaran pernyataan untuk kasus n kemudian membukt

1. Makalah
INDUKSI MATEMATIKA
Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir
Mata Kuliah : Bahasa Indonesia
Dosen Pengampu : Indriya Mulyaningsih, M.Pd
Oleh :
Elsa Ovalianita Anshori
Fakultas /Jurusan/Kelas :Tarbiyah /Matematika C/II
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SYEKH
NURJATI CIREBON 2013
Jl.Perjuangan By Pass (0231) 480242

2. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Suatu hal akan menjadi fakta apabila hal tersebut dapat dipertanggung
jawabkan kebenarannya melalui pembuktian. Membuktikan merupakan
aktivitas tingkat tinggi, karena membuktikan memerlukan pemahaman
terhadap materi, kemampuan memilih konsep dasar, kreativitas, tata bahasa
dan kekonsistenan.
Dalam kehidupan sehari-hari terkadang terdapat suatu pertanyaan yang
menggunakan kata “apakah”. Menjawab pertanyaan tersebut tidak hanya
dengan menjawab “ya” atau “tidak”, akan tetapi diperlukan bukti-bukti yang
membawa pada kesimpulan jawaban “ya” atau “tidak”.
Dalam matematika sering dituntut untuk membuktikan suatu pernyataan,
baik berupa teorema, konjektur dan lain-lain. Logika matematika sangat
memegang peranan penting dalam menentukan langkah pembuktian yang
valid. Di dalamnya terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk
membuktikan suatu pernyataan. Diantaranya metode pembuktian langsung,
metode pembuktian tidak langsung, metode maju mundur, metode coba-coba,
dan induksi matematika. Dalam makalah ini akan membahas mengenai
induksi matematika.
B. Rumusan Masalah
1. Apakah yang dimaksud dengan induksi matematika ?
2. Bagaimana prinsip-prinsip induksi matematika ?

3. 3. Bagaimana tahapan-tahapan dalam induksi matematika ?
C. Manfaat Penulisan
1. Mengetahui pembuktian dengan metode induksi matematika
2. Memahami prinsip-prinsip induksi matematika
3. Mengetahui tahapan-tahapan dalam induksi matematika

4. BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan salah satu dari pembuktian yang
digunakan dalam matematika selain pembuktian langsung maupun
pembuktian tidak langsung. Menurut A. Saepul (2008),induksi matematika
merupakan metode pembuktian yang sangat penting yang digunakan untuk
menetapkan kebenaran pernyataan yang diberikan dalam bentuk yang
berhubungan dengan bilangan asli.Adapula yang menyebutkan
bahwa“Induksi matematika adalah proses pembuktian teorema umum atau
rumus dari kasus-kasus khusus.” (Murray, 1984: 163). Sedangkan menurut
Soemartojo (1983: 18)”Induksi matematika adalah suatu metode yang
digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam
suku-suku bilangan asli“.Menurut Erman dan Turmudi(1993)induksi
matematika merupakan salah satu aksioma matematika yang sangat penting.
Dari berbagai pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa induksi
matematika merupakan salah satu pembuktian dalam matematika yang di
dalamnya membahas pembuktian yang berkaitan dengan bilangan bulat.

5. B. Prinsip Induksi Matematika
Untuk membuktikan bahwa suatu hubungan berlaku untuk setiap bilangan
asli n, digunakan “Dalil Induksi Lengkap” yang berbunyi1
:
“ Jika suatu hubungan berlaku untuk n=1, dan jika setelah dimisalkan berlaku
untuk n=k, dapat dibuktikan berlaku pula untuk n=k+1, maka hubungan itu
berlaku untuk setiap bilangan asli n”.
Prinsip induksi sederhana berbunyi2
:
Misalkan p(n) adalah proporsi perihal bilangan bulat positif dan kita ingin
membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk
membuktikan proporsi ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa :
1. p(1) benar, dan
2. jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ 1.
3. jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap n Sehingga p(n)
benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Langkah pertama dinamakan basis induksi, sedangkan langkah kedua
dinamakan langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi (pengandaian)
yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis
induksi. Apabila sudah melaksanakan dua langkah tersebut maka suatu
pernyataan sudah dapat dibuktikan kebenarannya.
Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut
benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil.
1
Soemartojo, Kalkulus (Jakarta: Erlangga 1983), hal 18.
2
Munir,Rinaldi,Matematika Diskrit Revisi ke-5(Bandung : Informatika), hal. 151.

