1. Альгебр тооны онол
Нэг хувьсагчийн олон гишүүнтийн цагариг дахь
үлдэгдэлтэй хуваах теорем
Дээрх теоремыг батлахын тулд “Нэг хувьсагчийн олон гишүүнтийн цагариг”-
ийн тухай ойлголтыг авч үзъе:Ф- дурын талбар “x” ямар нэг үл мэдэгдэгч
байг.х0, х1, х2, х3,……… хэлбэрийн х үсэг бичигдсэн байг.Үүнд х0 үгийг Ф
талбарын нэг гэж тооцно. Дээрх үгнүүдийг Ф талбарын элементүүдээр үржүүлж
хооронд нь нэмсэн, формаль илэрхийллийг Ф талбар дээрх х үл мэдэгдэгчтэй
олон гишүүнт гэнэ. Тийнхүү олон гишүүнтийг f(x) гэж тэмдэглэвэл тодорхойлолт
ёсоор:
f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an (1)
хэлбэртэй байна. a0,а1,….., аn(∈Ф) элементийг олон гишүүнтийн коэффициент
гэж нэрлэнэ. (1) бичиглэлд байгаа тэгээс ялгаатай коэффициенттэй х-ийн
зэргийн хамгийн их зэрэг илтгэгчийг олон гишүүнтийн зэрэг, түүний өмнөх
коэффициентийг ахмад гишүүний коэффициент гэж нэрлэнэ. Тухайлбал: а0≠0
үед f(x)-ийн зэрэг нь n байна. Үүнийг degf(x)=n гэж товчлон тэмдэглэдэг. (1)
хэлбэрийн олон гишүүнтийн олонлогийг Ф[x] гэж тэмдэглэдэг.
f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an; g[x]=b0xm+b1xm-1+…..+bm Үүнд а0≠0, b0≠0 хоёр
олон гишүүнтийг m=n, a0=b0, a1=b1….an=bm үед л хоорондоо тэнцүү гэж үзнэ.
Иймд Ф[x] олонлогийн элементүүд зөвхөн коэффициентүүдээрээ нэг утгатай
тодорхойлогдоно. g[x]∈Ф[x] олон гишүүнт m зэргийн бол g[x]=b0xm+b1xm-1+…..+bm
хэлбэртэйгээс гадна х-ийн m-ээс их зэрэгтэйгийн коэффициент тэгтэй тэнцүү
гэж сэтгэж: g[x]=c0xn+c1xn-1+…..+cn-m-1xm+1+cn-mxm+…..+cn хэлбэртэй бичиж
болно. Үүнд c0=c1=…..=cm-m-1=0, cn-m=b0,…,cn=bm∙Ф[x] олонлогт нэмэх, үржүүлэх
үйлдэл тодорхойлж цагираг болохыг шалгая. f(x) ба g[x](∈Ф[x]) хоёр олон
гишүүнтийг өмнө хэлсэн санамж ёсоор адил тооны нэмэгдэхүүнээс тогтсон гэж
сэтгэн ниилбэрийг нь:
f(x)+g[x]=(а0+c0)xn+(a1+c1)xn-1+…..+(an+cn) (2) дүрмээр тодорхойлъё.(2) нийлбэр
нэг утгатай байх нь коэффициентийн нийлбэр талбарт нэг утгатай
тодорхойлогддогоос илэрхий байна. (Ф[x], +) байна. Үнэхээр бүх коэффициент
нь 0 байх олон гишүүнтийг тэг олон гишүүнт гэж нэрлэх ба (2) ёсоор тэр нь
тэг элемент болно. f(x)- олон гишүүнтийн эсрэг нь . f(x)-ийн бүх
коэффициентүүдийг эсрэг тэмдгээр авахад гарах олон гишүүнт байна. (+)-
үйлдэлд ассоциатив хууль биелэгдэх нь талбарын (+)-үйлдэлд ассоциативаас
мөрдөн гарна. f(x), g[x] олон гишүүнтийн үржүүлэх үйлдлийг
f(x)∙g[x]=∑
(∑ 𝒂 (𝒊) 𝒃(𝒋))
𝒊 + 𝒋 = 𝒓
𝒎+𝒏
𝒛=𝒐
xn+m-r (3) дүрмээр тодорхойлъё.

