FONKSİYONLARIN LİMİTİ

2. A)Sağdan ve Soldan Limt
B)Diziler yardımıyla limit
C)Epsilon tekniği ile limit
D)Özel tanımlı fonksiyonların limitleri
A)süreklilik şartları
Alıştır
-malar

3. Limit f(x)’sağdan incelersek elde ettiğimiz değer ile,soldan
incelediğimizde elde edeceğimiz değer eşit olmalıki limit olsun
2
1
۵ Limit olması için sağ ve sol limitler eşit olmalı.
¶ Limit varsa tektir.
µ Sağ ve sol limitler eşit değilse limt yoktur.
¥ Bir noktada limit olması için foksiyonun o noktada
Tanımlı olması gerekmez.

4. 5
Örnek: Yandaki soruda –3,1 ve
4’ün limitlerini inceleyiniz. 3
2
-3 1 4
Çözüm:
-3 için soldan limiti 2 dir fakat
sağdan limiti yoktur.
1 için sağdan ve soldan limitleri
vardır ve limiti 5 tir.
4 için sağdan ve soldan limiti bellidir ve 3 tür.

5. Tanım:A ⊂ üzere,f:A
R olmak R fonksiyonu verilmiş
olsun. ( xn )
Terimleri A kümesinin elemanı olan bir dizisinin f fonk-
( xn ) = x(göre görüntüxn ,...) dizisiiçin, ( f ( xn )) görüntüsü
siyonuna x1 , x2 , x3 ,... dizisi denir.
( f ( xn )) = ( f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ),..., f ( xn ),...)dir.
 1
örnek : ( xn ) = 1 + dizisivef ( x) = 2 x + 3 fonksiyonuveriliyor.
 n
a )( xn )dizi sin in lim itinibulalım.
b)( f ( xn )) gör.dizi sin in lim itinibulalım. lim( f ( xn ))
n →∞

6.  1
çözüm : a. lim ( xn ) = lim1 +  =1
n→∞ n→∞
 n
 1  2
b.( f ( xn )) = (2( xn ) + 3) =  2(1 + ) + 3  = (5 + )
 n  n
2
c. lim ( f ( xn )) = lim (5 + ) = 5bulunur
n →∞ n →∞ n

7. Tanım:A ⊂ R,f:A R bir fonksiyon a ∈R,L ∈ R, ∀ε ∈ R +
olmak üzere x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε önermesine uyan ε a bağlı
∃δ ∈ R + varsa x, a ya yakınsarken f nin limiti L dir, denir ve
lim f ( x) = L biçminde yazılır.
x→a
Yani x ler a ayısına yaklaşırken , x lerin ordinatları olan f(/x) ler
L reelsayısına yaklaşıyora,”x ler a ya yakınsarken f(x)ler L ye
yakınsar.” denir.
lim f ( x) = L şeklinde gösterilir.
x→ a

8. 1)Parçalı Fonksiyonların Limitleri
− x + 1, x < 1ise
Örnek : f : R − (1) → f ( x) =
x − 1, x > 1ise
Fonksiyonunun;x=1, x=2 ve x=-2 noktalarındaki limitini bulalım.
lim f ( x) = lim (− x + 1) = 0
− −
Olduğundan,
x→ 1 x→ 1
Çözüm : lim f ( x) = 0dıı
lim f ( x) = lim ( x − 1) = 0
+ +
x→1
x→ 1 x→ 1
devamı

9. lim − f ( x) = lim − ( −x +1) = 3
x → −2 x → −2
Oldugundan, lim=3’tür
lim+ f ( x) = lim+ (− x + 1) = 3
x → −2 x → −2
lim− f ( x) = lim− (− x + 1) = 1
x→2 x→2 Olduğundan, lim=1 dir.
lim+ f ( x) = lim+ (− x + 1) = 1
x→2 x→2
3
2
1
-2 -1 0 1 2

10. f : R → , lim f ( x )
R In bulunuşunda:
x→a
I:x=a noktası kıritik nokta (f(a)=0) ise,soldan ve sağdan limit incelenmelidir.
İİ:Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, (f(a) 0’a eşit olmaz) limit değeri
ile görüntü değeri eşit olmayacağından, lim f ( x) = f (a) dır.
x→a
x2 − 4 Fonksiyonunun; x=-2,x=0,x=2
Örnek : f : R − { − 2,2} → R, f ( x) = ve x=4 noktalarında limitinin
2− x olup olmadığını araştıralım.
Çözüm:f(x) fonksiyonu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
x −∞ -2 0 2 +∞
x2 − 4 + - - +
x + - + +
x2 − 4 4 − x2 4 − x2 x2 − 4
F(x) = x−2 = −x + 2 = x+2 = −x − 2
2+ x 2+ x 2− x 2− x
DEVAMI