6. Kemudian memperlihatkan bahwa implikasi p(n) p(n+1) benar untuk setiap
bilangan bulat positif. Untuk membuktikan implikasi tersebut benar untuk
setiap bilangan bulat n, maka perlu menunjukkan bahwa p(n+1) tidak
mungkin salah bila p(n) benar. Hal ini diselesaikan dengan cara
memperlihatkan bahwa berdasarkan hipotesis p(n) benar maka p(n+1) juga
benar.
Fakta bahwa langkah pertama dan kedua bersama-sama memperlihatkan
p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif adalah jelas intuitif. Dari
langkah pertama dapat diketahui bahwa p(n) benar. Dari langkah kedua dapat
diketahui bahwa jika p(1) benar maka p(2) juga benar. Akan tetapi, p(n)
sudah ditunjukkan benar dan di sini p(2) benar maka p(3) juga benar. Karena
sudah ditunjukkan bahwa p(2) benar, maka p(3) juga benar, dan seterusnya.
Secara intuitif dapat dilihat bahwa langkah pertama dan langkah kedua
bersama-sama memperllihatkan bahwa p(1),p(2), ……p(n) semuanya benar.
Pembuktian dengan menggunakan induksi matematika memiliki kemiripan
dengan efek domino. Sejumlah batu domino diletakkan berdiri dengan jarak
ruang yang sama satu sama lain. Untuk merebahkan semua batu domino,
hanya diperlukan mendorong domino satu ke kanan. Jika domino 1 didorong
ke kanan, ia akan mendorong domino 2, domino 2 mendorong domino 3,
begitu seterusnya sehingga semua batu domino rebah ke kanan.

7. Contoh :
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa jumlah n buah
bilangan ganjil positif n pertama adalah n2
.
Penyelesaian :
Misalkan p(n) adalah proposisi yang menyatakan bahwa jumlah n buah
bilangan ganjil positif pertama adalahganjil positif pertama adalah n2
.
(i)
Basis induksi : p(1) benar, karena jumlah satu buah bilangan ganjil
positif pertama adalah 12
=1.
(ii)
Langkah induksi : Misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa
1+2+3+5+.......+(2n-1) = n2
Adalah benar (hipotesis induksi)
Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 +............+ (2n-1) +(2n+1)= (n+1)2
Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut :
1 + 3 + 5 +............+ (2n-1) +(2n+1)= [1+3+5+........+(2n-1)] + (2n+1)
= n2
+ (2n+1)
= n2
+ 2n+1
= (n+1)2

8. Prinsip Induksi yang Dirampatkan3
Terkadang dalam pembuktian pernyataan p(n) benar untuk semua bilangan
bulat ≥ n0, tidak hanya bilangan bulat yang dimulai dari 1 saja. Prinsip
induksi sederhana dapat dirampatkan (generalized) untuk menunujukkan hal
ini sebagai berikut :
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin
membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. Untuk
membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa :
1. p(n0) benar, dan
2. jika p(n) benar maka p(n+1) benar untuk setiap n ≥ n0
Contoh :
Buktikan pernyataan “Untuk membayar biaya pos sebesar n sen ( n≥8) selalu
dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar.
Penyelesaian:
Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk membayar biaya pos sebesar n
sen ( n≥8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen
saja.
(i) Basis induksi : p(8) benar, karena untuk membayar biaya pos 8 sen
dapat digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangko 5 sen
saja.
3
Ibid, hal. 156.