2. Альгебр тооны онол
f(x)∙g[x]=c0xm+m+c1xn+m-1+……+cn+m-1x+cm+m гэсэн олон гишүүнт болох бөгөөд
коэффициент cz нь cz=∑ 𝒂(𝒊)𝒃(𝒋𝒊+𝒋=𝒛 ) гэж тодорхойлогдоно. (∙)-үйлдэл нэг
утгатай байх нь коэффициентийн хоорондохь үйлдэл Ф талбарт нэг утгатай
тодорхойлогддогоос илэрхий.Ф[x] олонлогт тодорхойлогдсон (∙) үйлдэлд
ассоциатив хууль биелэгдэхийг харж болно.(+), (∙) үйлдэл хаалт нээх хуулиар
холбогдохыг мөн хялбар шалгаж болно. Олон гишүүнтийн нэмэх, үржүүлэх
дүрмээс дараах дүгнэлт шууд мөрдөн гарна. Үүнд: Хэрэв degf(x)=n, deg(x)=m бол
deg(f(x)+g(x))≤m+n=degf(x)+degg(x) байна. Хэрэв m<n бол degf(x)+degg(x)=degf(x) юм.
Үүний адилаар deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x) байна. Хоёр ахмад гишүүний үржвэр нь
үржвэр олон гишүүнтийн ахмад гишүүн болно. Иймд c0=a0 b0≠0 болно. (1)
бичиглэлээс үзэхэд a0=a1=……..=an-1=0, an≠0 үед Ф талбарын бүх элемент Ф[x]
олонлогт харьяалагдах нь харагдана. (2) ба (3) томьёогоор тодорхойлсон
үйлдлээс үзэхэд (ф +,∙ :)∈(ф[x],+,°) байна.
Дээр дурьдсан бүгдийг дүгнэн хэлхэд дараах үр дүн гарна.
Ф[x] олонлог (2), (3) үйлдлийн хувьд цагираг үүсгэж, Ф талбарыг дотроо агуулна.
Ф[x] нэгжтэй цагираг ба нэгж нь Ф талбарын нэгж 1 болно. F(x), g(x)∈Ф[x] g(x)≠0,
f(x)≠0 бол f(x)∙g(x)≠0 ба deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x) байна. Иймд Ф[x] нь тэгийн
хуваагчгүй цагираг буюу өөрөөр хэлбэл бүхлийн муж байна.
Харин одоо Нэг хувьсагчийн олон гишүүнтийн цагариг дахь
үлдэгдэлтэй хуваах теорем-ийг томьёолж батлая:
Теорем: Ф[x] цагиргийн дурын хоёр олон гишүүнт f(x) ба g(x)-ийн хувьд g(x)≠0
бол f(x)=g(x)q(x)+r(x), degr(x)<degg(x) (4) байх q(x) ба r(x) олон гишүүнт Ф[x]
цагиргаас нэг утгатай олдоно.
Баталгаа: degf(x)=n, degg(x)=m байг.
А. degf(x)<(degg(x)) бол, q(x)≠0 r(x=f(x)) гэж авахад (4)-ийн хоёр шаардлага зэрэг
биелэгдэнэ.
Б. m≤n байг.
F(x)=b0xn+a1xn-1+……..+an, g(x)=b0xm+b1xm-1+……+bm бол a0≠0, b0≠0 учраас
F(x)-
𝒂 𝟎
𝒃 𝟎
g(x)xn-m=f1(x) (5)
Олон гишүүнтийг сонирхоё.degf1(x)=z≤n-1 байх нь ойлгомжтой. Хэрэв z≥m
бөгөөд f1(x)-ийн ахмад гишүүний коэффициент c0≠0 бол
F1(x)-
𝒄 𝟎
𝒃 𝟎
xz-m g(x)=f2(x) (6)

