Dokumen tersebut membahas tentang rotasi dalam bidang geometri. Secara umum, rotasi adalah transformasi yang memutar setiap titik pada bidang dengan menggunakan titik pusat dan sudut putar tertentu. Dokumen tersebut menjelaskan definisi, jenis-jenis, dan contoh soal rotasi beserta penyelesaiannya.

1. BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman babilonia, yunani, para
ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan eropa abad
ke-18 sampai dua dekade pertama abad ke-19. Transformasi geometri adalah suatu
fungsi yang mengaitkan antar setiap titik di bidang dengan suatu aturan tertentu.
Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar atau geometri. Sebagai ilustrasi, jika titik
(x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka diperoleh titik (x,-y). Secara aljabar
transformasi
ini
ditulis
T(x,y)
=
(x,-y)
atau
dalam
bentuk
matriks
Masalah ini dapat diperluas untuk menentukan peta dari suatu konfigurasi
geometri berbentuk daerah tertentu oleh suatu transformasi. Transformasi geometri
meliputi translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan), dan dilatasi
(pembesaran). Namun pada makalah ini penulis mengkhususkan pada rotasi
(perputaran).
1.2
Rumusan Masalah
1.2.1 Bagaimana definisi dari suatu rotasi?
1.2.2 Apa saja jenis rotasi?
1.2.3 Bagaimana contoh masalah rotasi dan penyelesaiannya?
1.3
Tujuan Penulisan
1.3.1 Mengetahui definisi dari suatu rotasi
1.3.2 Mengetahui jenis dari suatu rotasi
1.3.3 Mengetahui contoh masalah rotasi dan penyelesaiannya
1

2. BAB II
PEMBAHASAN
2.1
Definisi Rotasi
Sebelum kita mendefiniskan rotasi maka kita harus mengetahui definisi mengenai
transformasi terlebih dahulu. Transformasi adalah aturan secara geometris yang dapat
menunjukkan bagaimana suatu bangun dapat berubah kedudukan dan ukurannya
berdasarkan rumus tertentu. Rotasi atau perputaran itu sendiri merupakan suatu
transformasi yang memutar setiap titik pada suatu bidang. Perputaran pada bidang
tersebut khususnya pada bidang datar ditentukan oleh titik pusat rotasi, besar sudut
rotasi, dan arah rotasi. Apabila arah rotasi berlawanan dengan arah putar jarum jam,
arah putarnya dikatakan positif. Sebaliknya, jika arah rotasi searah dengan arah putar
jarum jam, arah putarnya dikatakan negatif. Suatu rotasi dengan sudut putar 3600
disebut rotasi satu putaran penuh, rotasi dengan sudut putar 1800 disebut rotasi setengah
putaran, dan rotasi dengan sudut putar 900 disebut rotasi seperempat putaran. Rotasi
dengan pusat titik
2.2
dan sudut putar θ dapat ditulis dengan notasi
.
Jenis Rotasi
1. Rotasi dengan Pusat Titik
Dengan menggunakan jangka, Anakota membuat sebuah busur lingkaran. Ia
menusukkan jarum jangka pada titik
putar
, kemudian memutar jangka dengan sudut
berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. Melalui peragaan ini,
Anakota telah melakukan rotasi sebesar a dengan pusat titik
Misalkan, posisi awal pensil jangka pada titik
dengan pusat titik
Setelah dirotasi sebesar
, posisi pensil jangka ini berada pada titik
pada gambar berikut.
2
seperti

3. y
A’(a’,b’)
r
A(a,b)
r
α
θ
B’
O
B
x
Pada gambar diatas, titik
diputar dengan pusat titik
dan
arahnya berlawanan dengan arah putar jarum jam sejauh radian sehingga bayangan
titik A adalah
. Untuk menentukan hubungan antara titik
dan titik
, perhatikan segitiga OBA.
Segitiga OBA pada gambar siku-siku di B. Jika panjang OA = r dan sudut
yang dibentuk oleh ruas garis OA terhadap sumbu x adalah
dan
. Misalkan titik
diputar sejauh
sehingga bayangannya adalah
maka
(dalam derajat atau radian)
.
Posisi awal pensil jangka ini dapat ditulis dalam koordinat kutub,
. Adapun posisi pensil jangka setelah diputar sebesar
dengan
arah berlawanan dengan arah perputaran jarum dapat ditulis sebagai
.
Jadi, dinyatakan dalam bentuk matriks, persamaan tersebut menjadi matriks berikut.
3

