5. E 1 =E 2 =E 3 ( ∆= ∆ x = ∆ y = ∆ z =0 , 無 限 多 解 ) E 1 //E 2 =E 3 ( ∆= ∆ x = ∆ y = ∆ z =0 無 解 )
E 1 與 E 2 (E 3 ) 交 於 一 直 線 ( ∆=∆ x =∆ y =∆ z =0 , 無 限 多 解 )
E 1 //E 2 //E 3 ( ∆=∆ x =∆ y =∆ z =0,無解)
~3−3−5~
6. E 1 與 E 2 、 E 3 相 交 成 兩 平 行 線 (∆=0 , , x 、 、 y 、 、 z 有 一 不 為 0 , 無 解 )
若若 , 則 , (×) , 因 為 , 因 代 表 E 2 與 E 3 交 於 一 直 線 L , 且
其 方 向 向 量 為 其 , 此 時 因 為 , (×) , 所 以 L 與 E 1 平 行 或 重 合 。
~3−3−6~
7. E 1 、 E 2 、 E 3 三 平 面 交 於 一 直 線 ( ∆=∆ x =∆ y =∆ z =0 , 無 限 多 解 )
E1 、 E2 、 E3 兩 兩 交 於 一 直 線 , 三 直 線 互 相 平 行
(∆=0 , , x 、 、 y 、 、 z 有 一 不 為 0 , 無 解 )
(2°) 當 當 2 0 ⇔ ⋅(×)≠0 ⇔ ×≠ 且 與 (×) 不 垂 直
所 以 E 2 與 E 3 交 於 一 直 線 L , 且 其 方 向 向 量 為 , , 此 時 因 為 與 (×)
不 垂 直 , 所 以 L 與 E1 交 於 一 點 。
E 1 、 E 2 、 E 3 三 平 面 交 於 一 點 (∆≠0 , 恰 有 一 解 )
E1 : a1 x + b1 y + c1 z = 0
(3) 齊次方程組: E 2 : a 2 x + b2 y + c 2 z = 0 至少會有(0,0,0)的解,所以
E : a x + b y + c z = 0
3 3 3 3
(a)若若 ≠ 0 ,則齊次方程組只有一組解(0,0,0)。
(b) 若 若 =0 , 則 齊 次 方 程 組 除 了 (0,0,0) 之 外 , 尚 有 其 他 的 解 。
~3−3−7~
8. 2. 說明下列各方程組所表示的平面相交的情形
(1) Ans:三平面相交於一點(−1,2,0)
(2) Ans:兩面平行,另一面交兩線
(3) Ans:三平面兩兩相交於一直線且三交線不共點
3. 試就實數 a 之值討論方程組的解:
Ans:(1)a≠3 且 a≠4 且 a≠7 時,有唯一解(x,y,z)=(,,)
(2)a=3 時,有無限多組解(x,y,z)=(,t,t)
(3)a=4 時,有無限多組解(x,y,z)=(t,t,1−)
(4)a=−7 時,無解
4. 若若及及為二實數,且聯立方程組
(1 − α) x + 7 y = 1
x + y + α z = β 有二組以上的解,則有之值為 ,,之值為 。
2α y + z = 0
Ans:: =2,, =−1 (84 社)
~3−3−8~
9. x + y + z = ax
5. 方程組 x + y + z = ay 有異於(0,0,0)之解,a= 。Ans:0,3
x + y + z = az
a1 x + b1 y + c1 z = d1
6. 已知方程組 a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 恰有一組解(α,β γ ),,) 一組0
a x + b y + c z = d
3 3 3 3
a1 x + 2b1 y + 3c1 z = 4d1
則方程組 a 2 x + 2b2 y + 3c 2 z = 4d 2 之解為何?Ans:(4α ,2β ,)
a x + 2b y + 3c z = 4d
3 3 3 3
2. 試以克拉瑪公式解方程組 Ans:x=1,y=2,z=3
3. 解 下 列 方 程 組 , 並 判 斷 其 幾 何 關 係 :
x + 2y − z = 2 x + 4 y + 2z = 1 − 4 x + 2 y − z = −1
(1) 2 x + 5 y + 3z = 7 (2) − 3 x + z = 2 (3) 3 x + y + 3 z = 1
3 x − y + z = −1 − 2 x + 4 y + 3 z = 3 2x + 4 y + 5z = 3
Ans : (1) 三 平 面 交 於 一 點 (,,) (2) 三 平 面 交 於 一 線 (t,+t,3t+2)
(3)三平面兩兩相交於一直線且三交線不共點
~3−3−9~
10. ax + y + z = 1
4. 試 就 a 值 討 論 方 程 組 x + ay + z = 1 的 解 。
x + y + az = 1
Ans : 若 a≠1,−2 時 , 恰 有 一 解 (,,) ; 若 a=1 , (x,y,z)=(s,t,1−s−t)
若 a=−2 時,無解。
5. 齊 次 方 程 組 :
3 x − ay = 0
(1) 除 (0,0) 外 尚 有 其 他 解 , 則 a= ? b= ?