9. (ii) Langkah induksi : Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu asumsikan
bahwa untuk membayar biaya pos sebesar n sen dapat digunakan
perangko 3 sen dan 5 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan
bahwa p(n+1) benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n+1 sen
juga dapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5 sen. Ada dua
kemungkinan yang perlu diperiksa. Kemungkinan pertama, misalkan
kita membayar biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu
perangko 5 sen. Dengan mengganti satu buah perangko 5 sen dengan
dua buah perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai
n+1 sen. Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang
digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3 sen
semuanya. Karena n 8, setidaknya harus digunakan tiga buah
perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko 3 sen dengan 2
buah perangko sen, akan diahsilkan nilai perangko n+1 sen.
Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka pernyataan “Untuk
membayar biaya pos sebesar n( n≥8) sen selalu dapat digunakan hanya
perangko 3 sen dan perangko 5 sen” terbukti benar.
Prinsip Induksi Kuat4
Terkadang versi induksi yang lebih kuat diperlukan untuk membuktikan
pernyataan mengenai bilangan bulat. Versi induksi yang lebih kuat adalah
sebagai berikut :
4
Ibid, hal 160.

10. Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin
membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. Untuk
membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa :
1. p(n0) benar, dan
2. p(n0), p(n0+1),.......,p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap
bilangan bulat
sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0
Contoh :
Bilangan bulat positif disebut juga prima jika dan hanya jika bilangan bulat
tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kits ingin membuktikan
bahwa setiap bilangan bulat positif n(n≥2) dapat dinyatakan sebagai perkalian
dari (suatu atau lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.
Penyelesaian :
Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa setiap bilangan bulat positif n(n≥2)
dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
i. Basis Induksi : p(2) benar, karena 2 sendiri adalah bilangan prima dan
di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari datu buah bilangan
prima, yaitu dirinya sendiri.
ii. Langkah Induksi. Misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa bilangan
2,3,...,n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan
prima (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa p(n+1) benar,
yaitu n+1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Hal
ini ditunjukkan sebagai berikkut: jika n+1 sendiri bilangan prima, maka

11. jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan
prima. Jika n+1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat
positif a yang membagi habis n+1 tanpa sisa. Dengan kata lain,
(n+1)/a=b atau (n+1)=ab. Yang dalam hal ini, 2 ≤ a≤ b≤ n. Menurut
hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau
lebih bilangan prima. Ini berarti, n+1 jelas dapat dinyatakan sebagai
perkalian bilangan prima, karena n+1 =ab
Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa
setiap bilangan bulat positif n (n≤2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari
(satu atau lebih) bilangan prima.
C. Tahapan-tahapan dalam induksi matematika
1. Basis Step : Tunjukkan bahwa S(1) benar
2. Inductive Step : Asumsikan S(k) benar
Akan dibuktikan S(k) S(k+1) benar
3. Conclusion : S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer
positif
D. Bentuk Induksi Secara Umum5
Bentuk umum dari induksi matematika dibuat dimaksudkan agar
penerapan induksi matematika tersebut tidak hanya untuk pembuktian
proposisi yang menyangkut himpunan bilangan positif, tetapi juga
pembuktian yang menyangkut himpunan objek yang lebih umum. Syaratnya,
5
Ibid, hal. 163.

12. himpunan objek tersebut harus mempunyai keterurutan dan mempunyai
elemen terkecil.
Bentuk induksi secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :
Misalkan X terurut dengan baik oleh “ Misalkan X terurut dengan baik oleh
“< “, dan p(x) adalah pernyataan perihal elemen x dari X. Kita ingin
membuktikan bahwa p(x) benar untuk semua xЄX . untuk membuktikan ini,
kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
1. P( x0) benar, yang dalam hal ini x0 adalah elemen terkecil di dalam X,
dan
2. jika p(x) benar untuk y <x, maka p(x) juga benar untuk setiap x > x0 di
dalam X,
sehingga p(x) benar untuk semua x X.
sehingga p(x) benar untuk semua x Є X
Contoh :
Tinjau barisan bilangan yang didefinisikan sebagai berikut:
0 jika m=0 dan n=0
Sm,n Sm-1,n +1 jika n=0
Sm,n-1 +1 jika n≠0
Sebagai contoh,
S0,0= 0 S1,0=S0,0+ 1=0+1= 1
S0,1= S0,0+ 1 = 1 S1,1= S1,0+ 1= 1+1= 2
S0,2= S1,0+ 1 = 2 S2,1= S2,0+ 1=3,.......