3. Альгебр тооны онол
Гэсэн олон гишүүнт олох ба хэрэв r<m бол энэ алхмыг (5)-ээр дуусгана.ийм
хязгаар s алхмын дараагаар
F(s)=fs-1(x)-
𝒅 𝟎
𝒃 𝟎
xe-mg(x) (7)
Үүнд degfs-1(x)=e, d0 нь fs-1(x)-ийн ахмад гишүүний коэффициент degf(x)<m байх fs(x)
олон гишүүнтэд хүрнэ. Эдгээр тэнцлийн сүүлчийнхэнд fs-1(x)-ийг олж орлуулан
цааш нь fs-2(x)-ийг олж, орлуулан тавих аргаар
F(x)-
𝑎0
𝑏0
g(x)xn-m-
𝑐0
𝑏0
xz-m g(x)-…….-
𝑑 𝑜
𝑏0
xe-m g(x)=fs(x) буюу f(x)=[
𝑎 𝑜
𝑏0
xn-m+
𝑐0
𝑏0
xn-m+……+
𝑑 𝑜
𝑏0
xe-
m]g(x)+fs(x) гэсэн тэнцэлд хүрнэ. Хаалтанд байгаа олон гишүүнтийг q(x); fs(x)-ийг r(x)
гэж тэмдэглэвэл
F(x)=g(x)q(x)+r(x), degz(x)<degg(x) гэсэн (4)-д дурьдсан бичиглэл оршин байх нь
батлагдав. Одоо g(x), r(x) хоёр нэг утгатай олдохыг баталъя.
F(x)=g(x)q1(x)+r1(x)=g(x)q2(x)+r2(x) (8)
Гэсэн хоёр бичиглэл оршин байг. Үүнд: degg(x)>degz1(x), degz2(x) юм. (8)-ээс
g(x)[q1(x)-q2(x)]=r2(x)-r1(x) болно. Deg(r2(x)-r1(x))<degg(x) учраас сүүлчийн тэнцэлээс r2(x)-
r2(x)≠0 үед харшлал үүсэж байна. Иймд q1(x)-q2(x)=0 буюу q1(x)=q2(x), r1(x)=r2(x) гарна.
Тийнхүү (4) бичиглэл нэг утгатай нь батлагдав. Теоремын баталгааны алхамууд
олон гишүүнтийг хуваах евклидийн алгоритмыг илэрхийлж буй практик чухал ач
холбогдолтой. Энэ аргыг олон гишүүнтийг хуваах евклидийн алгоритм гэж
нэрлэдэг. Хэрэв (4) бичиглэлд r(x)=0 буюу өөрөөр хэлбэл f(x)=g(x)q(x) бол f(x)-ийг
g(x) олон гишүүнтэд хуваагдаж байна g(x)f(x) эсвэл f(x)=0(mod g(x)) гэсэн хоёр
бичиглэлийн аль нэгээр тэмдэглэн бичдэг. Энэ үед g(x)-ийг f(x)-ийн хуваагч нь гэж
нэрлэдэг.

4. Альгебр тооны онол
Жишээ бодлого
Бодлого 1: f(x)=x4+3x3−x2−4x−3, g(x)=3x3+10x2+2x−3 хоёр олон гишүүнтийн
Х.И.Е.Х-ийг евклидийн алгоритмээр ол.
Бодолт: евклидийн алгоритм хэрэглэх явцад хуваах үйлдлийг хялбар болгох
зорилгоор хуваалтийн явцад хуваагч хуваагдагчийг тоогоор(коэффициентээр)
үржүүлэх хуваах аргыг хэрэглэе. Энэ үйлдэл үлдэгдэл болох олон гишүүнтийн
зэрэгт нөлөөлөхгүй. ХИЕХ зөвхөн коэффициентийн нарийвчлалтайгаар
тодорхойлогдох ба ноогдвор өөрчлөгдөнө. Энэ байдал ХИЕХ олоход
харшлахгүй.
F(x)-ийг 3-аар g(x)-д хуваая.
3x4+9x3−3x2−12x−9 3x3+10x2+2x−3
3x4+10x3+2x2−3x x+1
3x3+10x2+2x−3
(3x3+10x2+2x−3)-ийг (3)-аар үржүүлж (3x3+10x2+2x−3)-ийг хасхад 5x2+25x+30
гарна. Үүнийг 5-д хуваахад үлдэгдэл r1(x)= x2+5x+6 болно. g(x)-ийг r1(x) үлдэгдэлд
хуваая.
3x3+10x2+2x−3 x2+5x+6
3x3+15x2+18x 3x−5
−5x2−16x−3
−5x2−25x−3
9x+27
Үүнийг 9-д хуваасны дараа 2-аао үлдэгдэл r2(x)=x+3 болно. r1(x)= r2(x) (x+2) тул
өмнөх үлдэгдэл бүтнээр хуваагдах үлдэгдэл r2(x) учраас тэр Х.И.Е.Х болно.Иймд
x+3=(f(x), g(x)) болно.
Харин одоо g(x)=3x4+4x3+2x2+3x+1 , g(x)=3x4+4x+2x2+2∈Z5Z[X] хоёр олон
гишүүнт авья.

