kalkulus 1 - limit dan kontinuan

1. 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
1

2. 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik
Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi
x2 −1
f ( x) =
x −1
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk
0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,
seperti pada tabel berikut
0.9 0.99 0.999 0.9999
1
1.0001 1.001 1.01
1.1
f(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999
?
2.0001 2.001 2.01
2.1
x
2

3. Secara grafik
Dari tabel dan grafik disamping
terlihat bahwa f(x) mendekati 2
jika x mendekati 1
f(x)
2
f(x)
Secara matematis dapat dituliskan
Sebagai berikut
º
x
1
x
x2 −1
lim
=2
x →1 x − 1
x2 −1
Dibaca “ limit dari
untuk x mendekati
x −1
1 adalah 2
lim
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa f ( x) = L berarti
x →c
bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L
3

4. Contoh
1. lim 3 x + 5 = 8
x →1
2 x 2 − 3x − 2
(2 x + 1)( x − 2)
lim
= lim
2. x→2
x→2
x−2
x−2
3.
lim
x →9
x−9
x −3
= lim
x →9
x−9
x +3
= lim 2 x + 1 = 5
x→2
x − 3 x + 3 = lim
x →9
( x − 9)( x + 3) = lim x + 3 = 6
x →9
x−9
4. lim sin(1 / x)
x→0
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut
x
sin(1 / x)
2/π
2 / 2π
2 / 3π
2 / 4π
2 / 5π
2 / 6π
1
0
-1
0
1
0
2 / 7π
-1
2 / 8π
0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke
satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada
4

5. Definisi limit
lim f ( x) = L jika ∀ε > 0 , ∃ δ > 0 ∋ 0 < | x − c | < δ ⇒ | f ( x ) − L | < ε
x →c
ε
ε
L
º
L
c
c
Untuk setiap ε > 0
L
º
c −δ c c +δ
0 <| x − c |< δ
º
δ δ
Terdapat δ > 0 sedemikian sehingga
L+ε
L−ε
L
º
c
| f ( x) − L |< ε
5

6. Limit Kiri dan Limit Kanan
x
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah
bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut
limit kiri,
notasi
c
lim f ( x)
−
x →c
c
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah
bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut
limit kanan,
notasi
x
lim f ( x)
x →c +
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = L dan lim f ( x) = L
−
+
x →c
Jika
x →c
x →c
lim f ( x) ≠ lim f ( x) maka lim f ( x) tidak ada
−
+
x →c
x →c
x→c
6

7. Contoh Diketahui
1.
 x2 , x ≤ 0

f ( x) =  x , 0 < x < 1
2 + x 2 , x ≥ 1

a. Hitung lim f ( x)
x→0
b. Hitung) lim f ( x)
x→1
Jika ada
c. Hitung lim f ( x)
x→ 2
d. Gambarkan grafik f(x)
Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit
kiri dan limit kanan di x=0
7

8. lim f ( x) = lim x 2 = 0
−
x →0
x →0
lim f ( x) = 0
x →0
lim f ( x) = lim x = 0
+
x →0
x →0
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit
kiri dan limit kanan di x=1
lim f ( x) = lim x = 1
x →1−
lim f ( x)
+
x →1
x →1
= lim 2 + x = 3
2
Karena lim f ( x) ≠ lim
−
+
x →1
x →1
lim f ( x) Tidak ada
x→1
x →1
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit
kiri dan limit kanan di x=2
lim f ( x) = lim 2 + x 2 = 6
x→ 2
x→2
8

9. d.
3
di x=1 limit tidak
ada
º
1
Untuk x ≤ 0
f ( x) = x
Untuk 0<x<1
2
Grafik: parabola
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk
≥ 0
f ( x) = 2 + x 2
Grafik: parabola
9

10. 2. Tentukan konstanta c agar fungsi
3 − cx, x < −1
f ( x) =  2
 x − c, x ≥ −1
mempunyai limit di x=-1
Jawab
Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan
limit kanan
lim f ( x) = lim 3 − cx = 3 + c
x → −1−
x → −1
lim+ f ( x) = lim x 2 − c = 1 − c
x →−1
Agar limit ada
3+c=1-c
x → −1
C=-1
10