13. Buktikan dengan induksi matematik bahwa untuk pasangan tidak negatif m
dan n, Sm,n = m+n.
Penyelesaian
i) Basis Induksi : karena (0,0) adalah elemen terkecil di dalam X, maka
S0,0= 0+0=). Ini benar definisi S0,0
ii) Langkah induksi. Buktikan untuk semua (m,n) > (0,0) di dalam X
bahwa jika Sm,n= m+n juga benar. Andaikan bahwa Sm’,n’= m’+n’
benar untuk semua (m’,n’)<(m,n). Ini adalah hipotesis induksi. Kita
perlu menunjukkan bahwa Sm,n =m+n, baik untuk n=0 atau n≠0.
Kasus 1 : jika n=0, maka dari definisi Sm,n= Sm-1,n+ 1. Karena (m-1, n) <(m,n),
maka dari hipotesis induksi,
Sm-1,n= (m-1)+n sehingga Sm,n= Sm-1,n+ 1 = (m-1) + n+ 1= m+n
Kasus 2 : jika n≠0, maka dari definisi Sm,n= Sm-1,n+ 1. Karena (m,n-1)<(m,n),
maka dari hipotesis induksi,
Sm-1,n= m+ (n-1) sehingga Sm,n = Sm,n-1 +1= m+(n-1) +1=m+n
Karena langkah (i) dan (ii) sudah diperlihatkan benar, maka terbukti bahwa
untuk pasangan tidak negatif m dan n, Sm,n= m+n.

14. BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dipaparkan dapat disimpulkan :
1. Induksi matematika merupakan salah satu pembuktian dalam matematika yang
hubungannya dengan bilangan bulat.
2. Prinsip-prinsip dalam induksi matematika :
a. Menunjukkan dengan substitusi yang sebenarnya bahwa teorema atau
rumus yang dinyatakan adalah benar untuk satu harga n yang bulat positif,
misalnya n=1
b. Andaikan teorema atau rumus adalah benar untuk n=k. Kemudian
buktikan bahwa teorema atau rumus adalah benar untuk n=k+1
3.Tahapan-tahapan dalam induksi :
a. Basis Step : menunjukkan bahwa p(n) benar untuk n=1
b. Inductive Step : mengasumsikan p(n) benar untuk n=k
Akan dibuktikan p(n) benar untuk n = k+1
c. Conclusion : p(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer

15. DAFTAR PUSTAKA
Antonius. 2013. “Induksi
Matematika“.http://antoniuscp.files.wordpress.com/2013/02/1-
induksi_matematika.pdf. Diakses pada 29 Mei 2013.
Erman dan Turmudi. 1993. Perkenalan dengan Teori Bilangan. Bandung :
Wijayakusuma.
Kusnadi. “Handout Teori
Bilangan“.http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND.
MATEMATIKA/196903301993031-KUSNANDI/Handout_TeoBil.pdf. Diakses pada
29Mei 2013.
Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg. 2004. Kalkulus dan Geometri Analisis.
Jakarta : Erlangga.
Rinaldi, Munir. 2012.Matematika Diskrit Revisi ke-5.Bandung : Informatika.
Saepul, A dkk. 2008. Matematika Edisi I Paket 1-7. Surabaya: Nidya Pustaka.
Soemartojo. 1983. Kalkulus. Jakarta : Erlangga.
Spiegel, Murray R. dan Kasir Iskandar. 1984. Teori dan Soal-soal Matematika
Dasar Scrischaum. Jakarta : Erlangga.