5. Альгебр тооны онол
3x4+4x3+2x2+3x+1 3x3+4x+2
3x4+ 4x2+2x x+3
4x3+3x2+x+1
3x3 +2x+1
3x2+4x
3x3+4x+2 3x2+4x 3x2+4x x+2
3x3+4x2 x+2 3x2+x 3x+3
x2+4x+2 3x
x2+4x 3x+1
x+2 4
Иймд f(x)=g(x)(x+3)+( 3x2+4) , g(x)=( 3x2+4x)(x+2)+(x+2) , 3x2+4x=(x+2)(3x+3)+4
x+2=4(4x+3) учраас d=4 буюу (f(x), g(x))=1 болов.
Бодлого 2: f(x)=x5−2x4+x3+7x2−12x+10 ба g(x)= 3x4−6x3+5x2+2x−2 –ийн
Х.И.Е.Х-ийг ол.
x5−2x4+x3+7x2−12x+10 3x4−6x3+5x2+2x−2
x5−2x4+
3
5
𝑥3
+
2
3
𝑥2
−
2
3
𝑥
𝑥
3
−
2
3
𝑥3
+
19
3
𝑥2
−
34
3
𝑥 + 10
3x4−6x3+5x2+2x−2 −
2
3
𝑥3
+
19
3
𝑥2
−
34
3
𝑥 + 10
3x4−
57
2
𝑥3
+51x2−45x −
9
2
𝑥 −
135
4
45
2
𝑥3
−46x2+47x−2
45
2
x3
−
855
4
x2
+
765
2
x −
675
2
671
4
x2
−
671
2
x +
671
2

6. Альгебр тооны онол
−
2
3
𝑥3
+
19
3
𝑥2
−
34
3
𝑥 + 10
671
4
x2
−
671
2
x +
671
2
−
2
3
x3
+
4
3
x2
−
4
3
𝑥 −
8
2013
x +
20
671
5x2−10x+10
5x2−10x+10 Хариу: Х.И.Е.Х нь (−
𝟖
𝟐𝟎𝟏𝟑
x +
𝟐𝟎
𝟔𝟕𝟏
)
0
Бодлого 3: f(t)=t6+2t4−4t3−3t2+8t−5 ба g(t)= t5+t2−t+1-ийн Х.И.Е.Х-ийг ол.
t6+2t4−4t3−3t2+8t−5 t5+t2−t+1
t6+t3−t2+t t
2t4−5t3−2t2+7t−5
t5+t2−t+1 2t4−5t3−2t2+7t−5
t5−
5
2
𝑡2
−t3+
7
2
𝑡2
−
5
2
𝑡
𝑡
2
+
5
4
5
2
𝑡4
+t3−
5
2
𝑡2
+
3
2
t+1
5
2
𝑡4
−
25
4
𝑡3
−
5
2
𝑡2
+
35
4
t−
25
4
29
4
t3−
29
4
𝑡+
29
4
2t4−5t3−2t2+7t−5
29
4
t3−
29
4
𝑡+
29
4
2t4−2t2+2t
8
29
𝑡+
20
29
−5t3+5t−5
−5t3+5t−5 Хариу: Х.И.Е.Х нь (
𝟖
𝟐𝟗
𝒕+
𝟐𝟎
𝟐𝟗
)

7. Альгебр тооны онол
Бодлого 4: f(x)= t6+t5+t4−3t2+2t−6 ба g(x)= t5+3t2−2t+2 –ийн Х.И.Е.Х-
ийг ол.
t6+t5+t4−3t2+2t−6 t5+3t2−2t+2
t6+3t3−2t2+2t t+1
t5+t4−3t3−t2-6
t5+3t2−2t+2
t4−3t2−4t2+2t−8
t5+3t2−2t+2 t4−3t2−4t2+2t−8
t5−3t4−4t3+2t2−8t t+3
3t4+4t3+t2+6t+2
3t4−9t3−12t2+6t−24
13t3+13t2+26
t4−3t2−4t2+2t−8 13t3+13t2+26
t4+t3+2t
𝑡
13
−
4
13
−4t3−4t2−8
−4t3−4t2−8 Хариу: Х.И.Е.Х нь (
𝒕
𝟏𝟑
−
𝟒
𝟏𝟑
)
0

8. Альгебр тооны онол