11. Soal Latihan
A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai
fungsi tidak ada.
lim
1. x →−3 f ( x)
5.
x →1+
2. lim f ( x )
6.
f(-3)
7.
f(-1)
8.
f(1)
x → −1
3. lim f ( x)
x→1
lim
4. x →1− f ( x)
lim f ( x)
11

12. Soal Latihan
B.
 x 2 + 1, x ≤ 1
1. Diketahui : f ( x) =  2
 x − x + 2, x > 1
a.Hitung
lim f ( x) dan lim+ f ( x)
x →1−
x →1
b. Selidiki apakah lim f ( x ) ada, jika ada hitung limitnya
x →1
2. Diketahui g ( x) = x − 2 − 3 x , hitung ( bila ada ) :
a.
lim
x →2 −
g( x)
3. Diketahui f ( x) =
a.
lim
x→ 2−
f ( x)
b. lim g( x )
x−2
x−2
b.
x →2 +
c.
lim g( x )
x →2
, hitung ( bila ada )
lim
x→ 2+
f ( x)
c.
lim
x →2
f ( x)
12

13. Sifat limit fungsi
Misal
lim f ( x) = L dan lim g ( x) = G (limit dari f , g ada dan berhingga)
x →a
x →a
maka
1.
lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = L ± G
x →a
x →a
x →a
2. lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = LG
x→a
x→a
x→a
f ( x) lim f ( x) L
3. lim
= x→a
= , bila G ≠ 0
x→a g ( x)
lim g ( x) G
x→a
4.
lim( f ( x)) n = (lim f ( x)) n ,n bilangan bulat positif
x →a
x→a
5. lim n f ( x ) = n lim f ( x) = n L
x→a
x→a
bila n genap L harus positif
13

14. Prinsip Apit
Misalf ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) untuk x disekitar c dan
lim f ( x) = L serta lim h( x) = L
x →c
maka
x →c
lim g ( x) = L
x →c
Contoh Hitung
Karena
dan
1
lim( x − 1) sin
x →1
x −1
2
1
− 1 ≤ sin(
) ≤1
x −1
lim− ( x − 1) 2 = 0
x →1
maka
lim( x − 1) 2 sin
x →1
− ( x − 1) 2 ≤ ( x − 1) 2 sin
1
≤ ( x − 1) 2
x −1
, lim( x − 1) 2 = 0
x →1
1
=0
x −1
14

15. Limit Fungsi Trigonometri
sin x
1. lim
=1
x →0
x
2. lim cos x = 1
x →0
tan x
=1
x →0
x
3. lim
Contoh
sin 4 x
sin 4 x
.4
3 + lim
.4
3 x + sin 4 x
x →0
4x
4x
lim
= lim
=
x → 0 5 x − tan 2 x
x →0
tan 2 x
tan 2 x
5−
.2
5 − lim
.2
x →0
2x
2x
x  0 ekivalen dgn 4x  0
sin 4 x
3 + lim
.4
7
4 x →0
4x
=
=
tan 2 x
5 − lim
.2 3
2 x →0
2x
3+
15

16. Soal Latihan
Hitung
1.
tan 2 3t
lim
t →0
2t
2.
lim
3.
cos 2 t
lim
t → 0 1 + sin t
4.
sin 3t + 4t
lim
t →0
t sec t
5.
lim
t →0
cot π t sin t
2 sec t
tan x
x →0 sin 2 x
16

17. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Limit Tak Hingga
Misal lim f ( x) = L ≠ 0 dan lim g ( x) = 0 , maka lim
x→ a
x→ a
x→a
f ( x)
=
g ( x)
(i ) + ∞ , jika L > 0 dan g ( x) → 0 dari arah atas
(ii ) − ∞ , jika L > 0 dan g ( x) → 0 dari arah bawah
(iii ) + ∞ , jika L < 0 dan g ( x) → 0 dari arah bawah
(iv ) − ∞, jika L < 0 dan g ( x) → 0 dari arah atas
Ctt :
g(x)  0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)
positif.
g(x)  0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)
negatif.
17