4. Jadi, posisi pensil jangka setelah diputar sebesar
Matriks
disebut matriks perputaran dengan pusat titik
dan sudut putar
putar
tersebut adalah
ditulis
. Selanjutnya, rotasi dengan pusat titik
dan sudut
.
2. Rotasi dengan pusat Titik
Adapun untuk rotasi sebesar
dengan pusat titik
dapat ditentukan
sebagai berikut.
Matriks
disebut matriks perputaran dengan pusat titik
dan sudut putar α ditulis
sudut putar . Selanjutnya, rotasi dengan pusat titik
Nilai
dan
bertanda positif jika arah putaran sudut berlawanan dengan arah
perputaran jarum jam dan bertanda negatif jika arah putaran sudut searah dengan
arah perputaran jarum jam.
Bagaimana jika titik
Kemudian, rotasi lagi sebesar
dirotasi sebesar
dengan pusat titik
.
dengan pusat yang sama?
Perhatikan gambar berikut!
β
α
O
A(a,b)
Tampak bahwa posisi rotasi sebesar
dilanjutkan rotasi sebesar
dengan pusat titik
dengan pusat titik
. Kemudian
dengan pusat yang sama diwakili oleh rotasi sebesar
.
4

5. Akibatnya, bayangan titik A dapat kalian tentukan sebagai berikut.
2.3
Contoh Masalah Rotasi dan Penyelesaiannya
yang dirotasi berturut-turut sebesar 1800 dan 900
1. Tentukan bayangan titik
berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik
.
Solusi:
Merotasi titik A(-1,-2) berturut-turut sebesar 1800 dan 900 berlawanan dengan arah
perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik
dengan merotasi titik A sebesar 2700 dengan pusat
sama artinya
.
Bayangan titik A adalah sebagai berikut.
Jadi, bayangan titik
adalah
.
2. Tentukan bayangan parabola y = x2 + 1 yang dirotasi sebesar 900 searah dengan arah
perputaran jarum jam dengan pusat titik
.
Solusi:
Ambil sembarang titik A(a,b) pada
sehingga
(*).
Rotasikan titik A sebesar 900 searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat
titik
Dengan rotasi ini, kalian memperoleh titik
Jadi, titik
.
.
Perhatikan bahwa:
didapat
dari persamaan ini didapat
.
Dengan mensubstitusi nilai a dan b ke persamaan (*), kalian memperoleh:
5
dan dari

6. yang dirotasi sebesar 900 searah dengan arah
Jadi, bayangan parabola
perputaran jarum jam dengan pusat titik
adalah
yang diputar sejauh 600 terhadap titik
3. Tentukan bayangan dari titik
Solusi:
Misalkan bayangan titik A adalah
yang diputar sejauh 600 terhadap titik
Jadi, bayangan titik
4. Tentukan bayangan dari titik
adalah titik
jika diputar dengan pusat titik
sudut putar 900.
Solusi:
Misalkan bayangan titik
putar 900 adalah
yang diputar dengan pusat titik
.
6
dan sudut
dan

7. BAB III
PENTUTUP
3.1
Simpulan
Rotasi adalah suatu transformasi yang memutar setiap titik pada suatu bidang.
Rotasi pada bidang tersebut khususnya pada bidang datar ditentukan oleh titik pusat
rotasi, besar sudut rotasi, dan arah rotasi. Apabila arah rotasi berlawanan dengan arah
putar jarum jam, arah putarnya dikatakan positif. Sebaliknya, jika arah rotasi searah
dengan arah putar jarum jam, arah putarnya dikatakan negatif. Suatu rotasi dengan
sudut putar 3600 disebut rotasi satu putaran penuh, rotasi dengan sudut putar 1800
disebut rotasi setengah putaran, dan rotasi dengan sudut putar 900 disebut rotasi
seperempat putaran. Rotasi dengan pusat titik
dengan notasi
dapat ditulis
. Jenis-jenis rotasi sendiri terdiri dari rotasi dengan pusat titik
dan rotasi dengan pusat titik
3.2
dan sudut putar
.
Saran
Setelah membahas materi mengenai rotasi penulis mengharapkan agar ke
depannya materi rotasi ini dapat disajikan secara singkat namun mudah dipahami.
Selain itu, penulis juga berharap agar kedepannya materi ini lebih sering dikaitkan
dengan permasalahan-permasalahan pada kehidupan sehari-hari agar materi ini lebih
mudah untuk dipelajari.
7

8. DAFTAR PUSTAKA
Anwar, Cecep, dan Pesta. 2008. Matematika Aplikasi untuk SMA dan MA Kelas XII Program
Studi Ilmu Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Prima Eksakta, Tim Bimbingan Belajar. 2010. Kiat Sukses Ujian Nasional SMA Tahun
2010/2011. Pekalongan: Prima Eksakta.
Siswanto. 2009. Theory and aplication of Mathematics 3. Jakarta: PT 3 Serangkai Pustaka
Mandiri.
8