11. lim− f ( x) = lim− ( x − 2) = −4
x → −2 x → −2 Lim f(x)=yoktur.
lim+ f ( x) = lim+ (2 − x) = +4
x → −2 x → −2
lim f ( x ) = lim ( 2 − x) = 2
− −
x →0 x →0
Lim f(x)=2dir
lim+ f ( x) = lim+ (2 + x) = 2
x →0 x →0
lim− f ( x) = lim− (2 + x) = 4
x→2 x→2 Lim f(x) yoktur.
lim+ f ( x) = lim+ (− x − 2) = −4
x →2 x →2

12. İşaret değiştirdiği noktalarda lim yoktur.
Yani fonksiyonun eğer işareti değiştiriyorsa
_
O fonksiyonun limiti yoktur. +
ÖRNEK: f(x)=2x+Sgn(x-3)
lim f ( x) = ?
x →3
CEVAP: lim (2 x − 1) = 5 _
x →3 − Lim f(x)yok +
lim (2 x + 1) = 7
+ 2x-1 2x+1
x →3
lim f (4) = 9
x→4

13. ÖRNEK: f ( x) = sgn( x 2 + 2 x − 3) lim itinedir ?
( x + 3)( x − 1)
-3 1
ÇÖZÜM:
_
lim− f ( x) ≠ lim+ İşaret değiştirdiği için + +
x → −3 x → −3 Lim yok.
lim− f ( x) ≠ lim+ İşaret değiştirdiğinden lim yoktur.
x → −1 x → −1

14. R → R, lim inbulunuşnnda
x→a f ( x )
x = aiç inf(a ) ∈ Zise, Soldan ve sağdan lim incelenir.
ÖRNEK: lim ( 2 x + x − 2 ) = ?
1 +
x →( )
4
ÇÖZÜM:
 1 1   1 7 7 7
 2.( ) + − 2  =  ( ) +  = 0 + =
   2
 4 4   4
 4 4

15. x
ÖRNEK: f ( x ) = x + + sgn( x) + x
x
lim− f ( x) + lim+ f ( x) = ? İşleminin sonucu nedir?
x →0 x →0
CEVAP:
lim− ( x − 1 − 1 − 1) + lim+ ( x + 1 + 1 + 0)
x →0 x →0
=-3 =+2
-1

17. BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
Tanım:A ⊂ R , a ∈ A olmak üzere f : A → R ye tanımlanan f(x)
fonksiyonunda, lim x →a f(x) = f(a) ise, f fonksiyonu x=a noktasında
süreklidir, denir.
Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için:
1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır.
2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır.
3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a
noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.
Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında
süreksizdir denir.

18. y y
y f(x)
f(a
)
L=f(a) L L
0 a x 0 a x 0 a x
1. f(a)=L • x = a’da tanımsızdır. lim x → a f(x) = L
2. lim x → a f(x) = f(a) = L Çünkü a’nın görüntüsü
olduğundan, x=a yoktur. Bunun için f
lim x → a f(x) ≠ f(a)
noktasında f fonksiyonu fonksiyonu x=a için f, x=a noktasında
süreklidir. noktasında süreksizdir. süreksizdir.
ÖRNEK
f(x) = x + x − x Fonksiyonu x=1’de sürekl midir? ÇÖZÜM

19. ÇÖZÜM
limx→- f(x) =limx→- ( x + x − x ) =0 + 1- 0 = 
1
⇒ x→f(x)=
1 1
lim 1 1
limx→+f(x) =limx→+ ( x + x - x ) = − 1− = 
1 1
1 1 1
f fonksiyonu x=1’de süreklidir.

20. SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
Tanım: A ⊂ R , a ∈ A olmak üzere f : A → R
fonksiyonunda:
1. lim x →a - f(x) = f(a) ise f fonksiyonu x= a noktasında soldan
süreklidir, denir.
2. lim x → a + f(x) = f(a) ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan
süreklidir, denir.

21. Tanımı aşağıdaki grafiklerle inceleyiniz.
y y
f
L=f(a) L=f(a)
0 a x 0 a x
f fonksiyonu a noktasında f fonksiyonu a noktasında
soldan süreklidir. sağdan süreklidir.
ÖRNEK
 2 +, x 〈
x 1 1 fonksiyonunun x=1’de soldan ve
→ f(x) =
f : R R,  sağdan sürekliliğini inceleyelim.
 - 1, x ≥
2x 1
ÇÖZÜM

22. ÇÖZÜM
lim x → 1 f(x)
-
= lim → ( x 2 + 1) = 2  1. lim x →1− f(x) ≠ f(1) olduğundan,
-
x 1
 fonksiyon x=1de soldan sürekli
lim x → 1 f(x) = lim x → 1 ( 2 x - 1) = 1  değildir.
+ +

f(1) = ( 2.1) - 1 = 1  lim
2. x →1+
f(x) = f(1) = 1
olduğundan, fonksiyon x=1de
sağdan süreklidir.

23. KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK
Tanım: f : [ a, b] → R fonksiyonu ∀x ∈ [ a, b ] için sürekli ise f
fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında süreklidir, denir.
Bu tanımı aşağıdaki grafiğe göre inceleyelim.
y y=f(x)
K=f(b)
f(x)0
L=f(a)
0 a x0 b x
ÖRNEK
f : [→2 −
- 1, 3] f(x) = fonksiyonunun [ - 1,3] kapalı
R, x 4
aralığında sürekli olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM

24. ÇÖZÜM
∀ 0 ∈− , 3] için olduğundan, f fonksiyonu [− 1, 3] kapalı
x [1
aralığında süreklidir. y
5 f(x) = x − 4
2
x
-1 2
0 3
-3
-4

25. Uygulamalar

26. x 2 − 7 x + 10
1. lim 2 limitinin değerini bulunuz?
x →2 x − 3x + 2
Çözüm :
x 2 − 7 x + 10 0
lim 2 = belirsizliği var
x →2 x − 3x + 2 0
x 2 − 7 x + 10 2x − 7 2.2 − 7 −3
lim 2 lim
= x→2 2x − 3 = 2.2 − 3 = 1 = −3
x →2 x − 3x + 2

27. x+1−1
2. lim limitinin değerini bulunuz?
x→0 x
Çözüm :
x+1−1 0
lim = belirsizliği var
x→0 x 0
1
2 x +1 1
x+1−1 lim lim
lim = = x→ 0
2 x+1
x→0 x x→0 1
1 1
= 2 0 +1 = 2

28. 1 + cos x
3. lim limitinin değerini bulunuz?
x→ π sin x
Çözüm :
1 + cos x 0
lim = belirsizliği var
x→ π sin x 0
1 + cos x - sinx
lim = lim
x→ π sin x x→π cosx
− sinπ 0
= = 0
cosπ −1

29. ln( x + 1)
4. lim x limitinin değerini bulunuz?
x→∞ e + cos x
Çözüm :
ln( x + 1) ∞
lim x = belirsizliği var
x→∞ e + cos x ∞
1
ln( x + 1) 0
lim x lim x + 1
= x→∞ x
x→∞ e + cos x e - sinx ∞
0

30. ln(sin x )
5. lim limitinin değerini bulunuz?
x→0 ln(sin 2x )
Çözüm :
ln(sin x ) ∞
lim = belirsizliği var
x → 0 ln(sin 2x )
∞
ln(sin x ) cosx/sinx
lim = lim
x → 0 ln(sin 2x ) x→0 2cos2x/sin2x
cosx/sinx Cosx.sin2x
lim lim
= x→0
x→0 2cos2x/sin2x 2cos2x.sinx

31. Cosx.sin2x 2sinx.cosx
lim
x→0 2cos2x.sinx
2.sinx.cos2x 2. cos 2 0 2. 1
lim = = = 1
x→0 2cos2x.sinx 2. cos(2.0 ) 2. 1

32. 1
lim ⋅ e x limitinin değerini bulunuz?
6. x → ∞
x
Çözüm :
1
lim ⋅ e x = 0 •
x→∞ x
∞
1 ex ∞
lim ⋅ e x = lim =
x→∞ x x→∞ x ∞
ex
=∞ = ∞
ex e∞
lim = lim =
x→∞ x x→∞ 1 1 1

33. 7. lim x. sin
x→∞
( x)
2
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
lim x. sin ( x ) = ∞ •0
2
x→∞
2
sin( )
lim x = 0
x →∞ 1 0
x
2 −2 2
sin( ) ⋅ cos
x lim x
2
x
lim = = lim 2. cos(2 / x ) = 2
x →∞ 1 x →∞ −1 x→ ∞
x x 2

34.  1 1 
8. lim  −  limitinin değerini bulunuz?
x → 1 x − 1 ln x 
Çözüm :
 1 1 
lim 
x → 1 x − 1
−  =
ln x 
∞- ∞
 1 1   ln x − x + 1  0
lim  −  = lim 
 ln x ⋅ ( x − 1)  =

x → 1 x − 1 ln x  x →1
  0

35. −1
lim
1− x
lim x2
x → 1 ( x − 1) + x. ln x
= =
x →1
1 1
+ 2
x x
−1
x2 −1 −1
lim = lim =
x→ x + 1
1 x→ x + 1
1 2
x2