18. Contoh Hitung
x2 +1
a. lim
x →1− x − 1
x2 +1
b. xlim− 2
→ −1 x − 1
c. lim+
x →π
x
sin x
Jawab
a. lim x 2 + 1 = 2 > 0
−
x →1
Sehingga
x2 +1
lim
= −∞
x →1− x − 1
2
b. lim− x + 1 = 2 > 0
x → −1
Sehingga
,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena
x  1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya
x-1 akan bernilai negatif
akan menuju 0 dari arah atas, karena
g ( x) = x 2 − 1
x  -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi
bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat
kan lebih besar dari 1 sehingga x 2 − 1 bernilai positif
x2 +1
lim 2
= +∞
x → −1− x − 1
18

19. c.
Karena
f(x)=sinx
lim+ x = π > 0
x →π
dan
π
x
Jika x menuju π dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah
bawah(arah nilai sinx negatif)
sehingga
x
lim
= −∞
x →π + sin x
19

20. Limit di Tak Hingga
a. lim f ( x) = L
x →∞
∀ε > 0 ∃ M > 0 ∋ x > M ⇒ | f ( x) − L | < ε
jika
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga
L
x
Contoh Hitung
x 2 + 2x + 5
lim
x →∞
2x 2 + 4
Jawab
2 5
+ 2
2
x (1 + + )
x + 2x + 5
x x
= lim
= lim 2
lim
x →∞
4
x →∞
x →∞
2x 2 + 4
x (2 + x42 )
2+ 2
x
2
2
x
5
x2
1+
= 1/2
20

21. b.
lim f ( x) = L
x → −∞
jika
∀ε > 0 ∃ M < 0 ∋ x < M ⇒ | f ( x) − L | < ε
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
L
x
Contoh Hitung
2x + 5
x → −∞ 2 x 2 + 4
Jawab
lim
x 2 ( 2 + x52 )
x
2x + 5
lim
= lim 2
x → −∞ 2 x 2 + 4
x → −∞ x ( 2 +
4
x2
)
= lim
x → −∞
(2 +
x
(2 +
5
x2
4
x2
)
)
=0
21

22. Contoh Hitung
lim
x → −∞
x2 + x + 3 + x
Jawab :
Jika x  ∞ , limit diatas adalah bentuk (
lim
x → −∞
x + x + 3 + x = lim x 2 + x + 3 + x (
2
x → −∞
x2 + x + 3 − x2
= lim
x =| x |
2
∞−∞
x2 + x + 3 − x
x(1 + 3 )
x
x → −∞
= lim
x → −∞
= lim
x → −∞
)
x2 + x + 3 − x
x + x+3 − x
2
= lim
x → −∞
x+3
x2 + x + 3 − x
x 2 (1 + 1 + x32 ) − x = xlim
→ −∞
x
1+ 3
x
− ( 1+ 1 +
x
3
x2
1
=−
2
+ 1)
)
x(1 + 3 )
x
− x 1+ 1 +
x
3
x2
−x
22

23. Soal Latihan
Hitung
3+ x
lim
1.
x→ 3+ 3 − x
2.
lim
3
.
2
x→ 2+ x − 4
3.
lim ( x − 1 − x )
x →∞
x
4. lim
x→∞ 1 + x 2
x2 + x
5. lim x + 1
x→∞
x2 +1
6. lim
x → −∞ x − 1
23

24. Kekontinuan Fungsi
Fungsi f (x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i)
f(a) ada
(ii)
lim f ( x) ada
x→ a
(iii) lim f ( x) = f ( a )
x→a
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan
tidak kontinu di x=a
(i)
º
a
f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
24

25. (ii)
L2
L1
a
Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2)
maka f(x) tidak mempunyai limit
di x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
f(a)
●
L
º
a
f(a) ada
lim f ( x) ada
x→a
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan
limit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
25

26. f(a) ada
(iv)
lim f ( x) ada
x→a
f(a)
lim f ( x) = f (a )
x →a
a
f(x) kontinu di x=2
Ketakkontinuan terhapus
º
a
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus
dengan cara mendefinisikan nilai fungsi
dititik tersebut = limit fungsi
26

27. contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan
alasannya
 x2 − 4
 x + 1, x < 2
x2 − 4

f ( x) =  2
a. f ( x) =
f ( x) =  x − 2 , x ≠ 2
b.
c.
x−2
 x − 1, x ≥ 2
3
,x = 2

Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinu
di x=2
b. - f(2) = 3
x2 − 4
( x − 2)( x + 2)
lim
= lim
= lim x + 2 = 4
- x→2 x − 2 x→2
x→2
( x − 2)
- lim f ( x) ≠ f ( 2)
x →2
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak
kontinu di x=2
27

28. c.
- f (2) = 2 2 − 1 = 3
-
lim f ( x) = lim x + 1 = 3
x →2−
x →2
lim f ( x) = lim x − 1 = 3
2
x→ 2+
lim f ( x) = 3
x →2
x→2
- lim f ( x) = f (2)
x →2
Karena semua syarat dipenuhi  f(x) kontinu di x=2
28

29. Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
lim− f ( x) = f (a )
x→a
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
lim f ( x) = f (a)
x→a +
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
 x + a, x < 2
f ( x) =  2
ax − 1, x ≥ 2
Kontinu di x=2
29

30. Jawab :
Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2
lim f ( x) = f (2)
x →2 −
lim− f ( x) = lim x + a = 2 + a
x→2
x→2
f (2) = a 2 2 − 1 = 4a − 1
2 + a = 4a – 1
-3a = -3
a=1
f kontinu kanan di x=2
lim f ( x) = f (2)
x →2+
f (2) = a 2 2 − 1 = 4a − 1
lim+ f ( x) = lim ax 2 − 1 = 4a − 1
x→2
Selalu
dipenuhi
x→2
30

31. Soal Latihan
 x 2 − 1, x ≤ −1
1. Diketahui f ( x) = 
2 x + 2, x > −1
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1
2. Agar fungsi
 x + 1, x < 1

f ( x) = ax + b,1 ≤ x < 2
 3 x, x ≥ 2

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?
3. Tentukan a dan b agar fungsi
 ax 2 + bx − 4

, x<2
f ( x) = 
x−2
 2 − 4 x,
x≥2

kontinu di x = 2
31

32. Kekontinuan pada interval

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila
f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ]
bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x)
kontinu kanan di x = a
3. f(x)
kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x ∈ R maka dikatakan
f(x) kontinu ( dimana-mana ).
32

33. 



Teorema 3.2
Fungsi Polinom kontinu dimana-mana
Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya
Misalkan f ( x) = n x , maka
 f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil
 f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan f ( x) = x − 4
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau x>4.
lim f ( x) = lim x − 4 = 0 = f (4)
x→4−
x→4
f(x) kontinu kiri di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, ∞ )
33

34. Soal Latihan
A. Carilah titik diskontinu dari fungsi
x 2 + 3x
1. f ( x ) =
x+3
2. f ( x ) =
x−2
3. f ( x ) =
| x|−2
x2 − 4
x3 − 8
B. Tentukan dimana f(x) kontinu
1. f ( x) =
2. f ( x) =
x −1
4 − x2 − 9
4x − x2
34

35. Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi

Teorema Limit Fungsi Komposisi:
Jika lim g ( x) = L dan f(x) kontinu di L, maka
x →a
lim f ( g ( x)) = f lim g ( x) = f ( L)
x →a

x →a
Teorema kekontinuan fungsi komposisi:
Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi ( f  g )( x)
kontinu di a.
Bukti
lim( f  g )( x) = lim f ( g ( x))
x →a
x→a
= f (lim g ( x))
x→a
= f(g(a))
= (fog)(a)
karena f kontinu di g(a)
karena g kontinu di a
35

36. Contoh Tentukan dimana fungsi
 x 4 − 3x + 1 
f ( x ) = cos 2
 x + 3x − 4 



kontinu
Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
f ( x) = ( g  h)( x)
dengan
x 4 − 3x + 1
h( x ) = 2
x + 3x − 4
dan g(x) = cos x
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka
fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}
36