x − 2 y = b + 4
ax + 2 y + 3z = 0
(2) 3 x + 2 y + 3z = 0 有 異 於 (0,0,0) 的 解 , 則 a= ? 解 為 何 ?
x + 5y + 7z = 0
Ans:(1)a=6,b=−4 (2)a=3 解為(−t,−18t,13t)
綜合練習
z
ax + y + a = 1
(1) 設 a 為不等於 0 的實數,關於方程式組 x + ay + z = −1 的解,下列選項那些是
x
a + y + az = 1
正確的?(A)當 a=3 時,無解 (B)當 a=1 時,恰有一組解 (C)當 a=時,恰有一
組解 (D)當 a=−1 時,有無限多組解 (E)當 a=−4 時,有無限多組解。
(85 社)
(2) 試決定實數 a 之值,使得三相異平面 E1:(a+2)x+y+z=0,E2:x+ay+z=0,
E3:x+y+az=0 相交於一直線。
~3−3−10~
11. a1 x + b1 y + c1 z = d1
(3) 已知空間中三個平面 a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 恰好交於一點 P,
a x + b y + c z = d ⋅
3 3 3 3
b1 c1 d1 c1 a1 d1 a1 b1 d1
令 D1= b2 c2 d 2 ,D2= c 2 a2 d 2 ,D3= a 2 b2 d 2 ,試問下列敘述何者
b3 c3 d3 c3 a3 d3 a3 b3 d3
正確?(A)若 D1=0,則 P 點在 xy 平面上 (B)若 D1=0,則 P 點在 yz 平面上
(C)若 D1=D2=0,則 P 點在 x 軸上 (D) 若 D1=D2=0,則 P 點在 y 軸上
(E)若 D1=D2=D3=0,則 d1=d2=d3=0。
x − y − 2z = 3
(4) 若 2 x + 2 y + z = 1 有無限多解,則(a)a=?b=? (b)方程組的解。
3 x + ay − z = b
(5) 三元一次方程組的幾何意義:
x + 3 y − z = −4
(a)就 k 值討論下列三平面相交的情形 2 x + 5 y + z = −1
x + 5y − 7z = k
3x + 5 y − z = −1
x − y + 4 z = 11
(b)就 a 值討論下列四平面相交的情形 x + 7 y − 9 z = −23
4 x + 20 y − 23 z = a
a1 x + b1 y + c1 z = d1
(6) 已知方程組 a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 恰有一組解(5,−2 8 ),
a x + b y + c z = d
3 3 3 3
(2a1 + 3b1 ) x + 2b1 y + 3c1 z = d1
則方程組 (2a 2 + 3b2 ) x + 2b2 y + 3c 2 z = d 2 之解為何?
(3a + 3b ) x + 2b y + 3c z = d
3 3 3 3 3
x + y + 2 z = −2
x + 2 y + 3z = α
(7) 已知方程組 x + 3 y + 4 z = β 有解,且有、、都不是整數,則求都、B 的值。
x + 4 y + 5z = β 2
~3−3−11~